电子测量技术误差理论与数据处理

丈量误差的根本概念随机误差的统计特性及处置系统误差的判别及处置误差的合成与分配丈量数据处置第1章误差实际与数据处置1.1丈量误差的根本概念1.1.1丈量误差的定义丈量的目的:获得被丈量的真值。真值:在一定的时间和空间环境条件下，被丈量本身所具有的真实数值。丈量误差:一切丈量结果都带有误差。1.1.2丈量误差产生的缘由〔1〕仪器误差：由于丈量仪器及其附件的设计、制造、检定等不完善，以及仪器运用过程中老化、磨损、疲劳等要素而使仪器带有的误差。〔2〕影响误差：由于各种环境要素〔温度、湿度、振动、电源电压、电磁场等〕与丈量要求的条件不一致而引起的误差。〔3〕实际误差和方法误差：由于丈量原理、近似公式、丈量方法不合理而呵斥的误差。〔4〕人身误差：由于丈量人员感官的分辨才干、反响速度、视觉疲劳、固有习惯、缺乏责任心等缘由，而在丈量中运用操作不当、景象判别出错或数据读取疏失等而引起的误差。〔5〕丈量对象变化误差：丈量过程中由于丈量对象变化而使得丈量值不准确，如引起动态误差等。1.1.3丈量误差的分类1.按误差表示方法分绝对误差相对误差 2.按误差性质分系统误差随机误差粗大误差 1.1.3丈量误差的分类〔续〕1.按误差来源分仪器误差运用误差人身误差方法误差实际误差影响误差 1.1.4丈量误差的表示方法丈量误差有绝对误差和相对误差两种表示方法。1.绝对误差〔1〕定义：由丈量所得到的被丈量值与其真值之差，称为绝对误差有大小，又有符号和量纲实践运用中常用实践值A〔高一级以上的丈量仪器或计量器具丈量所得之值〕来替代真值。绝对误差：1.1.4丈量误差的示方法〔续〕〔2〕修正值与绝对误差的绝对值大小相等，但符号相反的量值，称为修正值丈量仪器的修正值可以经过上一级规范的检定给出，修正值可以是数值表格、曲线或函数表达式等方式。被丈量的实践值1.1.4丈量误差的示方法〔续〕2.相对误差一个量的准确程度，不仅与它的绝对误差的大小，而且与这个量本身的大小有关。例：丈量足球场的长度和成都市到绵阳市的间隔，假设绝对误差都为1米，丈量的准确程度能否一样？相对误差、援用误差、分贝误差相对误差：亦被称为相对真误差，它指绝对误差与被测真值的比。通常用百分数表示：相对误差是两个有一样量纲的量的比值，只需大小和符号，没有单位。1.1.4丈量误差的示方法〔续〕援用误差：满度相对误差〔援用相对误差〕用丈量仪器在一个量程范围内出现的最大绝对误差与该量程值〔上限值－下限值〕之比来表示的相对误差，称为满度相对误差〔或称援用相对误差〕仪表各量程内绝对误差的最大值1.1.4丈量误差的示方法〔续〕分贝误差——相对误差的对数表示分贝误差是用对数方式〔分贝数〕表示的一种相对误差，单位为分贝〔dB〕。电压增益的测得值为误差为用对数表示为增益测得值的分贝值分贝误差1.1.5系统误差与随机误差1系统误差定义：在一样条件下多次丈量同一量时，误差的绝对值和符号坚持恒定，或在条件改动时按一定规律变化的误差叫系统误差。系统误差简称“系差〞，用ε来表示。产生缘由：丈量仪器设备在设计和制造上有缺陷、丈量时环境条件与仪器要求不一致、丈量方法不完善、丈量设备的安装、放置和运用不当、丈量人员的不良习惯及生理上的限制。1.1.5系统误差与随机误差〔续〕特点：恒差系：就是当丈量条件一经确定，系统误差就是一个客观上恒定的值，多次丈量取平均值并不能改动其大小。变系差：就是在丈量条件改动时，普通来说系统误差是变化的，其规律有累进性的，也有周期性的，还有复杂规律变化的。1.1.5系统误差与随机误差〔续〕2.随机误差定义：在一样条件下多次丈量同一量时，误差的绝对值和符号均以不可预定方式变化的误差。随机误差简称“随差〞，普通是绝对误差方式。产生缘由：主要是那些对丈量影响微小而又互不相关的多种要素共同呵斥的，也就是随机要素的影响。特点是:在多次丈量中，随机误差的绝对值不会超越一定的界限，即有界性；绝对值相等的正负误差出现的时机一样，即对称性；随机误差的算术平均值随着丈量次数的无限添加而趋于零，也就是说多次丈量中随机误差有相互抵消的特性，即抵偿性。1.1.5系统误差与随机误差〔续〕3粗大误差定义：在一定丈量条件下，丈量示值明显偏离被测实践值所构成的误差。粗大误差又叫疏失误差。产生缘由：有丈量条件忽然变化的客观缘由，如丈量过程中供电电源的瞬时跳变；也有丈量人员忽略的缘由，如测错、读错、记错等。1.1.5系统误差与随机误差〔续〕4误差对丈量结果的影响及丈量结果评价丈量误差的系统误差、随机误差和粗大误差同时存在时，对丈量结果的影响可用图1-1来表示。图1-1三种误差同时存在的情况1.1.5系统误差与随机误差〔续〕图中表示真值，小黑点表示各次丈量值，表示的平均值，表示随机误差，ε表示系统误差〔恒系差〕，表示坏值。由图可知：坏值的存在，将严重影响平均值〔图中是未思索值〕，使其失去意义，因此整理丈量数据时必需先将坏值剔除；剔除坏值后，随机误差为丈量值与平均值的差，根据抵偿性经过多次丈量取算术平均值的方法以消除随差的影响；算术平均值与被测真值间存在一个恒定系差ε,ε越小那么离真值越近，ε为零时将趋于。1.1.5系统误差与随机误差〔续〕在〔a〕、〔b〕二图中，系差ε的大小是一样的，但〔a〕图比〔b〕图的丈量值集中，也就是分散性要小，对应随机误差也小。为了正确阐明丈量结果，分析丈量误差情况，通常用正确度、精细度和准确度来评价。正确度，指丈量值与被丈量真值的接近程度，也就是系统误差大小的程度。在图1-1中，系统误差ε越小，丈量平均值就离真值接近，正确度就越高。精细度，指丈量值反复一致的程度。一样条件下多次丈量同一量，每次丈量的值越接近，那么丈量的精细度就越高。因此，精细度表示丈量结果中随机误差的分散程度。在图1-1中，〔a〕的丈量值比〔b〕的丈量值集中，那么〔a〕的随机误差分散小，精细度也就高。准确度，反映系统误差和随机误差综合影响的程度，也就是包括了正确度和精细度。1.1.5系统误差与随机误差〔续〕图1-2是射击时靶牌的弹着点情况，它笼统直观地阐明了正确度、精细度和准确度三个概念。(a)图阐明正确度高而精细度低，〔b〕图阐明精细度高而正确度低，〔c〕图阐明正确度和精细度都高，即准确度高。图1-2射击靶牌弹着点情况1．2随机误差的统计特性及处置1.2.1随机误差的性质及特点概率论中心极限定理指出：构成随机变量总和的各独立随机变量足够多，且每个随机变量对总和的影响足够小，那么随机变量总和的分布规律服从正态分布。多数情况下，丈量中的随机误差正是由对丈量值影响微小而又相互独立的多个随机要素呵斥的，也就是说丈量中的随机误差普通是多个要素呵斥的许多微小误差的总和。因此，按概率密度函数描画丈量数据及随机误差的分布有：1．2．1随机误差的性质及特点〔续〕1．2．1随机误差的性质及特点〔续〕

1．2．1随机误差的性质及特点〔续〕式中为各丈量值，为随机误差，及为丈量值及随机误差分布的规范差，M〔〕是的数学期望值。上两式的几何曲线如图1-3所示。图1-3丈量数据和随机误差的正态分布1．2．1随机误差的性质及特点〔续〕丈量值与随机误差的分布外形一样，分散程度完全一样，因此规范差与相等，只是独一的不同就是横坐标差一个常数M()。因此，我们只需讨论其中的一种，而对另一种只需把横坐标挪动一个位置即可。由图1-3〔b〕可见，因随机误差影响使丈量数据呈正态分布，而且是对称地分布在数学期望值两侧。由图(1-3)〔a〕可见，绝对值小的随机误差出现的概率大，绝对值大的随机误差出现的概率小；绝对值相等的正、负随机误差出现的概率相等；绝对值很大的随机误差出现的概率趋于零。1．2．2数学期望值及规范差1.数学期望值M()我们将丈量值分为离散和延续两种情况。假设丈量值在所在区间内延续，那么丈量值有无穷多个，每个值的概率趋于零。根据概率论的知识，丈量值的数学期望值为：而丈量值为离散时，每次丈量值为，丈量次数为n，当n→∞时，丈量值的数学期望值为：〔n→∞〕1．2．2数学期望值及规范差〔续〕在实践丈量中，不但丈量值大都是离散的，而且丈量次数n也为有限次，那么只能得到算术平均值：算术平均值的数学期望值为：1．2．2数学期望值及规范差〔续〕2.规范差丈量的数学期望值反映了丈量值平均的情况，在实践丈量中还需求知道丈量值的离散程度，通常用丈量值的规范差来反映丈量值的离散程度。规范差的平方叫方差。丈量值延续时方差为：1．2．2数学期望值及规范差〔续〕而当丈量值离散时方差为：==

1．2．2数学期望值及规范差〔续〕n次丈量平均值的方差为：有限次丈量能得到而不能得M〔〕，这时的误差也只能叫残差或剩余误差，并用υ表示：1．2．2数学期望值及规范差〔续〕贝塞尔〔Bessel〕公式1．2．3丈量结果的置信问题〔1〕置信概率与置信区间：置信区间内包含真值的概率称为置信概率。置信限：k——置信系数〔或置信因子〕置信概率是图中阴影部分面积1．2．3丈量结果的置信问题〔续〕〔2〕正态分布的置信概率当分布和k值确定之后，那么置信概率可定正态分布,当k=3时置信因子k置信概率Pc10.68320.95530.997区间越宽，置信概率越大1．2．3丈量结果的置信问题〔续〕〔3〕t分布的置信限

t分布与丈量次数有关。当n>20以后，t分布趋于正态分布。正态分布是t分布的极限分布。当n很小时，t分布的中心值比较小，分散度较大，即对于一样的概率，t分布比正态分布有更大的置信区间。给定置信概率和丈量次数n，查表得置信因子kt。自在度：v=n-11．2．3丈量结果的置信问题〔续〕〔4〕非正态分布的置信因子

由于常见的非正态分布都是有限的，设其置信限为误差极限，即误差的置信区间为置信概率为100％。例：均匀分布

有故:1．2．3异常数据的剔除〔续〕对误差绝对值较大的丈量值视为可疑数据，它对丈量平均值及规范差估计值都有较大影响。在遇到可疑异常数据时，最好能根据察看分析到的物理缘由或技术缘由决议其取舍。当这样做有困难时，就常以统计学的方法来处置可疑异常数据。用统计学方法处置异常数据，就是给定一个置信概率，找出相应的置信区间，只需在此区间外的数据就视为异常数据，并予以剔除。对应为异常数据，应剔除。1.3系统误差的判别及处置

1.3.1系统误差的特征：在同一条件下，多次丈量同一量值时，误差的绝对值和符号坚持不变，或者在条件改动时，误差按一定的规律变化。多次丈量求平均不能减少系差。系统误差的特征1.3.2系统误差的发现方法〔1〕不变的系统误差：校准、修正和实验比对。〔2〕变化的系统误差①

残差察看法，适用于系统误差比随机误差大的情况 将所测数据及其残差按先后次序列表或作图，察看各数据的残差值的大小和符号的变化。1.3.2系统误差的发现方法〔续〕②马利科夫判据：假设有累进性系统误差，D值应明显异于零。 当n为偶数时，

当n为奇数时，③阿卑－赫梅特判据：检验周期性系差的存在。1.3.2系统误差的减弱或消除方法〔1〕从产生系统误差根源上采取措施减小系统误差①

要从丈量原理和丈量方法尽力做到正确、严厉。②

丈量仪器定期检定和校准，正确运用仪器。③留意周围环境对丈量的影响，特别是温度对电子丈量的影响较大。④

尽量减少或消除丈量人员客观缘由呵斥的系统误差。应提高丈量人员业务技术程度和任务责任心，改良设备。〔2〕用修正方法减少系统误差 修正值＝－误差=－〔丈量值－真值〕 实践值＝丈量值＋修正值1.3.2系统误差的减弱或消除方法〔续〕〔3〕采用一些专门的丈量方法①替代法②交换法③对称丈量法④减小周期性系统误差的半周期法系统误差可忽略不计的准那么是： 系统误差或剩余系统误差代数和的绝对值不超越丈量结果扩展不确定度的最后一位有效数字的一半。1.4误差的合成与分配1.4.1误差传送公式绝对误差的传送公式Δ=++……+=1.4.1误差传送公式〔续〕相对误差的传送公式==1.4.2误差的合成

1.系统误差的合成(1).恒系差的合成

=1.4.2误差的合成〔续〕(2).变系差的合成a.绝对值合成

1.4.2误差的合成〔续〕b.均方根合成

1.4.2误差的合成〔续〕2．随机误差的合成总和的随机误差：1.4.2误差的合成〔续〕方差

规范差

1.4.2误差的合成〔续〕3.含不同性质误差时不确定度的合成假设误差中同时含有系统误差和随机误差，首先应将误差中确定性系差〔恒系差〕、不确定性系数〔变系差〕和随机误差进展分别，先将确定性系差按式〔1-35〕进展总合，然后对不确定性系差和随机误差计算总合的不确定度。

1.4.3误差的分配1.等准确度分配原那么等准确度分配是指分配给各分项的误差彼此一样。可分配给各分项的系统误差和随机误差分别为：

等准确度分配通常用于各分项性质一样〔量纲一样〕，大小相近的情况。1.4.3误差的分配〔续〕2.等作用分配原那么等作用分配是指各分项误差对误差总合的作用是一样的，而分配的各分项误差在数值上不一定一样。可分配给各分项的系统误差和随机误差分别为

1.5丈量数据处置1.5.1有效数字及数字舍入规那么1.数字修约规那么由于丈量数据和丈量结果均是近似数，其位数各不一样。为了使丈量结果的表示准确独一，计算简便，在数据处置时，需对丈量数据和所用常数进展修约处置。数据修约规那么：〔1〕小于5舍去——末位不变。〔2〕大于5进1——在末位增1。〔3〕等于5时，取偶数——当末位是偶数，末位不变；末位是奇数，在末位增1〔将末位凑为偶数〕。1.5.1有效数字及数字舍入规那么〔续〕例：将以下数据舍入到小数第二位。12.4344→12.43 63.73501→63.740.69499→0.6925.3250→25.32 17.6955→17.70 123.1150→123.12需求留意的是，舍入应一次到位，不能逐位舍入。上例中0.69499，正确结果为0.69，错误做法是：0.69499→0.6950→0.695→0.70。在“等于5〞的舍入处置上，采用取偶数规那么，是为了在比较多的数据舍入处置中，使产生正负误差的概率近似相等。1.5.1有效数字及数字舍入规那么〔续〕2.有效数字假设截获得到的近似数其截取或舍入误差的绝对值不超越近似数末位的半个单位，那么该近似数从左边第一个非零数字到最末一位数为止的全部数字，称之为有效数字。例如：3.142 四位有效数字，极限误差≤0.00058.700 四位有效数字，极限误差≤0.00058.7×103 二位有效数字，极限误差≤0.05×1030.0807 三位有效数字，极限误差≤0.0051.5.1有效数字及数字舍入规那么〔续〕中间的0和末尾的0都是有效数字，不能随意添加。开头的零不是有效数字。丈量数据的绝对值比较大〔或比较小〕，而有效数字又比较少的丈量数据，应采用科学计数法，即a×10n，a的位数由有效数字的位数所决议。丈量结果〔或读数〕的有效位数应由该丈量的不确定度来确定，即丈量结果的最末一位应与不确定度的位数对齐。例如，某物理量的丈量结果的值为63.44，且该量的丈量不确定度u＝0.4，丈量结果表示为63.4±0.4。1.5.1有效数字及数字舍入规那么〔续〕3.近似运算法那么 保管的位数原那么上取决于各数中准确度最差的那一项。〔1〕加法运算 以小数点后位数最少的为准〔各项无小数点那么以有效位数最少者为准〕，其他各数可多取一位。例如：

〔2〕减法运算：当两数相差甚远时，原那么同加法运算；当两数很接近时，有能够呵斥很大的相对误差，因此，第一要尽量防止导致相近两数相减的丈量方法，第二在运算中多一些有效数字。 1.5.1有效数字及数字舍入规那么〔续〕

3〕乘除法运算 以有效数字位数最少的数为准，其他参与运算的数字及结果中的有效