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文档简介
——直线和圆的位置关系)【考点①】切线性质➼➸求解✭✭证明1.(2022·浙江湖州·中考真题)如图,已知在Rt△ABC中,,D是AB边上一点,以BD为直径的半圆O与边AC相切,切点为E,过点O作,垂足为F.(1)求证:;(2)若,,求AD的长.2.(2018·云南昆明·中考真题)如图,AB是⊙O的直径,ED切⊙O于点C,AD交⊙O于点F,∠AC平分∠BAD,连接BF.(1)求证:AD⊥ED;(2)若CD=4,AF=2,求⊙O的半径.【考点②】切线性质➼➸求解✭✭证明3.(2022·浙江台州·中考真题)如图,在中,,以为直径的⊙与交于点,连接.(1)求证:;(2)若⊙与相切,求的度数;(3)用无刻度的直尺和圆规作出劣弧的中点.(不写作法,保留作图痕迹)4.(2020·江苏无锡·中考真题)如图,已知是锐角三角形.(1)请在图1中用无刻度的直尺和圆规作图;作直线,使上的各点到、两点的距离相等;设直线与、分别交于点、,作一个圆,使得圆心在线段上,且与边、相切;(不写作法,保留作图痕迹)(2)在(1)的条件下,若,,则的半径为________.【考点③】切线性质➼➸条件(结论)开放➼➸求解✭✭证明5.(2016·四川资阳·中考真题)(2016四川省资阳市)如图,在⊙O中,点C是直径AB延长线上一点,过点C作⊙O的切线,切点为D,连结BD.(1)求证:∠A=∠BDC;(2)若CM平分∠ACD,且分别交AD、BD于点M、N,当DM=1时,求MN的长.6.(2014·福建三明·中考真题)已知AB是半圆O的直径,点C是半圆O上的动点,点D是线段AB延长线上的动点,在运动过程中,保持CD=OA.(1)当直线CD与半圆O相切时(如图①),求∠ODC的度数;(2)当直线CD与半圆O相交时(如图②),设另一交点为E,连接AE,若AE∥OC.①AE与OD的大小有什么关系?为什么?②求∠ODC的度数.【考点①】切线性质和判定➼➸切线的证明✭✭求解7.(2021·湖南郴州·中考真题)如图,是的内接三角形,是的直径,点是的中点,交的延长线于点.(1)求证:直线与相切;(2)若的直径是10,,求的长.8.(2019·江西·中考真题)如图1,为半圆的直径,点为圆心,为半圆的切线,过半圆上的点作交于点,连接.(1)连接,若,求证:是半圆的切线;(2)如图2,当线段与半圆交于点时,连接,,判断和的数量关系,并证明你的结论.【考点②】切线性质和判定➼➸旋转✭✭最值9.(2022·河南洛阳·一模)如图,为的直择,D为的中点,A为上一点.(1)请按以下步骤作图:①连;②以点A为圆心,线段的长为半径作弧,交于点B;③连接并延长到点C,使得;④连接,.(2)判断与的位置关系并证明.(3)在(1)的条件下,设点A从点D出发能点O顺时针旋转,当_______时,以点O,M,B,A为顶点的四边形是菱形.10.(2022·河北·宽城满族自治县教研室模拟预测)如图,AB是半圆形量角器的直径,点O为半圆的圆心,DA与半圆O相切于点A,点P在半圆上,且点P对应的示数为120°(60°),点C是上一点(不与点P重合).连接DO交半圆O于点E,点E对应的示数为60°(120°).(1)连接PC,AC,求∠PCA的度数;(2)连接AP,PB,求证:△DAO≌△APB;(3)若直径AB上存在一点M,使得EM+PM的值最小,已知半圆O的半径是2,直接写出EM+PM的最小值.【考点③】切线性质和判定➼➸条件(结论)开放➼➸求解✭✭证明11.(2021·河北省保定市第二中学分校一模)如图,在矩形ABCD中,AB=4.5,BC=6,点P是线段AD上的一个动点,以点P为圆心,PD为半径作⊙P,连接CP.(1)当⊙P经过PC的中点时,PC的长为_______;(2)当CP平分∠ACD时,判断AC与⊙P的位置关系,说明理由,并求出PD的长.12.(2021·河南·商丘市第一中学一模)如图所示,⊙O是Rt△ABC的外接圆,其中∠BAC=90°,过点A作直线AD交CB的延长线于D,且∠BAD=∠C.(1)求证:AD为⊙O的切线;(2)①F为OB中点,OE⊥AC于E,连接OA、EF交于G点,探究EG与GF的关系并说明理由;②延长AO交⊙O于H,连接FH,若EF=FH,则∠ACB=______度.13.(2022·江西·中考真题)(1)课本再现:在中,是所对的圆心角,是所对的圆周角,我们在数学课上探索两者之间的关系时,要根据圆心O与的位置关系进行分类.图1是其中一种情况,请你在图2和图3中画出其它两种情况的图形,并从三种位置关系中任选一种情况证明;(2)知识应用:如图4,若的半径为2,分别与相切于点A,B,,求的长.14.(2020·新疆乌鲁木齐·一模)如图,在中,,以为直径的交于,点在线段上,且.(1)求证:是的切线.(2)若,求的半径.✭✭✭✭【考点①】圆的基本性质➼➸坐标系➼➸求值✭✭证明15.(2021·江西上饶·二模)如图,在直角坐标系中,以点O为圆心,半径为4的圆与y轴交于点B,点A(8,4)是圆外一点,线段AC与⊙O切于点C,与x轴交于点D.(1)证明:AB是⊙O的切线;(2)线段OD=______,并求出点C的坐标.16.(2022·湖南·长沙市南雅中学二模)在平面直角坐标系xOy中,直线()分别与x轴、y轴相交于A、B两点.⊙G经过A、B、O三点,C为⊙G在直线上方的弧上的一个动点.(1)求⊙G的半径长(用含m的式子表示);(2)已知弧AC、弧BC的中点分别为点P、Q,连接OP,OQ.问:∠POQ的度数是否为定值?如果是,请求出它的度数;如果不是,请说明理由;(3)在(2)条件下,连接AC,BC,OP分别交AB、AC于M、E点,OQ分别交AB、BC于N、F.连接EF.对于每一个确定的m的值,都有一个点C,使得S△ACB取最大值,对于此时的C,记以AM、MN、BN为三边的三角形的外接圆面积为S1,△CEF外接圆的面积为S2,求的最小值.【考点②】圆的基本性质➼➸动点✭✭最值✭✭隐形圆✭✭路径17.(2022·四川·一模)如图,在四边形中,,且平分.(1)求证:;(2)若,,求的长.18.(2022·广西·中考真题)已知,点A,B分别在射线上运动,.(1)如图①,若,取AB中点D,点A,B运动时,点D也随之运动,点A,B,D的对应点分别为,连接.判断OD与有什么数量关系?证明你的结论:(2)如图②,若,以AB为斜边在其右侧作等腰直角三角形ABC,求点O与点C的最大距离:(3)如图③,若,当点A,B运动到什么位置时,的面积最大?请说明理由,并求出面积的最大值.19.(2020·湖南长沙·中考真题)如图,半径为4的中,弦AB的长度为,点C是劣弧上的一个动点,点D是弦AC的中点,点E是弦BC的中点,连接DE,OD,OE.(1)求的度数;(2)当点C沿着劣弧从点A开始,逆时针运动到点B时,求的外心P所经过的路径的长度;(3)分别记的面积为,当时,求弦AC的长度.20.(2022·北京平谷·二模)对于平面直角坐标系xOy中的图形P,Q,给出如下定义:M为图形P上任意一点,N为图形Q上任意一点,如果M,N两点间的距离有最小值,那么称这个最小值为图形P,Q间的“非常距离”,记作.已知点,,连接AB.d(点O,AB)=;⊙O半径为r,若,直接写出r的取值范围;⊙O半径为r,若将点A绕点B逆时针旋转,得到点.①当时,求出此时r的值;②对于取定的r值,若存在两个α使,直接写出r的范围.参考答案1.(1)见分析(2)1【分析】(1)连接OE,根据已知条件和切线的性质证明四边形OFCE是矩形,再根据矩形的性质证明即可;(2)根据题意,结合(1)可知,再由直角三角形中“30°角所对的直角边是斜边的一般”的性质,可推导,最后由计算AD的长即可.(1)解:如图,连接OE,∵AC切半圆O于点E,∴OE⊥AC,∵OF⊥BC,,∴∠OEC=∠OFC=∠C=90°.∴四边形OFCE是矩形,∴OF=EC;(2)∵,∴,∵,OE⊥AC,∴,∴.【点拨】本题主要考查了切线的性质、矩形的判定与性质以及含30°角的直角三角形性质等知识,正确作出辅助线并灵活运用相关性质是解题关键.2.(1)证明见分析;(2)⊙O的半径为.【分析】(1)连接OC,如图,先证明OC∥AD,然后利用切线的性质得OC⊥DE,从而得到AD⊥ED;(2)OC交BF于H,如图,利用圆周角定理得到∠AFB=90°,再证明四边形CDFH为矩形得到FH=CD=4,∠CHF=90°,利用垂径定理得到BH=FH=4,然后利用勾股定理计算出AB,从而得到⊙O的半径.解:(1)证明:连接OC,如图,∵AC平分∠BAD,∴∠1=∠2,∵OA=OC,∴∠1=∠3,∴∠2=∠3,∴OC∥AD,∵ED切⊙O于点C,∴OC⊥DE,∴AD⊥ED;(2)解:OC交BF于H,如图,∵AB为直径,∴∠AFB=90°,易得四边形CDFH为矩形,∴FH=CD=4,∠CHF=90°,∴OH⊥BF,∴BH=FH=4,∴BF=8,在Rt△ABF中,AB=,∴⊙O的半径为.【点拨】本题考查了切线的性质:圆的切线垂直于经过切点的半径.若出现圆的切线,必连过切点的半径,构造定理图,得出垂直关系.也考查了垂径定理和圆周角定理.3.(1)证明见详解(2)(3)作图见详解【分析】(1)根据直径所对的圆周角是直角、等腰三角形的三线合一即可证明;(2)根据切线的性质可以得到,然后在等腰直角三角形中即可求解;(3)根据等弧所对的圆周角相等,可知可以作出AD的垂直平分线,的角平分线,的角平分线等方法均可得到结论.(1)证明:∵是的直径,∴,∴,∵,∴.(2)∵与相切,∴,又∵,∴.(3)如下图,点就是所要作的的中点.【点拨】本题考查了等腰三角形的三线合一、切线的性质、以及尺规作图、等弧所对的圆周角相等,理解圆的相关知识并掌握基本的尺规作图方法是解题的关键.4.(1)见分析;(2)【分析】(1)由题意知直线为线段BC的垂直平分线,若圆心在线段上,且与边、相切,则再作出的角平分线,与MN的交点即为圆心O;(2)过点作,垂足为,根据即可求解.解:(1)①先作的垂直平分线:分别以B,C为圆心,大于的长为半径画弧,连接两个交点即为直线l,分别交、于、;②再作的角平分线:以点B为圆心,任意长为半径作圆弧,与的两条边分别有一个交点,再以这两个交点为圆心,相同长度为半径作弧,连接这两条弧的交点与点B,即为的角平分线,这条角平分线与线段MN的交点即为;③以为圆心,为半径画圆,圆即为所求;(2)过点作,垂足为,设∵,,∴,∴根据面积法,∴∴,解得,故答案为:.【点拨】本题考查了尺规作图,切线的性质等内容,解题的关键是掌握线段垂直平分线、角平分线的尺规作图.5.(1)证明见分析;(2).【分析】(1)由圆周角推论可得∠ADO+∠ODB=90°,由切线性质可得∠BDC+∠ODB=90°,而∠A=∠ADO,进而可证结论;(2)由角平分线及三角形外角性质可得∠A+∠ACM=∠BDC+∠DCM,即∠DMN=∠DNM,根据勾股定理可求得MN的长.解:(1)证明:如图,连接OD,∵AB为⊙O的直径,∴∠ADB=90°,即∠ADO+∠ODB=90°,又∵CD与⊙O相切于点D,∴∠BDC+∠ODB=90°,∠ADO=∠BDC∵OD=OA,∴∠A=∠ADO,∴∠A=∠BDC;(2)解:∵CM平分∠ACD,∴∠DCM=∠ACM,又∵∠A=∠BDC,∴∠A+∠ACM=∠BDC+∠DCM,即∠DMN=∠DNM,∵∠ADB=90°,DM=1,∴DN=DM=1,∴MN==.【点拨】本题考查了切线的性质,角平分线,等腰三角形的性质,三角形外角的性质,等腰直角三角形的性质,勾股定理等知识.解题的关键在于对知识的灵活运用.6.(1)∠ODC=45°;(2)①AE=OD;②∠ODC=36°.解:(1)连接OC,因为CD是⊙O的切线,得出∠OCD=90°,由OC=CD,得出∠ODC=∠COD,即可求得.(2)连接OE,①证明△AOE≌△OCD,即可得AE=OD;②利用等腰三角形及平行线的性质,可求得∠ODC的度数.试题解析:(1)如图①,连接OC,∵OC=OA,CD=OA,∴OC=CD,∴∠ODC=∠COD,∵CD是⊙O的切线,∴∠OCD=90°,∴∠ODC=45°;(2)如图②,连接OE.∵CD=OA,∴CD=OC=OE=OA,∴∠1=∠2,∠3=∠4.∵AE∥OC,∴∠2=∠3.设∠ODC=∠1=x,则∠2=∠3=∠4=x.∴∠AOE=∠OCD=180°-2x.①AE=OD.理由如下:在△AOE与△OCD中,∴△AOE≌△OCD(SAS),∴AE=OD.②∠6=∠1+∠2=2x.∵OE=OC,∴∠5=∠6=2x.∵AE∥OC,∴∠4+∠5+∠6=180°,即:x+2x+2x=180°,∴x=36°.∴∠ODC=36°.【考点】直线与圆的位置关系;平行线的性质;全等三角形的判定与性质.7.(1)见分析;(2).【分析】(1)连接OD,由点D是的中点得OD⊥BC,由DE//BC得OD⊥DE,由OD是半径可得DE是切线;(2)证明△ODE是等腰直角三角形,可求出OE的长,从而可求得结论.解:(1)连接OD交BC于点F,如图,∵点是的中点,∴OD⊥BC,∵DE//BC∴OD⊥DE∵OD是的半径∴直线与相切;(2)∵AC是的直径,且AB=10,∴∠ABC=90°,∵OD⊥BC∴∠OFC=90°∴OD//AB∴∵∴∴由勾股定理得,∴.【点拨】此题主要考查了切线的判定与性质的综合运用,熟练掌握切线的判定与性质是解答此题的关键.8.(1)见分析;(2)【分析】(1)连接,根据切线的性质得到,推出四边形是平行四边形,得到,等量代换得到,推出四边形是平行四边形,根据平行四边形的性质得到,于是得到结论;(2)如图2,连接,根据圆周角定理得到,求得,证得,等量代换即可得到结论.解:(1)证明:连接,为半圆的切线,为半圆的直径,,,,四边形是平行四边形,,,,四边形是平行四边形,,,,,,是半圆的切线;(2)解:,理由:如图2,连接,为半圆的直径,,,,,,,,.【点拨】本题考查了切线的判定和性质,圆周角定理,平行四边形的判定和性质,正确的作出辅助线是解题的关键.9.(1)见分析(2)与相切,证明见分析(3)或.【分析】(1)根据题意作出图形即可,(2)由作图步骤可知,可得为等边三角形,证明,即,即可得证;(3)由(2),可知为等边三角形,分类讨论:①当四边形为菱形时,②当四边形为菱形时,分别求得旋转角.解:(1)如图所示,(2)与相切.证明如下:由作图的步骤,可知,为等边三角形,,,,,,即,与相切,(3)或,连接,如解图2所示.为的中点,,由(2),可知为等边三角形,;①当四边形为菱形时,如解图2所示.,即.②当四边形为菱形时,如解图2所示.,,即,综上所述,的度数为或,故答案为:或.【点拨】本题考查了基本作图作线段等于已知线段,圆的切线的性质与判定,菱形的性质与判定,等边三角形的性质与判定,旋转的性质,综合运用以上知识是解题的关键.10.(1)60°;(2)见分析;(3)4【分析】(1)连接AP,OP,根据同弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半进行解答;(2)连接AP,OP,先证ΔBOP是等边三角形,再根据圆周角定理及切线的性质得到∠OAD=∠APB,最后证△DAO≌△APB;(3)作点E关于直线AB对称的对称点E',连接E'O,PO,先证ΔΑΕΟ是等边三角形,再得到E'、O、P在同一条直线上,最后求得EM+PM的最小值.解:(1)连接AP,OP,根据题意可知,∠AOP=120°所对的圆心角为∠AOP,∴∠PCA=∠AOP=60°;(2)连接PO,根据题意可知,∠AOE=∠BOP=60°,∵BO=PO,∴ΔBOP是等边三角形,∴PB=OB,∠ABP=∠AOD=60°,∵AO=OB,∴AO=BP,∵AB是直径,∴∠APB=90°,∵AD是OO的切线,∴∠OAD=90°,∴∠OAD=∠APB,在ΔDAO和ΔAPB中∴;(3)作点E关于直线AB对称的对称点E',连接E'O,PO,根据对称性可知EO=E'O=2,根据题意可知∠AOE=60°,∵AO=EO,∴ΔΑΕΟ是等边三角形,∴∠AEO=60°,∵ΕΕ'⊥AO,∴∠ΟEE'=∠AEO=30°,∴∠EE'O=∠OEE'=30°,∴∠EΟE'=120°,∵∠AOE=∠BOP=60°,∴∠EOP=180°-∠AOE-∠BOP=60°,∴∠EOP+∠EOE'=180°,∴E'、O、P在同一条直线上,∴当点M与点O重合时,EM+PM为最小值,此时EM+PM=E'P=2+2=4.【点拨】本题属于几何综合题,主要考查了切线的性质,圆周角定理,直角三角形的性质,等边三角形的性质与判定,等腰三角形的性质,以及对称线段之和最短问题,关键是熟练掌握切线的性并能灵活应用.11.(1);(2)AC相切⊙P,见分析;PD的长为【分析】(1)先判断出PC=2PD,再利用勾股定理建立方程求解,即可得出结论;(2)先判断出PH=PD,再求出AC,进而求出CH,得出AH,最后用勾股定理建立方程求解,即可得出结论.(1)解:∵四边形ABCD是矩形,∴CD=AB=4.5,∠ADC=90°,∵⊙P经过PC的中点,∴PC=2PD,在Rt△CDP中,根据勾股定理得,PC2﹣PD2=CD2,∴(2PD)2﹣PD2=CD2,∴3PD2=4.52,∴,∴PC=2PD=,故答案为:;(2)AC是⊙P的切线,理由如下:如图,在Rt△ADC中,根据勾股定理得,,过点P作PH⊥AC于H,∵CP平分∠ACD,∴PH=PD,∴AC切⊙P于H.∵PH=PD,PC=PC,∴Rt△PHC≌Rt△PDC(HL),∴CH=CD=4.5,∴AH=AC﹣CH=3,设PD=x,则PH=x,AP=AD﹣PD=6﹣x,在Rt△APH中,根据勾股定理得,AP2﹣PH2=AH2,∴(6﹣x)2﹣x2=32,∴x=,即PD的长为.【点拨】此题主要考查了直线与圆的位置关系,矩形的性质,勾股定理,全等三角形的判定和性质,利用方程的思想解决问题是解本题的关键.12.(1)见分析(2)①EG=FG,理由见分析;②45【分析】(1)由OA=OC得∠C=∠OAC,由∠BAD=∠C等量代换得∠OAC=∠BAD,再由∠BAC=90°可得∠BAD+∠OAB=90°,即可得出结论;(2)①取OA的中点K,连接FK,由三角形中位线可证明△GOE≌△GKF,即可得出EG=FG;②延长FG交AC于M,连接AF,先证明FM垂直平分AE,得到EF=AF,进而得到AF=FH,由等腰三角形的性质可得∠AOF=90°,由圆周角定理即可得到∠C=45°.(1)证明:∵OA=OC,∴∠C=∠OAC,∵∠BAD=∠C,∴∠OAC=∠BAD,∵∠BAC=90°,∴∠OAC+∠OAB=90°,∴∠BAD+∠OAB=90°,∵OA为⊙O的半径,∴AD为⊙O的切线;(2)①EG=FG,理由:如图,取OA的中点K,连接FK,∵F是OB的中点,K是OA的中点,∴FK是△OAB的中位线,∴FKAB,FK=AB,∵OE⊥AC,∴E是AC的中点,∵O是BC的中点,∴OE是△CAB的中位线,∴OEAB,OE=AB,∴OEFK,OE=FK,∴∠OEG=∠KFG,∠GOE=∠GKF∴△GOE≌△GKF(ASA),∴EG=FG;②如图,延长FG交AC于M,连接AF,∵OE⊥AC,OEFK,∴FK⊥AC,∵OF=FB,OEMFAB,∴EM=AM,∴FM垂直平分AE,∴EF=AF,∵EF=FH,∴AF=FH,∵AO=OH,∴FO⊥AH,∴∠AOF=90°,∴∠C=45°,故答案为:45.【点拨】本题考查了切线的性质与判定,等腰三角形的性质与判定,圆周角定理,垂径定理,掌握圆的相关性质定理是解题的关键.13.(1)见分析;(2)【分析】(1)①如图2,当点O在∠ACB的内部,作直径,根据三角形外角的性质和等腰三角形的性质可得结论;②如图3,当O在∠ACB的外部时,作直径CD,同理可理结论;(2)如图4,先根据(1)中的结论可得∠AOB=120°,由切线的性质可得∠OAP=∠OBP=90°,可得∠OPA=30°,从而得PA的长.解:(1)①如图2,连接CO,并延长CO交⊙O于点D,∵OA=OC=OB,∴∠A=∠ACO,∠B=∠BCO,∵∠AOD=∠A+∠ACO=2∠ACO,∠BOD=∠B+∠BCO=2∠BCO,∴∠AOB=∠AOD+∠BOD=2∠ACO+2∠BCO=2∠ACB,∴∠ACB=∠AOB;如图3,连接CO,并延长CO交⊙O于点D,∵OA=OC=OB,∴∠A=∠ACO,∠B=∠BCO,∵∠AOD=∠A+∠ACO=2∠ACO,∠BOD=∠B+∠BCO=2∠BCO,∴∠AOB=∠AOD-∠BOD=2∠ACO-2∠BCO=2∠ACB,∴∠ACB=∠AOB;(2)如图4,连接OA,OB,OP,∵∠C=60°,∴∠AOB=2∠C=120°,∵PA,PB分别与⊙O相切于点A,B,∴∠OAP=∠OBP=90°,∠APO=∠BPO=∠APB=(180°-120°)=30°,∵OA=2,∴OP=2OA=4,∴PA=【点拨】本题考查了切线长定理,圆周角定理等知识,掌握证明圆周角定理的方法是解本题的关键.14.(1)证明见分析;(2)的半径为1.【分析】(1)如图(见分析),连接OD,先根据等边对等角求出,再根据直角三角形两锐角互余得,从而可得,最后根据圆的切线的判定定理即可得证;(2)先根据圆的切线的判定定理得出是的切线,再根据切线长定理可得,从而可得AC的长,最后在中,利用直角三角形的性质即可得.解:如图,连接又,则,且OD为的半径是的切线;(2),是直径是的切线由(1)知,是的切线在中,,则故的半径为1.【点拨】本题考查了等腰三角形的性质、直角三角形的性质、勾股定理、圆的切线的判定定理、切线长定理,较难的是(2),利用切线长定理求出EC的长是解题关键.15.(1)证明见分析(2),C(,)【分析】(1)根据题意易证,再根据平行线性质即可得出,即证明AB是⊙O的切线;(2)连接OC,过点C作轴于点E,过点A作轴于点F,根据切线的性质即得出.根据平行线的性质可求出,.即易证,得出,.设,则.在中,利用勾股定理可求出x的值,即得出OD、的长,再根据等积法可求出的长,再次利用勾股定理可求出OE的长,即得出C点坐标.解:(1)由题意可知B(0,4),∴,∴轴,即.∵,∴,即,∴AB是⊙O的切线;(2)如图,连接OC,过点C作轴于点E,过点A作轴于点F,∵线段AC与⊙O切于点C,∴.∵轴,轴,∴,.又∵,∴,∴,.设,则,在中,,即,解得:,∴,∴.∵,∴,即,解得:.在中,,∴C(,).【点拨】本题考查切线的判定和性质,坐标与图形,平行线的判定和性质,全等三角形的判定和性质以及勾股定理.解(2)时正确的作出辅助线构造全等三角形是关键.16.(1)(2)是,45°(3)【分析】(1)根据解析式,可直接表示出A(0,m),B(m,0),即可求出AB长度,由此即可求出⊙G的半径;(2)根据P、Q分别为弧AC弧BC的中点,可知,,即,可得POQ=45°为定值;(3)延长FE交y轴于H,取最大值时,C为上半圆AB的中点,易得四边形AOBC为正方形,G为它的对角线交点,可证得,即EF∥AB,可知,,,由(2)可知,把△AOM绕O点顺时针方向旋转90º,易得,即:以BN、MN、AM为三边的三角形的外接圆面积为,△EFC外接圆的面积为,可知,代入即可求得结果.(1)解:由题意可知A(0,m),B(m,0),∵∠AOB=90°,∴在中,有勾股定理得:,∴,即:⊙G的半径长为;(2)POQ=45°为定值.证明:连接OC,∵P、Q分别为弧AC弧BC的中点,∴弧AP=弧PC,弧CQ=弧QB,∴,.∴即POQ=45°;(3)延长FE交y轴于H,∵取最大值时,C为上半圆AB的中点,∴弧AC=弧BC,AC=BC易得四边形AOBC为正方形,G为它的对角线交点.又∵P、Q分别为弧AC弧BC的中点,∴PO、QO分别为∠AOC、∠BOC的角平分线,∴,.即,∴EF∥AB,∴OC⊥AB,OC⊥EF,∴,∵OH=OA+AH=OA+AE,∵,∴,.∵由(2)可知,,把△AOM绕O点顺时针方向旋转90º,易得,∴以BN、MN、AM为三边的三角形的外接圆面积为,△EFC外接圆的面积为,∴,∴原式所以的最小值为.【点拨】本题主要考查的是圆与一次函数,与几何图形的综合,灵活运用所学知识是解题关键.17.(1)见分析(2)【分析】(1)由于∠ACB=∠ADB=90°,所以A、B、C、D四点共圆,由于∠DAC=∠BAC,根据圆周角定理可得BC=CD;(2)设AB的中点为O,又(1)可知:A、B、C、D四点共圆,根据圆周角定理可得,AB是该圆的直径,O为圆心,利用勾股定理即可求得BE的长度,再利用垂径定理求出BD的长,最后利用勾股定理求得AD的长.解:(1)∵∠ACB=∠ADB=90°,∴A、B、C、D四点共圆,∵AC平分∠BAD,∴∠DAC=∠BAC,∴由圆周角定理可得:BC=CD.(2)设AB的中点为O,连接OC交BD于点E,如图所示,由(1)知,A、B、C、D四点共圆,∴AB是该圆的直径,O为圆心,∴OC为圆的半径,∵,∴,又∵BC=CD=1,∴OC⊥BD,设CE=x,则OE=2-x,在中,,在中,,∴,∴解得,,∴,∴,由垂径定理可得,,∴在中,【点拨】本题考查了圆的综合题,能证得A、B、C、D四点共圆是解题的关键.18.(1),证明见分析(2)(3)当时,的面积最大;理由见分析,面积的最大值为【分析】(1)根据“直角三角形斜边中线等于斜边一半”可得OD=AB,OD′=A′B′,进而得出结论;(2)作△AOB的外接圆I,连接CI并延长,分别交⊙I于O′和D,当O运动到O′时,OC最大,求出CD和等边三角形AO′B上的高O′D,进而求得结果;(3)以AB为斜边在其右侧作等腰直角三角形ABC,连接OC交AB于点T,在OT上取点E,使OE=BE,连接BE,由(2)可知∶当OC⊥AB时,OC最大,BT=3,当OA=OB时,∠BOC=22.5°,此时OT最大,根据等腰三角形的性质可得∠OBE=∠BOC=22.5°,由外角的性质可得∠BET=45°,则ET=BT=3,利用勾股定理可得OE,由OT=OE+ET可得OT,然后根据三角形的面积公式进行计算.(1)解:,证明如下:,AB中点为D,,为的中点,,,,;解:如图1,作△AOB的外接圆I,连接CI并延长,分别交⊙I于O′和D,当O运动到O′时,OC最大,此时△AOB是等边三角形,∴BO′=AB=6,OC最大=CO′=CD+DO′=AB+BO′=3+3;(3)解:如图,当点A,B运动到OA=OB时,△AOB的面积最大,证明如下:以AB为斜边在其右侧作等腰直角三角形ABC,连接OC交AB于点T,在OT上取点E,使OE=BE,连接BE,由(2)可知,当OC⊥AB时,OC最大,∵等腰直角三角形ABC,AC=BC,∠ACB=90°,又OC⊥AB
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