电子科技大学物理电子学院

第二篇数学物理方程本篇主要内容：二阶线性偏微分方程的建立和求解重点：数学物理方程求解方法中的分别变量法和行波法.特点：加强物理模型和数学物理思想的引见，以便充分了解模型的物理意义，有利于根据数学物理模型建立数学物理方程．数学物理思想数学物理方程〔简称数理方程〕是指从物理学及其它各门自然科学、技术科学中所导出的函数方程，主要指偏微分方程和积分方程．数学物理方程所研讨的内容和所涉及的领域非常广泛，它深化地描画了自然界中的许多物理景象和普遍规律.声振动是研讨声源与声波场之间的关系热传导是研讨热源与温度场之间的关系泊松〔S.D.Poisson1781～1840，法国数学家〕方程表示的是电势〔或电场〕和电荷分布之间的关系定解问题从物理规律角度来分析，数学物理定解问题表征的是场和产生这种场的源之间的关系．根据分析问题的不同出发点，把数学物理问题分为正向问题和逆向问题.不同出发点正向问题，即为知源求场逆向问题，即为知场求源.前者是经典数学物理所讨论的主要内容.后者是高等数学物理〔或称为现代数学物理〕所讨论的主要内容多数为二阶线性偏微分方程振动与波〔振动波，电磁波〕传播满足动摇方程热传导问题和分散问题满足热传导方程静电场和引力势满足拉普拉斯方程或泊松方程数学物理方程的类型和所描画的物理规律三类典型的数学物理方程三类典型的数学物理方程双曲型方程动摇方程为代表抛物型方程热传导方程为代表椭圆型方程泊松方程为代表退化为拉普拉斯方程分别变量法偏微分方程规范的常微分方程规范解，即为各类特殊函数三类数学物理方程的一种最常用解法第九章数学建模---数学物理定解问题9.1数学建模----动摇方程类型的建立具有动摇方程的数理方程的建立弦的横振动杆的纵振动讨论定解条件传输线方程9.1.1动摇方程的建立1.弦的微小横振动调查一根长为且两端固定、程度拉紧的弦．讨论如何将这一物理问题转化为数学上的定解问题．要确定弦的运动方程，需求明确：确定弦的运动方程〔2〕被研讨的物理量遵照哪些物理定理？牛顿第二定律.〔3〕按物理定理写出数学物理方程〔即建立泛定方程〕要研讨的物理量是什么？弦沿垂直方向的位移留意：物理问题涉及的要素较多，往往还需求引入适当假设才干使方程简化．数学物理方程必需反映弦上任一位置上的垂直位移所遵照的普遍规律，所以调查点不能取在端点上，但可以取除端点之外的任何位置作为调查点．

根据牛顿第二定律方向运动的方程可以描画为〔9.1.1〕作用于小段的纵向合力应该为零：

(9.1.2)仅思索微小的横振动，夹角为很小的量，忽略及其以上的高阶小量，那么根据级数展开式有留意到:故由图9.11得这样，(9.1.1)和(9.1.2)简化为因此在微小横振动条件下，可得出，弦中张力不随而变，可记为

故有(9.1.5)变化量可以获得很小，根据微分知识有下式成立这样，段的运动方程(9.1.5)就成为

(9.1.6)即为〔9.1.7〕上式即为弦作微小横振动的运动方程，简称为弦振动方程．

其中讨论：〔1〕假设设弦的分量远小于弦的张力，那么上式(9.1.7)右端的重力加速度项可以忽略．由此得到以下齐次偏微分方程：〔9.1.8〕称式〔9.1.8〕为弦的自在振动方程(2)假设在弦的单位长度上还有横向外力作用，那么式(9.1.8)应该改写为

(9.1.9)式中称为力密度，为时辰作用于处单位质量上的横向外力式〔9.1.9〕称为弦的受迫振动方程.2、均匀杆的纵振动段的运动方程为〔9.1.10〕可得〔9.1.11〕这就是杆的纵振动方程．讨论(1)对于均匀杆，和是常数，(9.１.11〕可以改写成〔9.１.12〕

其中这与弦振动方程〔9.１.8〕具有完全一样的方式．〔2〕杆的受迫振动方程跟弦的受迫振动方程〔9.１.9〕完全一样，只是其中应是杆的单位长度上单位横截面积所受纵向外力3.传输线方程〔电报方程〕

〔9.1.13〕同理可得：

(9.1.14)式〔9.1.13〕及〔9.1.14〕即为普通的传输线方程〔或电报方程〕．(1)无失真线

(9.1.15)其中(2)无损耗线〔9.1.16〕(9.1.17)具有与振动方程类似的数学方式，虽然它们的物理本质根本不同(3)无漏导，无电感线

〔9.1.18〕(9.1.19)它们具有与下节将讨论的一维热传导方程类似的数学方式，虽然它们的物理本质根本不同．9.1.2动摇方程的定解条件定解条件：初始条件和边境条件1.初始条件动摇方程含有对时间的二阶偏导数，它给出振动过程中每点的加速度．要确定振动形状，需知道开场时辰每点的位移和速度．动摇方程的初始条件通常是〔9.1.22〕

例9．1．1一根长为的弦，两端固定于和,在间隔坐标原点为的位置将弦沿着横向拉开间隔，如图9.5所示，然后放手任其振动，试写出初始条件。

x

u

o

b

l

h

图9.5

【解】初始时辰就是放手的那一瞬间，按题意初始速度为零，即有初始位移如下图

2.边境条件常见的线性边境条件分为三类：第一类边境条件直接规定了所研讨的物理量在边境上的数值第二类边境条件规定了所研讨的物理量在边境外法线方向上方导游数的数值〔9.1.23〕

〔9.1.24〕第三类边境条件规定了所研讨的物理量及其外法导游数的线性组合在边境上的数值〔9.1.25〕其中是时间的知函数，为常系数．9.2数学建模－热传导方程类型的建立9.2.1数学物理方程――热传导类型方程的建立1.热传导方程推导固体的热传导方程时，需求利用能量守恒定律和关于热传导的傅里叶定律：热传导的傅里叶定律：时间内，经过面积元流入小体积元的热量与沿面积元外法线方向的温度变化率成正比也与和成正比，即：〔9.2.1〕式中是导热系数图9.8取直角坐标系Oxyz,如图9.8表示t时辰物体内任一点〔x,y,z〕处的温度在dt时间内经过ABCD面流入的热量为同样，在时间内沿y方向和z方向流入立方体的热量分别为在t到时间内，小体积元的温度变化是假设用和分别表示物体的密度和比热，那么根据能量守恒定律得热平衡方程或写成

(9.2.2)2.分散方程

(9.2.3)

其中将一维推行到三维，即得到

(9.2.4)上述方程与一维热传导方程具有完全类似的方式假设外界有分散源，且分散源的强度为这时，分散方程应为

〔9.2.5〕从上面的推导可知，热传导和分散这两种不同的物理景象，但可以用同一类方程来描画.9.2.2热传导〔或分散〕方程的定解条件1初始条件热传导方程的初始条件普通为〔9.2.6〕2边境条件第一类:知恣意时辰边境面上的温度分布

(9.2.7)直接给出函数u在边境上的数值,所以是第一类边境条件.2.第二类知恣意时辰从外部经过边境流入物体内的热量。

设单位时间内经过边境上单位面积流入的热量为.思索物体内以边境上面积元为底的一个小圆柱体，如图9.10所示.图9.10物体内部经过流入小柱体的热量为

小柱体内温度升高所需求的热量随着柱高趋于零而趋近于零

所以当由热平衡方程给出:

思索到时,那么得

(9.2.8)3.第三类根据牛顿冷却定律:单位时间从周围介质传到边境上单位面积的热量与外表和外界的温度差成正比,即

这里是外界媒质的温度.为常数与推导条件(9.2.11)类似,此时可得边境条件

(9.2.9)其中9.3数学建模——稳定场方程类型的建立9.3.1数学建模——稳定场方程类型的建立1静电场的电势方程直角坐标系中泊松方程为

(9.3.1)假设空间中无电荷，即电荷密度，上式成为(9.3.2)称这个方程为拉普拉斯方程.2.稳定温度分布导热物体内的热源分布和边境条件不随时间变化故热传导方程中对时间的偏微分项为零，从而热传导方程〔9.2.1)，(9.2.2)即为以下拉普拉斯方程和泊松方程.(9.3.3)(9.3.4)9.3.2泊松方程和拉普拉斯方程的定解条件泊松方程和拉普拉斯方程的定解条件不包含初始条件,而只需边境条件.边境条件分为三类:1、在边境上直接给定未知函数,即为第一类边境条件．2、在边境上给定未知函数导数的值,即为第二类边境条件．3、在边境上给定未知函数和它的导数的某种线性组合,即第三类边境条件.第一、二、三类边境条件可以一致地写成

(9.3.5)其中是边境上的变点；表示物理量沿边境外法线方向的方导游数；为常数，它们不同时为零．9.4数学物理定解实际9.4.1定解条件和定解问题的提法边境条件的类型除了前面我们引见的第一、第二、第三类边境条件之外，还有其它边境条件，如自然边境条件，衔接条件,周期性条件和无边境条件．9.4.2数学物理定解问题的适定性(1)解的存在性看所归结出来的定解问题能否有解；(2)解的独一性看能否只需一个解(3)解的稳定性当定解问题的自在项或定解条件有微小变化时，解能否相应地只需微小的变化量定解问题解的存在性、独一性和稳定性统称为定解问题的适定性.9.4.3数学物理定解问题的求解方法1.行波法；2.分别变量法；3.幂级数解法；4.格林函数法；5.积分变换法；6.保角变换法；7.变分法；8.计算机仿真解法；9.数值计算法9.5本章典型综合实例例9.5.1长为的