2022北京西城区高二上学期期末数学试题及答案

2022北京西城高二（上）期末数学2022.1本试卷共5150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第一部分（选择题共分）一、选择题共10小题，每小题分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。（1）已知直线l的一个方向向量为a=，则直线l的倾斜角为（A）（C）（B）（D）（2）在空间直角坐标系中，点(1,5,2)关于坐标平面的对称点为（A）(−1,5,2)（C）(1,5,−2)（B）(1,−5,2)（D）(1,−5,−2)（3）抛物线x（A）x=−1（C）y=−12=2py的焦点坐标为，则其准线方程为（B）x=1（D）y=1（4）圆1:x（A）外离2+y2=1与圆2:(x−2)2+y2=9的位置关系为（B）外切（C）相交（D）内切（5）在（A）−5（C）5(x−2)5的展开式中，x4的系数为（B）−10（D）10（6）−ABCD1，==AA1=2CC所成角的大小为1111111（A）（C）（B）（D）x2y2x2y2（7）已知椭圆1:+=1，双曲线C2:−=1，其中ab0．若C1与C的焦距之比为1:3，则C2a2b2a2b22的渐近线方程为（A）2x5y=0（B）5x2y=02xy=0（D）（C）x2y=0（8）将431个11/9（A）48种（C）24种（B）36种（D）种（9F在x过FAAF为直径的圆（A）必过原点（B）必与x轴相切（C）必与y轴相切（D（10）如图，某市规划在两条道路边沿,之间建造一个半椭圆形状的主题公园，其中BB为椭圆的短12=3kmBB=2km=．为使轴，为椭圆的半长轴．已知，，12尽可能大，其取值应为（精确到0.1km）（A）（B）（C）（D）2.9km2.8km2.7km2.6km第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。(1,0)___（11）圆心为且过原点的圆的方程是．（12）已知直线1:axy10，++=l:x+ay+1=0．若l⊥l，则实数a=___．122（13）在正三棱柱ABC中，−=1=2，则直线AA与所成角的大小为___；11111直线AA到平面CC的距离为___．111x2−y2=1F,F|PF|−|PF|=___12（14P；若12123P___．（15ABCD−BDAA1,CC1M,N．给出11111下列四个结论：①四边形1MBN一定是平行四边形；②四边形1MBN可能是正方形；③四边形1为菱形时，其面积最小；④四边形1为矩形时，其面积最大．其中所有正确结论的序号是_______．2/9三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。（16）（本小题10分）从2位女生，4位男生中选出3人参加垃圾分类宣传活动．（Ⅰ）共有多少种不同的选择方法？（Ⅱ）如果至少有1位女生入选，共有多少种不同的选择方法？（17）（本小题15分）如图，在长方体−ABCD中，3，==AA1=2，点E在上，且．=11111（Ⅰ）求直线AE与BC所成角的余弦值；11（Ⅱ）求二面角1−−D的余弦值．（18）（本小题15分）x22y223已知椭圆C:+=1(ab0)的一个顶点为P，且离心率为．ab2（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱl:y=x+mCA,B两点，且|PA|=|PB|m（19）（本小题15分）设A,B为两定点，=2，曲线C是到点A的距离与到点B的距离之比为定值(0)的点组成的集合．（Ⅰ）判断的中点是否在曲线C上；（Ⅱ）建立适当的平面直角坐标系，求曲线C的方程，并讨论曲线C的形状．3/9（20）（本小题15分）如图，在四棱锥P−中，⊥平面，底面为平行四边形，=，==2．点M在上，且⊥平面．（Ⅰ）证明：ACBD；⊥（Ⅱ）求的值；（Ⅲ）求点M到平面的距离．（21）（本小题15分）x2已知椭圆C:+y2=1，过点P0)的直线l交椭圆C于M,N两点．4（Ⅰ）证明：||≥3；1k2（Ⅱ）已知两点A(A．记直线AM的斜率为k，直线AN的斜率为k，求的值．−1211224/92022北京西城高二（上）期末数学参考答案一、选择题（共10小题，每小题4分，共40（1）D（6）A（2）C（7）A（3）C（8）B（4）D（9）C（5）B（10）B二、填空题（共5小题，每小题5分，共25（11）(x−2+y2=1（12）011(−,−)(,+)（13）45（14）23322（15）①③④注：（13）、（14）题第一空3分，第二空2分；（15）题少解给3分，有错解不给分。三、解答题（共6小题，共85分）（16）（共分）解：（Ⅰ）从2位女生，4位男生中选出3人参加垃圾分类宣传活动，6=．………5分选择方法数为4=4，………8分（Ⅱ）没有女生入选的选择方法数为所以至少有1位女生入选的选择方法数为20416．………10分−=（17）（共分）解：（Ⅰ）以D为原点，,DC,DD1的方向分别为x轴、y轴、z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．………1分则A(2,0,2)，E(2,0)，B(2,0)，C0)，C(0,2)．11所以AE=−2)，=(2)．………4分11105所以cosAE,BC=．………7分11|AE||BC|11所以直线AE与所成角的余弦值为．115（Ⅱ）因为=(0)．设平面1的法向量为m=(x,y,z)，则m−y2z2x+2y=0.=即………9分mEC=令y=2，则x=2,z=1．于是m=(2,．………11分显然2)是平面=的一个法向量．………分15/9m13因为cosDD1,m==，………15分|DD1||m|1所以二面角1−−D的余弦值为．3（18）（共分）解：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为c．b=1,c由题意得3=,………3分a2a2=b2+c2,解得a=2．………4分x2所以椭圆C的方程为y=x+m,+y2=1．………5分4（Ⅱ）由得5x2+8+4(m−=0．………7分2x2+y=124由=m)2−454(m2−0，解得−5m5．………8分8m设(x,y)，B(x,y)，则x2+=−．………9分112215设线段的中点为D，1+x24mm则xD==−，y=x+m=．………11分DD255“|PA|=|PB|”等价于“⊥”．………12分m1−5所以=1．………14分4m55解得m=−，符合题意．………15分353所以m=−．（19）（共分）解：（Ⅰ）设的中点为O，则=1．………2分所以当=1时，点O在曲线C上；………3分当1时，点O不在曲线C上．………4分（Ⅱ）以点A,B所在的直线为x轴，线段的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系．所以(1,0),B0)．………6分||设曲线C上任意一点为P(x,y)，由题意知=．………7分||6/9(x+(x−22+y+y22所以=．………8分整理得−2)x2+−2)y2++)x+−………112)x+−2)=0．………10分经检验，曲线C的方程为−222)y2++)x+−)=0．22当=1时，曲线C的方程化为x0．=分所以曲线C的形状是直线．………12分1+2242当1时，曲线C的方程化为(x+)2+y2=．………14分21−−2)1+所以曲线C的形状是以(−1−221−,0)为圆心,为半径的圆．………15分2（20）（共分）解：（Ⅰ）因为⊥平面，所以PBAC．因为⊥平面，………2⊥………1分所以．⊥分所以平面⊥．分………3所以．⊥………4分（Ⅱ）取AB中点N，连接DN．由（Ⅰ）得四边形ABCD为菱形，所以AB=AD．因为=，所以DNDC．………5分⊥因为DP,DN,两两互相垂直，以D为原点，,DC,的方向分别为x轴、y轴、z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．………6分则D(0,0,0)，(3,−0)，B(3,0)，P2)．所以PB=(−2)．设==(,,)，其中0所以=+=(−3+,2−2)．………8分≤≤．1………7分因为平面⊥，所以PBAM，即⊥．分=0………9所以+)+(4−=0．3434==………10解得，即．分371（Ⅲ）由（Ⅱ）得=(−,,)．………11分4427/9因为=(3,−0)，2)．=设平面的法向量为m=(x,y,z)，则=mDA即mDP=z=0.令x=1，则y=3，于是m=3,0)．………分|AMm|33所以点M到平面的距离为（21）（共分）=．………15分|m|43333解：（Ⅰ）①当直线l的斜率不存在时，MN−)，或M−N)．2222此时||=3．………1分②当直线l的斜率存在时，设其方程为y=k(x−．y=k(x−由x2得+4k2)x2−8k2x+4k2−4=0．………3分+y=24设M(x,yN(x,y)，11222k+x+x=,12214k4k−4则………5分2xx=.21214k+所以|MN|=(x−x)2+(y−y)21212=1+k2(x+x)−4122124k4+4k1+4k2+1=．………7分2设m=1+4k2，则m≥1．m−2+16m2+10m+32mm所以||===3．………8分mmm综上||≥3．3333（Ⅱ）当直线l的斜率不存在时，MN−)，或M−N)，22221k213此时都有=．………9分1+y2−直线AM的斜率为k=，直线AN的斜率为k=．………11分112212221y(x−12法一：=k2y(x+2)21(x−x−2)=12………12分(x−x+2)218/9xx−2(x+x)+x+2=12122………13分xx−(x+x)+3x−212122(4k2−4)−28k2++4k2)2++4k2)=(4k2−4)−8k++4k22)2−+4k2)+2k)++4k+2k22)2)21==．………15分2)++4k231k2y21