2024届吉林省吉林市朝鲜族四校高一数学第二学期期末调研模拟试题含解析

2024届吉林省吉林市朝鲜族四校高一数学第二学期期末调研模拟试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．无论取何实数，直线恒过一定点，则该定点坐标为（）A． B． C． D．2．等差数列中，已知，则()A．1 B．2 C．3 D．43．将函数的图象向右平移个单位长度得到图像，则下列判断错误的是（）A．函数的最小正周期是 B．图像关于直线对称C．函数在区间上单调递减 D．图像关于点对称4．阿波罗尼斯是古希腊著名的数学家，与欧几里得、阿基米德被称为亚历山大时期数学三巨匠，他对几何问题有深刻而系统的研究，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指出的是：已知动点M与两定点A，B的距离之比为，那么点M的轨迹是一个圆，称之为阿波罗尼斯圆.请解答下面问题：已知，，若直线上存在点M满足，则实数c的取值范围是（）A． B． C． D．5．若样本的平均数为10，其方差为2，则对于样本的下列结论正确的是A．平均数为20，方差为8 B．平均数为20，方差为10C．平均数为21，方差为8 D．平均数为21，方差为106．如果将直角三角形的三边都增加1个单位长度，那么新三角形()A．一定是锐角三角形 B．一定是钝角三角形C．一定是直角三角形 D．形状无法确定7．在正四棱柱，，则异面直线与所成角的余弦值为A． B． C． D．8．阅读程序框图，运行相应的程序，输出的结果为()A． B． C． D．9．已知函数，则函数的最小正周期为（）A． B． C． D．10．若函数，则（）A．9 B．1 C． D．0二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．已知向量，则与的夹角是_________.12．记为等差数列的前项和，若，则___________.13．已知数列是等比数列，若，，则公比________.14．若在等比数列中，，则__________．15．已知一组数据，，，的方差为，则这组数据，，，的方差为______．16．在中，角所对的边分别为，下列命题正确的是_____________．①总存在某个内角，使得；②存在某钝角，有；③若，则的最小角小于．三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知的顶点，边上的中线所在直线方程为，的平分线所在直线方程为，求：（Ⅰ）顶点的坐标；（Ⅱ）直线的方程18．已知同一平面内的三个向量、、，其中（1，2）．（1）若||＝2，且与的夹角为0°，求的坐标；（2）若2||＝||，且2与2垂直，求在方向上的投影．19．已知函数.（1）当时，判断并证明函数的奇偶性；（2）当时，判断并证明函数在上的单调性.20．已知α为锐角，且tanα=（I）求tanα+（II）求5sin21．已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其外接圆的面积为，且.（1）求边长c；（2）若的面积为，求的周长.

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、A【解题分析】

通过整理直线的形式，可求得所过的定点.【题目详解】直线可整理为，当，解得，无论为何值，直线总过定点.故选A.【题目点拨】本题考查了直线过定点问题，属于基础题型.2、B【解题分析】

已知等差数列中一个独立条件，考虑利用等差中项求解.【题目详解】因为为等差数列，所以，由，,故选B.【题目点拨】本题考查等差数列的性质，等差数列中若，则,或用基本量、表示，整体代换计算可得,属于简单题.3、C【解题分析】

根据三角函数的图象平移关系求出的解析式，结合函数的单调性，对称性分别进行判断即可．【题目详解】由题意，将函数的图象向右平移个单位长度，可得，对于,函数的最小正周期为，所以该选项是正确的；对于，令，则为最大值，函数图象关于直线，对称是正确的；对于中，，则，，则函数在区间上先减后增，不正确；对于中，令，则，图象关于点对称是正确的，故选．【题目点拨】本题主要考查命题的真假判断，涉及三角函数的单调性，对称性，求出解析式是解决本题的关键．4、B【解题分析】

根据题意设点M的坐标为，利用两点间的距离公式可得到关于的一元二次方程，只需即可求解.【题目详解】点M在直线上，不妨设点M的坐标为，由直线上存在点M满足，则，整理可得，，所以实数c的取值范围为.故选：B【题目点拨】本题考查了两点间的距离公式、一元二次不等式的解法，考查了学生分析问题解决问题的能力，属于中档题.5、A【解题分析】

利用和差积的平均数和方差公式解答.【题目详解】由题得样本的平均数为，方差为.故选A【题目点拨】本题主要考查平均数和方差的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.6、A【解题分析】

直角三角形满足勾股定理，，再比较，，大小关系即可．【题目详解】设直角三角形满足，则，又为新三角形最长边，所以所以最大角为锐角，所以三角形为锐角三角形．故选A【题目点拨】判断三角形形状一般可通过余弦定理判断，若有一角的余弦值小于零则为钝角三角形，等于零则为直角三角形，最大角的余弦值大于零则为锐角三角形，属于较易题目．7、A【解题分析】

作出两异面直线所成的角，然后由余弦定理求解．【题目详解】在正四棱柱中，则异面直线与所成角为或其补角，在中，，，．故选A．【题目点拨】本题考查异面直线所成的角，解题关键是根据定义作出异面直线所成的角，然后通过解三角形求之．8、D【解题分析】

按照程序框图运行程序，直到时输出结果即可.【题目详解】按照程序框图运行程序输入，，则，满足，，则，满足，，则，满足，，则，满足，，则，满足，，则，不满足，输出故选：【题目点拨】本题考查根据程序框图计算输出结果的问题，属于基础题.9、D【解题分析】

根据二倍角公式先化简，再根据即可。【题目详解】由题意得，所以周期为.所以选择D【题目点拨】本题主要考查了二倍角公式;常考的二倍角公式有正弦、余弦、正切。属于基础题。10、B【解题分析】

根据的解析式即可求出，进而求出的值．【题目详解】∵，∴，故，故选B.【题目点拨】本题主要考查分段函数的概念，以及已知函数求值的方法，属于基础题.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解题分析】

利用向量的数量积直接求出向量的夹角即可.【题目详解】由题知，，因为，所以与的夹角为.故答案为：.【题目点拨】本题考查了利用向量的数量积求解向量的夹角，属于基础题.12、100【解题分析】

根据题意可求出首项和公差，进而求得结果.【题目详解】得【题目点拨】本题考点为等差数列的求和，为基础题目，利用基本量思想解题即可，充分记牢等差数列的求和公式是解题的关键．13、【解题分析】

利用等比数列的通项公式即可得出．【题目详解】∵数列是等比数列，若，，则，解得，即.故答案为：【题目点拨】本题考查了等比数列的通项公式，考查了计算能力，属于基础题．14、【解题分析】

根据等比中项的性质，将等式化成即可求得答案．【题目详解】是等比数列，若，则．因为，所以，．故答案为：1．【题目点拨】本题考查等比中项的性质，考查基本运算求解能力，属于容易题.15、【解题分析】

利用方差的性质直接求解．【题目详解】一组数据，，，的方差为5，这组数据，，，的方差为：．【题目点拨】本题考查方差的性质应用。若的方差为，则的方差为。16、①③【解题分析】

①中，根据直角三角形、锐角三角形和钝角三角形分类讨论，得出必要一个角在内，即可判定；②中，利用两角和的正切公式，化简得到，根据钝角三角形，即可判定；③中，利用向量的运算，得到，由于不共线，得到，再由余弦定理，即可判定．【题目详解】由题意，对于①中，在中，当，则，若为直角三角形，则必有一个角在内；若为锐角三角形，则必有一个内角小于等于；若为钝角三角形，也必有一个角小于内，所以总存在某个内角，使得，所以是正确的；对于②中，在中，由，可得，由为钝角三角形，所以，所以，所以不正确；对于③中，若，即,即，由于不共线，所以，即，由余弦定理可得，所以最小角小于，所以是正确的．综上可得，命题正确的是①③．故答案为：①③．【题目点拨】本题以真假命题为载体，考查了正弦、余弦定理的应用，以及向量的运算及应用，其中解答中熟练应用解三角形的知识和向量的运算进行化简是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题．三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（Ⅰ）（Ⅱ）【解题分析】

（Ⅰ）设，可得中点坐标，代入直线可得；将点坐标代入直线得，可构造出方程组求得点坐标；（Ⅱ）设点关于的对称点为，根据点关于直线对称点的求解方法可求得，因为在直线上，根据两点坐标可求得直线方程.【题目详解】（Ⅰ）设，则中点坐标为：，即：又，解得：，（Ⅱ）设点关于的对称点为则，解得：边所在的直线方程为：，即：【题目点拨】本题考查直线方程、直线交点的求解；关键是能够熟练应用中点坐标公式和点关于直线对称点的求解方法，属于常考题型.18、（1）（2，4）（2）【解题分析】

（1）由题意可得与共线，设出的坐标，根据||＝2，求出参数的值，可得的坐标；

（2）由题意可得，再根据，求出

的值，可得在方向上的投影的值．【题目详解】（1）同一平面内的三个向量、、，其中（1，2），若||＝2，且与的夹角为0°，则与共线，故可设（t，2t），t＞0，∴2，∴t＝2，即（2，4）．（2）∵2||＝||，即||．∵2与2垂直，∴（2）•（2）＝2320，即83•20，即366，即•，∴在方向上的投影为．【题目点拨】本题主要考查两个向量坐标形式的运算，两个向量共线、垂直的性质，属于中档题．19、（1）见解析；（2）见解析.【解题分析】

（1）将代入函数的解析式，利用函数的奇偶性定义来证明出函数的奇偶性；（2）将函数的解析式化为，然后利用函数单调性的定义证明出函数在上的单调性.【题目详解】（1）当时，，函数为上的奇函数.证明如下：，其定义域为，则，故函数为奇函数；（2）当时，函数在上单调递减.证明如下：，任取，则，又由，则，则有，即.因此，函数为上的减函数．【题目点拨】本题考查函数单调性与奇偶性的判定与证明，在利用定义证明函数的单调性与奇偶性时，要熟悉定义法证明函数奇偶性与单调性的基本步骤，考查逻辑推理能力与计算能力，属于中等题.20、（I）ta