高中三角函数专题练习题含答案

高中三角函数专题练习题含答案

一、填空题

1.在锐角三角形ABC中，角A、B、C的对边分别为“、b、c,且满足层-/二区，则

2.在1BC中，AB=yfj,BC=2y/3,cosZBAC=y,动点。在AABC所在平面内且

NBDC卷.给出下列三个结论：①△BCO的面积有最大值，且最大值为君；②线段

AO的长度只有最小值，无最大值，且最小值为1;③动点。的轨迹的长度为与.其中正

确结论的序号为.

3.三棱锥尸-ABC中，R4J_平面ABC,直线PB与平面43c所成角的大小为30。，

48=2£，ZAC3=60。，则三棱锥P-A3C的外接球的表面积为.

4.y=log/sin(x+()的单调增区间为.

5.在AA8C中，sinB=2sinC,BC=2.则诬.而的取值范围为.(结果用区

间表示)

6.已知函数〃x)=2sin(5+］|®>0),若“X)的图象关于直线x=g对称，且在

(请,上单调，则0的最大值是______.

7.平面向量£,b，"满足卜|=卜_、=卜|=1,F+a-c+^y|fe-c

a-b+\t\-1一__、2

航=。+/，则仅-。)=一•

8.已知空间单位向量不,不，.，,+勾=厘+m=2,+.+W+q=i,则［4的

最大值是___________.

9.若向量石;满足：+丁=；,则<+；|3+到的最大值是_______

10.已知P是直线3x+4y+13=0上的动点，PA,PB是圆(x-1)?+(y-1)2=1的切线，A,B

是切点，C是圆心，那么四边形%CB面积的最小值是________.

二、单选题

11.已知函数f(X)=sin(<OX+§J(0>O^-,7t上恰有3个零点则。的取值范围是

()

A-匕-8与11)卜(,A向14^B.［「丁11卜八仁「14石17)

1714八11772200

C.D.

33J3333

12.已知A（-l,0）,5（3,0）,。是圆。:炉+/=45上的一个动点，则sinNAP8的最大值

为（)

「V3

A.在L..----D.如

3B-T44

13.若方程/+2x+m2+3m=mcos（x+l）+7有且仅有1个实数根，则实数m的值为（）

A.2B.-2C.4D.-4

■4=1一gMA,

14.已知△ABC的内角分别为AB,C,且△ABC的内切圆面积为4,

26

I,UlULlUU,,,一,

则AB-AC的最小值为（）

A.6B.8C.10D.12

15.如图所示，已知△ABC,。是A8的中点，沿直线8将△ACO翻折成△ACO,所成

二面角A—CD—B的平面角为a,则（)

ZA'DB>aC.ZA'CB<aD."CBNa

16.如图所示，在直三棱柱ABC-ABC中，AA,=\,AB=BC=+,cosZABC=-,P

3

是AB上的一动点，则AP+PG的最小值为（）

C.1+6D.3

/v2

%+方=1（。＞6〉0）的左、右焦点，点M在直线

/:%=-〃上运动，若N-M居的最大值为60。，则椭圆。的离心率是（）

1

A，3B-IC.TDT

18.如图，将矩形纸片ABC。折起一角落（△口F）得到△口/,记二面角A-所-。的大

小为直线4E,4尸与平面88所成角分别为a,夕，则().

A.a+p>0B.(3<0

C.a+/>—D.a+尸>26

19.已知函数/(x)=3sin(3+0)3>(),|0|<%),/(4)=/(2)-6,且八元)在［2,4］上单调.设

函数g(x)=/(XHl,且g(x)的定义域为［-5网，则gW的所有零点之和等于()

A.0B.4C.12D.16

TT

20.已知人、6是椭椭圆和双曲线共有焦点，尸为两曲线的一个公共点，且

6

记椭圆和双曲线的离心率分别G，g,则幺上目的最大值为

816

A.4B.2C.-D.—

33

三、解答题

21.已知函数/(x)=a(|sinx|+|cosx|)-sin2x-1,aGR.

(1)写出函数f(x)的最小正周期(不必写出过程)：

(2)求函数/(x)的最大值；

(3)当a=l时，若函数/(x)在区间(0,kn)(kWN*)上恰有2015个零点，求k的

值.

7T

22.在直角A4BC中，NBAC=},延长C8至点。，使得CB=28O,连接AO.

(1)若AC=4O,求NC4£)的值；

(2)求角D的最大值.

23.已知函数〃x)=2>/3sin(x+^)cos(x+^)+2cos2(x+e)(0<9<］)♦

(1)求的最小正周期；

(2)若=求当〃力=2时自变量x的取值集合.

24.已知。=(A/3COSCOX,sina)x),B=(sincox,0),0>0,设/(x)=(4+B)•B+%,%£/?.

(1)若f(x)图象中相邻两条对称轴间的距离不小于求0的取值范围；

7TTT1

(2)若/")的最小正周期为万，且当xe时，/(*)的最大值是求/(x)的解析

66J2

式，并说明如何由y=sinx的图象变换得到y=/(x)的图象.

25.已知AA5C的三个内角A、B、C的对边分别为久b、c,且从=02+川，

(1)求证：B=2C；

(2)若A4BC是锐角三角形，求@的取值范围.

C

26.如图，在AABC中，NABC=90",AB=G,BC=1,产为A/WC内一点，ZBPC=90°.

(2)若NAPB=120",求AAfiP的面积S.

27.在①A/WC面积S.8c=2,②=J这两个条件中任选一个，补充在下面问题

6

中，求AC.

37r

如图，在平面四边形A8CO中，NABC=—，ABAC=ADAC,,CD=2AB=4,

4

求AC.

28.设函数/(x)=-cos2x+asinx+a+2(aeR).

(1)求函数〃x)在R上的最小值；

(2)若不等式/(x)<0在[0,§上恒成立，求”的取值范围；

(3)若方程/(x)=0在(0,乃)上有四个不相等的实数根，求。的取值范围.

29.已知等差数列｛4｝的公差de(0,m,数列己｝满足々=sin(a“),集合

S=｛x[x=a，〃wN*｝.

(1)若4=。，d吟,求集合S；

(2)若4=(,求d使得集合S恰有两个元素；

(3)若集合S恰有三个元素，bn+T=b„,「是不超过5的正整数，求7■的所有可能值，并写

出与之相应的一个等差数列(«„｝的通项公式及集合S.

30.已知函数/(x)=；sin2x-cos2x-i■——.

(1)求/(x)的最小正周期7和［0,汨上的单调增区间：

支兀

(2)若2/(x)+(-l)"-,">0对任意的xe和〃eM恒成立，求实数小的取值范围.

【参考答案】

一、填空题

2.①③

3.20兀

7T7T

4.(-+2%肛一+2k7r)(keZ)

36

6.13

7.2-6##-6+2

87+3如

16

Q2+3打

8

10.V15

二、单选题

11.C

12.D

13.A

14.A

15.B

16.B

17.C

18.A

19.C

20.A

三、解答题

21.(1)最小正周期为rt.(2)见解析(3)^=1008.

【解析】

(1)由题意结合周期函数的定义直接求解即可；

(2)令，=、+,加2耳,tG[l,^2],则当xe0,g时，/(力=〃。)=S一产，

当兀时，f(x)=v(t)=r+at-2,易知〃分类比较丫⑴、丫(四)的大小

即可得解；

(3)转化条件得当且仅当sin2x=0时，f(x)=0,贝ijxd(0,H]时，/(x)有且仅有两

个零点，结合函数的周期即可得解.

【详解】

(1)函数/(x)的最小正周期为兀

(2)(x)=o(|sinx|+|cosx|)-sin2x-1

=a小1+卜加2乂-sin2x-l=a小1+小加2况一(sin2x+l),

令t=Jl+|si〃2x|,te[l,y/2],

当xe0,y时，==产(14Y夜)，

当xe(T，兀时，/(%)=v(r)=r2+«r-2(l<r<\/2),

v(f)=af-产_(产+af-2)=-2产+2Mo即.

"㈤皿=X)3=max{v(l),v(V2)),

v(l)=6f-l,v^\[2^=y/2a,

，当〃K-1-及时，/(x)最大值为aT;当/(x)最大值为加〃.

(3)当°=1时，f(x)=+|5m2x|-sin2x-1,

若/(x)=0,则Jl+卜沅2x|=sin2x+1即卜=sin?2犬+2sin2x,

・•.当且仅当sin2x=0时，f(x)=0,

TV

Axe(0,n]时，f(x)有且仅有两个零点分别为n,

.*.2015=2x1007+1,

."./c=1008,

【点睛】

本题考查了三角函数的综合问题，考查了分类讨论思想和转化化归思想，属于难题.

22.(1)Z.CAD=—；(2).

36

【解析】

【分析】

(1)在4版中，由正弦定理得，段=宜;，再结合在直角AABC中，

sinasinD

AB=BCsinC,然后求解即可；

(2)由正弦定理及两角和的余弦可得

2tanD=tan3cos2a+sinla=7tan2£)+1sin(2a+(p),然后结合三角函数的有界性求解即

可.

【详解】

解：(1)设NS4Z>=a,在4的中，由正弦定理得，段=--

sinasinD

而在直角AA5C中，AB=BCsinC,所以”=丝过工，

sincrsmD

因为AC=AO,所以C=O,

|TT24

又因为CB=23£),所以sina=彳，所以a=?,所以

263

(2)设NBAO=a,

在4的中，由正弦定理得，且乙=「空，

sinasmD

而在直角AABC中，AB=BCcosZABC=BCcos(tr+£>),

严以BD8Ccos(a+。)BC(cosacosD-sinasinD)

sinasinDsinD

因为CB=2BD,所以sinD=2sinacosacosD-2sin2asinD,

八2sinacosasin2a

Qr1rPltanD=----------------=--------------

l+2sin-a2-cos2a

即2tanO=tan£)cos2a+sin2a=Jtan?0+1sin(2cr+e),

根据三角函数有界性得，41及呵0,£|解得OctanOW也,

3

所以角。的最大值为？

【点睛】

本题考查了正弦定理，重点考查了三角函数的有界性，属中档题.

23.(1)T；(2){xx=-^+Zzr或x=?+k乃(ZeZ)}

【解析】

【分析】

(1)由辅助角公式可得/(x)=2sin(2x+?+29)+l,再求周期即可;

(2)由=l求出夕=1，再解方程2sin(2x+2]+l=2即可.

【详解】

解：(1)〃%)=2gsin(x+e)cos(x+0)+2cos2(x+9)=>^sin2(x+^)+cos2(x+^)+l

=2sin(2x+?+2夕)+1,

/\rr，27r

则〃X)的最小正周期为7=同=%

(2)因为/图=1,所以2sin(2xq+?+2s)+l=l,即葛+20=.伙eZ),

解得夕=竽-*&wZ).

因为7T所以夕=自TT.

因为/'(x)=2,所以2sin(2x+£|+l=2,即sin(2x+?)=g,

则21+2=工+2%4或2工+工=2+2%乃(攵GZ),

3636

rrjr

解得x=—五+&乃或1=1+2乃(ZEZ).

故当f(x)=2时，自变量x的取值集合为卜或x=?+Fk€Z)}.

【点睛】

本题考查了三角恒等变换，重点考查了解三角方程，属中档题.

24.(1)0<^<1；(2)〃x)=sin(2xq)；平移变换过程见解析.

【解析】

【分析】

(1)根据平面向量的坐标运算,表示出“X)的解析式，结合辅助角公式化简三角函数式.结合

相邻两条对称轴间的距离不小于^■及周期公式，即可求得。的取值范围；

(2)根据最小正周期，求得。的值.代入解析式，结合正弦函数的图象、性质与Ax)的最大值

是巳即可求得f(x)的解析式.再根据三角函数图象平移变换,即可描述变换过程.

【详解】

Va=(>/3coscox,sincox),b=(sincox,0)

a+b=(V3coscox+sincox,sincox)

/./(x)=(a+b)'b+k=y/3sincoxcoscox+sin2a)x+k

5/3.c1-COS2Gx7G.e1c1.

=——sin2cox+-------------+k=——sin2cox——cos2Gx+—+A

22222

/C/1

I6j2

(1)由题意可知(=

226y2

69<1

又。〉0,

0<69<1

71

(2)・"=一，

co

CJO=1

：./(x)=sin2x

7T71

VXG

66

c兀7171

2X——E

6~2?_

.••当2工_工二工即x=工时

666

/（X）max=/15|=si吟+&+；=%+「：

VO7O22

k=——

2

/.f（x）=sin（2x-[

将y=sinx图象上所有点向右平移己个单位，得到y=sin（x-的图象；再将得到的图象上

所有点的横坐标变为原来的g倍，纵坐标不变，得到V=sin（2x-7卜勺图象（或将y=sinx图

象上所有点的横坐标变为原来的g倍，纵坐标不变，得到y=sin2x的图象；再将得到的图象

上所有点向右平移合个单位，得到＞=sin（2x-3的图象）

【点睛】

本题考查了正弦函数图像与性质的综合应用,根据最值求三角函数解析式，三角函数图象平移

变换过程,属于中档题.

25.（1）证明见解析；（2）（1,2）

【解析】

【分析】

（1）由。2=/+ac,联立。2=/+/-2ac-cos3,得。=c+2c-cos5,然后边角转化，利

用和差公式化简，即可得到本题答案；

（2）利用正弦定理和B=2C,得4=2COS2C+1,再确定角C的范围，即可得到本题答案.

C

【详解】

解：(1)锐角AABC中，b2=c2+ac故由余弦定理可得：Z?2=a2+c2-2accosB,

c2+ac=a2+c2-2ac•cosB，

：.CT=ac+2ac-eosB，即a=c+2ccos6,

/.利用正弦定理可得：sinA=sinC+2sinCcosB,

即sin(B+C)=sinBcosC+sinCcosB=sinC+2sinCcosB,

/.sinBcosC=sinC+sinCeosB,

可得：sin(B-C)=sinC,

J可得：B-C=C,或3-。+。=乃(舍去)，

:.B=2C.

(2)

sinAsin(B+C)sin(2C+C)。MCMI人n「

•/—a=----=----------=-----------=2cos-C+cos2c=2cos2C4-1A+8+C=;r,

csinCsinCsinC

A8,。均为锐角，由于：3C+A=%,

jrjr

.\0<2C<-,0<C<-.

24

再根据Jv3C,可得

2o

「冗

—7CvC<—,

64

c

【点睛】

本题主要考查正余弦定理的综合应用，其中涉及到利用三角函数求取值范围的问题.

26.(1)—；(2)—.

214

【解析】

【分析】

(1)求出BP=jBC2-BC2=4cBp=q、ZABP=。，A4BP中由余弦定理即可求得

236

PA；

ABPB、行

(2)设NPR4=。，利用正弦定理表示出$布120。=sin(60、a)'求得tana=]-,利用

面积公式即可得解.

【详解】

(1)在MBC中，NABC=90,AB=G,BC=1,4C=2

P为AABC内一点,NBPC=90",PC=—,所以BP=dBC?-PC?=",

22

Bp2BC2pc2

△CBP中，由余弦定理得：cosZCBP=+-=1

2BPBC2

jrjr

所以NC8P=',NA8P=2

AABP中，由余弦定理得：”=J6+B产一2AB•BPcosNPBA

34-2X^4XT=T;

（2）ZAPB=\2（）,,设NPBA=ae0，T,NP8C=90°-a,NPAB=60°-a,

在Rt\PBC41,PB=BC-sina=sina,

ABPB

在APBA中'由正弦定理120°-sin（60。-a）'

sina

即2=sina=V3cosa-sina,

sin（60°-a）＞

所以tana=,sina=,PB=

2V7V7

A/WP的面积S=-AB-PBsina=—xy[3x^^x^r=^^-

22V7V714

【点睛】

此题考查解三角形，对正余弦定理的综合使用，涉及两角差的正弦公式以及同角三角函数

关系的使用，综合性较强.

27.见解析

【解析】

选择①：利用三角形面积公式和余弦定理可以求接求出AC的长；

选择②：在A48C,A4CD中，分别运用正弦定理，可以求接求出AC的长；

【详解】

解：选择①：

S^=~ABBCsmAABC=--2BC-sin—=2

BC24

所以8c=2&;

由余弦定理可得

AC2=AB2+BC2-2ABBC-COSZABC

=4+8-2x2x272=20

所以AC=6J=2«

选择②

TTTT

^ZBAC=ZCAD=0,则0＜。＜一，ZBCA=--0

44f

AC2

ACAB

在AABC中,即sin2.（万A

sin——0

sinZABCsinNBCA414

4

ACCD

在AACZ)中,--------，艮J.%sin^

sinZADCsinZCADsin-

6

2

所以AC=

sin。

2_6

所以sin〃.(7T,解得2sinO=cos。,

sin-0

(4)

又o<e<f,所以sine=更，

45

所以AC=y=2石.

sin"

【点睛】

本题考查了正弦定理、余弦定理、三角形面积公式，考查了数学运算能力.

2,a>2;

2

="

28.(1)/(-v)min----+</+l,-2<a<2;(2)a6(-<»,—1)(3)—\<a<2-2>j2

2a+2,a<-2.

【解析】

【分析】

(1)通过换元法将函数变形为二次函数，同时利用分类讨论的方法求解最大值；

(2)恒成立需要保证/。)叫<0即可，对二次函数进行分析，根据取到最大值时的情况得

到。的范围；

(3)通过条件将问题转化为二次函数在给定区间上有两个零点求。的范围，这里将所有满

足条件的不等式列出来，求解出。的范围.

【详解】

解：⑴令sinx=r,则f(x)=g(r)=r+a,+“+1,对称轴为f=-£.

①-恭-1,即a>2,/(x)17g(T)=2.

②一1即一2«。工2,/(X)min=g(一9=一5+。+1・

③一］>1,即。v—2,/U)min=g(l)=2«+2.

2,a>2;

2

综上可知，f(x)min=--^-+a+i,-2<a<2;

2a+2,ci<—2.

(2)由题意可知，/U)inas<0,/(x)=g«)=/+。+“+1,re[0,l]的图象是开口向上的抛

物线，最大值一定在端点处取得，所以有

g(O)=a+l<。，

aG

g(l)=2a+2<0,

(3)令sinx=r,xe(0,T).由题意可知，当0<f<l时，sinx=f有两个不等实数解，所以

原题可转化为g(，)=/+af+a+l=0在(0,1)内有两个不等实数根.所以有

,A=a2-4(a+l)>0,=>-l<a<2-2>/2

g(0)=a+l>0,

g⑴=2a+2>0,

【点睛】

(1)三角函数中，形如/(x)=qsin2x+〃sinx+c或者，(x)=acos2x+Z>cosx+c都可以采

用换元法求解函数最值；

(2)讨论二次函数的零点的分布，最好可以采用数形结合的方法解决问题，这样很大程度

上减少了遗漏条件的可能.

29.(1)(2)2乃或乃；(3)7=3或4,7=3时，a“=,〃，

22J33

S='-哼，¥，o}；T=4时，a„=~n<5={0,1,-1}

【解析】

【分析】

(1)根据等差数列的通项公式写出，进而求出幻，再根据周期性求解；(2)由集合S

的元素个数，分析数列他J的周期，进而可求得答案；(3)分别令7=1,2,3,4,5进

行验证，判断T的可能取值，并写出与之相应的一个等差数列伍"的通项公式及集合S

【详解】

⑴••・等差数列{%}的公差江(0,扪