线性代数与几何

世纪高等工科教育数学系列课程教材

21

线性代数与几何

主编张素娟

副主编李京艳郭志芳

郭秀英胡俊美

内容简介

本系列教材为大学工科各专业公共课教材共四册高等数学上下册线性代数与几何概率

,:《》()、《》、《

论与数理统计第二版编者根据工科数学教改精神在多个省部级教学改革研究成果的基础上结合

()》.,,

多年的教学实践编写而成书中融入了许多新的数学思想和方法改正吸收了近年教学过程中发现的问

,,、

题和经验本书为线性代数与几何分册全书共章内容包括行列式矩阵向量空间线性方程组

.《》,7,:,,,,

相似矩阵及二次型空间解析几何线性空间与线性变换每节后有习题每章后有综合习题并在部分

,,.,,

章节配有适当的应用题数学史或数学文化等内容书末附有部分习题参考答案

、..

本书适合作为普通高等学校土木工程机械工程电气自动化工程计算机工程交通工程工程管

、、、、、

理经济管理等本科专业的教材或教学参考书也可供报考工科硕士研究生的人员参考

、,.

图书在版编目(CIP)数据

线性代数与几何张素娟主编北京中国铁道

/.—:

出版社有限公司

,2019.8

世纪高等工科教育数学系列课程教材

21

ISBN978--7--113--26112--2

线张线性代数高等学校

Ⅰ.①…Ⅱ.①…Ⅲ.①----

教材解析几何高等学校教材

②----Ⅳ.①0151.2

②0182

中国版本图书馆数据核字第号

CIP(2019)162668

书名:线性代数与几何

作者:张素娟

策划:李小军编辑部电话:

责任编辑:李小军田银香

封面设计:刘颖

责任校对:张玉华

责任印制:郭向伟

出版发行:中国铁道出版社有限公司北京市西城区右安门西街号

(100054,8)

网址:

htt:///51eds/

印刷:三河p市宏盛印务p有限公司

版次:年月第版年月第次印刷

201981201981

开本:印张:字数:千

787mm×1092mm1/1614312

书号:

ISBN978--7--113--26112--2

定价:元

33.00

版权所有侵权必究

凡购买铁道版图书如有印制质量问题请与本社教材图书营销部联系调换电话

,,。:(010)63550836

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:(010)63549504

世纪高等工科教育数学系列课程教材

21

编委会

主任刘响林

副主任陈庆辉张素娟孙海珍

编委王永亮范瑞琴赵晔李向红

左大伟陈聚峰郭志芳郭秀英

李京艳赵士欣王亚红王丽英

李华胡俊美

前言

本书是作者在多年从事教学改革、教学研究的基础上,参照教育部数学与统计学

教学指导委员会年颁布的《工科类本科数学基础课程教学基本要求》(修改稿)

2012

和近年教育部颁布的《全国硕士研究生入学统一考试》数学考试大纲的要求,通过多

年的教学实践,结合编者丰富的教学经验,并在广泛征求意见的基础上编写而成的

.

其总体结构、编写思想、难易度的把握等方面有所创新,并得到了教学检验。以科学

思维、科学方法贯穿始终,力求做到把现代的教学思想和方法渗透到整个教材中本

.

书特点:

()以简明适用为原则,突出了对基本概念、基本方法、基本理论的介绍和训练

1.

()在内容选择与安排上,注意代数理论体系的系统性与严谨性、空间几何的直

2

观性,将空间解析几何与线性代数做了有机的结合,以使读者能够对基本概念有更深

入的理解

.

()在内容体系上努力做到结构设计合理,重点突出,重视理论联系实际

3.

()在重要的章节附有实际应用题,将数学建模思想巧妙地渗透其中,以调动学

4

生学习的积极性,提高学生分析问题和解决问题的能力

.

()为培养学生学习数学的兴趣,在部分章节加入了与内容相关的数学史和数学

5

文化等内容,作为阅读材料供学生选读

.

()在每节后配有精心选编的习题,各章后配有综合习题,书末附有部分习题参

6

考答案书中带“”的部分为选学内容

.*.

全书内容包括:行列式、矩阵、向量空间、线性方程组、相似矩阵及二次型、空间解

析几何、线性空间与线性变换等本书适合作为普通高等院校工科各专业公共数学课

.

的教材或教学参考书,也可供报考工科硕士研究生的人员参考

.

本书由张素娟任主编,李京艳、郭志芳、郭秀英、胡俊美任副主编。编者及分工如

下:李京艳(第章及第章),胡俊美(第章),郭志芳(第章及第章),郭秀英(第

17236

章及第章),胡俊美还编写了拓展阅读部分的内容张素娟负责总体方案的设计、

45.

具体内容安排及统稿工作在编写过程中,得到了刘响林、李向红、陈庆辉、王永亮等

.

同事的大力支持石家庄铁道大学的许多任课教师提出了许多宝贵意见,在此一并表

.

示感谢

.

由于编者水平有限,书中疏漏和不足在所难免,不妥之处敬请读者指正

.

编者

年月

20196

目录

第1章行列式………………

1

行列式的概念……………………

§1.11

二阶、三阶行列式n阶行列式

1.1.1(1)1.1.2(4)

习题

1.1(8)

行列式的性质与计算……………

§1.29

行列式的性质行列式按行(列)展开

1.2.1(9)1.2.2(13)

*拉普拉斯展开定理习题

1.2.3(19)1.2(21)

克莱姆法则………………………

§1.322

习题

1.3(26)

*实际应用………………

27

综合习题………………

127

拓展阅读克莱姆法则的由来…………

30

第2章矩阵………………

33

矩阵的概念………………………

§2.133

矩阵的概念一些特殊矩阵

2.1.1(33)2.1.2(34)

习题

2.1(36)

矩阵的运算

§2.2(36)

矩阵的加法数与矩阵相乘

2.2.1(36)2.2.2(37)

矩阵与矩阵相乘矩阵的转置

2.2.3(38)2.2.4(42)

方阵的行列式共轭矩阵

2.2.5(43)2.2.6(43)

习题

2.2(44)

逆矩阵……………

§2.345

逆矩阵的定义可逆矩阵的性质

2.3.1(45)2.3.2(47)

矩阵方程习题

2.3.3(48)2.3(49)

分块矩阵…………

§2.450

分块矩阵的概念分块矩阵的加法

2.4.1(50)2.4.2(51)

数与分块矩阵相乘分块矩阵相乘

2.4.3(51)2.4.4(52)

分块矩阵的转置习题

2.4.5(53)2.4(54)

矩阵的初等变换与初等矩阵……………………

§2.555

矩阵的初等变换初等矩阵

2.5.1(55)2.5.2(58)

习题

2.5(62)

矩阵的秩…………

§2.663

ⅵ线性代数与几何

|

习题

2.6(65)

*实际应用………………

66

综合习题………………

267

拓展阅读矩阵论的创立人凯莱西尔维斯特……

———、69

第3章向量空间…………

72

空间向量及其坐标表示…………

§3.172

空间直角坐标系向量的概念

3.1.1(72)3.1.2(73)

向量的线性运算

3.1.3(74)

向量的坐标表示方向角方向余弦

3.1.4(75)

向量线性运算的坐标表示

3.1.5(77)

习题

3.1(78)

向量的数量积向量积*混合积……………

§3.279

向量在轴上的投影向量的数量积

3.2.1(79)3.2.2(79)

向量的向量积*向量的混合积

3.2.3(81)3.2.4(85)

习题

3.2(86)

n维向量向量组的线性相关性………………

§3.387

n维向量的概念及其线性运算向量组的线性相关性

3.3.1(87)3.3.2(88)

习题

3.3(94)

向量组的极大无关组和秩………

§3.494

向量组的极大无关组向量组的秩

3.4.1(95)3.4.2(95)

矩阵的行(列)秩与矩阵的秩的关系

3.4.3(96)

习题

3.4(98)

*向量空间………………………

§3.598

向量空间的概念向量空间的基与维数

3.5.1(99)3.5.2(100)

习题

3.5(101)

综合习题……………

3102

拓展阅读向量与向量空间的历史…………………

103

第4章线性方程组………………………

106

齐次线性方程组………………

§4.1106

线性方程组的一般形式消元法

4.1.1(106)4.1.2Gauss(107)

齐次线性方程组有非零解的条件

4.1.3(109)

齐次线性方程组解的结构

4.1.4(109)

习题

4.1(114)

非齐次线性方程组……………

§4.2115

非齐次线性方程组解的判定定理

4.2.1(115)

非齐次线性方程组的解结构

4.2.2(116)

目录

|ⅶ

习题

4.2(122)

综合习题………………

4123

拓展阅读高斯的数学成就……………

125

第5章相似矩阵及二次型………………

127

向量的内积长度与正交………

§5.1、127

内积及性质向量的长度及性质

5.1.1(127)5.1.2(128)

正交向量组及正交化过程欧几里得()空间

5.1.3(128)5.1.4Euclid(131)

正交矩阵及正交变换

5.1.5(131)

习题

5.1(132)

方阵的特征值与特征向量……………………

§5.2133

特征值及特征向量的概念及求法

5.2.1(133)

特征值与特征向量的性质

5.2.2(136)

习题

5.2(138)

相似矩阵………………………

§5.3138

相似矩阵的概念及性质矩阵可对角化的条件

5.3.1(138)5.3.2(139)

习题

5.3(140)

实对称矩阵的对角化…………

§5.4140

习题

5.4(144)

二次型…………

§5.5144

二次型的概念及标准形

5.5.1(145)

用正交变换化二次型为标准形

5.5.2(148)

*用配方法求可逆线性变换化二次型为标准形

5.5.3(149)

习题

5.5(150)

正定二次型……………………

§5.6150

惯性定理正定二次型

5.6.1(150)5.6.2(151)

习题

5.6(153)

*实际应用………………

153

综合习题………………

5155

拓展阅读欧几里得……………………

157

第6章空间解析几何……………………

159

曲面及其方程…………………

§6.1159

曲面及其方程的概念旋转曲面

6.1.1(159)6.1.2(160)

柱面

6.1.3(162)

习题

6.1(163)

空间曲线及其方程……………

§6.2163

空间曲线的一般方程空间曲线的参数方程

6.2.1(163)6.2.2(164)

ⅷ线性代数与几何

|

空间曲线在坐标面上的投影

6.2.3(165)

习题

6.2(167)

平面及其方程…………………

§6.3167

平面的点法式方程平面的一般式方程

6.3.1(167)6.3.2(168)

两平面的夹角点到平面的距离

6.3.3(169)6.3.4(170)

习题

6.3(171)

空间直线及其方程……………

§6.4172

空间直线的对称式方程与参数方程

6.4.1(172)

空间直线的一般方程两直线的夹角

6.4.2(173)6.4.3(175)

直线与平面的夹角平面束

6.4.4(175)6.4.5(177)

习题

6.4(178)

常见的二次曲面………………

§6.5179

常见的二次曲面*二次曲面方程的化简

6.5.1(179)6.5.2(183)

二次曲线方程的化简

6.5.3(185)

习题

6.5(187)

综合习题………………

6187

拓展阅读解析几何的开创者笛卡儿……………

———188

*第7章线性空间与线性变换…………

190

线性空间………………………

§7.1190

线性空间的定义线性空间的性质

7.1.1(190)7.1.2(191)

线性空间的维数、基与坐标基变换与坐标变换

7.1.3(192)7.1.4(193)

子空间

7.1.5(195)

习题

7.1(196)

线性变换………………………

§7.2197

线性变换的定义线性变换的基本性质

7.2.1(197)7.2.2(198)

线性映射(变换)的核与象线性变换的运算

7.2.3(198)7.2.4(199)

线性变换的矩阵表示

7.2.5(200)

习题

7.2(202)

综合习题………………

7203

部分习题参考答案…………

205

参考文献……………………

216

第1章行列式

行列式概念的建立源于求解线性方程组的实际需要它作为一个重要的数学工具

,,

在数学的各个领域和其他众多科学技术领域如物理学力学工程技术等都有着广

(、、)

泛的应用

.

本章主要介绍n阶行列式的概念性质行列式按行列展开拉普拉斯展

、、()、(Laplace)

开定理以及解线性方程组的克莱姆法则

(Cramer).

行列式的概念

§1.1

1.1.1二阶、三阶行列式

1.二阶行列式

引例用消元法解二元线性方程组

axaxb

111+122=1

{axaxb.(1.1)

211+222=2

解以a乘第一个方程以a乘第二个方程然后两式相减消去x得

22,12,,2

aa-aax=ba-ab

(11221221)1122122.

类似消去x得

1

aa-aax=ab-ba

(11221221)2112121.

当aa-aa时即有

11221221≠0,

ba-abab-ba

x=122122x=112121

1aaaa,2aaaa

1122-12211122-1221.

aa

这就是二元线性方程组的解公式为了便于记忆我们引入记号1112D

(1.1),,:aa,

2122

并规定

aa

D=1112=aa-aa

aa11221221,(1.2)

2122

称D为二阶行列式其中aaaa称为行列式的元素这四个元素排成两行两列

,11,12,21,22.,

横排称行竖排称列元素aij的右下角有两个下标i和j第一个下标i称为行标它表示

,.,,

元素所在的行第二个下标j称为列标它表示元素所在的列如a是位于第一行第二列

,,.12

上的元素而a是位于第二行第一列上的元素从行列式的左上角到右下角的连线称为

,21.

行列式的主对角线从行列式的右上角到左下角的连线称为行列式的次对角线

,.

从式可知二阶行列式是两项的代数和一项是主对角线上两元素的乘积取正

(1.2),,,

2线性代数与几何

|

号另一项是次对角线上两元素的乘积取负号此规律可用对

;,.

角线法则来记忆如图所示二阶行列式D等于实线上两

,1.1,

元素的乘积减去虚线上两元素的乘积

.图

据此定义可计算出1.1

,

baab

D=112=ba-abD=111=ab-ba

1ba122122,2ab112121.

222212

这样当D时方程组的解公式便可以简洁明了地表示为

≠0,(1.1)

DD

x=1x=2

1D,2D.

其中分母D是由方程组的系数按它们原来在方程组中的次序所排成的二阶行列

,(1.1)

式称为方程组的系数行列式Dj是将系数行列式D的第j列元素依次用方程组右

,(1.1);

端的常数项替换后所得的二阶行列式j=

(1,2).

例1.1求解二元线性方程组

x+x=

31721

{x+x=-.

51823

解方程组的系数行列式

D=37=×-×=-

387511≠0,

58

而

D=17=×-×-=

1-187(3)29,

38

D=31=×--×=-

2-3(3)1514.

53

DD

所以方程组的解为x=1=-29x=2=14

1D,2D.

1111

2.三阶行列式

与二元线性方程组类似对于含三个未知量xxx的线性方程组

,1,2,3

ïìax+ax+ax=b

ï1111221331

íax+ax+ax=b

2112222332()

ï1.3

îaxaxaxb

311+322+333=3

可同样逐次消元消去xx可得

,2,3

aaa+aaa+aaa-aaa-aaa-aaax

(112233122331132132112332122133132231)1

=baa+aab+aba-baa-aba-aab

122331223313232123321223313223.

将上式中x的系数记为D则当D时有

1,≠0,

x=1baa+aab+aba-baa-aba-aab

1D(122331223313232123321223313223).

类似可得

x=1aba+baa+aab-aab-baa-aba

2D(112331233113213112331213313231),

第1章行列式3

|

x=1aab+aba+baa-aba-aab-baa

3D(112231223112132112321221312231).

这是三元线性方程组的解公式显然要记住这个公式相当困难为便于方程组的求

(1.3).,,

aaa