2024届福建省龙岩第二中学数学高一第二学期期末质量跟踪监视试题含解析

2024届福建省龙岩第二中学数学高一第二学期期末质量跟踪监视试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．已知，则()A．-3 B． C． D．32．设，则比多了（）项A． B． C． D．3．等比数列的前项和为，，且成等差数列，则等于()A． B． C． D．4．如图，平行四边形的对角线相交于点，是的中点，的延长线与相交于点，若，，，则()A． B． C． D．5．不等式的解集为()A．(-4，1) B．(-1，4)C．(-∞，-4)∪(1，+∞) D．(-∞，-1)∪(4,+∞）6．已知函数f(x)满足：f(x)=-f(-x)，且当x∈(-∞，0]时，成立，若则a，b，c的大小关系是（）A．a>b>c B．c>a>b C．b>a>c D．c>b>a7．无论取何实数，直线恒过一定点，则该定点坐标为（）A． B． C． D．8．已知，，那么是（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限9．在等比数列中，，，，则等于()A． B． C． D．10．在等差数列中，若，则（）A． B． C． D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．若等差数列和等比数列满足，，则_______.12．已知正三角形的边长是2，点为边上的高所在直线上的任意一点，为射线上一点，且.则的取值范围是____13．一个封闭的正三棱柱容器，该容器内装水恰好为其容积的一半（如图1，底面处于水平状态），将容器放倒（如图2，一个侧面处于水平状态），这时水面与各棱交点分别为E，F、，，则的值是__________.14．若集合，，则集合________.15．已知数列的前n项和为，，且（），记（），若对恒成立，则的最小值为__．16．如图，正方体的棱长为，动点在对角线上，过点作垂直于的平面，记这样得到的截面多边形（含三角形）的周长为，设，则当时，函数的值域__________．三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知函数的图象关于直线对称，且图象上相邻两个最高点的距离为.（1）求和的值；（2）当时，求函数的最大值和最小值；（3）设，若的任意一条对称轴与x轴的交点的横坐标不属于区间，求c的取值范围.18．如图，在处有一港口，两艘海轮同时从港口处出发向正北方向匀速航行，海轮的航行速度为20海里/小时，海轮的航行速度大于海轮．在港口北偏东60°方向上的处有一观测站，1小时后在处测得与海轮的距离为30海里，且处对两艘海轮，的视角为30°．（1）求观测站到港口的距离；（2）求海轮的航行速度．19．对于函数f1(x), f2(x), h(x)，如果存在实数（1）下面给出两组函数，h(x)是否分别为f1第一组：f1第二组：；（2）设f1x=log2x,f2x20．已知向量a=(5sin（1）求cos(α+β)（2）若0<α<β<π2，且sinα=21．已知点A(1，2)，B(3，1)，C(2，2)，D(1，m)(1)若向量∥，求实数m的值；(2)若m＝3，求向量与的夹角．

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、C【解题分析】

由同角三角函数关系得到余弦、正切，再由两角差的正切公式得到结果.【题目详解】已知，则,,则故答案为C.【题目点拨】这个题目考查了三角函数的化简求值，1.利用sin2α＋cos2α＝1可以实现角α的正弦、余弦的互化，利用＝tanα可以实现角α的弦切互化；2.注意公式逆用及变形应用：1＝sin2α＋cos2α，sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α.2、C【解题分析】

可知中共有项，然后将中的项数减去中的项数即可得出答案.【题目详解】，则中共有项，所以，比多了的项数为.故选:C.【题目点拨】本题考查数学归纳法的应用，解题的关键就是计算出等式中的项数，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.3、A【解题分析】

根据等差中项的性质列方程，并转化为的形式，由此求得的值，进而求得的值.【题目详解】由于成等差数列，故，即，所以，，所以，故选A.【题目点拨】本小题主要考查等差中项的性质，考查等比数列基本量的计算，属于基础题.4、B【解题分析】

先根据勾股定理判断为直角三角形，且，，再根据三角形相似可得，然后由向量的加减的几何意义以及向量的数量积公式计算即可．【题目详解】，，，，为直角三角形，且，，平行行四边形的对角线相交于点，是的中点，，，，，故选B．【题目点拨】本题主要考查向量的加减的几何意义以及向量的数量积公式的应用．5、A【解题分析】

将原不等式化简并因式分解，由此求得不等式的解集.【题目详解】原不等式等价于，即，解得.故选A.【题目点拨】本小题主要考查一元二次不等式的解法，属于基础题.6、B【解题分析】

根据已知条件判断出函数的奇偶性，利用构造函数法，结合已知条件，判断出的单调性，结合的奇偶性比较出的大小关系.【题目详解】由于，所以为奇函数.构造函数，依题意，当时，，所以在区间上递减.由于，所以为偶函数，故在上递增..，.由于，所以.故选：B【题目点拨】本小题主要考查函数的奇偶性和单调性，考查构造函数法判断函数的单调性，考查比较大小的方法，属于中档题.7、A【解题分析】

通过整理直线的形式，可求得所过的定点.【题目详解】直线可整理为，当，解得，无论为何值，直线总过定点.故选A.【题目点拨】本题考查了直线过定点问题，属于基础题型.8、C【解题分析】

根据,,可判断所在象限.【题目详解】,在三四象限.,在一三象限，故在第三象限答案为C【题目点拨】本题考查了三角函数在每个象限的正负，属于基础题型.9、C【解题分析】

直接利用等比数列公式计算得到答案.【题目详解】故选：C【题目点拨】本题考查了等比数列的计算，属于简单题.10、B【解题分析】

由等差数列的性质可得，则答案易求.【题目详解】在等差数列中，因为，所以.所以.故选B.【题目点拨】本题考查等差数列性质的应用.在等差数列中，若，则.特别地，若，则.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解题分析】

设等差数列的公差为，等比数列的公比为，根据题中条件求出、的值，进而求出和的值，由此可得出的值.【题目详解】设等差数列的公差和等比数列的公比分别为和，则，求得，，那么，故答案为.【考点】等差数列和等比数列【题目点拨】等差、等比数列各有五个基本量，两组基本公式，而这两组公式可看作多元方程，利用这些方程可将等差、等比数列中的运算问题转化为解关于基本量的方程（组）问题，因此可以说数列中的绝大部分运算题可看作方程应用题，所以用方程思想解决数列问题是一种行之有效的方法.12、【解题分析】

以AB所在的直线为x轴，以AB的中点为坐标原点，AB的垂线为y轴，建立平面直角坐标系，求出A.C,P,Q的坐标，运用平面向量的坐标表示和性质，求出的表达式，利用判别式法求出的取值范围.【题目详解】以AB所在的直线为x轴，以AB的中点为坐标原点，AB的垂线为y轴，建立平面直角坐标系，如下图所示：，设，，设，可得，由，可得即，，令，可得，当时，成立，当时，，即，，即，所以的取值范围是.【题目点拨】本题考查了平面向量数量积的性质和运算，考查了平面向量模的取值范围，构造函数，利用判别式法求函数的最值是解题的关键.13、【解题分析】

设，则，由题意得：，由此能求出的值．【题目详解】设，则，由题意得：，解得，．故答案为：．【题目点拨】本题考查两线段比值的求法、三棱柱的体积等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．14、【解题分析】由题意，得，，则.15、【解题分析】

,即为首项为，公差为的等差数列，，，，由得，因为或时，有最大值，，即的最小值为，故答案为.【方法点晴】裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，掌握一些常见的裂项技巧：①；②；③；④；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误.16、【解题分析】

根据已知条件，所得截面可能是三角形，也可能是六边形，分别求出三角形与六边形周长的取值情况，即可得到函数的值域.【题目详解】如图：∵正方体的棱长为，∴正方体的对角线长为6，∵（i）当或时，三角形的周长最小.设截面正三角形的边长为，由等体积法得：∴∴，（ii）或时，三角形的周长最大，截面正三角形的边长为，∴（iii）当时，截面六边形的周长都为∴∴当时，函数的值域为.【题目点拨】本题考查多面体表面的截面问题和线面垂直，关键在于结合图形分析截面的三种情况，进而得出与截面边长的关系.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1），（2）；.（3）【解题分析】

（1）由相邻最高点距离得周期，从而可得，由对称性可求得；（2）结合正弦函数性质可得最值．（3），先由半个周期大于得出的一个范围，在此范围内再寻找，求出对称轴，由对称轴且得的范围．【题目详解】（1）因为的图象上相邻两个最高点的距离为，所以的最小正周期，而，又因为的图象关于直线对称，所以，即，又，所以.综上，，.（2）由（1）知，当时，，所以，当即时，；当，即时，.（3），的任意一条对称轴与x轴的交点的横坐标都不属于区间，，即，令，得，且，得，当时，，当时，，当时，，故所求范围.【题目点拨】本题考查由三角函数性质求函数解析式，考查正弦函数的最值，考查函数的对称性．掌握正弦函数性质是解题关键．18、（1）海里；（2）速度为海里/小时【解题分析】

（1）由已知可知,所以在中，运用余弦定理易得OA的长．（2）因为C航行1小时到达C，所以知道OC的长即可，即求BC的长．在中，由正弦定理求得，在中，再由正弦定理即可求出BC．【题目详解】（1）因为海伦的速度为20海里/小时，所以1小时后，海里又海里，，所以中，由余弦定理知：即即，解得：海里（2）中，由正弦定理知：解得：中，，，所以所以在中，由正弦定理知：，解得：所以答：船的速度为海里/小时【题目点拨】三角形中一般已知三个条件可求其他条件，用到的工具一般是余弦定理或者正弦定理．19、（1）见解析；（2）(-∞,-5)【解题分析】

（1）①设asinx+bcos取a=12,  b=②设a(x2-x)+b(则a+b=1-a+b=-1b=1，该方程组无解．所以h(x)不是（2）因为f1所以h(x)=2f不等式3h2(x)+2等价于t<-3h2(x)-2令s=log2x，则s∈[1,知y取得最大值-5，所以t<-5．考点：①创新题型即新定义问题②不等式有解球参数范围问题20、（1）cos(α+β)=2【解题分析】

（1）根据向量数列积的坐标运算，化简整理得到5cos（2）根据题中条件求出cosα=310再由cos(2α+β)=【题目详解】解：（1）因为a=(所以a⋅=5因为a⋅b=2，所以5（2）因为0<α<π2,因为0<α<β<π2，所以因为cos(α+β)=2所以cos因为0<α<β<π2，所以0<2α+β<【题目