河南省辉县市一高2024届高一数学第二学期期末综合测试试题含解析

河南省辉县市一高2024届高一数学第二学期期末综合测试试题注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．中国古代的“礼”“乐”“射”“御”“书”“数”合称“六艺”.某校国学社团准备于周六上午9点分别在6个教室开展这六门课程讲座，每位同学只能选择一门课程，则甲乙两人至少有人选择“礼”的概率是（）A． B． C． D．2．根据下面茎叶图提供了甲、乙两组数据，可以求出甲、乙的中位数分别为（）A．24和29 B．26和29 C．26和32 D．31和293．如图，是圆的直径，，假设你往圆内随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率为（）A． B． C． D．4．已知等差数列中，,则（）A． B．C． D．5．在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若，则的形状为（）A．等腰三角形 B．直角三角形C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形6．阅读如图所示的算法框图,输出的结果S的值为A．8 B．6 C．5 D．47．利用随机模拟方法可估计无理数π的数值，为此设计右图所示的程序框图，其中rand()表示产生区间(0,1)上的随机数,P是s与n的比值，执行此程序框图，输出结果P的值趋近于()A．π B．π4 C．π28．对一切实数，不等式恒成立.则的取值范围是（）A． B．C． D．9．方程的解所在的区间为（）A． B．C． D．10．已知的三个内角所对的边分别为.若，则该三角形的形状是（）A．等边三角形 B．等腰三角形 C．等腰三角形或直角三角形 D．直角三角形二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．函数的最小正周期是______．12．已知数列满足：，，则使成立的的最大值为_______13．在中，角，，的对边分别为，，，若，则________.14．已知实数满足约束条件，若目标函数仅在点处取得最小值，则的取值范围是__________.15．如图，矩形中，，，是的中点，将沿折起，使折起后平面平面，则异面直线和所成的角的余弦值为__________．16．设不等式组所表示的平面区域为D.若直线与D有公共点，则实数a的取值范围是_____________.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知为等边角形，.点满足，，.设.试用向量和表示;若,求的值.18．在某单位的职工食堂中，食堂每天以3元/个的价格从面包店购进面包，然后以5元/个的价格出售.如果当天卖不完，剩下的面包以1元/个的价格全部卖给饲料加工厂.根据以往统计资料，得到食堂每天面包需求量的频率分布直方图如下图所示.食堂某天购进了80个面包，以x（单位：个，）表示面包的需求量，T（单位：元）表示利润.（1）求食堂面包需求量的平均数；（2）求T关于x的函数解析式；（3）根据直方图估计利润T不少于100元的概率.19．如图所示，是正三角形，线段和都垂直于平面，设，，且为的中点．（1）求证：平面；（2）求平面与平面所成的较小二面角的大小20．如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧远处一山顶D在西偏北的方向上，仰角为，行驶4km后到达B处，测得此山顶在西偏北的方向上．（1）求此山的高度（单位：km）；（2）设汽车行驶过程中仰望山顶D的最大仰角为，求．21．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，.（1）求角A的大小；（2）若，求的周长.

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、D【解题分析】

甲乙两人至少有人选择“礼”的对立事件是甲乙两人都不选择“礼”，求出后者的概率即可【题目详解】由题意，甲和乙不选择“礼”的概率是，且相互独立所以甲乙两人都不选择“礼”的概率是所以甲乙两人至少有人选择“礼”的概率是故选：D【题目点拨】当遇到“至多”“至少”型题目时，一般用间接法求会比较简单，即先求出此事件的对立事件的概率，然后即可得出原事件的概率.2、B【解题分析】

根据茎叶图，将两组数据按大小顺序排列，因为是12个数，所以中位数即为中间两数的平均数.【题目详解】从茎叶图知都有12个数，所以中位数为中间两个数的平均数甲中间两个数为25，27，所以中位数是26乙中间两个数为28，30，所以中位数是29故选：B【题目点拨】本题主要考查了茎叶图和中位数，平均数，还考查了数据处理的能力，属于基础题.3、B【解题分析】

先根据条件计算出阴影部分的面积，然后计算出整个圆的面积，利用几何概型中的面积模型即可计算出对应的概率.【题目详解】设圆的半径为，因为，所以，又因为，所以落到阴影部分的概率为.故选：B.【题目点拨】本题考查几何概型中的面积模型的简单应用，难度较易.注意几何概型的常见概率公式：.4、C【解题分析】

,.故选C.5、D【解题分析】

由正弦定理化简，得到，由此得到三角形是等腰或直角三角形，得到答案．【题目详解】由题意知，，结合正弦定理，化简可得，所以，则，所以，得或，所以三角形是等腰或直角三角形．故选D．【题目点拨】本题考查了正弦定理和余弦定理在解三角形中的应用．在解三角形问题中经常把边的问题转化成角的正弦或余弦函数，利用三角函数的关系来解决问题，属于基础题．6、B【解题分析】

判断框，即当执行到时终止循环，输出.【题目详解】初始值，代入循环体得：，，，输出，故选A.【题目点拨】本题由于循环体执行的次数较少，所以可以通过列举每次执行后的值，直到循环终止，从而得到的输出值.7、B【解题分析】

根据程序框图可知由几何概型计算出x，y任取（0，1）上的数时落在x2【题目详解】解:根据程序框图可知P为频率，它趋近于在边长为1的正方形中随机取一点落在扇形内的的概率π×故选：B【题目点拨】本题考查的知识点是程序框图，根据已知中的程序框图分析出程序的功能，并将问题转化为几何概型问题是解答本题的关键，属于基础题.8、A【解题分析】

时，恒成立.时，原不等式等价于.由的最小值是2，可得，即.选A.9、B【解题分析】试题分析：由题意得，设函数，则，所以，所以方程的解所在的区间为，故选B.考点：函数的零点.10、B【解题分析】

利用三角形的内角关系及三角变换公式得到，从而得到，此三角形的形状可判断.【题目详解】因为，故，整理得到，所以，因，所以即，故为等腰三角形，故选B.【题目点拨】本题考查两角和、差的正弦，属于基础题，注意角的范围的讨论.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解题分析】

由二倍角的余弦函数公式化简解析式可得，根据三角函数的周期性及其求法即可得解．【题目详解】．由周期公式可得：．故答案为【题目点拨】本题主要考查了二倍角的余弦函数公式的应用，考查了三角函数的周期性及其求法，属于基本知识的考查．12、4【解题分析】

从得到关于的通项公式后可得的通项公式，解不等式后可得使成立的的最大值.【题目详解】易知为等差数列，首项为，公差为1，∴，∴，令，∴，∴.故答案为：4【题目点拨】本题考查等差数列的通项的求法及数列不等式的解，属于容易题.13、【解题分析】

利用余弦定理与不等式结合的思想求解，，的关系．即可求解的值．【题目详解】解：根据①余弦定理②由①②可得：化简：，，，，,，此时，故得，即，．故答案为：．【题目点拨】本题主要考查了存在性思想，余弦定理与不等式结合的思想，界限的利用．属于中档题．14、【解题分析】

利用数形结合，讨论的范围，比较斜率大小，可得结果.【题目详解】如图，当时，，则在点处取最小值，符合当时，令，要在点处取最小值，则当时，要在点处取最小值，则综上所述：故答案为：【题目点拨】本题考查目标函数中含参数的线性规划问题，难点在于寻找斜率之间的关系，属中档题.15、【解题分析】

取中点为，中点为，连接，则异面直线和所成角为.在中，利用边长关系得到余弦值.【题目详解】由题意，取中点，连接，则，可得直线和所成角的平面角为，（如图）过作垂直于，平面⊥平面，，平面，，且，结合平面图形可得：,,,又=,∴=,∴在中，=,∴△DFC是直角三角形且，可得．【题目点拨】本题考查了异面直线的夹角，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.16、【解题分析】

画出不等式组所表示的平面区域，直线过定点，根据图像确定直线斜率的取值范围.【题目详解】画出不等式组所表示的平面区域如下图所示，直线过定点，由图可知，而，所以.故填：.【题目点拨】本小题主要考查不等式表示区域的画法，考查直线过定点问题，考查直线斜率的取值范围的求法，属于基础题.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)；；(2).【解题分析】

（1）根据向量线性运算法则可直接求得结果；（2）根据（1）的结论将已知等式化为；根据等边三角形边长和夹角可将等式变为关于的方程，解方程求得结果.【题目详解】（1）（2）为等边三角形且，即：，解得：【题目点拨】本题考查平面向量线性运算、数量积运算的相关知识；关键是能够将等式转化为已知模长和夹角的向量的数量积运算的形式，根据向量数量积的定义求得结果.18、（1）84；（2）；（3）【解题分析】

（1）每个小矩形的面积乘以该组中间值，所得数据求和就是平均数；（2）根据需求量分段表示函数关系；（3）根据（1）利润T不少于100元时，即，即，求出其频率，即可估计概率.【题目详解】（1）估计食堂面包需求量的平均数为：（2）解：由题意，当时，利润，当时，利润，即T关于x的函数解析式（3）解：由题意，设利润T不少于100元为事件A，由（1）知，利润T不少于100元时，即，即，由直方图可知，当时，所求概率为【题目点拨】此题考查频率分布直方图，根据频率分布直方图求平均数，计算频率，以及建立函数模型解决实际问题，综合性比较强.19、（1）见解析（2）【解题分析】

（1）取的中点，连接，先证即说明，再由线面平行的判定定理说明平面．（2）延长交的延长线于，连.说明为所求二面角的平面角．再计算即可．【题目详解】解：（1）如图所示，取的中点，连接.∵，∴.又，∴.∴四边形为平行四边形．故.∵平面，平面，∴平面.（2）延长交的延长线于，连.由，知，为的中点，又为的中点，∴.又平面，，∴平面.∴为所求二面角的平面角．在等腰直角三角形中，易求.故所求二面角的大小为.【题目点拨】本题考查线面平行、二面角的平面角，属于中档题．20、（1）km．（2）【解题分析】

(1)设此山高,再根据三角形中三角函数的关系以及正弦定理求解即可.(2)由题意可知,当点C到公路距离最小时,仰望山顶D的仰角达到最大,再计算到直线的距离即可.【题目详解】解：（1）设此山高,则,在中,,,．根据正弦定理得,即,解得（km）．（2）由题意可知,当点C到公路距离最小时,仰望山顶D的仰角达到最大,所以过C作,垂足为E,连接DE．则,,,所以．【题目点拨】本题主要考查了解三角形在实际中的运用,需要根据