导数和应用单元测试卷

第三章单元测试卷

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题中只有一项符合题目要求）

1.若曲线），=於）在点（xo,应3）处的切线方程为3尤一y+l=0,则（）

A.f（xo）VOB.f（xo）＞O

C.fU；）=0D./（xo）不存在

答案B

2.设曲线在点（3,2）处的切线与直线数+丫+1=0垂直，则实数“等于（）

A.2B.；

C.-3D.-2

答案D

.x+1x—1+2.2

解析•y=7=\-=1+r,

X—1X—1X—1

.•.y'=_（/]）2,...曲线）二三；在点（3,2）处的切线的斜率为仁“尸3=一；.

由题意知ar+y+l=O的斜率为/=2,：.a=~2,故选D.

3.函数y=xe、的单调递增区间是（）

A.[-1,+8）B.（-8,-I]

C.[1,+8）D.（一8,1]

答案A

解析令y'=ev（l+x）＞0,又e》＞0,二l+x20,故选A.

4.若三次函数＞=/一》在R上是减函数，则（）

A.B.a=1

C.a=2D.

答案A

解析=3or2—1,由y'W0,得3加一1WO./.oWO.

元+1（—IWxWO）,p

5.已知函数一兀则3爪幻口=（）

1

-

A.2B.

D.

3

c-

2

答案D

解析J/(x)<Lv=j(x+1)(Lv+Jcos.v(lv=(*+、)

I+siurI2=;+1=^-,故选D.

1-i1o22

6.若函数於)=2'+12，且/(〃)=0,则2%12a=()

A.1B.-1

C.-ln2D.In2

答案B

解析f(x)=2'ln2+p由/'3)=232+!=0,得2"ln2=—,则。2%ln2=-l,即2"ln2"=-L

7.已知函数/U)=e'—的图像为曲线C,若曲线C存在与直线>=%垂直的切线，则实数”的

取值范围是()

A.mW2B.m>2

C.〃2<-3D.m>~^

答案B

解析因为函数y(x)=eX—/nx+1的图像为曲线C,若曲线C存在与直线y=5垂直的切线，即说明

e‘一机=—2有解，.../M=e'+2,则实数，"的取值范围是，">2,故选B.

8.若函数y(x)=f+ar++在4+8)上是增函数，则实数”的取值范围是()

A.[-l,0JB.1-1,+8)

C.[0,3]D.[3,+°0)

答案D

解析由条件知/(x)=2r+a—5.O在g,+8)上恒成立，即a.,-2x在g,+8)上恒成立.：

函数y=5一2x在(点+8)上为减函数，.•.ymax<T--2X^=3.；.aN3.故选D.

,一@-

9.设三次函数兀0的导函数为，(x),函数y=x/(x)的图像的一部分如图所示，贝11()

A.7(x)的极大值为_/(正，极小值为人一小)

B.7U)的极大值为人一事)，极小值为H小)

C.y(x)的极大值为/一3),极小值为43)

D.7U)的极大值为人3),极小值为.八一3)

答案D

解析由函数y=x/(x)的图像可知，

xC(—8,-3),f(x)<0,4x)单调递减；

xG(-3,3),/'(x)>0,./U)单调递增；

xG(3,+~),f(x)<0,兀v)单调递减，，选D.

Inr

10.若人了)=不,e<a<b,则()

A.氏a)>氏b)B.fi.a)=j[b}

c.九)勺(切D.(份>1

答案A

解析f(x)=—^―，当x>e时，fW<0,

则於)在(e,+8)上为减函数，为a)习3),故选A.

11.若a>2,则函数段)=¥一渡+1在区间(0,2)上恰好有()

A.0个零点B.1个零点

C.2个零点D.3个零点

答案B

解析•"。)=*一2血且。>2,

:.当x©(0,2)时，f(x)<0,

即火t)在(0,2)上是单调减函数.

又..7(0)=1>0,X2)=y-4a<0,

.•次X)在(0,2)上恰好有1个零点.故选B.

12.已知函数/U)=—/+加+桁(a，6GR)的图像如图所示，它与x轴相切于原点，且x轴与函数图像

所围成区域(图中阴影部分)的面积为击，则。的值为()

C.ID.-2

答案A

解析方法一：因为r(X)=—3f+2ox+b,函数7U)的图像与元轴相切于原点，所以/(0)=0,即

=0,所以人工)=一犬+依2,令加:)=0,得x=o或x=a(〃<0),因为函数应¥)的图像与X轴所围成区域的面

积为告，所以£(——吉，所以(一%：4+；ar3)|9=一七，所以。=—1或。=1(舍去)，故选A.

方法二：因为/'(x)=-3/+2办+6,函数式x)的图像与x轴相切于原点，所以，(0)=0,即6=0,

所以«r)=一炉+加.若4=0,则y(x)=—%3,与x轴只有一个交点(0,0),不符合所给的图像，排除B；若〃

=1,则犬X)=—2+f=一』(x-l),与x轴有两个交点(0,0),(1,0),不符合所给的图像，排除C；若。=

—2,则所围成的面积为一J-2(—X3—2x2)dx=(|x4+|x3)l-2=gw*,排除D.故选A.

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)

13.已知曲线丫=一*+2与曲线)，=4/-1在*=沏处的切线互相垂直，则刈的值为.

答案I

解析I•两曲线在沏处切线互相垂直，

(-A3)-(8XO)——1..,.xo—2,

14.已知y(x)=x(l+|x|),则/⑴•/(―1)=.

答案9

解析当x20时，式x)=/+x,/(x)=2x+l,

则/(1)=3.

当x<0时，fi.x)=x-x2,f(x)=l-2x,则，(-1)=3,(1)/(-1)=9.

3Tl3

15.已知函数/(x)=orsinx-1(aWR),若对xG[0,辛，式x)的最大值为一yS则

(1)实数。的值为；

(2)函数1x)在(0,兀)内的零点个数为.

答案(1)1(2)2

解析因为/(x)=a(siar+xcosx),当aWO时，/)在xe[0,与上单调递减，最大值我)=一1,不适

合题意，所以”>0,此时段)在工目0,争上单调递增，最大值后)=枭一,=写三解得。=1,符合题意，

33

故〃=LyU)=xsinx—2在工£(0,兀)上的零点个数即为函数y=sirtK,y=水:的图像在x《(0,兀)上的交点个数.又

717r33

x=5时，sin2=l>->0,所以两图像在x£(0,兀)内有2个交点，即/U)=xsinx-]在x£(0,兀)上的零点个数

是2.

16.若对定义在R上的函数/U),对任意两个不相等的实数垃，都有/成即)+工以及)>式仅12)+也/(乃)，

则称函数7U)为““函数”.给出下列函数：

①y=一炉+1+1;®y=3x_2(sinx-cosx)；

[ln|x|,xWO,

③产e，+l;④加)=[°,A。.

以上函数是“H函数”的所有序号为.

答案②③

解析因为犬次为)+足/('2)>工1/('2)+M/(»),即(用一X2)[/Ul)—/('2)]>0,

所以函数人尤)在R上是增函数.由y'=-3f+l>0,得一坐V0亭，即函数在区间(一坐，坐)上是

增函数，故①不是函数"；由y'=3-2(cosx+siiw)=3—26sin(x+/23—2吸>0恒成立，所以②为

"H函数”；

由<=e*>0恒成立，所以③为“”函数”；由于④为偶函数，所以不可能在R上是增函数，所以不

是函数”.综上可知，是“”函数”的有②③.

三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17.(本题满分10分)

已知函数_/(犬)="/+"11%在x=1处有极值生

(1)求a,b的值；

(2)判断函数y=/(x)的单调性并求出单调区间.

答案b=\(2)单调递减区间是(0,1),单调递增区间是(1,+8)

解析(1)因为函数_/0)=加+例0¥,

所以/'(x)=2ox+§

又函数y(x)在x=i处有极值;，

(1)=0,伊+〃=0,(1=\

所以｛1即｛1解得(2，

[川)=2.&=亍[/,=-1.

(2)由(1)可知其定义域是(0,+°°),且/(x)=x_：=a+?-

当X变化时，/'(X),兀0的变化情况如下表：

X(0,1)1(1.+°°)

fw一0+

fix)极小值

所以函数y=/(x)的单调递减区间是(0,1),单调递增区间是(1,+8).

18.(本题满分12分)

已知函数fix)=/—mlnx.

(1)若函数Ar)在(；，+8)上是单调递增的，求实数〃?的取值范围;

(2)当山=2时，求函数人x)在[1,e]上的最大值和最小值.

1e2—4

答案⑴机⑵最大值二―，最小值lTn2

解析(1)若函数,/(X)在g,+8)上是增函数，则，(X)20在g,+8)上恒成立.

而/(x)=x—即mW/在g,+8)上恒成立，即mW：.

2—2

(2)当m=2时，/(x)=x—-=~^—.

令f'(%)—0,得%—±^2.

当xC［l,g)时，/(x)<0,当e)时，/(x)>0,故尸也是函数於)在［1,e］上唯一的极小值

点，故,/U)min=/(啦)=1-皿2.又/(1)=2,./(©)=”2—2=下一>£,故五戏皿二一.

19.(本题满分12分)

(2014.江西理)已知函数於)=(『+bx+byy)\-2x(bSR).

(1)当6=4时，求/U)的极值；

f

上单调递增，求实数匕的取值范围.

答案⑴极小值为0,极大值为4(2)(—8,1]

,.-5Mx+2)

解析⑴当),24时'/。尸飞='

由/(尤)=0,得x=-2或x=0.

当XG(-8,—2)时，f(x)<0,负外单调递减;

当xG(—2,0)时，f(x)>0,丸x)单调递增;

当xe(o,|

时，/(x)V0,人力单调递减,

故人盼当》=一2时取得极小值五-2)=0,

在当x=0时取得极大值，如))=4.

一巾吐仃广)]

(2»‘(x)=

yjl—2x

因为当工£((),;)时—X

,I<0,

71-2x

依题意当x£(0,时，有5x+(3/?—2)<0,

从而1+(3b-2)W0.

所以实数b的取值范围为(一8,।.

20.(本题满分12分)

己知函数_/(x)=lar,g(x)=(x—a)2+(\nx—a)2.

⑴求函数危)在A(l,0)处的切线方程；

(2)若g'(x)在口，+8)上单调递增，求实数〃的取值范围：

(3)证明：g(x)》；.

答案(l)y=x—1(2)a2一2(3)略

解析(1)因为/(x)=：,所以/'(1)=1.

故切线方程为y=x-l.

(2)g'(x)=2(x-：+肾一a),

令尸(x)=x—£+乎一a,则y=F(x)在口，+8)上单调递增.

F'(x)—~~1n1,则当时，x2—lnx+a+120恒成立，

即当元N1时，a2—f+lnx—1恒成立.

令G(x)=—f+lnx—1,则当时，G'(%)=­――^<0,

故G(x)=—j^+lnx—1在[1,+8)上单调递减.

从而G(x)max=G(l)=-2.

故aG(x)max=-2.

(3)证明：^(x)=(x~a)2+(Inr—a)1

=2a1—2{x+\nx)a-\-x1+\vrxy

(X-]fLX)2

令/i(a)=2a2-2(x+liir)a+x2+ln2x,则以〃)21—广~.

1x-1

令Q(x)=x—lnx,则Q'(x)=l=丁，显然Q(x)在(0,1)上单调递减，在(1,+8)上单调递增,

则Q(X)min=Q(D=l.

则g(x)=h(a)*.

21.(本题满分12分)

己知函数火x)=ln(x+〃?)+2x2在点p(0,7(0))处的切线方程与直线x+y=0垂直.

(1)若Vxi>X2>一“3兀⑴一/(>2)>。出一工2)恒成立，求实数〃的取值范围；

⑵当x>0时，求证：ln(x+l)+*>；(9x—5).

答案(1)(一8,0]⑵略

解析(1)函数y(x)的定义域为(一根，+°°).

，。)==4+以，故函数式工)在点P(O,共0))处的切线斜率左=/(o)=±=i,即!=1，解得机=i.故

/(X)=ln(x+1)+2*.

由於1)—/X2)>a(Xl—X2),得加1)-0X1/X2)—0X2.

故由题意可得g(x)=/(x)—ax在(一1,+8)上为增函数.

故g'(x)=f在(-1，+8)上恒成立，即汁y+4x-a20在(-1,+8)上恒成立。

故aW，7[+4x在(-1,+8)上恒成立.

设P(X)=7^7+4X=^TY+4(X+1)—4,

因为x+1>0,所以嚏]j+4(x+1)—422^JjX4(x+1)—4=0.

所以实数a的取值范围是(一8,0J.

⑵设h(x)=ln(x+1)+2X2-1(9x-5).

192+8x(x+l)—9(x+l)8f—x—7(8x+7)(l)

则〃(x)=RT+4x—2=元而=2(x+l)=2(x+l),

7

令人'(x)=0,解得x=-R或x=l.

故当xG(0,l)时，h'(x)<0,函数Mx)单调递减;

当xG(l,+8)时，h'(x)>0,函数/z(x)单调递增.

2

所以函数/i(x)在(0,+8)上的最小值为/J(l)=ln(l+l)+2Xl-1x(9Xl-5)=ln2>0.

故〃(尤)>0,即皿尤+1)+2/一如-5)>0,也就是1出+1)+2*>昴:-5).

22.(本题满分12分)

设函数/(