固体物理课件

密排六方結構（hcp）

面心立方結構（fcc）

體心立方結構簡單立方結構NaCl結構CsCl結構金剛石結構閃鋅礦結構BA基矢和原胞Wigner-Seitz原胞§1.3晶體的宏觀對稱性一、點對稱操作

若一个空间图形经过一空间操作（线性变换），其性质复原，则称此空间操作为对称操作。由于对称操作前后图形中任意两点间的距离保持不变，故此线性变换为正交变换。

点对称操作：在对称操作过程中至少有一点保持不动。點對稱操作要素：點：對稱中心；線：對稱軸；面：對稱面。二、晶體的對稱軸定理

若一晶體繞一直線至少轉過

角或

角的整數倍，其性質復原，稱

為基轉角，稱為對稱軸的軸次。晶體的對稱軸定理：晶體中只有1，2，3，4，6五種對稱軸。三、晶體中八種獨立的對稱要素旋轉對稱軸Cn（真旋轉）旋轉－反映軸Sn（旋轉與反映的複合操作）晶體繞一直線轉過一基轉角（此時晶體未復原），緊接著對一垂直於此直線的平面反映，使晶體復原。C1(1)C2(2)C3(3)C4(4)C6(6)S1或CS(m)S2或Ci(i)S3=C3+CSS4S6=C3+Ci晶體中獨立的對稱要素：

C1(1)、C2(2)、C3(3)、C4(4)、C6(6)、Ci(i)、CS(m)和S4四、點群實際晶體中的對稱性就是由以上八種獨立對稱要素的組合組成，共有32種不同的組合方式，稱為32種點群。點群符號：Schönflies符號主軸：Cn、Dn、Sn、T和OCn：n次旋轉軸；Sn：n次旋轉－反映軸；

Dn：n次旋轉軸加上一個與之垂直的二次軸

T：四面體群；O：八面體群。

腳標：h、v、dh：垂直於n次軸（主軸）的水平面為對稱面；

v：含n次軸（主軸）在內的豎直對稱面；

d：垂直於主軸的兩個二次軸的平分面為對稱面。§1.4晶系和Bravais格子一、晶胞與軸矢坐標系晶胞：既能反映晶體的對稱性特徵又能反映晶格週期性（平移對稱性）的重複單元。軸矢：a、b、c

晶胞參量：a、b、c、

、

、

0bac

0bacAD二、軸矢坐標系中的方向指數和麵指數晶向指數晶向指數：從一個格點出發，沿晶向前進到另一格點的位移向量：ua+vb+wc

u:v:w=l:m:n，其中l、m、n為互質整數，則稱[lmn]為晶向指數。

等效晶向（等效方向）：

lmn

2.晶面指數

在一平面族中，取一個不過原點的平面，它在三個坐標軸上的截距分別為Sa、Tb和Uc，其中h、k、l為互質整數，則定義該晶面的面指數為（hkl）。等效晶面：{hkl}三、晶系根據晶體的對稱性特徵，可將晶體劃分為七個晶系。0bac晶系對稱性特徵晶胞參數所屬點群Bravais格子三斜只有C1或Ciabc

C1、CiP單斜唯一C2或CSabc==90º

C2、CS、C2hP、C正交三個C2或CSabc=＝=90ºD2、C2V、D2hP、C、I、F三方唯一C3或S6a=b=c=＝90ºC3、S6、D3C3Ｖ、D3dR四方唯一C4或S4a=bc=＝=90ºC4、S4、C4h、D4C4V、D2d、D4hP、I六方唯一C6或S3a=bc=＝90º=120ºC6、C3h、C6h、D6、C6V、D3h、D6hH立方四個C3a=b=c=＝

＝90ºT、Th、TdO、OhP、I、F四、Bravais格子根據晶體的對稱性特徵，我們將晶體劃分成七個晶系，每個晶系都有一個能反映其對稱性特徵的晶胞。由於空間點陣是從晶格經數學抽象得來的，因此空間點陣也應分別屬於這七個晶系。並且可按所屬晶系的軸矢坐標系找出其相應的單胞。我們將這種既能反映平移對稱性又能反映所屬晶系對稱性特徵的空間點陣單胞稱為Bravais格子，共有14種Bravais格子。

P：簡單Bravais格子；C：底心Bravais格子；

I：體心Bravais格子；F：面心Bravais格子abca3a2a10abca1a2a30fcc：bcc：立方晶系的基矢

半導體電子論

半導體的價帶與導帶之間的帶隙介於0.2~3.5eV範圍內，其導電能力介於絕緣體與金屬導體之間，室溫下半導體的電阻率在10－3~109(cm)範圍內。在半導體中電子可以做多種形式的運動（如漂移、擴散等），其性質與雜質、溫度、光照及壓力等有密切關係。通過研究半導體的物理性質，可以不斷揭示出各種形式的電子運動，闡明其規律性，從而可以設計出更多的半導體器件。因此，半導體材料有極其廣泛的應用前景。在所有固體材料中，半導體材料無疑是最令人感興趣的材料，也是被人們研究最廣泛的材料之一。§8.1半導體的基本能帶結構

半導體中能量最高的滿帶稱為價帶，能量最低的空帶稱為導帶。在價帶頂和導帶底之間的能量間隙稱為帶隙（或能隙），用Eg表示。由於半導體的帶隙較窄，因此，在一定溫度下，由於熱激發，導帶底有少量電子，而價帶頂有少量空穴。半導體的導電性就來自導帶底的少量電子或價帶頂的少量空穴的貢獻。我們將這些對電流有貢獻的電子和空穴稱為載流子。而載流子的運動則取決於半導體的能帶結構。一、半導體的帶隙

當光照射到半導體時，價帶中的電子就會吸收光子的能量而躍遷到導帶中，這個過程稱為本征光吸收。本征光吸收的光子能量必須滿足或——本征吸收邊

電子的光吸收過程必須滿足能量守恆和准動量守恆。在本征吸收邊附近，有兩種類型的光躍遷：1.導帶底與價帶頂在k空間中的相同位置，當電子吸收光

子能量從價帶頂的k態躍遷導帶底的k’態，其准動量守恒定律為：kp為光的波矢。kp~104cm－1，而布裏淵區的尺度範圍為108cm－1。因此，在討論光吸收時，光子的動量可忽略不計。即光吸收的躍遷選擇定則可近似為即在躍遷過程中，電子的波矢可以看成是不變的，這種躍遷稱為豎直躍遷。2.第二種類型是導帶底和價帶頂在k空間中的不同位置，

這時本征吸收邊附近的光吸收過程稱為非豎直躍遷。

在这种情况下，电子在吸收光子能量从价带顶跃迁到

导带底的同时，为满足准动量守恒，必须伴随着吸收

或發射一個聲子。這時的能量守恆和准動量守恆關係

为：{由此可以看出，在非豎直躍遷過程中，光子主要提供電子躍遷所需的能量，而聲子則主要提供躍遷所需的准動量。與豎直躍遷相比，非豎直躍遷是一個二級過程，發生的幾率比豎直躍遷的幾率小得多。直接帶隙半導體：導帶底和價帶頂在k空間中的同一點。

間接帶隙半導體：導帶底和價帶頂在k空間中的不同點。

導帶中的電子躍遷到價帶中的空能級而發射光子稱為電子－空穴對複合發光。在一般情況下，電子集中在導帶底，空穴集中在價帶頂，因此發射光子的能量基本上等於帶隙寬度。直接帶隙半導體的電子－空穴對複合發光的幾率遠大於間接帶隙半導體。

半導體的帶隙寬度的測量方法：可以用本征光吸收實驗，也可用電導率隨溫度的變化實驗來測定，用光學測量方法還可以確定是直接半導體還是間接半導體。直接帶隙半導體：GaAs、CdS和GaN等

间接带隙半导体：Si、Ge等。

LX

U,KEnergy(eV)LΓΓXU,K二、帶邊有效品質

由於電子的能量在能帶底和能帶頂取極值，因此，可將E(k)在導帶底或價帶頂附近展開導帶底附近：價帶頂附近：在主軸坐標系中，能量具有對角化形式導帶：價帶：

這表明，在導帶底附近或價帶頂附近電子（或空穴）的等能面為橢球面，其有效品質可用電子迴旋共振實驗來測定。§8.2半導體中的雜質

當晶體中少量有雜質存在時，晶格的週期性就會被破壞，在雜質周圍會產生一個局域場而影響電子的運動。因此，能帶中的電子除了有用Bloch函數描述的共有化狀態外，還會附加一個局域化的電子態（局域態），即電子可以被適當的雜質所束縛，就如電子被原子所束縛一樣。而被束縛的電子也有確定的能級，這種能級在帶隙之中。如束縛能級處於允帶中，電子不需要能量就可以直接轉入共有化運動狀態，因此，不可能是穩定的束縛態。正是由於這個束縛態能級的存在，改變了半導體的能帶結構，對半導體的性質起著決定性的作用。一、施主與受主1.施主

若雜質在能隙中提供帶有電子的能級，這種雜質稱為施主。電子從雜質能級激發到導帶遠比從價帶激發容易（尤其是能級離導帶底很近的情況）。因此，主要含施主雜質的半導體的導電性往往幾乎完全依靠施主熱激發到導帶的電子。這種主要依靠電子導電的半導體稱為N型半導體。2.受主

若雜質在帶隙中提供空的能級，稱為受主。電子從價帶激發到受主比激發到導帶容易得多，因此，主要含受主雜質的半導體，由於價帶中有些電子被激發到受主能級而產生一些空穴，半導體的導電性主要依靠空穴。這種主要依靠空穴導電的半導體稱為P型半導體。T=0T>0導帶施主價帶T=0T>0導帶受主價帶N型P型EE

在Si或Ge中加入少量五價的P、As或Sb，或在GaAs中用Ⅵ族元素（S、Se、Te）替代As就形成N型半導體；若在Si或Ge中摻入少量三價的B、Al、In等，或在GaAs中用Ⅱ族元素（Zn、Be、Mg）替代Ga則形成P型半導體。二、類氫雜質能級

雜質能級模型中最簡單也是最重要的模型是類氫雜質能級模型，以在Si中摻入Ⅴ族元素（P）為例。P原子比Si原子多出的一個正電荷正好束縛多餘一個電子，就如同氫原子核束縛其外層電子一樣。氫原子的波動方程為其能量本征值為n＝1,2,3,···氫原子的第一電離能為相應的基態波函數為C為歸一化常數，a0為玻爾半徑在Si中，“多餘”的正電荷與“多餘”電子的相互作用能為

為Si的相對介電常數。根據與氫原子的相似性可知，施主的電離能為這裏m*為導帶底電子的有效品質，與氫原子相比，施主的電離能僅為氫原子電離能的對於Si<100>：在導帶底附近mL*=0.98m，mT*0.19m；=12，由此可估算出施主的電離能約為10－2eV的數量級。

這裏所指的施主電離實際上是電子擺脫施主的束縛而躍遷到導帶中運動，因此，施主能級應在導帶底EC以下，其能量差就是施主的電離能ED，即只要給施主電子以ED大小的能量，就可以將它激發到導帶中。類比可得施主的基態波函數為ECEV施主ECEV受主其中與氫原子的玻爾半徑a0相比，rd增大了(m/m*)

倍。因此，rd>>a0，這意味著類氫施主的波函數是相當擴展的。

對於受主雜質所形成的雜質能級也可做類似的討論，如在Si中摻入少量的Ⅲ族元素（Al），一個Al原子替代一個Si原子，相當於在雜質出多一個負電荷，同時少了一個電子，即多一個空穴，這個空穴正好被負電荷所束縛。這種情況同樣類似於氫原子的情況，只是正負電荷互換了。受主能級位於價帶頂EV以上的EA處。空穴的電離相當於在價帶中產生一個自由運動的空穴。在能帶中就表現為用EA的能量將價帶頂的一個電子激發到受主能級上，從而在價帶頂產生一個自由空穴。

由於典型半導體材料的價帶結構比導帶複雜，類氫受主能級的理論比施主能級要複雜些。類氫雜質的電離能很小，它們往往是這些材料中決定導電性的主要雜質。施主（或受主）能級很靠近導帶（或價帶），因此這類雜質稱為淺能級雜質。在Si中的幾種淺能級雜質雜質類型施主受主元素PAsSbBAlGaIn電離能

(eV)0.0440.0490.0390.0450.0570.0650.16三、深能級雜質

若在Si、Ge等Ⅳ族元素半導體中摻入Ⅵ族元素原子（如Se、Te等），Ⅵ族原子的外殼層比Ⅳ族原子多兩個價電子，其原子核也比Ⅳ族原子多兩個正電荷。因此，當Ⅵ族原子摻入Ⅳ族半導體後，這兩個“多餘”的價電子就圍繞兩個正電荷運動，類似於氦原子。由於每個價電子同時受兩個正電荷的束縛，束縛能比較大，因此所對應的雜質能級離導帶底較遠，稱這種能級為深雜質能級。而這種雜質就稱為深能級雜質。當兩個價電子中的一個被激發而脫離雜質的束縛躍遷到導帶後，剩下的一個價電子就受到兩個正電荷的束縛，束縛能更大，其能級離導帶底更遠。如在Si、Ge等Ⅳ族元素半導體中摻入Ⅱ族元素原子（如Zn），可產生兩個離價帶頂相當遠的深受主雜質能級。ECEVEAED0.54eV0.35eVAu在Si中的雜質能級

深能級雜質對半導體材料性質有多方面的影響，由於深能級雜質的存在會大大降低載流子的壽命；它可以成為非輻射複合中心，從而影響發光效率；由於深受主能級的存在與自發輻射，可降低淺能級雜質的有效密度，從而大大提高材料的電阻率。從另一角度看，深能級雜質也提高半導體器件的開關速度。§8.3載流子的統計分佈一、半導體載流子的Fermi統計及近似處理

與金屬中的電子一樣，半導體中的電子也遵從Fermi統計分佈。設導帶底和導帶頂的能量分別為EC和EC’，單位體積中導帶的能態密度為NC(E)，那麼導帶中的電子濃度可表為其中為Fermi分佈函數

在金屬中，電子是強簡並的，其費米能在導帶中，在EF以下的能級幾乎完全為電子所填滿。而在半導體中（若雜質濃度不是很高），EF位於帶隙中，而且與導帶底EC和價帶頂EV的距離一般都比kBT大的多。所以，導帶中這表明導帶中的電子很接近於經典的Boltzmann分佈，且由於f(E)<<1，說明導帶中的能態被電子佔據的幾率很小，這時，電子的分佈是非簡並的。價帶中空穴的情況也很類似，價帶能級被空穴佔據的幾率也就是不為電子佔據的幾率，即由於

空穴所占狀態的能量E越低，表示空穴的能量越高。所以，上式說明空穴的佔有幾率隨空穴能量的升高而按Boltzmann統計的指數規律迅速減小。與金屬的強簡並情況完全不同，由於半導體中的電子和空穴數都很少，當考慮它們在導帶或價帶中的分佈時，不必計及Pauli不相容原理的約束，可以用經典的Boltzmann分佈代替量子的Fermi分佈。二、載流子濃度與EF

如果導帶底附近電子和價帶頂附近空穴可以用簡單的有效品質me*和mh*來描述，就可以直接引用自由電子的能態密度公式分別寫出單位體積中導帶底和價帶頂附近的能態密度：

由於電子和空穴主要集中在導帶底或價帶頂附近~kBT的範圍內，因此有作變換有這裏引用了積分公式令——導帶的有效能態密度

這表明，在計算導帶電子數時可以等效地用導帶底能級EC代替整個導帶，導帶的電子數就如同在導帶底EC處集中了NC個能態所含有的電子數。同理可計算出價帶頂的空穴濃度為其中為價帶的有效能態密度上式表明，半導體中兩種載流子濃度的乘積是一個僅與禁帶寬度Eg及溫度有關的量，而與半導體的費米能EF無關。在一定溫度下，導帶中的電子越多，價帶中的空穴就越少；反之亦然。若要求得半導體的載流子濃度，關鍵是確定費米能EF，EF不僅與晶體結構和基質原子的結構有關，而且還與雜質原子有關。1.本征半導體

我們將無雜質及缺陷的半導體稱為本征半導體，這時半導體的EF和載流子濃度完全取決於半導體本身的性質。顯然，這時導帶中的電子濃度等於價帶中的空穴濃度。即解得本征費米能為

在一般情況下，由於kBT較小，且mh*和me*相差不大，所以，本征半導體的費米能EFi近似地在帶隙的中間。2.非本征半導體

對於非本征半導體，其費米能EF及載流子濃度均與雜質原子有關。設半導體中各含一個淺施主和一個淺受主。在一定溫度下，導帶中的電子可以來自施主的熱電離，也可以來自價帶的熱激發；而價帶中的空穴可以產生於帶間的熱激發或受主的熱電離。此外，電子還可以從施主能級落入受主能級。因此，在一定溫度下，半導體中兩種載流子的濃度並不相同。對本征半導體：

設半導體中的施主和受主濃度分別為ND和NA。在一定溫度下，假設在ND個施主雜質中束縛有nD個電子；而在NA個受主中束縛有pA個空穴。所以，半導體中正電荷的數目為p+ND－nD，負電荷數為n+NA－pA。由於半導體必須保持電中性，即半導體中正負電荷的總數相等。

由於雜質能級上只允許一個電子佔據，根據統計物理可得，施主雜質能級上的電子佔有數為而未被電子佔據的受主雜質數（或其上的空穴數）為代入電中性關係式得

根據上式即可確定非本征半導體的費米能EF，並求出相應的電子濃度n和空穴濃度p。

對於只有施主雜質ND的N型半導體，在較低溫度下，載流子只有由施主雜質電離的導帶電子，而從價帶躍遷到導帶的電子非常少，p

0。這時，電中性條件為可以解得其中{

當溫度很低時，EC－ED>>2kBT，<<2(NC

T3/2)，這時只有部分雜質電離，可近似得在一般情況下，ND<2NC，所以，在很低溫度下這時的N型半導體就好像一個帶隙為Eg＝EC－ED的本征半導體一樣。在<<2時，電子濃度為隨著溫度的升高，

值逐漸變大，當滿足>>2時，這時施主雜質已全部電離，導帶中的電子濃度就等於施主雜質濃度ND，稱為強電離情形。隨著溫度的進一步升高，由價帶電子的熱激發（稱為本征激發）所產生的電子和空穴就不能忽略，這時半導體進入本征激發區，這時的電中性條件為這時可解得和如ni<<ND，則n

ND，p

0，此即強電離情況；而如ni>>ND，n

p

ni，這時本征激發起主要作用，與本征半導體的情況相同。由為簡單，假設NC＝NV＝N，可求得隨著溫度升高，本征載流子濃度ni不斷增大，當ni>>ND時，這時隨溫度升高，費米能EF逐漸趨於本征費米能EFi。

對於只有受主雜質的P型半導體。也可作類似的討論。雜質電離區飽和區本征區ND=1015cm－3§8.4半導體的電導率與Hall效應一、半導體的導電率半導體導帶底的電子與價帶頂的空穴都可以看成是分別具有有效品質me*和mh*的自由粒子，因此可以直接應用自由電子的結果來討論在外電場作用下所產生的電導。和分別是電子和空穴的遷移率。

表示在電場作用下載流子（電子或空穴）沿電場方向漂移的平均速度，遷移率則表示單位電場作用下載流子的平均漂移速度。半導體的總電導為在雜質激發範圍內，主要由一種載流子導電，有（N型）（P型）{

在實際問題中，遷移率的大小是相當重要的。Ge和Si的遷移率

~103cm2/Vs的數量級；有些金屬化合物半導體（如GaAs、InSb等），由於其電子的有效品質僅為電子品質的1/100左右，因此其遷移率可達~105cm2/Vs的數量級。

遷移率的大小不僅取決於有效品質（即取決於能帶結構），而且還與散射幾率有關。而散射既可以來自晶格振動，也可以來自雜質。在較高溫度下，晶格的散射是主要的，溫度升高，聲子的散射增大，因而遷移率隨溫度的升高而下降。理論計算表明。對於簡單能帶，由晶格振動所限制的遷移率與溫度的關係為

在低溫下，雜質的散射是主要的。而電離雜質對載流子的散射類似於

粒子的Rutherford散射。溫度升高時載流子熱運動的速度增大，電離雜質的散射作用相應減弱，從而使遷移率增大。理論計算結果可表為

半導體的導電率

除了與遷移率有關外，還與載流子的濃度有關。而載流子的濃度隨溫度的升高以指數形式增加（飽和區除外）。由於指數形式的變化總是比冪函數的變化快，因此除飽和區外，導電率主要以指數形式隨溫度的升高而迅速增大，表現出很強的熱敏性。這與金屬的導電率有明顯不同。因為金屬的載流子（電子或空穴）濃度與溫度無關，溫度升高時，傳導電子的遷移率因與聲子的碰撞更加頻繁而減小，所以金屬的導電率溫度係數為負，溫度升高，導電率下降。二、半導體的Hall效應當載流子為電子時，Hall係數為類比可得，當載流子為空穴時，Hall係數為如半導體中同時存在兩種載流子，此時的Hall係數為

由於Hall係數與載流子濃度成反比，因此，半導體的Hall效應比金屬強得多。Hall效應的主要應用就是確定載流子的濃度，由Hall係數的測定可以直接得到載流子的濃度，而且，從Hall係數的符號還可確定載流子是電子還是空穴。對於本征半導體，n＝p，有由於一般有

對於非本征半導體，在溫度較高時，在本征激發範圍內，n

p，因此R<0。對於P型半導體，當溫度較低時，在雜質激發範圍內，p>>n，即滿足，R>0；

当R＝0；

当

因此，對於P型半導體，在溫度由雜質激發升至本征激發範圍的過程中，Hall係數將改變符號。對於N型半導體，在雜質激發溫區，n>>p，R<0。達到本征激發溫區，無論溫度多高，電子濃度總是大於空穴濃度n>p，且

e>

p，所以N型半導體R<0不會隨溫度變化而改變符號。Hall效應還可以用來確定半導體的遷移率。以N型半導體為例，}

對於P型半導體，也有類似的關係式。所以，通過測量非本征半導體的導電率和Hall係數，就可確定電子或空穴的遷移率。通常將稱為Hall遷移率

H，它與實際的遷移率非常接近。其差別的大小與載流子在運動時所受的散射機理（雜質或聲子）有關。§8.5非平衡載流子

在摻有施主雜質的N型半導體中，電子濃度n總是大於空穴濃度p，這時電子稱為多數載流子（簡稱多子），空穴稱為少數載流子（簡稱少子）。而在摻有受主雜質的P型半導體中，空穴為多子，電子為少子。在熱平衡時，單位體積中有一定數目的電子n0和一定數目的空穴p0，這時n0和p0必須滿足以N型Si為例，室溫下Si的本征電子濃度ni1010cm－3，對於電子（多子）濃度n0＝1016cm－3的N型Si，其少子（空穴）濃度p0104cm－3。一、非平衡載流子與光電導

在外界的作用下，半導體中的電子濃度n和空穴濃度p有可能偏離平衡值。例如半導體的本征光吸收產生電子—空穴對，用

n＝n－n0，

p＝p－p0表示超出熱平衡的多餘載流子，稱為非平衡載流子。通常情況下，由於電中性要求，

n＝

p。非平衡載流子在數目上對多子和少子的影響顯然是不同的。多子的數量一般都很大，非平衡載流子不會對它有顯著影響。但對少子來說，數量的變化將非常明顯。例：室溫下，在摻雜n0＝1016cm－3的N型Si中，p0=104cm－3，若產生非平衡載流子

n＝

p＝1010cm－3

因此，在討論非平衡載流子時，常常最關心的是非平衡的少數載流子。半導體中的許多重要現象都與非平衡載流子有關，光電導就是有關明顯的例子。光照前的導電率為——暗電導率

在光的照射下發生本征光吸收，產生非平衡電子

n和非平衡空穴

p，導電率將發生變化，——遷移率比

用光照產生非平衡載流子稱為光注入。光照使半導體導電率增大的現象稱為光電導。二、非平衡載流子的複合與壽命

在產生非平衡載流子的同時，也存在著載流子的複合過程，即導帶中的電子回落到價帶上，與價帶中的空穴複合，使電子—空穴對湮滅。這是從非平衡恢復到平衡的自發過程。熱平衡指的是電子—空穴對的不斷產生與複合的動態平衡。當有非平衡載流子存在時，這種動態平衡被破壞了，這時複合的幾率將大於產生的幾率，淨複合率＝複合率－產生率。

如果半導體受到外界作用（如光照），半導體載流子的平衡被破壞，產生附加的非平衡電子

n與空穴

p

。一旦撤銷外界作用，這些附加的非平衡載流子將通過複合作用而逐漸消失。最簡單情況，設非平衡載流子的複合以固定的幾率發生。那麼，當外部作用撤銷後，非平衡載流子將按以下方程逐漸消失積分得

即撤銷外界作用後，非平衡載流子是以指數形式隨時間衰減的，

描述了非平衡載流子平均存在時間，稱為非平衡載流子的壽命。

非平衡載流子的壽命反映了半導體中載流子複合過程的快慢，壽命越短，載流子複合過程越快；反之，複合就越慢。非平衡載流子的壽命對光電導現象相當重要。在變化光照的情況下，載流子的壽命決定了光電導反應的快慢。如果兩個光訊號之間的時間間隔小於

，那麼，第一個訊號的影響尚未消除，第二個訊號已經傳過來了，使得兩個訊號無法區分開。此外，

越大，光電導的效應就越強。因為一個非平衡載流子只在

的時間內起增加電導的作用，

越大，產生一個非平衡載流子對增加電導的效果就越大。通過測量光電導的衰減可以確定非平衡載流子的壽命。三、複合機制

直接複合：導帶中的電子直接躍入價帶與空穴複合。間接複合：導帶中的電子躍入帶隙中的雜質能級，然

後再躍入價帶與空穴複合。有些雜質深能

级能大大促进载流子的复合，成为主要决

定载流子寿命的杂质，称为复合中心。

在載流子的複合過程中，必然伴隨著載流子多餘能量的釋放過程。若按照能量釋放方式的不同。又可分為三種過程：1.輻射複合：載流子多餘的能量是以光子的形式釋放的，

或者為滿足准動量守恆，在發射光子的同時，

伴随着发射或吸收声子。2.無輻射複合：載流子多餘的能量以發射聲子的形式釋

放，即載流子將多餘的能量傳遞給晶格振動。一般此

过程放出的声子不止一个，故称为多声子过程。3.Auger過程：在電子與空穴複合的過程中，電子把能

量傳遞給其鄰近的一個載流子，使之成為高能載流子，

然后它再与其载流子碰撞而逐渐将能量释放出来。光子導帶價帶聲子導帶價帶E＝0發射e1e2hE1E2E3E4輻射複合無輻射複合

非平衡載流子壽命的長短與半導體材料的製備工藝密切相關，長的可達~10－3s，短的僅~10－9s，一般約為~10－6s的數量級。在一般情況下，通過深雜質能級的間接複合過程是決定載流子壽命的主要複合過程，所以，

的大小與材料中的雜質和缺陷密切相關。四、非平衡載流子的擴散

半導體中的非平衡載流子除了可以在外電場的作用下形成電流（稱為漂移電流）外，還可以形成另一種形式的電流，稱為擴散電流。擴散電流的產生是由於半導體中載流子濃度的不均勻分佈而造成的擴散運動。對於非平衡少數載流子來說，擴散往往是其主要的運動形式。

在一般情況下，少數載流子數量極少，與多子相比，對漂移電流的貢獻微不足道。但如有非平衡載流子，就可以在不破壞電中性的情況下形成載流子的濃度梯度，從而形成顯著的擴散電流。

考慮一個一維穩定擴散問題，以均勻光照射在半導體表面為例。光只在很薄的一層表面內被吸收，因而所產生的非平衡載流子也只在表面層內。這些少數載流子通過擴散向體內運動，一邊擴散，一邊複合。在半導體內建立穩定的非平衡載流子分佈。其中，是非平衡載流子（電子）的濃度梯度，De是電子的擴散係數。非平衡載流子邊擴散邊複合，在半導體中形成穩定的分佈，其濃度分佈滿足連續性方程上式的左邊是因擴散所造成的積累，右邊表示因複合而造成的損失。其解為其中邊界條件：{

這表明，表面產生的非平衡載流子在邊擴散邊複合的過程中，隨距離增加而指數衰減，L標誌著非平衡載流子深入樣品的平均距離，稱為擴散長度。擴散流密度：在x＝0的介面處，

由於

n0是邊界處非平衡少數載流子的濃度，所以，擴散流密度就好像是這些載流子全部以De

/L的速度運動而產生的，故稱為擴散速度。§8.6PN結PN結是許多半導體器件的核心，掌握PN結的性質是分析這些器件的基礎。PN結的性質集中反映了半導體導電性能的特點：存在兩種載流子，載流子有漂移、擴散和產生－複合三種基本運動形式。在不同情況下，這三種運動形式對導電性能的貢獻各不相同。因此，作為半導體所特有的物理現象，PN結一直受到人們的重視。在一塊半導體中，若一部分是N型區，另一部分是P型區，在N型區和P型區的交界面處就形成PN結。PN結最基本的電學特性是具有單向導電的整流性質。一、平衡PN結勢壘PN結整流性質的物理根源是在PN結區內存在載流子的勢壘。

當兩塊不同的金屬相互接觸時，由於其EF的不同，就會使電子從EF高的一側流向EF低的另一側，在介面處形成接觸電勢差。在PN結區形成載流子勢壘的過程與兩不同金屬形成接觸電勢差的過程完全類似。

在PN結的N型區，在雜質激發範圍內，電子濃度遠高於空穴濃度，其EF應在帶隙的上半部，靠近導帶底；而在P型區，空穴濃度遠大於電子濃度，EF在帶隙的下半部接近於價帶頂。即(EF)N>(EF)P，於是電子將從EF高的N型區流向P型區，在PN結的介面上產生電荷的積累，形成一定的接觸電勢差。這個接觸電勢差使得P型區相當於N型區具有負的電勢－VD，從而使P型區中電子的靜電勢能提高了eVD，即P型區的整個電子能級上移了，eVD恰好補償P型區與N型區EF原來的差別，即使兩邊的費米能拉平。

平衡時，在接觸介面處形成了一能帶過渡區，在此區域內，電子和空穴的分佈破壞了原來的電中性，形成一空間電荷區，其寬度約為~10－6m的數量級。此區域的強電場對N型區的電子和P型區的空穴都是一個高為eVD的勢壘，稱為平衡PN結勢壘。

建立穩定的PN結勢壘後，從N型區進入P型區電子的濃度nP0為其中，nN0為N型區電子的平衡濃度。同理，進入N型區的空穴濃度pN0為這裏，pp0為P型區中空穴的平衡濃度。由此可知，在空間電荷區中，電子（空穴）濃度由N（P）型區的nN0（pp0

）按指數形式衰減到P（N）型區的nP0

（pN0

）。

在平衡PN結中，載流子的擴散和漂移運動處於相對平衡。二、PN結的單向導電性

若在PN結上加一外電壓V，由於空間電荷區中載流子濃度很低，因而電阻很高，PN結勢壘將改變eV，從而破壞了原來的平衡，引起載流子的重新分佈。1.PN結的正向注入

當PN結加正向偏壓時，外加電壓使空間電荷區中的電場減弱，PN結勢壘降低為e(VD-V)，打破了漂移運動與擴散運動的相對平衡。由於PN結加正向偏壓，將有部分電子從N型區進入P型區，空穴從P型區進入N型PN區，稱為非平衡載流子。這種現象稱為PN結的正向注入。

由於正向注入，勢壘邊界上的少數載流子濃度從原來的nP0↗nP和pN0↗pN，根據Boltzmann統計可求得{與平衡是的濃度相比，得和即正向偏壓使介面處的少數載流子積累，其濃度提高了倍。於是，邊界處非平衡載流子的濃度為{這些邊界處的非平衡載流子邊擴散邊複合向體內運動，從而形成擴散電流，擴散電流密度為{因此，通過PN結的總電流密度為其中

這表明，在正向偏壓下，通過PN結的電流與少數載流子的濃度成正比，且隨正向偏壓的增大而迅速增大。2.PN結的反向抽取PN

當PN結外加反向偏壓時，外加電場使空間電荷區的電場增強，從而使PN結勢壘增大，由原來的eVD變為e(VD+V)。這時，載流子的漂移運動超過了擴散運動。在反向偏壓的作用下，P型區中的電子一旦到達空間電荷區的邊界，就會被電場拉向N型區；同樣，N型區的空穴一旦進入空間電荷區，也會被拉向P型區。這種現象稱為PN結的反向抽取。反向抽取使PN結介面處的載流子濃度小於其平衡濃度，這時，非平衡載流子濃度為負值。這意味著載流子的複合率為負值，即在外電場的作用下，實際上有新的電子－空穴對產生，其中的少數載流子可能擴散到空間電荷區，而被電場拉向對面，形成反向電流。所以，PN結的反向電流實質上就是產生電流。反向電流密度為在一般情況下，eVr>>kBT，即

通常由於少數載流子的濃度很低，因而，在一定的反向電壓範圍內，反向電流一般都很小。

但是，如果有外界作用，使得達到反向PN結空間電荷區邊界的少數載流子濃度很高，這些載流子同樣可以被空間電荷區的電場拉向對面，形成大的反向電流。如:NPN電晶體正向發射結把電子注入到P型區，由於基區的寬度遠遠小於擴散長度，注入到基區的電子還來不及複合就擴散到反向集電結的邊界，被反向集電結的抽取作用拉向集電區，這時集電結反向大電流狀態，這就是電晶體電流放大作用的物理基礎。三、高摻雜半導體與PN結

當淺能級雜質的摻雜濃度達到1018~1019cm－3時，不同雜質原子上的軌道就會發生明顯的重疊。這時，電子（或空穴）將不再被某個固定的雜質原子所束縛，而是可以的整個半導體中運動的；雜質能級將展寬為一個雜質帶，雜質帶的寬度隨雜質濃度的增加而加寬。雜質帶導帶尾N(E)

高摻雜不僅使雜質能級發生變化，而且也引起能帶的變化。電子在晶體中運動時不僅受到晶格原子的作用，而且也受到雜質原子的作用，使能帶失去明確的邊界，而產生一個伸入到禁帶中的“尾”。

如果P區和N區的摻雜濃度都很高，就形成P+N+結。對於摻雜濃度很高的N型半導體，其費米能可上升到導帶中；而對於摻雜濃度很高的P型半導體，其費米能則可降到價帶中。這種高摻雜的半導體稱為“簡並”半導體。用簡並半導體所組成的PN結，稱為隧道二極體，其伏安特性將與普通PN結有明顯的差異。VI/I0100%GeSiGaAs

在正向小電壓下，電流先上升，達到一個峰值；電壓繼續升高時，電流反而下降，出現負阻區；當電壓達到一定值後，電流將迅速增大，這時PN結處於導通狀態。

正向電流峰的出現是在高摻雜條件下費米能級進入能帶的結果。

由於高摻雜，N區和P區的費米能級分別進入了導帶和價帶，平衡時兩邊的費米能相等。當對PN結施加正向小電壓V時，N區的費米能比P區高eV，由於N區的導帶底有大量的電子，而P區的價帶頂有大量的空能級，因此，N區的導帶中處於EF與EF－eV之間的電子可以通平衡時施加正向小電壓過隧穿從N區進入P區而形成PN結電流，稱為PN結的隧道效應。隨著正向電壓的增加，正向電流也隨之增加，當N區的費米能與P區的價帶頂EV相等時，穿透幾率達到極大，正向電流也達到極大。如正向電壓繼續增加，N區的費米能將超過P區的價帶頂EV，將有一部分電子不能隧穿到價帶的空能級中，因此，隧道電流將隨正向電壓的增加而下降。當N區的導帶底與P區的價帶頂相等時，隧道電流降到極小。NP

若電壓繼續增加，當達到正嚮導通電壓時，就只有一般PN結的正向注入電流了。

隧道二極體的反向特性也完全不同於一般PN結二極體。隧道二極體的反向電流很大，且隨反向電壓迅速增大。這時，價帶中的電子可以通過隧道效應穿透的導帶中，形成大的反向電流。利用隧道二極體的負阻區可進行微波振盪和微波放大。(EF)N(EF)P(EF)N(EF)P正嚮導通反向隧穿四、電晶體的放大作用PPNEBCPNNECBBECBECRLNN＋PIBICIECBE

通常，電晶體的兩個PN結並不對稱，一般發射區有較高的摻雜濃度。圖為N+-P-N電晶體。在發射區與基區間的N+-P結處於正向，而集電區與基區的P-N結處於反向。因此，在N+-P結中將有大的正向電流密度jE通過，此正向電流密度由兩部分組成：由N+區向P區注入的電子電流密度je和由P區向N+區注入的空穴電流密度jh。而在N+區中平衡的多子濃度nN0和少子濃度pN0必須滿足同樣，在P區中平衡的多子濃度pP0和少子濃度nP0滿足由以上兩式可得由於發射區（N+區）是高摻雜區，有很高的多子（電子）濃度nN0

，而基區（P區）的摻雜濃度比較低，多子（空穴）濃度pP0較低，因此有再由上式即可得：

由此可以得出，由發射區（N+區）向基區（P區）注入的電子電流密度je比由基區（P區）向發射區（N+區）注入的空穴電流密度jh大的多，即je>>jh。通常定義為電晶體的發射效率或注射比。顯然，電晶體的注射比

<1，但接近於1。一般電晶體的基區（P區）都比較薄，因此，由發射區（N+區）注入到基區（P區）的電子可很快渡過基區而達到反向偏置的集電區P-N結勢壘的邊緣，並被結區內強的內電場拉向集電區（N區），形成集電極電流密度jC。由於從發射區（N+區）注入到基區（P區）的電子在穿越基區（P區）時，有一部分被複合，因此，集電區的電流密度jC必小於je。令

稱為基區的輸運係數，

<1。如果基區做得足夠薄，且材料的晶格又比較完整，那麼電子在穿越基區時只有很少一部分被複合，因此可近似認為

1。嚴格說，在集電極電流密度jC中還應包括處於反向偏置的PN結的反向飽和電流密度j0，但由於這部分電流密度通常比je小得多，可以忽略不計。由於

和

均小於1，但接近於1，所以，集電極電流密度jC小於但接近於發射極電流密度

jE。於是，基極電流為A為結的面積。因為jC

jE

，所以IB為小量。在電晶體放大電路中，基極電流IB常作為輸入電流，而IC作為輸出電流。因此，定義電路的電流放大倍數

為因為

1，所以

值可以相當大，一般可達50~100。從上式可以看出，為了獲得足夠大的電流放大倍數

，必須要求盡可能大的注射比

及基極輸運係數

。發射區的摻雜濃度之所以要比基區的摻雜濃度高得多（即形成N+-P結或P+-N結）就是為了提高注射比

；而在電晶體的製作工藝上要求將基區做得很薄，並儘量保證材料有完整的晶體結構，其目的也是為了提高基區的輸運係數

。§8.7MOS結構MOS結構是大規模積體電路中的最重要單元之一，因此，研究其工作原理不僅在理論上而且在實際應用上都非常重要。設半導體為P型半導體，空穴為多子，電子為少子。若半導體接地，而使金屬處正電位，在半導體中產生一個向下的電場。在電場的作用下，表面處的空穴被趕走，而留下帶負電的電離受主雜質。這些電離受主雜質可遮罩外電場，於是MOS結構就好像一個平行板電容器。當對金屬一側施加正向電壓，歐姆接觸半導體金屬氧化物＋V在半導體一側就產生負電荷。在厚度為d的由電離受主雜質所構成的空間電荷區內，由於電場的存在，其電勢是逐漸變化的，造成此區域中半導體能帶的彎曲。xVVSd0EVEFECeVS將半導體表面（x=0）相對於體內（x

d）的電勢差稱為表面勢VS。在空間電荷區內，價帶邊離費米能EF較遠，表明在表面附近空穴被趕走，空穴濃度很低，為高阻區，稱為表面載流子的耗盡區。EVEFECEi如果升高金屬的正電壓，表面勢將增大，能帶也將更為彎曲。當費米能級EF高於表面處的本征費米能Ei時，表面附近的電子濃度將高於空穴濃度，表面附近就將由P型變成N型，即表面附近的半導體導電類型變得與體內相反。稱該區域為表面反型層。如令eVF表示體內Ei與EF之差，形成反型層的條件一般取為

對於表面反型層的電子，左邊是絕緣層，而右邊是由耗盡層空間電荷區的電場所形成的勢壘。所以，在反型層中的電子，實際上被限制在表面附近能量最低的一個狹窄區域中。因此，反型層有時也稱為溝道。P型半導體的表面反型層是由電子構成的，稱為N型溝道。對於由N型半導體所組成的MOS結構，也可作同樣的討論。如在金屬層施加負電壓，半導體表面的電子將被趕走，形成缺少載流子（電子）的表面耗盡層。若加大負電壓的值，則半導體表面將由N型變為P型，形成表面反型層（也稱為P型溝道）。如對P型半導體的MOS結構加以負電壓，則將在P型半導體表面積累更多的空穴，稱這樣的半導體表面區為表面積累區。DGSP－Si襯底N+N+MOS結構常被用來製成可放大電信號的MOS電晶體。如在SiMOS結構的P型半導體上製作兩個N＋型擴散區，形成兩個PN結，將與這兩個擴散區連接的電極分別稱為漏極（D）和源極（S）；將與金屬層相連的電極稱為柵極（G）。若在D和S之間加一電壓，相當於對兩個背靠背的PN結加電壓，其中一個PN結處於正向，另一個處於反向，因此流過的電流很小。如在柵極G與Si襯底間加一正電壓，使P型區的介面變為反型層，即變為N型Si。這樣，在氧化層介面形成N型Si的電流通道，於是，D和S之間就有大電流流過。§8.8異質結

將兩種不同的半導體材料所組成的介面區稱為異質結，如：在GaAs襯底上外延生長合金半導體AlxGa1-xAs，在其介面上就構成異質結。異質結具有許多普通PN結所沒有的特性，常被用來改良半導體器件的性能。

1

1

2

2Eg1Eg2

EC

EVEF1EF2E0EV2EV1EC1EC2P型N型eVDE0：真空能級，表示電子逸出半導體進入真空後所具有

的能量。

＝E0

－EC稱為電子的親合能，由材料本身的性質決定。能帶邊失配{eVD1eVD2EC1EC2EV1EV2EFeVD1eVD2

由於兩種半導體材料的費米能不同，當它們組成異質結時，將發生電荷轉移而在介面區形成PN結勢壘，從而使兩邊的費米能相等。與同質PN結的能帶圖相比，異質結的能帶圖有明顯的不同：由於能帶在介面處的間斷，在勢壘的一側出現尖峰，而另一側則出現峽谷。在結區的能量降低為分別降落的異質結兩邊的半導體上。而由於能帶邊的失配

EC和

EV的存在，使得電子從N區導帶流向P區導帶所需越過的勢壘變小：相反，P區的空穴流向N區的價帶所需越過的勢壘變大：

異質結的一個重要性質是可以提高電流的注入比，即在總電流中電子電流與空穴電流之比。如在異質結的N型區一側用寬頻隙的半導體材料，就可以提高電子的注入比。平衡時，P區中的電子濃度為而N區中的空穴濃度為

當施加正向偏壓V後，設全部正向偏壓都降落在勢壘上，使電子和空穴的勢壘均降低eV，如假設載流子在勢壘區中沒有複合，這時有P區：N區：在P區勢壘邊界處的電子擴散電流密度為同理，在N區勢壘邊界處的空穴擴散電流密度為

平衡時，P區的電子（少子）濃度和N區的空穴（少子）濃度可分別表為{對於同質PN結，

EC＝

EV＝0，ni1＝ni2，則注入比為ND和NA分別是N區的施主摻雜濃度和P區的受主摻雜濃度，注入比主要決定於摻雜濃度之比。因此，為了提高同質PN結的注入比，就要提高N區的施主摻雜濃度。而對於異質結，注入比為

這裏忽略了兩種不同材料有效能態密度的差異。可以看出，如果N區選用比P區更寬頻隙的半導體材料，那麼，即使兩邊的摻雜濃度相差不多，也可獲得很高的注入比。對於電晶體、半導體雷射器等半導體器件，注入比是一個很重要的參量。對於電晶體，高的注入比可獲得高的電流放大倍數；對於半導體雷射器，則可提高雷射器的工作效率。此外，由GaAs和AlxGa1-xAs所組成的異質PN結，在窄帶隙的GaAs中可以存在電子或空穴的窄勢阱稱為量子阱。如果處於勢阱中的電子（或空穴）的能量低於勢壘高度（即能帶邊失配值

EC或

EV）,那麼電子（或空穴）的運動就被限制在勢阱中。如果勢阱的厚度（即窄禁帶GaAs的厚度）足夠薄，則可近似認為勢阱中的電子（或空穴）只能在平行於介面的平面內運動，這時量子阱中的電子（或空穴）可近似看成二維電子（空穴）氣。

金屬自由電子論§5.1Sommerfeld的自由電子論一、自由電子模型

電子在一有限深度的方勢阱中運動，電子間的相互

作用可忽略不計；电子按能量的分布遵从Fermi－Dirac統計；電子的填充滿足Pauli不相容原理；電子在運動中存在一定的散射機制。二、運動方程及其解1.運動方程其中，U0為電子在勢阱底部所具有的勢能，為簡單起見，可選取U0

＝0。令有方程的解為：其中，A為歸一化因數，可由歸一化條件確定。V為金屬的體積。k為電子波矢電子的能量：二、週期性邊界條件

設金屬為一平行六面體，其棱邊分別沿三個基矢a1、a2和a3方向，N1、N2和N3分別為沿a1、a2和a3方向金屬的原胞數，那麼，金屬中原胞的總數為

N＝N1N2N3週期性邊界條件：

k(r)＝

k(r+N

a

)，

＝1,2,3

k

N

a

＝2h

,h

為整數。由於波向量k是倒易空間中的向量，可用倒格子基矢表示：h

為整數，

＝1,2,3由於h1、h2、h3為整數，可見引入週期性邊界條件後，波矢k的取值不連續，每一個k的取值代表一個量子態，這些量子態在k空間中排成一個態空間點陣，每一個量子態在k空間中所占的體積為那麼，在k空間中，波矢k的分佈密度為這表明，在k空間中，電子態的分佈是均勻的，只與金屬的體積有關。3.能態密度這表明，在k空間中，自由電子的等能面為球面，在能量為E的球體中，波矢k的取值總數為每一個k的取值確定一個電子能級，若考慮電子自旋，根據Pauli原理每一個能級可以填充自旋方向相反的兩個電子。如將每一個自旋態看作一個能態，那麼，能量為E的球體中，電子能態總數為定義：能態密度其中：由此可見，電子的能態密度並不是均勻分佈的，電子能量越高，能態密度就越大。三、Fermi－Dirac統計1.量子統計基礎知識

經典的Boltzmann統計：

量子統計：Fermi－Dirac統計和Bose－Einstein統計費米子：自旋為半整數（n＋1/2）的粒子（如：電子、質

子、中子等），費米子遵從Fermi－Dirac統計規律；玻色子：自旋為整數n的粒子（如：光子、聲子等），

玻色子遵從Bose－Einstein統計規律。2.T＝0時電子的分佈

當T＝0時，系統的能量最低。但是，由於電子的填充必須遵從Pauli原理，因此，即使在T＝0時，電子也不可能全部填充在能量最低的能態上。如能量最低的能態已經填有電子，其他電子就必須填到能量較高的能態上。所以，在k空間中，電子從能量最低的原點開始填起，能量由低到高逐層向外填充，其等能面為球面，一直到所有電子都填完為止。由於等能面為球面，所以，在k空間中，電子填充的部分為球體，稱為Fermi球。將Fermi球的表面稱為Fermi面，Fermi面所對應的能量稱為Fermi能EF0。於是，可得電子的分佈函數為f(E)={1EEF00E>EF0——費米半徑——費米動量——費米速度EEF001f(E)T＝0在E－E＋dE中的電子數為：dN＝f(E)N(E)dE系統的自由電子總數為T＝0其中——自由電子密度對於金屬：n：1022~1023cm－3

，所以EF0~幾個eV定義Fermi溫度：若將費米能轉換成振動能相當於多高溫度下的熱振動能。對於金屬，TF~104K。系統的總能量：T＝03.T>0時的分佈當T>0時，電子熱運動的能量~kBT，在常溫下kBT<<EF0因此，只有費米麵附近的電子才能被激發到高能態，即只有

E－EF0

~kBT的電子才能被熱激發，而能量比EF0低幾個kBT的電子則仍被Pauli原理所束縛，其分佈與T＝0時相同。能量在E－E＋dE之間的電子數為：其中為Fermi－Dirac分佈函數其中

是電子的化學勢，其物理意義是在體積不變的情況下，系統增加一個電子所需的自由能。從分佈幾率看，當E＝

時，f()＝0.5，代表填充幾率為1/2的能態。當E－>幾個kBT時，exp[(E－)/kBT]>>1，有，這時，Fermi－Dirac分佈過渡到經典的Boltzmann分佈。且f(E)隨E的增大而迅速趨於零。這表明，E－>幾個kBT的能態是沒有電子佔據的空態。當

－

E>幾個kBT時，exp[(E－)/kBT]<<1，這時，f(E)1，這表明，

－

E>幾個kBT的能態基本上是滿態。在強簡並情況下，EF（EF是T>0時的費米能）。這裏需要指出的是，金屬自由電子氣的簡並性與量子力學中能量的簡並性是不同的。金屬自由電子氣的簡並性指的是統計的簡並性，而不是能量的簡並性，即指金屬自由電子氣與理想氣體遵從不同的統計規律。我們將金屬自由電子氣與連續氣體性質之間的差異稱為簡並性。對金屬而言，其熔點均低於TF，因此，在熔點以下，T<<TF總是滿足的。所以，我們將金屬自由電子氣稱為強簡並的費米氣體。而對於半導體，n~1017cm－3，其TF~102K。

当T~TF時，其分佈已經很接近於經典分佈了。

對於金屬而言，由於T<<TF總是成立的，因此，只有費米麵附近的一小部分可以電子被激發到高能態，而離費米麵較遠的電子則仍保持原來（T＝0）的狀態，我們稱這部分電子被“冷凍”下來。因此，雖然金屬中有大量的自由電子，但是，決定金屬許多性質的並不是其全部的自由電子，而只是在費米麵附近的那一小部分。正因為這樣，對金屬費米麵的研究就顯得尤為重要。四、結果與討論（粗略的數量級估算）1.電子熱容量

對於金屬，T<<TF，金屬自由電子氣是強簡並的費米氣體，所以，當T>0時，佔有在費米麵附近幾個kBT的電子受熱激發，而離費米麵較遠處的電子仍保持原來的狀態（被“冷凍”下來）。因此，儘管金屬中有大量的自由電子，但對電子熱容量有貢獻的只是在費米麵附近厚度~kBT的一層電子，而這層電子僅占電子總數的很小一部分。在E－EF

kBT中的電子數為

N’

N(EF)f(EF)EN(EF0)(2kBT)/2＝N(EF0)kBT及於是，而每個電子熱運動的平均能量為由於熱激發，系統所獲得的能量為電子熱容量為：對於一摩爾金屬，N＝ZN0，Z是每個金屬原子所貢獻的自由電子數。而常溫下，CL3R，由於T<<TF，所以Ce<<CL，即常溫下可以不必考慮電子熱容量的貢獻。2.Pauli順磁這裏只考慮T

0的極端情況。當B=0時，由於電子自旋方向相反的兩種取向的幾率相等，所以，整個系統不顯示磁性，即M=0。當B

0時，自旋磁矩在磁場中的取向能：

B平行於B：－

BB；

B反平行於B：＋

BB導致兩種自旋電子的能級圖發生移動，相應的費米能相差2BB。因此，電子的填充情況要重新調整，即有一部分電子從自旋磁矩反平行於B轉到平行於B的方向，最後使兩邊的費米能相等。－

BB

BB－

B

BEB－

BB

BB－

B

BEBEF0自旋磁矩改變方向的電子數：而每個電子的自旋磁矩從－

B變為＋

B改變了2

B所以，產生的總磁矩為所以

由於

BB<<EF0，所以，我們再次看到對電子Pauli順磁有貢獻的並不是金屬所有的自由電子，而只是在費米麵附近的一小部分電子。3.導電率

當

＝0時，費米球的球心在原點，這時，任何一個量子態k，都有一個反方向的－k態與之對應，處在這兩種量子態的電子具有大小相等、方向相反的速度，所以，系統的總電流為0。當

0時，電子的定向運動可看成兩個過程：電子在電場

的作用下作加速運動；電子由於碰撞而失去定向運動。0kxky

0時，電子在電場的作用下沿電場的反方向作加速運動：這表明，在電場作用下，整個電子分佈將在k空間沿

的反方向移動。所以，費米球的球心將偏離原點位置，從而使原來對稱的分佈偏向一邊，這樣就有一部分電子對電流的貢獻不能被抵消，而產生宏觀電流。

另一方面，電子由於碰撞而失去其定向運動。設電子相鄰兩次碰撞之間的時間間隔為

，且一旦發生碰撞，電子就完全失去其定向運動。粗略假想，所有電子都在

時間內同時發生碰撞，其結果使分佈回到平衡狀態，這樣反復迴圈。於是，可求出費米球心移動的距離為所以，電子的定向漂移速度為電流密度：所以

人們對電子電導有兩種不同的解釋：一種看法認為，金屬中的所有自由電子都參與導電過程，而每個電子的漂移速度都比較小；另一種看法則認為，並非所有電子都參與傳輸電流的過程，只有在費米麵附近的電子才對金屬的導電有貢獻，但由於在費米麵附近的電子具有很高的速度（VF106m/s的數量級），所以，雖然參與導電的電子數少，其效果與大量的低漂移速度的電子對電流的貢獻相當。0kxky

kFⅠⅡ右圖中Ⅰ和Ⅱ是關於ky－kz面對稱的這兩個區域的電子對電流的貢獻相互抵消，只有在費米麵附近未被補償部分的電子才對傳導電流有貢獻，這部分電子所占的分數為這部分電子對電流的貢獻為

根據這一模型，對傳導電流有貢獻的電子數目雖然少，但其運動速度很快，其結果與高濃度但低漂移速度的電子對電流的貢獻相同。嚴格理論計算結果支持了後一種說法。這主要是由於Pauli不相容原理的結果。能量比EF低得多的電子，其附近的狀態仍被其他電子所佔據，沒有空狀態來接納它，因此，這些電子不能吸收電場的能量而躍遷到較高的能態，對電導作出貢獻，能被電場激發的只有在費米麵附近的一小部分電子。§5.2Sommerfeld展開式及其應用一、問題的提出在定量計算金屬性質時，常會遇到以下形式的積分和這裏，f(E)為F—D分佈函數，，這種積分不能用精確的解析運算式積出，因而給定量計算金屬的性質帶來困難。所幸的是，由於金屬的費米能EF0>>kBT，當T>0時，只有在費米麵附近的一小部分電子被激發而躍遷到高能態，而比EF0低幾個kBT的電子仍保持原來的狀態，因此，上述的積分可以作適當的近似處理。二、Sommerfeld展開式設函數Q(E)在（-

，+）上連續可微，Q(0)＝0，並且滿足條件，其中α為大於0的常數。在kBT<<EF的情況下，有其中為F－D分佈函數證明：考察：(-df/dE)是（E－EF）的偶函數；

(-df/dE)的值集中在

E－EFkBT的一小範圍內，當

E－EF>幾個kBT時，函數的值迅速趨於0，具有

類似於

函數的性質。

因此，積分的貢獻主要來自E~EF附近的區域，由於EF>>kBT，所以，我們可以將均分的下限由0改為-∞，而並不會影響積分值。

由於(-df/dE)的值集中在E=EF附近，因此，可將Q(E)在E=EF附近展開成Taylor級數。利用Taylor展開式：三、Sommerfeld展開式的應用1.EF的確定

對於金屬，由於TF>>T，所以EF

EF0

。我們可以定性地分析為什麼EF會略低於EF0

。當T>0時，由於TF>>T，所以電子的分佈函數只在費米能附近幾個kBT的範圍內有變化，而離費米能較遠處電子的分佈於T=0時相同。在有限溫度下，EF0以下能態的佔有幾率減小，而EF0以上能態的佔有幾率增大，可以認為，EF0上下電子佔有