2024届安徽省三校数学高一第二学期期末达标检测模拟试题含解析

2024届安徽省三校数学高一第二学期期末达标检测模拟试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．已知为等差数列的前项和，，，则（）A．2019 B．1010 C．2018 D．10112．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A． B． C． D．3．在中，角，，所对的边分别为，，，若，则的值为()A． B． C． D．4．2021年某省新高考将实行“”模式，即语文、数学、外语必选，物理、历史二选一，政治、地理、化学、生物四选二，共有12种选课模式.某同学已选了物理，记事件：“他选择政治和地理”，事件：“他选择化学和地理”，则事件与事件（）A．是互斥事件，不是对立事件 B．是对立事件，不是互斥事件C．既是互斥事件，也是对立事件 D．既不是互斥事件也不是对立事件5．已知直线倾斜角的范围是，则此直线的斜率的取值范围是（）A． B．C． D．6．已知直线l过点且与直线垂直，则l的方程是（）A． B．C． D．7．直线的倾斜角不可能为（）A． B． C． D．8．直线的倾斜角是（）A． B． C． D．9．赵爽是三国时期吴国的数学家，他创制了一幅“勾股圆方图”，也称“赵爽弦图”，如图，若在大正方形内随机取-点，这一点落在小正方形内的概率为，则勾与股的比为（）A． B． C． D．10．如图，矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，P是对角线AC上一点，，过点P的直线分别交DA的延长线，AB，DC于点M，E，N.若(m>0，n>0)，则2m＋3n的最小值是()A． B．C． D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．设为等差数列的前n项和，，则________.12．下列关于函数与的命题中正确的结论是______.①它们互为反函数；②都是增函数；③都是周期函数；④都是奇函数.13．已知，，若，则______．14．某中学调查了某班全部45名同学参加书法社团和演讲社团的情况，数据如下表所示（单位：人）.参加书法社团未参加书法社团参加演讲社团85未参加演讲社团230若从该班随机选l名同学，则该同学至少参加上述一个社团的概率为__________.15．若当时，不等式恒成立，则实数a的取值范围是_____.16．函数的定义域为____________.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．如图所示，在梯形中，∥，⊥，，⊥平面，⊥．（1）证明：⊥平面；（2）若，求点到平面的距离．18．已知：的顶点，，．（1）求AB边上的中线CD所在直线的方程；（2）求的面积．19．已知圆经过，，三点．(1)求圆的标准方程；(2)若过点N的直线被圆截得的弦AB的长为，求直线的倾斜角．20．如图，在直四棱柱中，底面为菱形，为中点．（1）求证：平面；（2）求证：．21．已知等差数列中，与的等差中项为，.（1）求的通项公式；（2）令，求证：数列的前项和.

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、A【解题分析】

利用基本元的思想，将已知条件转化为和的形式，列方程组，解方程组求得，进而求得的值.【题目详解】由于数列是等差数列，故，解得，故.故选：A.【题目点拨】本小题主要考查等差数列通项公式和前项和公式的基本量计算，属于基础题.2、A【解题分析】

根据三视图可知几何体为三棱锥，根据棱锥体积公式求得结果.【题目详解】由三视图可知，几何体为三棱锥三棱锥体积为：本题正确选项：【题目点拨】本题考查棱锥体积的求解，关键是能够通过三视图确定几何体为三棱锥，且通过三视图确定三棱锥的底面和高.3、B【解题分析】

化简式子得到，利用正弦定理余弦定理原式等于，代入数据得到答案.【题目详解】利用正弦定理和余弦定理得到：故选B【题目点拨】本题考查了正弦定理，余弦定理，三角恒等变换，意在考查学生的计算能力.4、A【解题分析】

事件与事件不能同时发生，是互斥事件，他还可以选择化学和政治，不是对立事件，得到答案.【题目详解】事件与事件不能同时发生，是互斥事件他还可以选择化学和政治，不是对立事件故答案选A【题目点拨】本题考查了互斥事件和对立事件，意在考查学生对于互斥事件和对立事件的理解.5、B【解题分析】

根据直线的斜率等于倾斜角的正切值求解即可.【题目详解】因为直线倾斜角的范围是,又直线的斜率,.故或.故.故选：B【题目点拨】本题主要考查了直线斜率与倾斜角的关系,属于基础题.6、A【解题分析】

直线2x–3y+1=0的斜率为则直线l的斜率为所以直线l的方程为故选A7、D【解题分析】

根据直线方程，分类讨论求得直线的斜率的取值范围，进而根据倾斜角和斜率的关系，即可求解，得到答案.【题目详解】由题意，可得当时，直线方程为，此时倾斜角为；当时，直线方程化为，则斜率为：，即，又由，解得或，又由且，所以倾斜角的范围为，显然A，B都符合，只有D不符合，故选D.【题目点拨】本题主要考查了直线方程的应用，以及直线的倾斜角和斜率的关系，着重考查了分类讨论思想，以及推理与运算能力.8、D【解题分析】

先求出直线的斜率，再求直线的倾斜角.【题目详解】由题得直线的斜率.故选：D【题目点拨】本题主要考查直线的斜率和倾斜角的计算，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.9、B【解题分析】

分别求解出小正方形和大正方形的面积，可知面积比为，从而构造方程可求得结果.【题目详解】由图形可知，小正方形边长为小正方形面积为：，又大正方形面积为：，即：解得：本题正确选项：【题目点拨】本题考查几何概型中的面积型的应用，关键是能够利用概率构造出关于所求量的方程.10、C【解题分析】设，则又当且仅当时取等号，故选点睛：在利用基本不等式求最值的时候，要特别注意“拆，拼，凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”（即条件要求中字母为正数），“定”（不等式的另一边必须为定值），“等”（等号取得的条件）的条件才能应用，否则会出现错误．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、54.【解题分析】

设首项为，公差为，利用等差数列的前n项和公式列出方程组，解方程求解即可.【题目详解】设首项为，公差为,由题意，可得解得所以.【题目点拨】本题主要考查了等差数列的前n项和公式，解方程的思想，属于中档题.12、④【解题分析】

利用反函数，增减性，周期函数，奇偶性判断即可【题目详解】①，当时，的反函数是，故错误；②，当时，是增函数，故错误；③，不是周期函数，故错误；④，与都是奇函数，故正确故答案为④【题目点拨】本题考查正弦函数及其反函数的性质，熟记其基本性质是关键，是基础题13、【解题分析】

首先令，分别把解出来，再利用整体换元的思想即可解决．【题目详解】令所以令，所以所以【题目点拨】本题主要考查了整体换元的思想以及对数之间的运算和公式法解一元二次方程．整体换元的思想是高中的一个重点，也是高考常考的内容需重点掌握．14、【解题分析】

直接利用公式得到答案.【题目详解】至少参加上述一个社团的人数为15故答案为【题目点拨】本题考查了概率的计算，属于简单题.15、【解题分析】

用换元法把不等式转化为二次不等式．然后用分离参数法转化为求函数最值．【题目详解】设，是增函数，当时，，不等式化为，即，不等式在上恒成立，时，显然成立，，对上恒成立，由对勾函数性质知在是减函数，时，，∴，即．综上，．故答案为：．【题目点拨】本题考查不等式恒成立问题，解题方法是转化与化归，首先用换元法化指数型不等式为一元二次不等式，再用分离参数法转化为求函数最值．16、【解题分析】

先将和分别解出来，然后求交集即可【题目详解】要使，则有且由得由得因为所以原函数的定义域为故答案为：【题目点拨】解三角不等式的方法：1.在单位圆中利用三角函数线，2.利用三角函数的图像三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）见解析（2）【解题分析】

（1）通过⊥，⊥来证明；（2）根据等体积法求解.【题目详解】（1）证明：∵⊥平面，平面，∴⊥.又⊥，，平面，平面，∴⊥平面.（2）由已知得，所以且由（1）可知，由勾股定理得∵平面∴=，且∴，由，得∴即点到平面的距离为【题目点拨】本题考查线面垂直与点到平面的距离.线面垂直的证明要转化为线线垂直；点到平面的距离常规方法是作出垂线段求解，此题根据等体积法能简化计算.18、（1）；（2）11.【解题分析】

（1）直接利用已知条件求出AB边上的中点，即可求直线的方程．（2）利用所求出的直线方程利用分割法求出三角形的面积，或者求出及直线AB的方程，可得点C到直线AB的距离，求出三角形的面积.【题目详解】（1）∵线段AB的中点D的坐标为，所以，由两点式方程可得，AB边上的中线CD所在直线的方程为，即．（2）法1：因为，点A到直线CD的距离是，所以的面积是．法2：因为，由两点式得直线AB的方程为：，点C到直线AB的距离是，所以的面积是．【题目点拨】本题考查直线方程求法与点到直线距离公式应用，属于基础题.19、(1)(2)30°或90°．【解题分析】

（1）解法一：将圆的方程设为一般式，将题干三个点代入圆的方程，解出相应的参数值，即可得出圆的一般方程，再化为标准方程；解法二：求出线段和的中垂线方程，将两中垂线方程联立求出交点坐标，即为圆心坐标，然后计算为圆的半径，即可写出圆的标准方程；（2）先利用勾股定理计算出圆心到直线的距离为，并对直线的斜率是否存在进行分类讨论：一是直线的斜率不存在，得出直线的方程为，验算圆心到该直线的距离为；二是当直线的斜率存在时，设直线的方程为，并表示为一般式，利用圆心到直线的距离为得出关于的方程，求出的值．结合前面两种情况求出直线的倾斜角．【题目详解】（1）解法一：设圆的方程为，则∴即圆为，∴圆的标准方程为；解法二：则中垂线为,中垂线为，∴圆心满足∴，半径，∴圆的标准方程为．（2）①当斜率不存在时，即直线到圆心的距离为1，也满足题意，此时直线的倾斜角为90°，②当斜率存在时，设直线的方程为，由弦长为4，可得圆心到直线的距离为，，∴，此时直线的倾斜角为30°，综上所述，直线的倾斜角为30°或90°．【题目点拨】本题考查圆的方程以及直线截圆所得弦长的计算，在求直线与圆所得弦长的计算中，问题的核心要转化为弦心距的计算，弦心距的计算主要有以下两种方式：一是利用勾股定理计算，二是利用点到直线的距离公式计算圆心到直线的距离．20、（1）见解析；（2）见解析【解题分析】

(1)连接与与交于点，在利用中位线证明平行.(2)首先证明平面，由于平面，证明得到结论.【题目详解】证明：（1）连接与交于点，连接因为底面为菱形，所以为中点因为为中点，所以平面，平面，所以平面（2）在直四棱柱中，平面，平面所以因为底面为菱形，所以所以，，，平面，平面所以平面因为平面，所以【题目点拨】本题考查直棱柱得概