2024届广东省深圳市南山区南头中学数学高一第二学期期末检测模拟试题含解析

2024届广东省深圳市南山区南头中学数学高一第二学期期末检测模拟试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A． B．C． D．2．已知，那么()A． B． C． D．3．已知四棱锥中，平面平面，其中为正方形，为等腰直角三角形，，则四棱锥外接球的表面积为（）A． B． C． D．4．已知中，，，为边上的中点，则()A．0 B．25 C．50 D．1005．“”是“、、”成等比数列的（）条件A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分又非必要6．函数的定义域为R，数列是公差为的等差数列，若，，则（）A．恒为负数 B．恒为正数C．当时，恒为正数；当时，恒为负数 D．当时，恒为负数；当时，恒为正数7．已知非零实数a，b满足，则下列不等关系一定成立的是（）A． B． C． D．8．将函数的图像上所有的点向左平移个单位长度，再把所得图像上各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变），得到函数的图像，则在区间上的最小值为（）A． B． C． D．9．已知三棱柱的底面为直角三角形，侧棱长为2，体积为1，若此三棱柱的顶点均在同一球面上，则该球半径的最小值为（）A．1 B．2 C． D．10．执行如图所示的程序框图，若输入，则输出（）A．13 B．15 C．40 D．46二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．圆台两底面半径分别为2cm和5cm，母线长为cm，则它的轴截面的面积是________cm2.12．设向量，定义一种向量积：.已知向量，点P在的图象上运动，点Q在的图象上运动，且满足（其中O为坐标原点），则的单调增区间为________.13．已知函数，若，则的取值围为_________.14．设函数，则________.15．设，，，，，为坐标原点，若、、三点共线，则的最小值是_______．16．已知球的一个内接四面体中，，过球心，若该四面体的体积为，且，则球的表面积的最小值为_________．三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．如图，在斜三棱柱中，侧面是边长为的菱形，平面，，点在底面上的射影为棱的中点，点在平面内的射影为证明：为的中点：求三棱锥的体积18．已知．（1）求的值：（2）求的值．19．的内角所对的边分别为，且．（1）求角；（2）若，且的面积为，求的值．20．已知的三个顶点，，.（1）求边所在直线的方程；（2）求边上中线所在直线的方程.21．已知为数列的前项和，.（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和.

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、C【解题分析】

先通过三视图找到几何体原图，再求几何体的体积得解.【题目详解】由题得该几何体是一个边长为4的正方体挖去一个圆锥（圆锥底面在正方体上表面上，圆锥顶部朝下），所以几何体体积为.故选：C【题目点拨】本题主要考查三视图还原几何体原图，考查组合体体积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.2、C【解题分析】试题分析：由，得.故选B．考点：诱导公式．3、D【解题分析】

因为为等腰直角三角形，,故,则点到平面的距离为,而底面正方形的中心到边的距离也为,则顶点正方形中心的距离,正方形的外接圆的半径为,故正方形的中心是球心,则球的半径为,所以该几何体外接球的表面积,应选D．4、C【解题分析】

三角形为直角三角形，CM为斜边上的中线，故可知其长度，由向量运算法则，对式子进行因式分解，由平行四边形法则，求出向量，由长度计算向量积.【题目详解】由勾股定理逆定理可知三角形为直角三角形，CM为斜边上的中线，所以，原式=.故选C.【题目点拨】本题考查向量的线性运算及数量积，数量积问题一般要将两个向量转化为已知边长和夹角的两向量，但本题经化简能得到共线的两向量所以直接根据模的大小计算即可.5、B【解题分析】

利用充分必要条件直接推理即可【题目详解】若“、、”成等比数列，则；成立反之，若“”，如果a=b=G=0则、、”不成等比数列，故选B．【题目点拨】本题考查充分必要条件的判定，熟记等比数列的性质是关键，是基础题6、A【解题分析】

由函数的解析式可得函数是奇函数，且为单调递增函数，分和两种情况讨论，分别利用函数的奇偶性和单调性，即可求解，得到结论．【题目详解】由题意，因为函数，根据幂函数和反正切函数的性质，可得函数在为单调递增函数，且满足，所以函数为奇函数，因为数列是公差为的等差数列，且，则①当时，由，可得，所以，所以，同理可得：，所以，②当时，由，则，所以综上可得，实数恒为负数．故选：A．【题目点拨】本题主要考查了函数的单调性与奇偶性的应用，以及等差数列的性质的应用，其中解答中合理利用等差数列的性质和函数的性质求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题．7、D【解题分析】

根据不等式的基本性质，一一进行判断即可得出正确结果．【题目详解】A.，取，显然不成立，所以该选项错误；B.，取，显然不成立，所以该选项错误；C.，取，显然不成立，所以该选项错误；D.，由已知且，所以，即．所以该选项正确.故选：．【题目点拨】本题考查不等式的基本性质，属于容易题．8、A【解题分析】

先按照图像变换的知识求得的解析式，然后根据三角函数求最值的方法，求得在上的最小值.【题目详解】图像上所有的点向左平移个单位长度得到，把所得图像上各点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变）得到，由得，故在区间上的最小值为.故选A.【题目点拨】本小题主要考查三角函数图像变换，考查三角函数值域的求法，属于基础题.9、D【解题分析】

先证明棱柱为直棱柱，再求出棱柱外接球的半径，利用基本不等式求出其最小值.【题目详解】∵三棱柱内接于球，∴棱柱各侧面均为平行四边形且内接于圆，所以棱柱的侧棱都垂直底面，所以该三棱柱为直三棱柱.设底面三角形的两条直角边长为，，∵三棱柱的高为2，体积是1，∴，即，将直三棱柱补成一个长方体，则直三棱柱与长方体有同一个外接球，所以球的半径为.故选D【题目点拨】本题主要考查几何体外接球的半径的计算和基本不等式求最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.10、A【解题分析】

模拟程序运行即可．【题目详解】程序运行循环时，变量值为，不满足；，不满足；，满足，结束循环，输出．故选A．【题目点拨】本题考查程序框图，考查循环结构．解题时可模拟程序运行，观察变量值的变化，判断是否符合循环条件即可．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、63【解题分析】

首先画出轴截面，然后结合圆台的性质和轴截面整理计算即可求得最终结果.【题目详解】画出轴截面，如图，过A作AM⊥BC于M，则BM＝5－2＝3(cm)，AM＝＝9(cm)，所以S四边形ABCD＝＝63(cm2)．【题目点拨】本题主要考查圆台的空间结构特征及相关元素的计算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.12、【解题分析】

设，，由求出的关系，用表示，并把代入即得，后利用余弦函数的单调性可得增区间．【题目详解】设，，由得：，∴，，∵，∴，，即，令，得，∴增区间为．故答案为：．【题目点拨】本题考查新定义，正确理解新定义运算是解题关键．考查三角函数的单调性．利用新定义建立新老图象间点的联系，求出新函数的解析式，结合余弦函数性质求得增区间．13、【解题分析】

由函数，根据，得到，再由，得到，结合余弦函数的性质，即可求解.【题目详解】由题意，函数，又由，即，即，因为，则，所以或，即或，所以实数的取值围为.故答案为：.【题目点拨】本题主要考查了余弦的倍角公式，以及三角不等式的求解，其中解答中熟练应用余弦函数的性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.14、【解题分析】

利用反三角函数的定义，解方程即可．【题目详解】因为函数，由反三角函数的定义，解方程，得，所以.故答案为：【题目点拨】本题考查了反三角函数的定义，属于基础题．15、【解题分析】

根据三点共线求得的的关系式，利用基本不等式求得所求表达式的最小值.【题目详解】依题意，由于三点共线，所以，化简得，故，当且仅当，即时，取得最小值【题目点拨】本小题主要考查三点共线的向量表示，考查利用基本不等式求最小值，属于基础题.16、【解题分析】

求出面积的最大值，结合棱锥的体积可得到平面距离的最小值，进一步求得球的半径的最小值得答案．【题目详解】解：在中，由，且，

得，得．

当且仅当时，有最大值1．

过球心，且四面体的体积为1，

∴三棱锥的体积为．

则到平面的距离为．

此时的外接圆的半径为，则球的半径的最小值为，

∴球O的表面积的最小值为．

故答案为：．【题目点拨】本题考查多面体外接球表面积最值的求法，考查逻辑思维能力与推理运算能力，考查空间想象能力，是中档题．三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）详见解析（2）【解题分析】

（1）先证平面平面，说明平面且，根据菱形的性质即可说明为的中点．（2）根据，即求出即可．【题目详解】（1）证明：因为面，平面，所以平面平面；交线为过作，则平面，又是菱形，，所以为的中点（2）由题意平面【题目点拨】本题考查面面垂直的性质定理，利用等体积转换法求三棱锥的体积，属于基础题．18、（1）；（2）【解题分析】

(1)利用平方关系、诱导公式以及诱导公式即可求解;(2)利用辅助角公式以及二倍角的正弦公式化简即可求值.【题目详解】（1）因为且所以；（2）．【题目点拨】本题主要考查了三角函数的化简与求值，关键是利用诱导公式、同角三角函数的基本关系以及辅助角公式来求解，属于中档题.19、（1）（2）【解题分析】

（1）对等式，运用正弦定理实现边角转化，再利用同角三角函数关系中的商关系，可求出角的正切值，最后根据角的取值范围，求出角；（2）由三角形面积公式，可以求出的值，最后利用余弦定理，求出的值．【题目详解】（1）∵，∴，∵，∴，∴，∴在中；（2）∵的面积为，∴，∴，由余弦定理，有，∴．【题目点拨】本题考查正弦定理、余弦定理、三角形面积公式，考查了数学运算能力.20、（1）（2）【解题分析】

（1）由直线的两点式方程求解即可；（2）先由中点坐标公式求出中点的坐标，再结合直线的两点式方程求解即可.【题目详解】（1）因为，，由直线的两点式方程可得：边所在直线的方程，化简可得；（2）由，，