专题2.47 《对称图形-圆》挑战综合（压轴）题分类专题-直线和圆的位置关系（专项练习）-2022-2023学年九年级数学上册基础知识专项讲练（苏科版）

——直线和圆的位置关系）【考点①】切线性质➼➸求解✭✭证明1．（2022·浙江湖州·中考真题）如图，已知在Rt△ABC中，，D是AB边上一点，以BD为直径的半圆O与边AC相切，切点为E，过点O作，垂足为F．(1)求证：；(2)若，，求AD的长．2．（2018·云南昆明·中考真题）如图，AB是⊙O的直径，ED切⊙O于点C，AD交⊙O于点F，∠AC平分∠BAD，连接BF．（1）求证：AD⊥ED；（2）若CD=4，AF=2，求⊙O的半径．【考点②】切线性质➼➸求解✭✭证明3．（2022·浙江台州·中考真题）如图，在中，，以为直径的⊙与交于点，连接．(1)求证：；(2)若⊙与相切，求的度数；(3)用无刻度的直尺和圆规作出劣弧的中点．（不写作法，保留作图痕迹）4．（2020·江苏无锡·中考真题）如图，已知是锐角三角形．（1）请在图1中用无刻度的直尺和圆规作图；作直线，使上的各点到、两点的距离相等；设直线与、分别交于点、，作一个圆，使得圆心在线段上，且与边、相切；（不写作法，保留作图痕迹）（2）在（1）的条件下，若，，则的半径为________．【考点③】切线性质➼➸条件(结论)开放➼➸求解✭✭证明5．（2016·四川资阳·中考真题）（2016四川省资阳市）如图，在⊙O中，点C是直径AB延长线上一点，过点C作⊙O的切线，切点为D，连结BD．（1）求证：∠A=∠BDC；（2）若CM平分∠ACD，且分别交AD、BD于点M、N，当DM=1时，求MN的长．6．（2014·福建三明·中考真题）已知AB是半圆O的直径，点C是半圆O上的动点，点D是线段AB延长线上的动点，在运动过程中，保持CD=OA．(1)当直线CD与半圆O相切时(如图①)，求∠ODC的度数；(2)当直线CD与半圆O相交时(如图②)，设另一交点为E，连接AE，若AE∥OC．①AE与OD的大小有什么关系?为什么?②求∠ODC的度数.【考点①】切线性质和判定➼➸切线的证明✭✭求解7．（2021·湖南郴州·中考真题）如图，是的内接三角形，是的直径，点是的中点，交的延长线于点．（1）求证：直线与相切；（2）若的直径是10，，求的长．8．（2019·江西·中考真题）如图1，为半圆的直径，点为圆心，为半圆的切线，过半圆上的点作交于点，连接．（1）连接，若，求证：是半圆的切线；（2）如图2，当线段与半圆交于点时，连接，，判断和的数量关系，并证明你的结论．【考点②】切线性质和判定➼➸旋转✭✭最值9．（2022·河南洛阳·一模）如图，为的直择，D为的中点，A为上一点．(1)请按以下步骤作图：①连；②以点A为圆心，线段的长为半径作弧，交于点B；③连接并延长到点C，使得；④连接，．(2)判断与的位置关系并证明．(3)在（1）的条件下，设点A从点D出发能点O顺时针旋转，当_______时，以点O，M，B，A为顶点的四边形是菱形．10．（2022·河北·宽城满族自治县教研室模拟预测）如图，AB是半圆形量角器的直径，点O为半圆的圆心，DA与半圆O相切于点A，点P在半圆上，且点P对应的示数为120°（60°），点C是上一点（不与点P重合）．连接DO交半圆O于点E，点E对应的示数为60°（120°）．(1)连接PC，AC，求∠PCA的度数；(2)连接AP，PB，求证：△DAO≌△APB；(3)若直径AB上存在一点M，使得EM＋PM的值最小，已知半圆O的半径是2，直接写出EM＋PM的最小值．【考点③】切线性质和判定➼➸条件(结论)开放➼➸求解✭✭证明11．（2021·河北省保定市第二中学分校一模）如图，在矩形ABCD中，AB＝4.5，BC＝6，点P是线段AD上的一个动点，以点P为圆心，PD为半径作⊙P，连接CP．(1)当⊙P经过PC的中点时，PC的长为_______；(2)当CP平分∠ACD时，判断AC与⊙P的位置关系，说明理由，并求出PD的长．12．（2021·河南·商丘市第一中学一模）如图所示，⊙O是Rt△ABC的外接圆，其中∠BAC＝90°，过点A作直线AD交CB的延长线于D，且∠BAD＝∠C．(1)求证：AD为⊙O的切线；(2)①F为OB中点，OE⊥AC于E，连接OA、EF交于G点，探究EG与GF的关系并说明理由；②延长AO交⊙O于H，连接FH，若EF＝FH，则∠ACB＝______度．13．（2022·江西·中考真题）（1）课本再现：在中，是所对的圆心角，是所对的圆周角，我们在数学课上探索两者之间的关系时，要根据圆心O与的位置关系进行分类．图1是其中一种情况，请你在图2和图3中画出其它两种情况的图形，并从三种位置关系中任选一种情况证明；（2）知识应用：如图4，若的半径为2，分别与相切于点A，B，，求的长．14．（2020·新疆乌鲁木齐·一模）如图，在中，，以为直径的交于，点在线段上，且.(1)求证：是的切线．(2)若，求的半径．✭✭✭✭【考点①】圆的基本性质➼➸坐标系➼➸求值✭✭证明15．（2021·江西上饶·二模）如图，在直角坐标系中，以点O为圆心，半径为4的圆与y轴交于点B，点A（8，4）是圆外一点，线段AC与⊙O切于点C，与x轴交于点D．(1)证明：AB是⊙O的切线；(2)线段OD＝______，并求出点C的坐标．16．（2022·湖南·长沙市南雅中学二模）在平面直角坐标系xOy中，直线（）分别与x轴、y轴相交于A、B两点．⊙G经过A、B、O三点，C为⊙G在直线上方的弧上的一个动点．(1)求⊙G的半径长（用含m的式子表示）；(2)已知弧AC、弧BC的中点分别为点P、Q，连接OP，OQ．问：∠POQ的度数是否为定值？如果是，请求出它的度数；如果不是，请说明理由；(3)在（2）条件下，连接AC，BC，OP分别交AB、AC于M、E点，OQ分别交AB、BC于N、F．连接EF．对于每一个确定的m的值，都有一个点C，使得S△ACB取最大值，对于此时的C，记以AM、MN、BN为三边的三角形的外接圆面积为S1，△CEF外接圆的面积为S2，求的最小值．【考点②】圆的基本性质➼➸动点✭✭最值✭✭隐形圆✭✭路径17．（2022·四川·一模）如图，在四边形中，，且平分．(1)求证：；(2)若，，求的长．18．（2022·广西·中考真题）已知，点A，B分别在射线上运动，．(1)如图①，若，取AB中点D，点A，B运动时，点D也随之运动，点A，B，D的对应点分别为，连接．判断OD与有什么数量关系?证明你的结论：(2)如图②，若，以AB为斜边在其右侧作等腰直角三角形ABC，求点O与点C的最大距离：(3)如图③，若，当点A，B运动到什么位置时，的面积最大?请说明理由，并求出面积的最大值．19．（2020·湖南长沙·中考真题）如图，半径为4的中，弦AB的长度为，点C是劣弧上的一个动点，点D是弦AC的中点，点E是弦BC的中点，连接DE，OD，OE．（1）求的度数；（2）当点C沿着劣弧从点A开始，逆时针运动到点B时，求的外心P所经过的路径的长度；（3）分别记的面积为，当时，求弦AC的长度．20．（2022·北京平谷·二模）对于平面直角坐标系xOy中的图形P，Q，给出如下定义：M为图形P上任意一点，N为图形Q上任意一点，如果M，N两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形P，Q间的“非常距离”，记作．已知点，，连接AB．d（点O，AB）＝；⊙O半径为r，若，直接写出r的取值范围；⊙O半径为r，若将点A绕点B逆时针旋转，得到点．①当时，求出此时r的值；②对于取定的r值，若存在两个α使，直接写出r的范围．参考答案1．(1)见分析(2)1【分析】（1）连接OE，根据已知条件和切线的性质证明四边形OFCE是矩形，再根据矩形的性质证明即可；（2）根据题意，结合（1）可知，再由直角三角形中“30°角所对的直角边是斜边的一般”的性质，可推导，最后由计算AD的长即可．（1）解：如图，连接OE，∵AC切半圆O于点E，∴OE⊥AC，∵OF⊥BC，，∴∠OEC＝∠OFC＝∠C＝90°．∴四边形OFCE是矩形，∴OF＝EC；（2）∵，∴，∵，OE⊥AC，∴，∴．【点拨】本题主要考查了切线的性质、矩形的判定与性质以及含30°角的直角三角形性质等知识，正确作出辅助线并灵活运用相关性质是解题关键．2．（1）证明见分析；（2）⊙O的半径为．【分析】（1）连接OC，如图，先证明OC∥AD，然后利用切线的性质得OC⊥DE，从而得到AD⊥ED；（2）OC交BF于H，如图，利用圆周角定理得到∠AFB=90°，再证明四边形CDFH为矩形得到FH=CD=4，∠CHF=90°，利用垂径定理得到BH=FH=4，然后利用勾股定理计算出AB，从而得到⊙O的半径．解：（1）证明：连接OC，如图，∵AC平分∠BAD，∴∠1=∠2，∵OA=OC，∴∠1=∠3，∴∠2=∠3，∴OC∥AD，∵ED切⊙O于点C，∴OC⊥DE，∴AD⊥ED；（2）解：OC交BF于H，如图，∵AB为直径，∴∠AFB=90°，易得四边形CDFH为矩形，∴FH=CD=4，∠CHF=90°，∴OH⊥BF，∴BH=FH=4，∴BF=8，在Rt△ABF中，AB=，∴⊙O的半径为．【点拨】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．也考查了垂径定理和圆周角定理．3．(1)证明见详解(2)(3)作图见详解【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角、等腰三角形的三线合一即可证明；（2）根据切线的性质可以得到，然后在等腰直角三角形中即可求解；（3）根据等弧所对的圆周角相等，可知可以作出AD的垂直平分线，的角平分线，的角平分线等方法均可得到结论．(1)证明：∵是的直径，∴，∴，∵，∴．(2)∵与相切，∴，又∵，∴．(3)如下图，点就是所要作的的中点．【点拨】本题考查了等腰三角形的三线合一、切线的性质、以及尺规作图、等弧所对的圆周角相等，理解圆的相关知识并掌握基本的尺规作图方法是解题的关键．4．（1）见分析；（2）【分析】（1）由题意知直线为线段BC的垂直平分线，若圆心在线段上，且与边、相切，则再作出的角平分线，与MN的交点即为圆心O；（2）过点作，垂足为，根据即可求解．解：（1）①先作的垂直平分线：分别以B，C为圆心，大于的长为半径画弧，连接两个交点即为直线l，分别交、于、；②再作的角平分线：以点B为圆心，任意长为半径作圆弧，与的两条边分别有一个交点，再以这两个交点为圆心，相同长度为半径作弧，连接这两条弧的交点与点B，即为的角平分线，这条角平分线与线段MN的交点即为；③以为圆心，为半径画圆，圆即为所求；（2）过点作，垂足为，设∵，，∴，∴根据面积法，∴∴，解得，故答案为：．【点拨】本题考查了尺规作图，切线的性质等内容，解题的关键是掌握线段垂直平分线、角平分线的尺规作图．5．（1）证明见分析；（2）．【分析】（1）由圆周角推论可得∠ADO+∠ODB=90°，由切线性质可得∠BDC+∠ODB=90°，而∠A=∠ADO，进而可证结论；（2）由角平分线及三角形外角性质可得∠A+∠ACM=∠BDC+∠DCM，即∠DMN=∠DNM，根据勾股定理可求得MN的长．解：（1）证明：如图，连接OD，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB=90°，即∠ADO+∠ODB=90°，又∵CD与⊙O相切于点D，∴∠BDC+∠ODB=90°，∠ADO=∠BDC∵OD=OA，∴∠A=∠ADO，∴∠A=∠BDC；（2）解：∵CM平分∠ACD，∴∠DCM=∠ACM，又∵∠A=∠BDC，∴∠A+∠ACM=∠BDC+∠DCM，即∠DMN=∠DNM，∵∠ADB=90°，DM=1，∴DN=DM=1，∴MN==．【点拨】本题考查了切线的性质，角平分线，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理等知识．解题的关键在于对知识的灵活运用．6．(1)∠ODC=45°；(2)①AE=OD；②∠ODC=36°.解：（1）连接OC，因为CD是⊙O的切线，得出∠OCD=90°，由OC=CD，得出∠ODC=∠COD，即可求得．（2）连接OE，①证明△AOE≌△OCD，即可得AE=OD；②利用等腰三角形及平行线的性质，可求得∠ODC的度数．试题解析：（1）如图①，连接OC，∵OC=OA，CD=OA，∴OC=CD，∴∠ODC=∠COD，∵CD是⊙O的切线，∴∠OCD=90°，∴∠ODC=45°；（2）如图②，连接OE．∵CD=OA，∴CD=OC=OE=OA，∴∠1=∠2，∠3=∠4．∵AE∥OC，∴∠2=∠3．设∠ODC=∠1=x，则∠2=∠3=∠4=x．∴∠AOE=∠OCD=180°-2x．①AE=OD．理由如下：在△AOE与△OCD中，∴△AOE≌△OCD（SAS），∴AE=OD．②∠6=∠1+∠2=2x．∵OE=OC，∴∠5=∠6=2x．∵AE∥OC，∴∠4+∠5+∠6=180°，即：x+2x+2x=180°，∴x=36°．∴∠ODC=36°．【考点】直线与圆的位置关系；平行线的性质；全等三角形的判定与性质．7．（1）见分析；（2）．【分析】（1）连接OD，由点D是的中点得OD⊥BC，由DE//BC得OD⊥DE，由OD是半径可得DE是切线；（2）证明△ODE是等腰直角三角形，可求出OE的长，从而可求得结论．解：（1）连接OD交BC于点F，如图，∵点是的中点，∴OD⊥BC，∵DE//BC∴OD⊥DE∵OD是的半径∴直线与相切；（2）∵AC是的直径，且AB=10,∴∠ABC=90°，∵OD⊥BC∴∠OFC=90°∴OD//AB∴∵∴∴由勾股定理得，∴．【点拨】此题主要考查了切线的判定与性质的综合运用，熟练掌握切线的判定与性质是解答此题的关键．8．（1）见分析；（2）【分析】（1）连接，根据切线的性质得到，推出四边形是平行四边形，得到，等量代换得到，推出四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质得到，于是得到结论；（2）如图2，连接，根据圆周角定理得到，求得，证得，等量代换即可得到结论．解：（1）证明：连接，为半圆的切线，为半圆的直径，，，，四边形是平行四边形，，，，四边形是平行四边形，，，，，，是半圆的切线；（2）解：，理由：如图2，连接，为半圆的直径，，，，，，，，．【点拨】本题考查了切线的判定和性质，圆周角定理，平行四边形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．9．(1)见分析(2)与相切，证明见分析(3)或．【分析】（1）根据题意作出图形即可，（2）由作图步骤可知，可得为等边三角形，证明,即，即可得证；（3）由(2),可知为等边三角形，分类讨论：①当四边形为菱形时,②当四边形为菱形时，分别求得旋转角．解：(1)如图所示，(2)与相切．证明如下:由作图的步骤,可知，为等边三角形，，，，，,即，与相切，(3)或，连接,如解图2所示.为的中点，，由(2),可知为等边三角形，；①当四边形为菱形时,如解图2所示.,即.②当四边形为菱形时,如解图2所示.，,即，综上所述,的度数为或，故答案为：或.【点拨】本题考查了基本作图作线段等于已知线段，圆的切线的性质与判定，菱形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，旋转的性质，综合运用以上知识是解题的关键．10．(1)60°；(2)见分析；(3)4【分析】（1）连接AP，OP，根据同弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半进行解答；（2）连接AP，OP，先证ΔBOP是等边三角形，再根据圆周角定理及切线的性质得到∠OAD=∠APB，最后证△DAO≌△APB；（3）作点E关于直线AB对称的对称点E'，连接E'O，PO，先证ΔΑΕΟ是等边三角形，再得到E'、O、P在同一条直线上，最后求得EM＋PM的最小值．解：(1)连接AP，OP，根据题意可知，∠AOP=120°所对的圆心角为∠AOP，∴∠PCA=∠AOP=60°；(2)连接PO，根据题意可知，∠AOE=∠BOP=60°，∵BO=PO，∴ΔBOP是等边三角形，∴PB=OB，∠ABP=∠AOD=60°，∵AO=OB，∴AO=BP，∵AB是直径，∴∠APB=90°，∵AD是OO的切线，∴∠OAD=90°，∴∠OAD=∠APB，在ΔDAO和ΔAPB中∴；(3)作点E关于直线AB对称的对称点E'，连接E'O，PO，根据对称性可知EO=E'O=2，根据题意可知∠AOE=60°，∵AO=EO，∴ΔΑΕΟ是等边三角形，∴∠AEO=60°，∵ΕΕ'⊥AO，∴∠ΟEE'=∠AEO=30°，∴∠EE'O=∠OEE'=30°，∴∠EΟE'=120°，∵∠AOE=∠BOP=60°，∴∠EOP=180°-∠AOE-∠BOP=60°，∴∠EOP+∠EOE'=180°，∴E'、O、P在同一条直线上，∴当点M与点O重合时，EM+PM为最小值，此时EM+PM=E'P=2+2=4．【点拨】本题属于几何综合题，主要考查了切线的性质，圆周角定理，直角三角形的性质，等边三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，以及对称线段之和最短问题，关键是熟练掌握切线的性并能灵活应用．11．(1)；(2)AC相切⊙P，见分析；PD的长为【分析】（1）先判断出PC＝2PD，再利用勾股定理建立方程求解，即可得出结论；（2）先判断出PH＝PD，再求出AC，进而求出CH，得出AH，最后用勾股定理建立方程求解，即可得出结论．(1)解：∵四边形ABCD是矩形，∴CD＝AB＝4.5，∠ADC＝90°，∵⊙P经过PC的中点，∴PC＝2PD，在Rt△CDP中，根据勾股定理得，PC2﹣PD2＝CD2，∴（2PD）2﹣PD2＝CD2，∴3PD2＝4.52，∴，∴PC＝2PD＝，故答案为：；(2)AC是⊙P的切线，理由如下：如图，在Rt△ADC中，根据勾股定理得，，过点P作PH⊥AC于H，∵CP平分∠ACD，∴PH＝PD，∴AC切⊙P于H．∵PH=PD，PC=PC，∴Rt△PHC≌Rt△PDC（HL），∴CH＝CD＝4.5，∴AH＝AC﹣CH＝3，设PD＝x，则PH＝x，AP＝AD﹣PD＝6﹣x，在Rt△APH中，根据勾股定理得，AP2﹣PH2＝AH2，∴（6﹣x）2﹣x2＝32，∴x＝，即PD的长为．【点拨】此题主要考查了直线与圆的位置关系，矩形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，利用方程的思想解决问题是解本题的关键．12．(1)见分析(2)①EG＝FG，理由见分析；②45【分析】（1）由OA＝OC得∠C＝∠OAC，由∠BAD＝∠C等量代换得∠OAC＝∠BAD，再由∠BAC＝90°可得∠BAD+∠OAB＝90°，即可得出结论；（2）①取OA的中点K，连接FK，由三角形中位线可证明△GOE≌△GKF，即可得出EG＝FG；②延长FG交AC于M，连接AF，先证明FM垂直平分AE，得到EF＝AF，进而得到AF＝FH，由等腰三角形的性质可得∠AOF＝90°，由圆周角定理即可得到∠C＝45°．（1）证明：∵OA＝OC，∴∠C＝∠OAC，∵∠BAD＝∠C，∴∠OAC＝∠BAD，∵∠BAC＝90°，∴∠OAC+∠OAB＝90°，∴∠BAD+∠OAB＝90°，∵OA为⊙O的半径，∴AD为⊙O的切线；（2）①EG＝FG，理由：如图，取OA的中点K，连接FK，∵F是OB的中点，K是OA的中点，∴FK是△OAB的中位线，∴FKAB，FK＝AB，∵OE⊥AC，∴E是AC的中点，∵O是BC的中点，∴OE是△CAB的中位线，∴OEAB，OE＝AB，∴OEFK，OE＝FK，∴∠OEG＝∠KFG，∠GOE＝∠GKF∴△GOE≌△GKF（ASA），∴EG＝FG；②如图，延长FG交AC于M，连接AF，∵OE⊥AC，OEFK，∴FK⊥AC，∵OF＝FB，OEMFAB，∴EM＝AM，∴FM垂直平分AE，∴EF＝AF，∵EF＝FH，∴AF＝FH，∵AO＝OH，∴FO⊥AH，∴∠AOF＝90°，∴∠C＝45°，故答案为：45．【点拨】本题考查了切线的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，圆周角定理，垂径定理，掌握圆的相关性质定理是解题的关键．13．（1）见分析；（2）【分析】（1）①如图2，当点O在∠ACB的内部，作直径，根据三角形外角的性质和等腰三角形的性质可得结论；②如图3，当O在∠ACB的外部时，作直径CD，同理可理结论；（2）如图4，先根据（1）中的结论可得∠AOB=120°，由切线的性质可得∠OAP=∠OBP=90°，可得∠OPA=30°，从而得PA的长．解：（1）①如图2，连接CO，并延长CO交⊙O于点D，∵OA=OC=OB，∴∠A=∠ACO，∠B=∠BCO，∵∠AOD=∠A+∠ACO=2∠ACO，∠BOD=∠B+∠BCO=2∠BCO，∴∠AOB=∠AOD+∠BOD=2∠ACO+2∠BCO=2∠ACB，∴∠ACB=∠AOB；如图3，连接CO，并延长CO交⊙O于点D，∵OA=OC=OB，∴∠A=∠ACO，∠B=∠BCO，∵∠AOD=∠A+∠ACO=2∠ACO，∠BOD=∠B+∠BCO=2∠BCO，∴∠AOB=∠AOD-∠BOD=2∠ACO-2∠BCO=2∠ACB，∴∠ACB=∠AOB；（2）如图4，连接OA，OB，OP，∵∠C=60°，∴∠AOB=2∠C=120°，∵PA，PB分别与⊙O相切于点A，B，∴∠OAP=∠OBP=90°，∠APO=∠BPO=∠APB=（180°-120°）=30°，∵OA=2，∴OP=2OA=4，∴PA=【点拨】本题考查了切线长定理，圆周角定理等知识，掌握证明圆周角定理的方法是解本题的关键．14．(1)证明见分析；(2)的半径为1.【分析】（1）如图（见分析），连接OD，先根据等边对等角求出，再根据直角三角形两锐角互余得，从而可得，最后根据圆的切线的判定定理即可得证；（2）先根据圆的切线的判定定理得出是的切线，再根据切线长定理可得，从而可得AC的长，最后在中，利用直角三角形的性质即可得.解：如图，连接又，则，且OD为的半径是的切线；（2），是直径是的切线由（1）知，是的切线在中，，则故的半径为1.【点拨】本题考查了等腰三角形的性质、直角三角形的性质、勾股定理、圆的切线的判定定理、切线长定理，较难的是（2），利用切线长定理求出EC的长是解题关键.15．(1)证明见分析(2)，C(，)【分析】（1）根据题意易证，再根据平行线性质即可得出，即证明AB是⊙O的切线；（2）连接OC，过点C作轴于点E，过点A作轴于点F，根据切线的性质即得出．根据平行线的性质可求出，．即易证，得出，．设，则．在中，利用勾股定理可求出x的值，即得出OD、的长，再根据等积法可求出的长，再次利用勾股定理可求出OE的长，即得出C点坐标．解：(1)由题意可知B(0，4)，∴,∴轴，即．∵，∴，即，∴AB是⊙O的切线；(2)如图，连接OC，过点C作轴于点E，过点A作轴于点F，∵线段AC与⊙O切于点C，∴．∵轴，轴，∴，．又∵，∴，∴，．设，则，在中，，即，解得：，∴，∴．∵，∴，即，解得：．在中，，∴C(，)．【点拨】本题考查切线的判定和性质，坐标与图形，平行线的判定和性质，全等三角形的判定和性质以及勾股定理．解（2）时正确的作出辅助线构造全等三角形是关键．16．(1)(2)是，45°(3)【分析】（1）根据解析式，可直接表示出A（0，m），B（m，0），即可求出AB长度，由此即可求出⊙G的半径；（2）根据P、Q分别为弧AC弧BC的中点，可知，，即，可得POQ＝45°为定值；（3）延长FE交y轴于H，取最大值时，C为上半圆AB的中点，易得四边形AOBC为正方形，G为它的对角线交点，可证得，即EF∥AB，可知，，，由（2）可知，把△AOM绕O点顺时针方向旋转90º，易得，即：以BN、MN、AM为三边的三角形的外接圆面积为，△EFC外接圆的面积为，可知，代入即可求得结果．(1)解：由题意可知A（0，m），B（m，0），∵∠AOB=90°，∴在中，有勾股定理得：，∴，即：⊙G的半径长为；(2)POQ＝45°为定值．证明：连接OC，∵P、Q分别为弧AC弧BC的中点，∴弧AP＝弧PC，弧CQ＝弧QB，∴，．∴即POQ＝45°；(3)延长FE交y轴于H，∵取最大值时，C为上半圆AB的中点，∴弧AC＝弧BC，AC＝BC易得四边形AOBC为正方形，G为它的对角线交点．又∵P、Q分别为弧AC弧BC的中点，∴PO、QO分别为∠AOC、∠BOC的角平分线，∴，．即，∴EF∥AB，∴OC⊥AB，OC⊥EF，∴，∵OH＝OA＋AH＝OA＋AE，∵，∴，．∵由（2）可知，，把△AOM绕O点顺时针方向旋转90º，易得，∴以BN、MN、AM为三边的三角形的外接圆面积为，△EFC外接圆的面积为，∴，∴原式所以的最小值为．【点拨】本题主要考查的是圆与一次函数，与几何图形的综合，灵活运用所学知识是解题关键．17．(1)见分析(2)【分析】(1)由于∠ACB=∠ADB=90°，所以A、B、C、D四点共圆，由于∠DAC=∠BAC，根据圆周角定理可得BC=CD；(2)设AB的中点为O，又（1）可知：A、B、C、D四点共圆，根据圆周角定理可得，AB是该圆的直径，O为圆心，利用勾股定理即可求得BE的长度，再利用垂径定理求出BD的长，最后利用勾股定理求得AD的长．解：(1)∵∠ACB=∠ADB=90°，∴A、B、C、D四点共圆，∵AC平分∠BAD，∴∠DAC=∠BAC，∴由圆周角定理可得：BC=CD．(2)设AB的中点为O，连接OC交BD于点E，如图所示，由（1）知，A、B、C、D四点共圆，∴AB是该圆的直径，O为圆心，∴OC为圆的半径，∵，∴，又∵BC=CD=1，∴OC⊥BD，设CE=x，则OE=2-x，在中，，在中，，∴，∴解得，，∴，∴，由垂径定理可得，，∴在中，【点拨】本题考查了圆的综合题，能证得A、B、C、D四点共圆是解题的关键．18．(1)，证明见分析(2)(3)当时，的面积最大；理由见分析，面积的最大值为【分析】（1）根据“直角三角形斜边中线等于斜边一半”可得OD=AB，OD′=A′B′，进而得出结论；（2）作△AOB的外接圆I，连接CI并延长，分别交⊙I于O′和D，当O运动到O′时，OC最大，求出CD和等边三角形AO′B上的高O′D，进而求得结果；（3）以AB为斜边在其右侧作等腰直角三角形ABC，连接OC交AB于点T，在OT上取点E，使OE=BE，连接BE，由(2）可知∶当OC⊥AB时，OC最大，BT=3，当OA=OB时，∠BOC=22.5°，此时OT最大，根据等腰三角形的性质可得∠OBE=∠BOC=22.5°，由外角的性质可得∠BET=45°，则ET=BT=3，利用勾股定理可得OE，由OT=OE+ET可得OT，然后根据三角形的面积公式进行计算．（1）解：，证明如下：，AB中点为D，，为的中点，，，，；解：如图1，作△AOB的外接圆I，连接CI并延长，分别交⊙I于O′和D，当O运动到O′时，OC最大，此时△AOB是等边三角形，∴BO′=AB=6，OC最大=CO′=CD+DO′=AB+BO′=3+3；（3）解：如图，当点A，B运动到OA=OB时，△AOB的面积最大，证明如下：以AB为斜边在其右侧作等腰直角三角形ABC，连接OC交AB于点T，在OT上取点E，使OE=BE，连接BE，由（2）可知，当OC⊥AB时，OC最大，∵等腰直角三角形ABC，AC=BC，∠ACB=90°，又OC⊥AB