第七章 应力和应变分析 强度理论

Chapter7AnalysisofStressandStrainFailureCriteria第七章应力和应变分析强度理论编辑课件

§7-1应力状态概述一、应力状态的概念请看下面几段动画1.低碳钢和铸铁的拉伸实验2.低碳钢和铸铁的扭转实验编辑课件低碳钢?塑性材料拉伸时为什么会出现滑移线？铸铁低碳钢和铸铁的拉伸编辑课件?为什么脆性材料扭转时沿45°螺旋面断开？低碳钢和铸铁的扭转低碳钢铸铁编辑课件〔1〕拉中有剪,剪中有拉;〔2〕不仅横截面上存在应力,斜截面上也存在应力;〔3〕同一面上不同点的应力各不相同;〔4〕同一点不同方向面上的应力也是各不相同.3.重要结论哪一点？

哪个方向面？应力哪一个面上？

哪一点？4.一点的应力状态过一点不同方向面上应力的情况,称之为这一点的应力状态,亦指该点的应力全貌.编辑课件二、应力状态的研究方法

1.单元体〔2〕任意一对平行平面上的应力相等2.单元体特征

3.主单元体各侧面上切应力均为零的单元体〔1〕单元体的尺寸无限小,每个面上应力均匀分布

3

1

2

2

3

1编辑课件4.主平面切应力为零的截面

5.主应力主平面上的正应力

说明:一点处必定存在这样的一个单元体,三个相互垂直的面均为主平面,三个互相垂直的主应力分别记为

1,

2,

3且规定按代数值大小的顺序来排列,即

1

2

3编辑课件

三、应力状态的分类1.空间应力状态三个主应力

1,

2,

3

均不等于零2.平面应力状态三个主应力

1,

2,

3中有两个不等于零3.单向应力状态三个主应力

1,

2,

3中只有一个不等于零

3

1

2

2

3

1

2

2

1

1

1

1编辑课件例题1画出如下图梁S截面的应力状态单元体.54321Fl/2l/2Fl/2l/2S平面编辑课件S平面254321543211

x1

x1

x2

x2

2

23

3

3编辑课件alSF例题2画出如下图梁危险截面危险点的应力状态单元体xzy4321zy4321FSMzT编辑课件12yxzzy4321FSMzTxzy43213编辑课件例题3分析薄壁圆筒受内压时的应力状态pDyz

薄壁圆筒的横截面面积pD

′nn〔1〕沿圆筒轴线作用于筒底的总压力为Fmmnn编辑课件直径平面〔2〕假想用一直径平面将圆筒截分为二,并取下半环为研究对象p

"yＯFNFNd

编辑课件平面应力状态的普遍形式如下图.单元体上有x,xy和y,yx§7-2平面应力状态分析-解析法x

xyz

y

xy

yx

x

y

xy

yx角标的意义；应力正负号的规定。切应力对单元体内任一点取矩,顺时针转

为正编辑课件一、斜截面上的应力1.截面法假想地沿斜截面e-f将单元体截开,留下左边局部的单体元eaf作为研究对象xya

x

x

yx

xyef

nefa

x

xy

yx

y

α

ααnα编辑课件xya

x

x

yx

xyef

n〔1〕由x轴转到外法线n,逆时针转向时为正〔2〕正应力仍规定拉应力为正〔3〕切应力对单元体内任一点取矩,顺时针转为正2.符号确实定efa

x

xy

yx

y

α

ααnαt编辑课件设斜截面的面积为dA,a-e的面积为dAcos

,a-f

的面积为dAsin

efa

x

xy

yx

y

α

ααnαefaαdAdAsin

dAcos

3.任意斜截面上的应力对研究对象列n和t方向的平衡方程得t编辑课件化简以上两个平衡方程最后得不难看出即两相互垂直面上的正应力之和保持一个常数编辑课件二、最大正应力及方位1.最大正应力的方位令

0和

0+90°确定两个互相垂直的平面,一个是最大正应力所在的平面,另一个是最小正应力所在的平面.编辑课件2.最大正应力将

0和

0+90°代入公式得到max和min(主应力〕下面还必须进一步判断最大sigma的方位：编辑课件当

x>y时,绝对值较小的那个角度是最大应力的平面。

具体规那么如下：编辑课件二、最大切应力及方位1.最大切应力的方位令

1和

1+90°确定两个互相垂直的平面,一个是最大切应力所在的平面,另一个是最小切应力所在的平面.编辑课件2.最大切应力将

1和

1+90°代入公式得到

max和

min

比较和可见编辑课件例题4简支梁如下图.m-m截面上A点的弯曲正应力和切应力分别为=-70MPa,=50MPa.确定A点的主应力及主平面的方位.A

mmal

A

解：把从A点处截取的单元体放大如图编辑课件因为

x

<y

，所以

0=27.5°与

min对应xA

A

0

1

3

1

3编辑课件

x

y

xy例题5图示单元体,x=-40MPa,y=60MPa,xy=-50MPa.试求e-f截面上的应力情况及主应力和主单元体的方位.n30°ef解:〔1〕求e-f截面上的应力编辑课件〔2〕求主应力和主单元体的方位因为

x

<y,所以

0=-22.5°与

min对应

x

y

xy22.5°

1

3编辑课件解:〔1〕求主平面方位因为

x

=

y,且

x>0例题6求平面纯剪切应力状态的主应力及主平面方位.

xy所以

0=-45°与

max

对应45°〔2〕求主应力

1=

,

2=0,

3=-

1

3编辑课件§7-3平面应力状态分析-图解法一、莫尔圆将斜截面应力计算公式改写为把上面两式等号两边平方,然后相加便可消去

,得编辑课件因为x,y,xy皆为量,所以上式是一个以,为变量的圆周方程.当斜截面随方位角变化时,其上的应力,在-直角坐标系内的轨迹是一个圆.1.圆心的坐标2.圆的半径此圆习惯上称为应力圆〔planestresscircle〕,或称为莫尔圆〔Mohr’scircle〕编辑课件〔1〕建-坐标系,选定比例尺Ｏ

二、应力圆作法1.步骤xy

x

x

yx

xy

y

y编辑课件D

xyO

〔2〕量取OA=xAD

=xy得D点，作法线为x的面的应力。xy

x

x

yx

xy

xAOB=y〔3〕量取BD′=yx得D′点作法线为y的面的应力

yB

yxD′〔4〕连接DD′两点的直线与轴相交于C点〔5〕以C为圆心,CD为半径作圆,该圆就是相应于该单元体的应力圆C编辑课件〔1〕该圆的圆心C点到坐标原点的距离为〔2〕该圆半径为D

xyO

xA

yB

yxD′C2.证明编辑课件三、应力圆的应用

1.求单元体上任一截面上的应力从应力圆的半径CD按方位角

的转向转动2

得到半径CE.圆周上E点的坐标就依次为斜截面上的正应力

和切应力

.D

xyO

xA

yB

yxD′C2

0FE2

xya

x

x

yx

xyef

n编辑课件证明：编辑课件〔1〕点面之间的对应关系:单元体某一面上的应力,必对应于应力圆上某一点的坐标.说明AB

〔2〕夹角关系:圆周上任意两点所引半径的夹角等于单元体上对应两截面夹角的两倍.两者的转向一致.2

OCBA编辑课件2.求主应力数值和主平面位置〔1〕主应力数值A1和B1两点为与主平面对应的点,其横坐标为主应力

1,

2

1

2D

xyO

xA

yB

yxD′C2

0FE2

B1A1编辑课件2

0D

xyO

xA

yB

yxD′C

1

2A1B1〔2〕主平面方位由CD顺时针转2

0到CA1所以单元体上从x轴顺时针转0〔负值〕即到1对应的主平面的外法线

0确定后,

1对应的主平面方位即确定编辑课件3.求最大切应力G1和G2两点的纵坐标分别代表最大和最小切应力2

0D

xyO

xA

yB

yxD′C

1

2A1B1G1G2因为最大、最小切应力等于应力圆的半径编辑课件

O例题7从水坝体内某点处取出的单元体如下图,x=-1MPa,y=-0.4MPa,xy=-0.2MPa,yx=0.2MPa,〔1〕绘出相应的应力圆〔2〕确定此单元体在=30°和=-40°两斜面上的应力.

x

y

xy解:〔1〕画应力圆量取OA=

x=-1,AD

=

xy=-0.2,定出D点;ACBOB

=

y=-0.4和，BD′

=

yx=0.2,定出D′点.(-1,-0.2)DD′(-0.4,0.2)以DD′为直径绘出的圆即为应力圆.编辑课件将半径CD

逆时针转动2

=60°到半径CE,E点的坐标就代表

=30°斜截面上的应力。〔2〕确定=30°斜截面上的应力E60°〔3〕确定=-40°斜截面上的应力将半径CD顺时针转2

=80°到半径CF,F点的坐标就代表

=-40°斜截面上的应力.F80°AD′C

BOD

30°

40°

40°

30°

30°=-0.36MPa

30°=-0.68MPa

40°=-0.26MPa

-40°=-0.95MPa编辑课件例题8两端简支的焊接工字钢梁及其荷载如下图,梁的横截面尺寸示于图中.试绘出截面C上a,b两点处的应力圆,并用应力圆求出这两点处的主应力.12015152709zab250kN1.6m2mABC编辑课件+200kN50kN+80kN·m解:〔1〕首先计算支反力,并作出梁的剪力图和弯矩图Mmax=MC

=80kN·mFSmax=FC左=200kN250KN1.6m2mABC编辑课件12015152709zab〔2〕横截面C上a点的应力为a点的单元体如下图a

x

x

xy

yx编辑课件由

x,xy

定出D

点由

y,yx

定出D′点以DD′为直径作应力圆O

C〔3〕作应力圆

x=122.5MPa,xy

=64.6MPa

y=0,

xy

=-64.6MPaAB(122.5,64.6)D(0,-64.6)D′A1

1

3A2A1,A2

两点的横坐标分别代表a点的两个主应力

1和

3A1点对应于单元体上

1所在的主平面编辑课件

a

x

x

xy

yx

0

1

312015152709zab〔4〕横截面C上b点的应力b点的单元体如下图b

x

x编辑课件

b点的三个主应力为

1所在的主平面就是x平面,即梁的横截面Cb

x

x(136.5,0)D(0,0)D′

1编辑课件受力物体内某一点处三个主应力1,2,3利用应力圆确定该点的最大正应力和最大切应力.一、空间应力状态下的最大正应力和最大切应力§7-4三向应力状态分析

3

1

2

2

3

1编辑课件

1

3首先研究与其中一个主平面〔例如主应力3所在的平面〕垂直的斜截面上的应力

1

2

2用截面法,沿求应力的截面将单元体截为两局部,取左下局部为研究对象

2

1编辑课件主应力

3所在的两平面上是一对自相平衡的力,因而该斜面上的应力,与

3无关,只由主应力

1,

2决定与

3垂直的斜截面上的应力可由

1,

2作出的应力圆上的点来表示

1

2

3

3

2

1编辑课件该应力圆上的点对应于与

3垂直的所有斜截面上的应力

A

1

O

2B与主应力

2所在主平面垂直的斜截面上的应力

,

可用由

1,

3作出的应力圆上的点来表示C

3与主应力

１所在主平面垂直的斜截面上的应力

,

可用由

2,

3作出的应力圆上的点来表示编辑课件该截面上应力

和

对应的D点必位于上述三个应力圆所围成的阴影内abc截面表示与三个主平面斜交的任意斜截面abc

1

2

1

2

3编辑课件

A

1

O

2BC

3结论三个应力圆圆周上的点及由它们围成的阴影局部上的点的坐标代表了空间应力状态下所有截面上的应力该点处的最大正应力〔指代数值〕应等于最大应力圆上A点的横坐标1编辑课件

A

1

O

2BC

3最大切应力那么等于最大的应力圆的半径最大切应力所在的截面与

2所在的主平面垂直,并与

1和

3所在的主平面成45°角.编辑课件例题9单元体的应力如下图,作应力圆,并求出主应力和最大切应力值及其作用面方位.解:该单元体有一个主应力因此与该主平面正交的各截面上的应力与主应力

z

无关,依据x截面和y截面上的应力画出应力圆.

求另外两个主应力40MPaxyz20MPa20MPa20MPa编辑课件由

x,

xy

定出D

点由

y,

yx

定出D′

点以DD′为直径作应力圆A1,A2

两点的横坐标分别代表另外两个主应力

1和

3A1A2D′

O

DC

1

3

1=46MPa

3=-26MPa该单元体的三个主应力

1=46MPa

2=20MPa

3=-26MPa根据上述主应力，作出三个应力圆编辑课件§

7-5平面应变状态分析(Analysisofplanestrain-state)平面应力状态下，一点的应变分量x,y,xy，欲求方向上的线应变和切应变,可根据弹性小变形的几何条件,分别找出微单元体〔长方形〕由于应变分量x,y,xy在此方向上引起的线应变及切应变,再利用叠加原理.一、任意方向的应变(Thestrainofanydirection)

在所研究的O点处,Oxy坐标系内的线应变x,y,xy为.求该点沿任意方向的线应变.yxO编辑课件将Oxy坐标绕O点旋转一个

角，得到一个新Ox'

y'坐标系.xyO

y'x'并规定

角以逆时针转动时为正值，反之为负值.

为O点沿x'方向的线变

为直角

x'Oy'的改变量,即切应变.假设:〔1〕O点处沿任意方向的微段内,应变是均匀的;〔2〕变形在线弹性范围内都是微小的,叠加原理成立.分别计算

x,

y,

xy单独存在时的线应变

和切应变

,然后叠加得这些应变分量同时存在时的

和

.编辑课件1.推导线应变

(Derivethelinearstrain)从O点沿x′方向取出一微段OP=dx′,并以它作为矩形OAPB的对角线.该矩形的两边长分别为dx和dyxyO

y'x'PABdxdydx'编辑课件〔1〕只有正值x存在ABdxdyxyOy'x'P假设OB边不动,矩形OAPB变形后成为OA'P'B

xdx

D的伸长量为O点沿x'方向的线应变

1

为

A'P'编辑课件〔2〕只有正值y存在ABdxdyxyOy'x'P假设OA边不动矩形OAPB变形后为OAP"B'的伸长量为

D'O点沿x'方向的线应变

2为

ydyP''B'

编辑课件〔3〕只有正值切应变xy存在ABdxdyxyOy'x'P使直角减小的

为正假设OA边不动矩形OAPB变形后为OAP"'B"P'''B''γxydyγxy

的伸长为

D''O点沿x′方向的线应变为编辑课件根据叠加原理,

x,

y

和

xy

同时存在时,O点沿x´方向的线应变为2.切应变〔Shearingstress〕以上两式利用三角函数化简得到编辑课件二、主应变数值及其方位(Theprincipalstrainsandit’sdirection)编辑课件一、各向同性材料的广义胡克定律〔1〕正应力:拉应力为正,压应力为负;1.符号规定〔2〕切应力:对单元体内任一点取矩,假设产生的矩为顺时针,那么τ为正;反之为负;〔3〕线应变:以伸长为正,缩短为负;〔4〕切应变:使直角减者为正,增大者为负.x

x

§7-6

广义胡克定律yz

y

xy

yx

z编辑课件

y

yx方向的线应变用叠加原理,分别计算出

x,y,z

分别单独存在时,x,y,z方向的线应变

x,y,z,然后代数相加.2.各向同性材料的广义胡克定律单独存在时单独存在时

单独存在时xyyz

z

z

x

x编辑课件在

x,y,z同时存在时,x方向的线应变

x为同理,在

x,y,z同时存在时,y,z方向的线应变为在xy,yz,zx三个面内的切应变为编辑课件上式称为广义胡克定律——沿x,y,z轴的线应变——在xy,yz,zx面上的角应变编辑课件

对于平面应力状态〔假设z=0,xz=0,yz=0〕xyz

xy

x

y

yx

x

y

xy

yx编辑课件3.主应力-主应变的关系二向应力状态下设

3=01,2,3;1,2,3为主应变编辑课件二、各向同性材料的体积应变

1

2

3dxdydz构件每单位体积的体积变化,称为体积应变用q表示.各向同性材料在三向应力状态下的体应变如下图的单元体,三个边长为dx,dy,dz变形后的边长分别为变形后单元体的体积为dx(1+

,dy(1+

2,dz(1+

3

V1=dx(1+

·dy(1+

2

·dz(1+

3

编辑课件体积应变为编辑课件1.纯剪切应力状态下的体积应变即在小变形下,切应力不引起各向同性材料的体积改变.2.三向等值应力单元体的体积应变三个主应力为单元体的体积应变

m

m

m编辑课件这两个单元体的体积应变相同

m

m

m

1

2

3dxdydz单元体的三个主应变为编辑课件如果变形前单元体的三个棱边成某种比例,由于三个棱边应变相同,那么变形后的三个棱边的长度仍保持这种比例.所以在三向等值应力m的作用下,单元体变形后的形状和变形前的相似,称这样的单元体是形状不变的.在最一般的空间应力状态下，材料的体积应变只与三个线应变

x

,

y,

z有关,仿照上述推导有在任意形式的应力状态下,各向同性材料内一点处的体积应变与通过该点的任意三个相互垂直的平面上的正应力之和成正比,而与切应力无关.编辑课件例题10边长a=0.1m的铜立方块,无间隙地放入体积较大,变形可略去不计的钢凹槽中,如下图.铜的弹性模量E=100GPa,泊松比μ=0.34,当受到F=300kN的均布压力作用时,求该铜块的主应力,体积应变以及最大切应力.解:铜块横截面上的压应力aaaFzyx

z

x

y铜块受力如下图变形条件为编辑课件解得铜块的主应力为最大切应力体积应变为编辑课件例题11一直径d=20mm的实心圆轴,在轴的的两端加扭矩Me=126N·m.在轴的外表上某一点A处用变形仪测出与轴线成-45°方向的应变=5.010-4,试求此圆轴材料的剪切弹性模量G.MeMeA45°x编辑课件解:围绕A点取一单元体A

1

3

-45°A编辑课件bhzb=50mmh=100mm例题13矩形外伸梁受力F1,F2作用.弹性模量E=200GPa,泊松比=0.3,F1=100KN,F2=100KN.求:〔1〕A点处的主应变1,2,3〔2〕A点处的线应变x,y,zaAF1F2F2l编辑课件解:梁为拉伸与弯曲的组合变形.A点有拉伸引起的正应力和弯曲引起的切应力.（拉伸）（负）A

x=20

x=30〔1〕A点处的主应变1，2，3编辑课件〔2〕A点处的线应变x,y,z编辑课件

§7-7复杂应力状态的应变能密度一、应变能密度的定义二、应变能密度的计算公式

1.单向应力状态下,物体内所积蓄的应变能密度为物体在单位体积内所积蓄的应变能.编辑课件将广义胡克定律代入上式,经整理得用vd表示与单元体形状改变相应的那局部应变能密度,称为畸变能密度用vV表示单元体体积改变相应的那局部应变能密度,称为体积改变能密度2.三个主应力同时存在时,单元体的应变能密度为应变能密度vε等于两局部之和编辑课件(a)

1

2

3(b)

m

m

m=(

1+

2+

3)/3代之以

m图〔a〕所示单元体的三个主应力不相等,因而,变形后既发生体积改变也发生形状改变.图〔b〕所示单元体的三个主应力相等,因而,变形后的形状与原来的形状相似,即只发生体积改变而无形状改变.编辑课件图b所示单元体的体积改变比能密度编辑课件a单元体的比能为a所示单元体的体积改变比能空间应力状态下单元体的畸变能密度(a)

1

2

3编辑课件一、强度理论的概念1.引言§7-8强度理论轴向拉压弯曲剪切扭转弯曲

切应力强度条件

正应力强度条件编辑课件〔2〕材料的许用应力,是通过拉〔压〕试验或纯剪试验测定试件在破坏时其横截面上的极限应力,以此极限应力作为强度指标,除以适当的平安因数而得,即根据相应的试验结果建立的强度条件.上述强度条件具有如下特点〔1〕危险点处于单向应力状态或纯剪切应力状态;2.强度理论的概念是关于“构件发生强度失效起因〞的假说.编辑课件根本观点构件受外力作用而发生破坏时,不管破坏的外表现象如何复杂,其破坏形式总不外乎几种类型,而同一类型的破坏那么可能是某一个共同因素所引起的.根据材料在复杂应力状态下破坏时的一些现象与形式,进行分析,提出破坏原因的假说.在这些假说的根底上,可利用材料在单向应力状态时的试验结果,来建立材料在复杂应力状态下的强度条件.编辑课件〔1〕脆性断裂:无明显的变形下突然断裂.二、材料破坏的两种类型〔常温、静载荷〕屈服失效

材料出现显著的塑性变形而丧失其正常的工作能力.2.断裂失效〔2〕韧性断裂:产生大量塑性变形后断裂.编辑课件引起破坏的某一共同因素形状改变比能最大切应力最大线应变最大正应力编辑课件根据:当作用在构件上的外力过大时，其危险点处的材料就会沿最大拉应力所在截面发生脆断破坏.

1.最大拉应力理论〔第一强度理论〕根本假说:最大拉应力1是引起材料脆断破坏的因素.脆断破坏的条件:

1=

b三、四个强度理论强度条件:

1[

编辑课件2.最大伸长线应变理论〔第二强度理论〕根据:当作用在构件上的外力过大时,其危险点处的材料就会沿垂直于最大伸长线应变方向的平面发生破坏.根本假说:最大伸长线应变1是引起材料脆断破坏的因素.脆断破坏的条件:最大伸长线应变:强度条件:编辑课件3.最大切应力理论〔第三强度理论〕根本假说:最大切应力max是引起材料屈服的因素.根据:当作用在构件上的外力过大时，其危险点处的材料就会沿最大切应力所在截面滑移而发生屈服失效.屈服条件在复杂应力状态下一点处的最大切应力为强度条件编辑课件4.畸变能密度理论〔第四强度理论〕根本假说:畸变能密度vd是引起材料屈服的因素.单向拉伸下,

1=

s,

2=

3=0,材料的极限值

强度条件:屈服准那么:编辑课件四、相当应力把各种强度理论的强度条件写成统一形式

r称为复杂应力状态的相当应力.编辑课件莫尔认为:最大切应力是使物体破坏的主要因素,但滑移面上的摩擦力也不可忽略〔莫尔摩擦定律〕.综合最大切应力及最大正应力的因素,莫尔得出了他自己的强度理论.§7-9莫尔强度理论一、引言编辑课件二、莫尔强度理论公式推导MO2OO1O3FNTL[

c][

t]

1

M´L´T´代入强度条件任意一点的应力圆假设与包络线相切,那么材料即将屈服或剪断.编辑课件1.适用范围〔2〕塑性材料选用第三或第四强度理论;〔3〕在二向和三向等拉应力时,无论是塑性还是脆性都发生脆性破坏,应选用第一或第二强度理论;三、各种强度理论的适用范围及其应用〔1〕一般脆性材料选用第一或第二强度理论;〔4〕在二向和三向等压应力状态时,无论是塑性还是脆性材料都发生塑性破坏,应选用第三或第四强度理论.编辑课件2.强度计算的步骤〔1〕外力分析:确定所需的外力值;〔2〕内力分析:画内力图,确定可能的危险截面;〔3〕应力分析:画危险截面应力分布图,确定危险点并画出单元体,求主应力;〔4〕强度分析:选择适当的强度理论,计算相当应力,然后进行强度计算.3.应用举例编辑课件例题15一蒸汽锅炉承受最大压强为p,圆筒局部的内径为D,厚度为d,且d远小于D.试用第四强度理论校核圆筒局部内壁的强度.p=3.6MPa,d=10mm,D=1m,[]=160MPa.p（a）Dyzd（b）编辑课件内壁的强度校核所以圆筒内壁的强度适宜.用第四强度理论校核圆筒内壁的强度

′

"

′

"

编辑课件例题16根据强度理论,可以从材料在单轴拉伸时的

可推知低碳钢类塑性材料在纯剪切应力状态下的

.解:纯剪切应力状态下

1=

,

2=0,

3=–

按第三强度理论得强度条件为：另一方面,剪切的强度条件是:所以[t

]=0.5

编辑课件[

]为材料在单向拉伸时的许用拉应力.材料在纯