江西省横峰中学等五校2024届数学高一第二学期期末综合测试模拟试题含解析

江西省横峰中学等五校2024届数学高一第二学期期末综合测试模拟试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．在中，，，则的最大值为A． B． C． D．2．设是复数，从，，，，，，中选取若干对象组成集合，则这样的集合最多有（）A．3个元素 B．4个元素 C．5个元素 D．6个元素3．已知是锐角，那么2是()A．第一象限 B．第二象限C．小于的正角 D．第一象限或第二象限4．已知空间中两点,则长为()A． B． C． D．5．下面的程序运行后，输出的值是（）A．90 B．29 C．13 D．546．sin300°的值为A． B． C． D．7．设，若3是与的等比中项，则的最小值为（）.A． B． C． D．8．已知，则的值等于()A． B． C． D．9．已知正项数列，若点在函数的图像上，则（）A．12 B．13 C．14 D．1610．设是定义在上的偶函数，若当时，，则()A． B． C． D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．已知数列的通项公式，则____________．12．若，，则的值为______．13．在△ABC中，，则________．14．某奶茶店的日销售收入y(单位:百元)与当天平均气温x(单位:)之间的关系如下:x012y5221通过上面的五组数据得到了x与y之间的线性回归方程:；但现在丢失了一个数据，该数据应为____________.15．已知且，则________16．在平面直角坐标系中，从五个点：中任取三个，这三点能构成三角形的概率是_______．三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．如图，在四棱柱中，侧棱底面，，，，，且点和分别为和的中点.（1）求证：平面；（2）求二面角的正弦值；（3）设为棱上的点，若直线和平面所成角的正弦值为，求线段的长.18．已知三角形的三个顶点.（1）求BC边所在直线的方程；（2）求BC边上的高所在直线方程.19．已知数列的前项和为，且，.（1）求数列的通项公式；（2）已知，记（且），是否存在这样的常数，使得数列是常数列，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由；（3）若数列，对于任意的正整数，均有成立，求证：数列是等差数列.20．某电视台有一档益智答题类综艺节日，每期节目从现场编号为01～80的80名观众中随机抽取10人答题.答题选手要从“科技”和“文艺”两类题目中选一类作答，一共回答10个问题，答对1题得1分.（1）若采用随机数表法抽取答题选手，按照以下随机数表，从下方带点的数字2开始向右读，每次读取两位数，一行用完接下一行左端，求抽取的第6个观众的编号.162277943949544354821737932378873509643842634916484421753315724550688770474476721763350258392120676（2）若采用等距系统抽样法抽取答题选手，且抽取的最小编号为06，求抽取的最大编号.（3）某期节目的10名答题选手中6人选科技类题目，4人选文艺类题目.其中选择科技类的6人得分的平均数为7，方差为；选择文艺类的4人得分的平均数为8，方差为.求这期节目的10名答题选手得分的平均数和方差.21．现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部分的形状是正四棱锥，下部分的形状是正四棱柱（如图所示），并要求正四棱柱的高是正四棱锥的高的4倍.（1）若则仓库的容积是多少？（2）若正四棱锥的侧棱长为，则当为多少时，仓库的容积最大？

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、A【解题分析】

利用正弦定理得出的外接圆直径，并利用正弦定理化边为角，利用三角形内角和关系以及两角差正弦公式、配角公式化简，最后利用正弦函数性质可得出答案．【题目详解】中，，，则，，其中由于，所以，所以最大值为．故选A．【题目点拨】本题考查正弦定理以及两角差正弦公式、配角公式，考查基本分析计算能力，属于中等题．2、A【解题分析】

设复数分别计算出以上式子，根据集合的元素互异性，可判断答案.【题目详解】解：设复数，，，，故由以上的数组成的集合最多有，，这个元素，故选：【题目点拨】本题考查复数的运算及相关概念，属于中档题.3、C【解题分析】是锐角,∴，∴是小于的正角4、C【解题分析】

根据空间中的距离公式，准确计算，即可求解，得到答案．【题目详解】由空间中的距离公式，可得，故选C．【题目点拨】本题主要考查了空间中的距离公式，其中解答中熟记空间中的距离公式，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．5、D【解题分析】

根据程序语言的作用，模拟程序的运行结果，即可得到答案．【题目详解】模拟程序的运行，可得，执行循环体，，执行循环体，，执行循环体，，执行循环体，，退出循环，输出的值为1．故选：D．【题目点拨】本题考查利用模拟程序执行过程求输出结果，考查逻辑推理能力和运算求解能力，属于基础题．6、B【解题分析】

利用诱导公式化简，再求出值为.【题目详解】因为，故选B.【题目点拨】本题考查诱导公式的应用，即终边相同角的三角函数值相等及.7、C【解题分析】

由3是与的等比中项，可得，再利用不等式知识可得的最小值.【题目详解】解：3是与的等比中项，，，=，故选C.【题目点拨】本题考查了指数式和对数式的互化，及均值不等式求最值的运用，考查了计算变通能力.8、D【解题分析】，所以，则，故选择D.9、A【解题分析】

由已知点在函数图象上求出通项公式，得，由对数的定义计算．【题目详解】由题意，，∴，∴．故选：A.【题目点拨】本题考查数列的通项公式，考查对数的运算．属于基础题．10、A【解题分析】

利用函数的为偶函数，可得，代入解析式即可求解.【题目详解】是定义在上的偶函数，则，又当时，，所以.故选：A【题目点拨】本题考查了利用函数的奇偶性求函数值，属于基础题.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解题分析】

将代入即可求解【题目详解】令，可得.故答案为：【题目点拨】本题考查求数列的项，是基础题12、【解题分析】

求出，将展开即可得解．【题目详解】因为，，所以，所以.【题目点拨】本题主要考查了三角恒等式及两角和的正弦公式，考查计算能力，属于基础题．13、【解题分析】

因为所以注意到：故．故答案为：14、4【解题分析】

根据回归直线经过数据的中心点可求.【题目详解】设丢失的数据为，则，，把代入回归方程可得，故答案为：4.【题目点拨】本题主要考查回归直线的特征，明确回归直线一定经过样本数据的中心点是求解本题的关键，侧重考查数学运算的核心素养.15、【解题分析】

根据数列极限的方法求解即可.【题目详解】由题,故.又.故.故.故答案为：【题目点拨】本题主要考查了数列极限的问题,属于基础题型.16、【解题分析】

分别算出两点间的距离，共有种，构成三角形的条件为任意两边之和大于第三边，所以在这10种中找出满足条件的即可．【题目详解】由两点之间的距离公式，得：，，，任取三点有：，共10种，能构成三角形的有：，共6种，所求概率为：.【题目点拨】构成三角形必须满足任意两边之和大于第三边，则n个点共有个线段，找出满足条件的即可，属于中等难度题目．三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）证明见解析；（2）；（3）【解题分析】

如图，以为原点建立空间直角坐标系，依题意可得，又因为分别为和的中点，得.（Ⅰ）证明：依题意，可得为平面的一个法向量，，由此可得，，又因为直线平面，所以平面（Ⅱ），设为平面的法向量，则，即，不妨设，可得，设为平面的一个法向量，则，又，得，不妨设，可得因此有，于是，所以二面角的正弦值为.（Ⅲ）依题意，可设，其中，则，从而，又为平面的一个法向量，由已知得，整理得，又因为，解得，所以线段的长为.考点：直线和平面平行和垂直的判定与性质，二面角、直线与平面所成的角，空间向量的应用.18、（1）（2）【解题分析】

（1）由已知条件结合直线的两点式方程的求法求解即可；（2）先求出直线BC的斜率，再求出BC边上的高所在直线的斜率，然后利用直线的点斜式方程的求法求解即可.【题目详解】解：（1），，直线BC的方程为，即.（2），直线BC边上的高所在的直线的斜率为，又，直线BC边上的高的方程为:，即BC边上的高所在直线方程为.【题目点拨】本题考查了直线的两点式方程的求法，重点考查了直线的位置关系及直线的点斜式方程的求法，属基础题.19、（1）（2）（3）见解析【解题分析】

（1）根据和项与通项关系得，再根据等比数列定义与通项公式求解（2）先化简，再根据恒成立思想求的值（3）根据和项得，再作差得，最后根据等差数列定义证明.【题目详解】（1），所以，由得时，，两式相减得，，，数列是以2为首项，公比为的等比数列，所以.（2）若数列是常数列，为常数.只有，解得，此时.（3）①，，其中，所以，当时，②②式两边同时乘以得，③①式减去③得，，所以，因为，所以数列是以为首项，公差为的等差数列.【题目点拨】本题考查利用和项求通项、等差数列定义以及利用恒成立思想求参数，考查基本分析论证与求解能力，属中档题20、（1）42；（2）78；（3）平均数为7.4，方差为2.24【解题分析】

（1）根据随机数表依次读取数据即可，取01～80之间的数据；（2）根据系统抽样，确定组矩，计算可得；（3）根据平均数和方差得出数据的整体关系，整体代入求解10名选手的平均数和方差.【题目详解】（1）根据题意读取的编号依次是：20,96（超界），43,84（超界），26,34,91（超界），64,84（超界），42,17，所以抽取的第6个观众的编号为42；（2）若采用系统抽样，组矩为8，最小编号为06，则最大编号为6+9×8=78；（3）记选择科技类的6人成绩分别为：，选择文艺类的4人成绩分别为：，由题：，，，，所以这10名选手的平均数为方差为【题目点拨】此题考查统计相关知识，涉及随机数表读数，系统抽样和平均数与方差的计算，对计算公式的变形处理要求较高.21、（1）312（2）【解题分析】试题分析：（1）明确柱体与锥体积公式的区别，分别代入对应公式求解；（2）先根据体积关系建立函数解析式，，然后利用导数求其最值.试题解析：解：（1）由PO1=2知OO1=4PO1=8.因为A1B1=AB=6，所以正四棱锥P-A1B1C1D1的体积正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的体积所以仓库的容积V=V锥+V柱=24+288=312（m3）.（2）设A1B1=a（m），PO1=h（m），则0<h<6，OO1=4h.