高中数学讲义（人教A版必修二）：第11讲 平面几何的向量方法（教师版）

第11讲平面几何的向量方法目标导航目标导航课程标准课标解读1.能用向量方法解决简单的几何问题.2.能用向量方法解决简单的几何应用类问题和其他实际问题.3.体会向量在解决几何在生活中的实际问题中的作用，培养学生的运算、分析和解决实际问题的能力．1.在系统学习向量知识的基础上，能用向量方法解决简单的几何问题.2.提升学生实际问题中的知识抽象，能用向量方法解决简单的几何应用类问题和其他实际问题.3.体会向量在解决几何问题在生活中的实际问题中的作用，培养学生的运算、分析和解决实际问题的能力．知识精讲知识精讲知识点向量方法解决平面几何问题的步骤用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”：(1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题．(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题．(3)把运算结果“翻译”成几何关系．【即学即练1】已知点A(－2，－3)，B(19,4)，C(－1，－6)，则△ABC是()A．等腰三角形 B．等边三角形C．直角三角形 D．等腰直角三角形答案C解析eq\o(AB,\s\up6(→))＝(19,4)－(－2，－3)＝(21,7)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(－1，－6)－(－2，－3)＝(1，－3)，eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝21－21＝0，∴eq\o(AB,\s\up6(→))⊥eq\o(AC,\s\up6(→)).则∠A＝90°，又|eq\o(AB,\s\up6(→))|≠|eq\o(AC,\s\up6(→))|，∴△ABC为直角三角形．反思感悟用向量证明平面几何问题的两种基本思路(1)向量的线性运算法的四个步骤：①选取基底；②用基底表示相关向量；③利用向量的线性运算或数量积找到相应关系；④把计算所得结果转化为几何问题．(2)向量的坐标运算法的四个步骤：①建立适当的平面直角坐标系；②把相关向量坐标化；③利用向量的坐标运算找到相应关系；④利用向量关系回答几何问题．能力拓展能力拓展考法01利用向量证明平面几何问题【典例1】如图所示，在平行四边形ABCD中，BC＝2BA，∠ABC＝60°，作AE⊥BD交BC于点E，求BE∶EC.解析方法一设eq\o(BA,\s\up6(→))＝a，eq\o(BC,\s\up6(→))＝b，|a|＝1，|b|＝2，则a·b＝|a||b|cos60°＝1，eq\o(BD,\s\up6(→))＝a＋b.设eq\o(BE,\s\up6(→))＝λeq\o(BC,\s\up6(→))＝λb，则eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\o(BE,\s\up6(→))－eq\o(BA,\s\up6(→))＝λb－a.由AE⊥BD，得eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(BD,\s\up6(→))＝0，即(λb－a)·(a＋b)＝0，解得λ＝eq\f(2,5)，所以BE∶EC＝eq\f(2,5)∶eq\f(3,5)＝2∶3.方法二以B为坐标原点，BC所在直线为x轴建立平面直角坐标系，设B(0,0)，C(2,0)，则Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(\r(3),2)))，Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)，\f(\r(3),2))).设E(m,0)，则eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)，\f(\r(3),2)))，eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(m－\f(1,2)，－\f(\r(3),2)))，由AE⊥BD，得eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(BD,\s\up6(→))＝0，即eq\f(5,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(m－\f(1,2)))－eq\f(\r(3),2)×eq\f(\r(3),2)＝0，解得m＝eq\f(4,5)，所以BE∶EC＝eq\f(4,5)∶eq\f(6,5)＝2∶3.【变式训练】在四边形ABCD中，若eq\o(AC,\s\up6(→))＝(1,3)，eq\o(BD,\s\up6(→))＝(－6,2)，则该四边形的面积为()A.eq\r(5)B．2eq\r(5)C．5D．10答案D解析∵eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(BD,\s\up6(→))＝0，∴AC⊥BD.∴四边形ABCD的面积S＝eq\f(1,2)|eq\o(AC,\s\up6(→))||eq\o(BD,\s\up6(→))|＝eq\f(1,2)×eq\r(10)×2eq\r(10)＝10.考法02利用平面向量求几何中的长度问题【典例2】在平行四边形ABCD中，AD＝1，AB＝2，对角线BD＝2，求对角线AC的长．解析设eq\o(AD,\s\up6(→))＝a，eq\o(AB,\s\up6(→))＝b，则eq\o(BD,\s\up6(→))＝a－b，eq\o(AC,\s\up6(→))＝a＋b，而|eq\o(BD,\s\up6(→))|＝|a－b|＝eq\r(a2－2a·b＋b2)＝eq\r(1＋4－2a·b)＝eq\r(5－2a·b)＝2，∴5－2a·b＝4，∴a·b＝eq\f(1,2)，又|eq\o(AC,\s\up6(→))|2＝|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝1＋4＋2a·b＝6，∴|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝eq\r(6)，即AC＝eq\r(6).反思感悟用向量法求长度的策略(1)根据图形特点选择基底，利用向量的数量积转化，用公式|a|2＝a2求解．(2)建立坐标系，确定相应向量的坐标，代入公式：若a＝(x，y)，则|a|＝eq\r(x2＋y2).【变式训练】在△ABC中，已知A(4,1)，B(7,5)，C(－4,7)，则BC边上的中线AD的长是()A．2eq\r(5) B.eq\f(5\r(5),2)C．3eq\r(5) D.eq\f(7\r(5),2)答案B解析∵BC的中点为Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，6))，eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,2)，5))，∴|eq\o(AD,\s\up6(→))|＝eq\f(5\r(5),2).考法03平面几何中的平行(或共线)问题【典例3】如图，点O是平行四边形ABCD的中心，E，F分别在边CD，AB上，且eq\f(CE,ED)＝eq\f(AF,FB)＝eq\f(1,2).求证：点E，O，F在同一直线上．证明设eq\o(AB,\s\up6(→))＝m，eq\o(AD,\s\up6(→))＝n，由eq\f(CE,ED)＝eq\f(AF,FB)＝eq\f(1,2)，知E，F分别是CD，AB的三等分点，∴eq\o(FO,\s\up6(→))＝eq\o(FA,\s\up6(→))＋eq\o(AO,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→))＝－eq\f(1,3)m＋eq\f(1,2)(m＋n)＝eq\f(1,6)m＋eq\f(1,2)n，eq\o(OE,\s\up6(→))＝eq\o(OC,\s\up6(→))＋eq\o(CE,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(m＋n)－eq\f(1,3)m＝eq\f(1,6)m＋eq\f(1,2)n.∴eq\o(FO,\s\up6(→))＝eq\o(OE,\s\up6(→)).又O为eq\o(FO,\s\up6(→))和eq\o(OE,\s\up6(→))的公共点，故点E，O，F在同一直线上．反思感悟(1)利用向量方法可以解决平面几何中的平行(共线)等问题，有两种思路：一种思路是选择一组基底，利用基向量表示涉及的向量，另一种思路是建立坐标系，求出题目中涉及的向量的坐标．(2)通过用向量方法解决平面几何问题，培养数学建模、逻辑推理素养．分层提分分层提分题组A基础过关练1．在平面四边形ABCD中，，，则该四边形的面积为（

）A． B． C．13 D．26【答案】C【详解】∵，∴AC⊥BD，所以四边形ABCD面积为：.故选：C.2．在中，若，则的形状是（

）A．为钝角的三角形B．为直角的直角三角形C．锐角三角形D．为直角的直角三角形【答案】D【详解】在中，，，，则为直角三角形，故选：D．3．在中，若，则的形状是（

）A．∠C为钝角的三角形 B．∠B为直角的直角三角形C．锐角三角形 D．∠A为直角的直角三角形【答案】D【详解】因为，所以，即，所以，∠A=90°，则△ABC的形状是∠A为直角的直角三角形．故选：D．4．中,设,若,则的形状是A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定【答案】C【详解】解：∵，∴，∴角为钝角，故选：C．5．已知的面积为2,在所在的平面内有两点、,满足,,则的面积为（

）A． B． C．1 D．2【答案】B【详解】解:由题意可知,为的中点,,可知为的一个三等分点,如图：因为.所以.故选:B.6．若,且,则四边形是A．平行四边形 B．菱形 C．等腰梯形 D．非等腰梯形【答案】C【详解】解：∵，∴，，∵，∴四边形是等腰梯形，故选：C．7．已知向量，向量，则的形状为(

)A．等腰直角三角形 B．等边三角形 C．直角非等腰三角形 D．等腰非直角三角形【答案】A【详解】由题意，，，，而，∴是等腰直角三角形．故选：A．8．已知是内的一点，且，若和的面积分别为，则的最小值是A． B． C． D．【答案】B【详解】试题分析：利用向量的数量积的运算求得bc的值，利用三角形的面积公式求得x+y的值，进而把转化为利用基本不等式求得的最小值即可．因为，，所以故选B．9．已知，且与夹角为钝角，则的取值范围___________.【答案】且【详解】由于与夹角为钝角，所以，解得且.所以的取值范围是且.故答案为：且10．已知向量，，若与的夹角为锐角，则的取值范围为__________.【答案】【详解】因为与的夹角为锐角，则且与不共线（平行），则有，所以解得：故答案为：11．向量与向量的夹角为钝角，则的取值集合为__.【答案】【详解】解：∵向量，，若向量与向量夹角为钝角，∴，且与

不共线，即

且，即

且.故答案为：.12．已知,，与的夹角为钝角，则的取值范围是_____;【答案】【分析】与的夹角为钝角，即数量积小于0.【详解】因为与的夹角为钝角，所以与的数量积小于0且不平行.且所以13．如图，正六边形的边长为1，______．【答案】-1【详解】由正六边形性质，，.故答案为：-1.14．已知位置向量,,的终点分别为,,,试判断的形状.【答案】为等腰直角三角形【详解】，，，，,,所以为等腰直角三角形.题组B能力提升练1．若函数的图像按向量平移后，得到函数的图像，则向量（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】因为函数的图像向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到函数的图像，所以.故选：A2．已知和是平面内两个单位向量，且，若向量满足，则的最大值是（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】如图所示：设，，，则，，因为，所以，即.所以在以为直径的圆上.设的中点为，因为和是平面内两个单位向量，且，所以，.所以.故选：B3．已知点在单位圆上运动，且，若点的坐标为，则的最大值为（

）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】B【详解】因为点在单位圆上且，所以点是单位圆直径两端，故O为中点，所以而当B点在PO连线的延长线上时取得最大值，此时，所以.故选：B.4．以为顶点的三角形是（

）A．锐角三角形 B．以为直角顶点的直角三角形C．以为直角顶点的直角三角形 D．钝角三角形【答案】C【详解】，，，，满足,且，所以是以为直角顶点的直角三角形.故选：C5．在空间四边形ABCD中，M，G分别是BC，CD的中点，则（

）A． B．2 C．3 D．3【答案】D【详解】因为M，G分别是BC，CD的中点，由三角形中位线的性质可得：，又因为，所以，故选：.6．在中，满足，是的中点，若是线段上任意一点，且，则的最小值为（）A． B． C． D．【答案】C【详解】由，，为等腰直角三角形，以为原点，，为轴和轴建立直角坐标系，如图所示，，，，是的中点，，是线段上任意一点，可设，，，，，，，故当时，的最小值为，故选：C．7．已知平面向量，，满足，且，则的最大值为________．【答案】##2.5【详解】由题意，，又，故，故，由向量模长的三角不等式，，即，解得：，则的最大值为.故答案为：8．数学中处处存在着美，机械学家菜洛发现的菜洛三角形就给人以对称的美感.莱洛三角形是以正三角形的三个顶点为圆心，正三角形的边长为半径画圆弧得到的.已知，点为上一点，则的最小值为______.【答案】##【详解】设为的中点，为的中点，如图所示，所以因为，所以，的最小值为.故答案为：9．边长为4的正三角形，为边的中点，若在边上运动（点可与重合），则的最小值为___________.【答案】##5.75【详解】由于,所以,设，则，当时，取最小值，且最小值为，故答案为：10．已知O是内部一点，且满足，又，则的面积为______.【答案】【详解】由及得，所以，所以.又，且O在内，所以O为的重心，所以.故答案为：11．在中，为中线上的一个动点，若，则的取值范围是_____．【答案】【详解】因为是的中线，所以，故，因为，设，则，所以，故当时，取得最小值，最小值为，当或3时，.故答案为：.12．已知向量，，，若，则________；若与的夹角为钝角，则的取值范围为_________.【答案】

【详解】由题，，若，所以，则；若与的夹角为钝角，则且，所以且，即，故答案为：；题组C培优拔尖练1．在梯形ABCD中，，，，，若EF在线段AB上运动，且，则的最小值为（

）A．5 B． C．4 D．【答案】D【详解】建立如图所示的坐标系,则,设,则,且,故当时,的最小值为,故选：D.2．已知平面向量满足，且，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】建立如图所示直角坐标系，由题意可设，，则，，由得，故C在以为圆心，半径为1的圆上，取，则在AD上，则，又，∴，∴，即，∴.故选：D3．（多选）已知向量，设的夹角为，则（

）A． B．C． D．【答案】ABD【详解】根据题意，，则，对于A，，则成立，A正确；对于B，，则，即，B正确；对于C，不成立，C错误；对于D，，则，，则，，则，D正确；故选：ABD.4．（多选）窗花是贴在窗子或窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图1是一个正八边形窗花隔断，图2是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图．已知正八边形ABCDEFGH的边长为1，P是正八边形ABCDEFGH边上任意一点，则（

）A．与能构成一组基底 B．C．在向量上的投影向量的模为 D．的最大值为【答案】BCD【详解】连接AF，因为，故，因为，故，故，以所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，则故，故，所以与平