辽宁省名校联盟2022-2023学年高二下学期3月数学试题含答案

辽宁省名校联盟2022-2023学年高二下学期3月份联合考试数学本试卷满分150分，考试时间120分钟.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则（）A.B.C.D.2.已知，则（）A.B.C.D.3.我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果，哥德巴赫猜想是1742年哥德巴赫给数学家欧拉的信中提出的猜想：“任意大于2的偶数都可以表示成两个质数之和”，则哥德巴赫猜想的否定为（）A.任意小于2的偶数都不可以表示成两个质数之和B.任意大于2的偶数都不可以表示成两个质数之和C.至少存在一个小于2的偶数不可以表示成两个质数之和D.至少存在一个大于2的偶数不可以表示成两个质数之和4.已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，其终边经过点，则（）A.B.C.D.5.已知圆经过点，则点到圆心的距离的最小值为（）A.2B.C.D.16.已知某N95口罩厂的一条生产流水线上有编号依次为①至⑥的6个不同质检站，现将甲､乙､丙等6名质检员安排到这6个不同质检站进行产品检测，每个质检站安排1人，丙不在①和⑥质检站，则甲､乙所在质检站的编号相邻的概率为（）A.B.C.D.7.已知直三棱桂：的底面为等腰直角三角形，分别为，的中点，为上一点，，则异面直线与所成角的余弦值为（）A.B.C.D.8.已知是定义在上的函数，为奇函数，为偶函数，当时，，若函数有5个不同的零点，则的取值范围为（）A.B.C.D.二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知为实数，且，则下列不等式正确的是（）A.B.C.D.10.已知函数的部分图像如图所示，则（）A.B.C.在区间上单调递增D.的图像的一个对称中心为11.如图，圆台的上､下底面圆的半径之比为，其侧面展开图是一个圆心角为，面积为的扇环，四边形是过的轴截面，分别为下底面圆上两点，为上底面圆上一点，且，则（）A.该圆台的体积为B.平面平面C.平面D.该圆台的外接球的表面积为12.已知抛物线的焦点为，其准线与轴交于点，过的直线与在第一象限内自下而上依次交于两点，过作于，则（）A.的方程为B.当三点共线时，C.D.当时，三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.的展开式中的常数项为__________.14.已知向量，若，则与的夹角为__________.15，某校为落实党的二十大精神，开展了形式灵活的学习活动，统计了全校教师在一周内学习的累计时长（单位：小时），根据时长数据得到下面的频率分布直方图，则__________；估计该校教师学习累计时长的平均值为__________.（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）.16.已知椭圆的左､右焦点分别为是上不同的两点，，且点到直线的距离为，则的离心率为__________.四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.（10分）为了有效治疗某种传染性疾病，某医疗机构研发出A，B两种治疗药物，从患者中随机抽出200人，以每组100人分成两组，分别单独使用A，B两种治疗药物进行治疗，经过一个疗程治疗，得到下面2×2列联表：痊愈未痊愈A药物8515B药物9010（1）根据上表，分别估计患者使用两种药物经过一个疗程治疗痊愈的概率；（2）是否有的把握认为两种药物的治疗效果有差异？附：，其中.0.150.100.012.0722.7066.63518.（12分）已知函数为奇函数且.（1）求实数与之间的关系式；（2）若，完成下面问题：（i）用定义法证明：在上为增函数；（ii）求解不等式.19.（12分）记的内角的对边分别为，已知__________.在①；②这两个条件中任取一个，补充在上面问题中，并解答下面问题.（1）若，求；（2）设均为整数，，求的面积.注：如果选择不同的条件分别解答，按第一个解答计分.20.（12分）2022年卡塔尔世界杯是第二十二届世界杯足球赛，在11月21日至12月18日在卡塔尔境内举行.足球运动是备受学生喜爱的体育运动，某校开展足球技能测试，甲､乙､丙三人参加点球测试，每人有两次点球机会，若第一次点球成功，则测试合格，不再进行第二次点球；若第一次点球失败，则再点球一次，若第二次点球成功，则测试合格，若第二次点球失败，则测试不合格，已知甲､乙､丙三人点球成功的概率分别为，且三人每次点球的结果互不影响.（1）求甲､乙､丙三人共点球4次的概率；（2）设X表示甲､乙､丙三人中测试合格的人数，求X的分布列和数学期望.21.（12分）如图，正四棱锥的棱长均为，点为的中心，为的中点，与交于点.（1）证明：平面；（2）求二面角的正弦值.22.（12分）已知为双曲线的左､右焦点，的一条渐近线方程为为上一点，且.（1）求的方程；（2）设点在坐标轴上，直线与交于异于的两点，为的中点，且，过作，垂足为，是否存在点，使得为定值？若存在，求出点的坐标以及的长度；若不存在，请说明理由.参考答案及解析一､选择题1.B【解析】因为，所以，因为，所以.故选B项.2.D【解析】，则.故选D项.3.D【解析】全称量词命题的否定为存在量词命题，故哥德巴赫猜想的否定为“至少存在一个大于2的偶数不可以表示成两个质数之和”.故选D项.4.A【解析】根据三角函数的定义可知，，所以.故选A项.5.C【解析】设，由，得，整理得，所以点到圆心的距离的最小值，即为点到的距离，所以.故选C项.6.B【解析】丙不在①和⑥质检站有种安排方法；丙不在①和⑥质检站，且甲､乙所在质检站的编号相邻有种安排方法，所以甲､乙所在质检站的编号相邻的概率.故选B项.7.A【解析】由条件可知，则，如图，取的中点，连接，则，取的中点，连接，则，所以，则或其补角为异面直线与所成的角，连接，则，又，则，在等腰直角三角形中，，所以，在正方形中，，易知，则，在中，.故选A项.8.C【解析】因为为奇函数，所以曲线关于点对称，则，即.因为为偶函数，所以曲线关于直线对称，则，所以，则，所以，即，则是以4为一个周期的周期函数，所以曲线关于点，对称为奇函数），且关于直线对称，因为为奇函数，所以，当时，，所以当时，，所以当时，.根据周期性可知，曲线与直线有5个交点，则曲线与直线有5个交点，根据对称性，在同一坐标系中，作出函数的图像与直线，如图所示.由图像可知，，即.故选项.二､多选题9.ACD【解析】由可知，所以项正确；当时，不成立，B项错误；由0得，所以，所以，C项正确；1），当且仅当，即当时取得等号，项正确.故选项.10.BD【解析】由图可知解得.又点在曲线上，所以，则，因为点在图像的增区间上，所以，根据五点作图法可知，，解得，则项错误；由上得，则，B项正确；令，解得，取，则在区间上单调递增，C项错误；令，解得，取，则是的图像的一个对称中心，D项正确.故选BD项.11.ABD【解析】将圆台的母线延长得到如图所示的圆锥，设圆台的上底面圆的半径为，则下底面圆的半径为，由其侧面展开图是一个圆心角为的扇环，则，所以，由，得，由扇环的面积为，得，解得，则，所以，因此该圆台的体积项正确；由圆台的性质可知，底面圆，则，又，所以平面，又平面，所以平面平面，B项正确；过与作轴截面，则四边形为梯形，所以，设点关于的对称点为，连接，交于点，因为，所以，所以，则，若平面，则平面平面，连接，则平面，连接，所以，则四边形为平行四边形，则，由上可知，所以不平行于平面，C项错误；设圆台的外接球的球心为，半径为在直线上，设，当在线段上时，由球的性质可知，解得，所以.当在线段的延长线上时，由球的性质可知，此时无解.所以该圆台的外接球的表面积，D项正确.故选项.12.BC【解析】由题意可知，所以，所以的方程为，A项错误；设的方程为，联立得，则，所以，由题意可知，，当三点共线时，，则，解得，则，代入的方程可知，，根据抛物线的定义可知，所以，B项正确；由定义可知，，因为，所以项正确；当时，则，0，解得（负值舍去），），则，由，则，所以，①假设，则，则，显然不符合①，所以D项错误.故选项.三､填空题13.112【解析】的展开式的通项公式为，令，解得，故的展开式中的常数项为.14.【解析】由，得，由，得，则，所以，记的夹角为，所以，由可知.15.0.1009.6【解析】由图可知，，所以.该校教师学习累计时长的平均值的估计值为.16.【解析】因为，则，且，设，则，因为点到直线的距离为，则点到直线的距离为，过作，垂足为，在Rt中，，所以，则，连接，设，则，在中，由余弦定理得，解得，则；在中，由余弦定理可得.由，得，整理得，所以，故的离心率为.四､解答题17.解：（1）由题可知，患者使用药物经过一个疗程治疗痊愈的概率的估计值为；患者使用药物经过一个疗程治疗痊愈的概率的估计值为.（2）由列联表可得，1.143，因为，所以没有的把握认为两种药物的治疗效果有差异.18.（1）解：易知的定义域为，因为为奇函数，所以，则，整理得，则，故实数与之间的关系式为.（2）当时，，所以.（i）证明：设，则，因为，所以，又，所以，则，故在上为增函数.（ii）解：不等式等价于，即，所以解得，故不等式的解集为.19.解：（1）若选择①，由，得因为，所以，由正弦定理得，则，即，所以或（舍），则.又，所以，即，故.若选择②，由条件及正弦定理得，由余弦定理得，所以，则，由正弦定理得，所以，整理得，所以或（舍），则.又，所以，即，故.（2）由及正弦定理得，由（1）知，所以，因为，所以，则由余弦定理得，即，整理得，解得或.当时，，符合均为整数条件，所以；当时，，符合均为整数条件，所以.故的面积为或.20.解：设甲､乙､丙三人第次点球成功分别为事件，则.（1）甲､乙､丙三人共点球4次，根据测试规则，有2人第一次点球成功，剩下的1人第一次点球失败，则甲､乙､丙三人共点球4次的概率（2）甲测试合格的概率乙测试合格的概率丙测试合格的概率.易知的所有可能取值为，所以的分布列为0123所以.21.（1）证明：连接，并延长交于点，因为点为的中心，为等边三角形，所以为的中点，所以，连接，因为，所以，则，所以，所以.又平面平面，所以平面.（2）解：连接，则，设，连接，由正四棱锥的性质可知平面，以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系.则，，则，，则，设平面的法向量为，由得取，则，设平面的法向量为，由得取1，则，于是，故二面角的正弦值为.22.解：（1）由题意可知，的渐近线方程为，由条件可知.根据双曲线的定义可知，，所以，则，