浙江省杭州市塘栖中学2024届高一数学第二学期期末统考试题含解析

浙江省杭州市塘栖中学2024届高一数学第二学期期末统考试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．已知等差数列的首项,公差,则()A．5 B．7 C．9 D．112．若，则（）A． B． C． D．3．不等式的解集为（）A． B． C． D．4．已知圆心为C（6，5），且过点B（3，6）的圆的方程为（）A． B．C． D．5．一几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．16 B．20 C．24 D．286．已知向量，且，则m=()A．−8 B．−6C．6 D．87．在中，，则的形状为（）A．直角三角形 B．等腰三角形 C．钝角三角形 D．正三角形8．某赛季甲、乙两名篮球运动员5场比赛得分的茎叶图如图所示，已知甲得分的极差为32，乙得分的平均值为24，则下列结论错误的是（）A．B．甲得分的方差是736C．乙得分的中位数和众数都为26D．乙得分的方差小于甲得分的方差9．已知x､y的取值如下表:x0134y2.24.34.86.7从散点图可以看出y与x线性相关，且回归方程，则当时，估计y的值为（）A．7.1 B．7.35 C．7.95 D．8.610．已知，，则在方向上的投影为（）A． B． C． D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．直线的倾斜角为_____________12．等差数列{}前n项和为.已知+-=0，=38,则m=_______.13．已知函数，关于此函数的说法：①为周期函数；②有对称轴；③为的对称中心；④；正确的序号是_________.14．下列命题中：①若，则的最大值为；②当时，；③的最小值为；④当且仅当均为正数时，恒成立.其中是真命题的是__________．(填上所有真命题的序号)15．已知函数的图象如下，则的值为__________．16．在中，，，面积为，则________．三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．将边长分别为、、、…、、、…的正方形叠放在一起，形成如图所示的图形，由小到大，依次记各阴影部分所在的图形为第个、第个、……、第个阴影部分图形.设前个阴影部分图形的面积的平均值为.记数列满足，（1）求的表达式；（2）写出，的值，并求数列的通项公式；（3）定义，记，且恒成立，求的取值范围.18．在中，内角、、的对边分别为、、，且．（1）求角的大小；（2）若，求的最大值及相应的角的余弦值.19．已知的外接圆的半径为，内角，，的对边分别为，，，又向量，，且.（1）求角；（2）求三角形的面积的最大值并求此时的周长.20．如图，三棱柱中，侧面为菱形，的中点为，且平面．(1)证明：；(2)若，，，试画出二面角的平面角，并求它的余弦值．21．已知函数为奇函数，且，其中，.（1）求，的值.（2）若，，求的值.

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、C【解题分析】

直接利用等差数列的通项公式，即可得到本题答案.【题目详解】由为等差数列，且首项，公差，得.故选：C【题目点拨】本题主要考查利用等差数列的通项公式求值，属基础题.2、C【解题分析】

由及即可得解.【题目详解】由，可得.故选C.【题目点拨】本题主要考查了同角三角函数的基本关系及二倍角公式，属于基础题.3、A【解题分析】

因式分解求解即可.【题目详解】,解得.故选：A【题目点拨】本题主要考查了二次不等式的求解,属于基础题.4、A【解题分析】

在知道圆心的情况下可设圆的标准方程为,然后根据圆过点B（3，6），代入方程可求出r的值，得到圆的方程.【题目详解】因为,又因为圆心为C（6，5）,所以所求圆的方程为,因为此圆过点B（3，6），所以,所以，因而所求圆的方程为.考点：圆的标准方程.5、B【解题分析】

根据三视图可还原几何体，根据长度关系依次计算出各个侧面和上下底面的面积，加和得到表面积.【题目详解】有三视图可得几何体的直观图如下图所示：其中：，，，则：，，，，几何体表面积：本题正确选项：【题目点拨】本题考查几何体表面积的求解问题，关键是能够根据三视图准确还原几何体，从而根据长度关系可依次计算出各个面的面积.6、D【解题分析】

由已知向量的坐标求出的坐标，再由向量垂直的坐标运算得答案．【题目详解】∵，又，∴3×4+（﹣2）×（m﹣2）＝0，解得m＝1．故选D．【题目点拨】本题考查平面向量的坐标运算，考查向量垂直的坐标运算，属于基础题．7、A【解题分析】

在中，由，变形为，再利用内角和转化为，通过两角和的正弦展开判断.【题目详解】在中，因为，所以，所以，所以，所以，所以直角三角形.故选：A【题目点拨】本题主要考查了利用三角恒等变换判断三角形的形状，还考查了运算求解的能力，属于基础题.8、B【解题分析】

根据题意，依次分析选项，综合即可得答案．【题目详解】根据题意，依次分析选项：对于A，甲得分的极差为32，30+x﹣6=32，解得：x=8，A正确，对于B，甲得分的平均值为，其方差为，B错误；对于C，乙的数据为：12、25、26、26、31，其中位数、众数都是26，C正确，对于D，乙得分比较集中，则乙得分的方差小于甲得分的方差，D正确；故选：B．【题目点拨】本题考查茎叶图的应用，涉及数据极差、平均数、中位数、众数、方差的计算，属于基础题．9、B【解题分析】

计算，，代入回归方程计算得到，再计算得到答案.【题目详解】，，故，解得.当，.故选：【题目点拨】本题考查了回归方程的应用，意在考查学生的计算能力.10、A【解题分析】在方向上的投影为，选A.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解题分析】

先求得直线的斜率，由此求得对应的倾斜角.【题目详解】依题意可知，直线的斜率为，故倾斜角为.故答案为：【题目点拨】本小题主要考查直线斜率和倾斜角的计算，属于基础题.12、10【解题分析】

根据等差数列的性质，可得：+=2，又+-=0，则2=，解得=0（舍去）或=2.则，,所以m＝10.13、①②④【解题分析】

由三角函数的性质及，分别对各选项进行验证，即可得出结论.【题目详解】解：由函数，可得①，可得为周期函数，故①正确；②由，，故，是偶函数，故有对称轴正确，故②正确；③为偶数时，，为奇数时,故不为的对称中心，故③不正确；④由，可得正确，故④正确.故答案为：①②④.【题目点拨】本题主要考查三角函数的值域、周期性、对称性等相关知识，综合性大，属于中档题.14、①②【解题分析】

根据均值不等式依次判断每个选项的正误，得到答案.【题目详解】①若，则的最大值为，正确②当时，，时等号成立，正确③的最小值为，取错误④当且仅当均为正数时，恒成立均为负数时也成立.故答案为①②【题目点拨】本题考查了均值不等式，掌握一正二定三相等的具体含义是解题的关键.15、【解题分析】

由函数的图象的顶点坐标求出,由半个周期求出,最后将特殊点的坐标求代入解析式,即可求得的值.【题目详解】解：由图象可得,,得.,将点代入函数解析式,得,,,又因为,所以故答案为：【题目点拨】本题考查由的部分图象确定其解析式.（1）根据函数的最高点的坐标确定（2）根据函数零点的坐标确定函数的周期求（3）利用最值点的坐标同时求的取值,即可得到函数的解析式.16、【解题分析】

由已知利用三角形面积公式可求c，进而利用余弦定理可求a的值，根据正弦定理即可计算求解.【题目详解】，，面积为,解得，由余弦定理可得：，所以,故答案为：【题目点拨】本题主要考查了三角形面积公式，余弦定理，正弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2），，；（3）.【解题分析】

（1）根据题意，分别求出每一个阴影部分图形的面积，即可得到前个阴影部分图形的面积的平均值；（2）依据递推式，结合分类讨论思想，即可求出数列的通项公式；（3）先求出的表达式，再依题意得到，分类讨论不等式恒成立的条件，取其交集，即得所求范围。【题目详解】（1）由题意有，第一个阴影部分图形面积是：；第二个阴影部分图形面积是：；第三个阴影部分图形面积是：；所以第个阴影部分图形面积是：；故；（2）由（1）知，，，所以，，当时，当时，，综上，数列的通项公式为，。（3）由（2）知，，，由题意可得，恒成立，①当时，，即，所以，②当时，，即，所以，③当时，，即，所以，综上，。【题目点拨】本题主要考查数列的通项公式求法，数列不等式恒成立问题的解法以及分类讨论思想的运用，意在考查学生逻辑推理能力及运算能力。18、（1）（2）的最大值为，此时【解题分析】

（1）由正弦定理边角互化思想结合内角和定理、诱导公式可得出的值，结合角的取值范围可得出角的大小；（2）由正弦定理得出，，然后利用三角恒等变换思想将转化为关于角的三角函数，可得出的值，并求出的值.【题目详解】（1）由正弦定理得，即，从而有，即，由得，因为，所以；（2）由正弦定理可知，，则有，，，其中，因为，所以，所以当时，取得最大值，此时，所以，的最大值为，此时．【题目点拨】本题考查正弦定理边角互化思想的应用，考查内角和定理、诱导公式，以及三角形中最值的求解，求解时常利用正弦定理将边转化为角的三角函数来求解，解题时要充分利用三角恒等变换思想将三角函数解析式化简，考查运算求解能力，属于中等题.19、(1).(2)，周长为.【解题分析】

（1）由，利用坐标表示化简，结合余弦定理求角C（2）利用（1）中，应用正弦定理和基本不等式，即可求出面积的最大值，此时三角形为正三角即可求周长.【题目详解】（1）∵，∴，且，由正弦定理得：，化简得：.由余弦定理：，∴，∵，∴.（2）∵，∴（当且仅当时取“”），所以，，此时，为正三角形，此时三角形的周长为.【题目点拨】本题主要考查了利用数量积判断两个平面向量的垂直关系，正弦定理，余弦定理，基本不等式，属于中档题.20、(1)见证明；(2)二面角图见解析；【解题分析】

（1）由菱形的性质得出，由平面，得出，再利用直线与平面垂直的判定定理证明平面，于是得出；（2）过点在平面内作，垂足为点，连接，可证出平面，于是找出二面角的平面角为，并计算出的三边边长，利用锐角三角函数计算出，即为所求答案．【题目详解】（1）连接，因为侧面为菱形，所以，且与相交于点．因为平面，平面，所以．又，所以平面因为平面，所以．（2）作，垂足为，连结，因为，，，所以平面，又平面，所以.所以是二面角的平面角.因为，所以为等边三角形，又，所以，所以.因为，所以.所以.在中，.【题目点拨】本题考查直线与直线垂直的证明，二面角的求解，在这些问题的处理中，主要找出一些垂直关系，二面角的求解一般有以下几种方法：①定义法；②三垂线法；③垂面法；④射影面积法；⑤空间向量法．在求解时，可以灵活利用这些方法去处理．21、(1)；（2）.【解题分析】试题分析：（1）先根据奇函数性质得y2＝cos(2x＋θ)为奇函数，解得θ＝，再根据解得a（2）根据条件化简得sinα＝，