甘肃2020-2021学年高一数学上学期期中考试卷附答案解析

甘肃临夏中学2020-2021学年高一数学上学期期中考试卷

一、单选题

1.已知全集。={—1,0,123},集合A={0,l,2},B={-1,0,1},贝U(dA)cB=()

A.{-1}B.{0,1}c.{-1,2,3}D.{-1,0,1,3}

2.函数f(x)=2'+3尢的零点所在的一个区间是

A.(-2,-1)B.(-1,0)C.(0,1)D.(1,2)

3.若募函数.丫="力的图象过点(4,2),则“2)的值为()

A.2B.gC.72D.4

4.在下列函数中，既是偶函数又在区间(0,+oo)上为增函数的有()

A.y=一|x|B.y=\-x2C.y=|x|D.y=x3

5.已知4=0.32,/?=log20.3,C=2°，3,则。，仇c的大小关系是()

A.a<c<bB.a<b<cC.b<a<cD.h<c<a

6.函数式刈=优一+33>0且Wl）的图象一定过定点尸，则尸点的坐标是（）

A.（1,3）B.（2,3）C.（1,4）D.（4,1）

7.函数）=产严二不的定义域是（）

8..f(x)=ax(。>0,且在［1,2］上的最大值与最小值之和为6,则。=()

11

A.3B.—C.2D.-

23

A.C.(1,3)D.(2,3)

4

二、填空题

11.已知函数/(x)ug+LxvL奇'"(0)]=4。，则实数a三

x+ax,x>1,

<1Y<IY1111

12.已知0va<6vl,①士>-②lna>lnZ?③一〉一④——>—以上4个结论中正确的序号为

abIna\nb

13.函数/(x)=logi(d-2x—3)的单调递增区间是.

2

|2X-1|,x<2

14.已知函数1x)={3，若方程人x)-a=0有三个不同的实数根，则实数a的取值范围为.

—,%>2

x—1

三、解答题

15.计算下列各式的值：

Ig3+21g2-l

1g1.2

16.已知集合A={x[x—a<0,aGR},集合B={x12/一3x-2>0}.

(1)当a=3时，求ACIB；(2)若AU8=R,求实数a的取值范围.

17.已知人x)=lo8axm>0且存1)的图象过点(4,2).

(1)求。的值；

(2)若g(X)=/(l—X)―/(l+X),求g(x)的解析式及定义域；

(3)判断g(x)的奇偶性.

18.某商品经营部每天的房租、人员工资等固定成本为300元，已知该商品进价为3元/件，并规定其销售单价

不低于商品进价，且不高于12元，该商品日均销售量y(件)与销售单价x(元)的关系如图所示.

(1)试求y关于x的函数解析式;

2

(2)当销售单价定为多少元时，该商品每天的利润最大?

19.已知函数/(X)=(log2X)--log2%-2

(1)当8］时，求该函数的最值；

(2)若/(X)<2病也”-6对于任意xS［1,8］恒成立，求实数机的取值范围.

解析

甘肃临夏中学2020-2021学年高一数学上学期期中考试卷

一、单选题

1.己知全集。={-1,0,1,2,3},集合A={0,l,2},B={-1,0,1},贝iJ(eA)cB=()

A.{-1}B.{0,1}C.{-1,2,3}D.{-1,0,1,3}

【答案】A

【分析】本题根据交集、补集的定义可得.容易题，注重了基础知识、基本计算能力的考查.

【详解】C〃A={-1,3},则(QA)B={-1)

故选：A

【点睛】易于理解集补集的概念、交集概念有误.

2.函数f(x)=2'+3x的零点所在的一个区间是

A.(-2,-1)B.(-1,0)C.(0,1)D.(1,2)

【答案】B

【解析】试题分析：因为函数f(x)=2，+3x在其定义域内是递增的，那么根据f(-l)=--3=--<0,f(0)=l+0=l>0,

22

那么函数的零点存在性定理可知，函数的零点的区间为(-1,0),选B.

【解析】本试题主要考查了函数零点的问题的运用.

点评：解决该试题的关键是利用零点存在性定理，根据区间端点值的乘积小于零，得到函数的零点的区间.

3.若塞函数y=/(x)的图象过点(4,2),则“2)的值为()

A.2B.—C.y/2D.4

【答案】C

【分析】设4》)=/，利用丁=/(力的图象过点(4,2),求出y=/(x)的解析式，将x=2代入即可求解.

【详解】设/(%)=/，因为〉=/(力的图象过点(4,2),所以2=4&，解得：«=1,

3

所以f(x)=x5,所以〃2)=2?=拒,故选：C.

4.在下列函数中，既是偶函数又在区间(0,+8)上为增函数的有()

A.y=一|x|B.y=\-xzC.y=|x|D.y=x3

【答案】c

【分析】分析各选项中函数的奇偶性及其在区间(0,+8)上的单调性，可得出合乎题意的选项.

【详解】对于A选项，函数y=一凶是偶函数，当x>0时，y=-x,该函数为减函数；

对于B选项，函数y=l—f是偶函数，图象开口向下，该函数在(0,+力)上为减函数；

对于C选项，函数y=|x|是偶函数，当x>0时，y=x,该函数在(0,+8)上为增函数；

对于D选项，函数y=V是奇函数，该函数在(0,+8)上为增函数.

故选：C.

5.已知4=0.32,/,=iog20.3,C=20-3,则a,的大小关系是()

A.a<c<bB.a<b<cC.b<a<cD.b<c<a

【答案】C

【分析】根据指数函数，幕函数，和对数的单调性，即可得出结论.

2

【详解】。<a=O.3<\,b=log,().3<log21=0,

c—2°,3>2°=h<a<c.

故选:C.

【点睛】本题主要考查指数、对数、鼎的运算及性质等基础知识，注意与特殊数的对比，如“0”“1”等等，

属于基础题.

6.函数1x)=a'T+3(°>0且存1)的图象一定过定点尸，则尸点的坐标是()

A.(1,3)B.(2,3)C.(1,4)D.(4,1)

【答案】C

【分析】取x=l,则对应的函数值为4,故恒过(1,4).

【详解】当x=l时，"1+3=4,故函数的图像恒过(1,4),

故选C.

【点睛】关键点睛：函数y=/(x)的图像恒过定点(毛，川)，实际上就是对任意的参数的值，总有为=〃％)

恒成立，根据这个恒等式可求定点的坐标.

7.函数3=308?4*_3)的定义域是()

4

3

A.-,+oo

_4

【答案】B

【分析】根据偶次方根的被开方数为非负数、对数的真数大于零列不等式组，解不等式组求得函数的定义域.

log,(4x-3)>0

【详解】由题意得到：｛2=>0<4JC-3<1,

4x-3>0

3(3

解得一<xWl,所以函数的定义域为.

414」

故选：B

8./(x)=av(。>0,且)在［1,2］上的最大值与最小值之和为6,则。=()

11

A.3B.—C.2D.-

23

【答案】C

【分析】分别讨论0<a<1和a>1时/(X)="在［1,2］单调性,即可得到/(x)=优最大值与最小值之和为6，

解方程即可求出。的值.

【详解】当0<a<l时，/(尤)=炉在［L2］单调递减,

所以a=〃l)=a，"%=〃2)=。2,

此时/+〃=6,解得：。=2或a=—3,不符合题意；

当a>l时，/(%)=就在［1,2］单调递增,

所以/(4血=〃l)=a，"力皿=〃2)=—

此时“2+。=6，解得：。=2或a=—3(舍)，所以a=2,故选：C

【点睛】关键点点睛：本题的关键是讨论0<。<1和时/(x)=a'.在［L2］单调性，利用单调性即可求最

值，列方程即可.

9.函数/.(幻=优与以*)=一工+”的图象大致是()

【解析】因为直线是递减的，所以可以排除选项C,。，又因为函数单调递增时，a>\,所以当

%=0时，g(o)=a>l,排除选项B,此时两函数的图象大致为选项A，故选A.

5

【方法点睛】本题通过对多个图象的选择考查函数的指数函数、一次函数的图象与性质，属于中档题.这类题型

也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循.解答

这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及

xff+oo,xf—oo时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意的选项一一排除.

I。.若函数及尸号—在R上单调递增'则实数0的取值范围是()

z\/

(3)(23

D.\

【答案】B

【分析】首先，一次函数y=(3—a)x-3,xW7和》>7都是递增函数，当x=7时，一次函数取

值要小于或等于指数式的值，再求交集即可实数a的取值范围.

【详解】当xS7时，函数y=(3-a)x-3单调递增所以3—。>0,解得a<3

当x>7时，y=a*-6是单调递增函数，所以。>1,

当％=7时;一次函数取值要小于或等于指数式的值，所以7(3—。)一3Wa,

9

\>综上所述：实数。的取值范围是:，3j故选：B

解之得:4-

【点睛】关键点睛：己知分段函数的单调性求参数的范围，要注意除了各分支函数的单调性之外，还要注意分

段点处的函数值的大小比较.

二、填空题

II.己知函数/(x)uE+Lxvl'苟=4a,则实数a=__

x+ax,x>1,

【答案】2

【解析】试题分析：因为根据题意可知f(0)=2°+l=2,那么f(f(0))=f(2)=2，+2a=4+2a=4a,故可知a=2,那么解得a的

值为2.因此答案为2.

【解析】本题主要考查了分段函数的解析式的运用.

点评：解决该试题的关键是利用从内向外的思想来求解函数值，得到实数a的取值情况.体现了复合函数的求值

的运用.

<1V<1V1111

12.已知0<a<6<l,①|—>—②lna>lnZ?③->—④-->----以上4个结论中正确的序号为

\3J（3）abInaIn。

【答案】①③④

【分析】对所给结论利用函数的单调性及做差法比较即可.

【详解】对于①，因为>=(；)”在R上单调递减，0<a<b<l,<1V<1Y

所以,故①正确;

6

对于②，因为y=lnx在R上单调递增，0<。<力<1,所以lna<ln〃，故②不正确；

对于③，,―二0>0,故③正确；

abab

对于④，由②InovlnbvO,-----L__见3>(),故④正确.

InaIn/?\na-lnh

故答案为：①③④

13.函数/(x)=log](d-2%-3)的单调递增区间是.

2

【答案】(3,-1)

【分析】设"/_2%_3,则y=log5,根据同增异减及定义域可得解.

【详解】设「=》2—2%—3,则y=log；r.

由f>0解得x<—l或x>3,

故函数的定义域为(-8,—1)(3,4W).

又f=f—2x—3=(x—Ip—4在(HO,1)上为减函数，

在(1,+8)上为增函数.

而函数y=loggt为关于f的减函数，

结合定义域得函数/(x)的单调增区间为(―,一1).

故答案为：(―8,—1).

【点睛】本题主要考查了求对数型复合函数的单调区间，忽视定义域是本题的易错点，属于基础题.

|2-r-l|,x<2

14.已知函数"x)={3，若方程1工)一。=0有三个不同的实数根，则实数。的取值范围为.

——,x>2

x—1

【答案】(0,1)

【分析】将所求问题转化为y=/'(x)与直线y=a的图象有三个不同交点，数形结合，即可得到答案.

【详解】方程式x)一。=0有三个不同的实数根等价于y=f(x)与直线y=。的图象有三个不同交点，

作出了(X)的图象如图，由图可得ae(0,1)

故答案为：(0,1)

7

【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法：

（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；

（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；

（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用

数形结合的方法求解

三、解答题

15.计算下列各式的值:

Ig3+21g2-」

(2)

1g1.2

【答案】（1）2；（2）1

【分析】利用对数和指数的运算法则，直接计算即可

【详解】（1）

Ig3+21g2—1Ig3+lg4—1lgl2—IglOlg—

⑵=lgl.2=lgl.2=选=1

16.已知集合4={工a一avO,aWR},集合5={x12x?-3x-2>0}.

（1）当。=3时，求Ans；（2）若AU8=R,求实数〃的取值范围.

【答案】（1）{x[2<%v3或x<一万}；（2）a>2.

【分析】（1）分别求出集合A,再按交集的定义运算即可；（2）根据题意，结合数轴，数形结合即可.

【详解】（1）当。=3时，A={x|x<3},3={x|x>2或x<—g}

所以A8={x[2<x<3或x<-；}

（2）因为4={15<。},5={x|x>2或x<-g}要使4U8=R,只需a>2

8

2

2

17.已知｛x)=log„x(a>0且a黄1)的图象过点(4,2).

(1)求a的值；

(2)若g(x)=/(l—x)—/(1+x),求g(x)的解析式及定义域；

(3)判断g(x)的奇偶性.

【答案】(1)2；(2)g(x)=log2(l-力一Iog2(l+X),定义域：｛x|T<x<l｝；⑶奇函数.

【分析】(1)把点代入求得即可；(2)根据对数函数的性质，求得g(X)的解析式及定义域；(3)利用奇偶

函数的定义验证.

【详解】解：⑴•.•/(x)=log"尤(a>()且a/1)的图象过点(4,2)

A/(4)=logfl4=2.\/=4又a>0且解得a=2

⑵g(x)=/(l-x)-/(l+x)=log2(l-x)-log2(l+x)

其中i-x>o且1+%>0所以g(x)的定义域为｛x[-l<x<l｝.

(3)由(2)知，定义域关于原点对称，

g(-x)=log,(1+X)-log2(1-x)=-g(x),所以g(x)是奇函数.

18.某商品经营部每天的房租、人员工资等固定成本为300元，已知该商品进价为3元/件，并规定其销售单价

不低于商品进价，且不高于12元，该商品日均销售量y(件)与销售单价x(元)的关系如图所示.

(1)试求y关于x的函数解析式；

(2)当销售单价定为多少元时，该商品每天的利润最大？

【答案】(1)y=-50x+750,3〈x<12；(2)9.

【分析】(1)设日均销售额y与销售单价x的函数关系为：丁=辰+伙%#0),利用图象将(3,600),(5,500)

代入解方程组即可；⑵W=(x—3)(—50X+750)—300,利用配方法求最值.

【详解】⑴设日均销售额y与销售单价x的函数关系为：丁=丘+。伏工0),把(3,600),(5,500)

9

[3k+b=6QQ

代入上式，得<解得攵=—50,人=750,

5k+b=500