人教版八年级下第十七章-勾股定理17.1勾股定理 公开课比赛一等奖

第十七章·勾股定理17.1勾股定理第一课时一、复习导入：1.国际数学家大会是最高水平的全球性数学科学学术会议．2002年在北京召开了第24届国际数学家大会，如图就是大会的会徽的图案．它与数学中著名的勾股定理有着密切关系.

本章我们将探索并证明勾股定理及其逆定理，并运用这两个定理去解决有关问题.由此可以加深对直角三角形的认识.2.相传2500多年前，毕达哥拉斯有一次在朋友家做客时，发现朋友家用砖铺成的地面图案反映了直角三角形三边的某种数量关系，我们也来观察一下地面的图案，看看能从中发现什么数量关系？一、复习导入：1.探究勾股定理：问题1：下图中三个正方形的面积有什么关系？三个正方形中间的等腰直角三角形三边之间有什么关系？二、新课讲解：问题2：下图中，每个小方格的面积均为1，请分别算出图中正方形A，B，C，A′,B′,C′的面积，看看能得出什么结论.由SA=

，SB=

，SC=

，故SA+SB

SC；由SA′=

，SB′=

，SC′=

，故SA′+SB′

SC′.直角三角形三边关系：斜边的平方等于两直角边的平方和.二、新课讲解：问题3：根据前面的例子，请对直角三角形的三边关系，做出你的猜想：命题1如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么

.二、新课讲解：

我国古人赵爽证法（赵爽弦图），四个全等的直角三角形（红色）可以如图围成一个大正方形，中空的部分是一个小正方形（黄色）.

二、新课讲解：

证明方法2：赵爽弦图还可用面积法来证明勾股定理，首先以AB为边的大正方形的面积是c²，而这个大正方形又由直角边为a，b的四个全等的直角三角形和一个边长为(b-a)的小正方形组成，

即面积为4×ab+(b-a)²=a²+b²，故a²+b²=c².

二、新课讲解：2.勾股定理的应用：二、新课讲解：

求出图中字母所代表的正方形的面积.练习1

如图，所有的三角形都是直角三角形，四边形都是正方形，已知正方形A、B、C、D的边长分别是12、16、9、12．求最大正方形E的面积．2.勾股定理的应用：二、新课讲解：练习2

求下列直角三角形中未知边的长度．2.勾股定理的应用：二、新课讲解：练习31.如果直角三角形两直角边长分别为a,b,斜边长为c,那么a2+b2=c2.即直角三角形两直角边长的平方和等于斜边长的平方.2.注意事项:(1)注意勾股定理的使用条件：只对直角三角形适用，而不适用于锐角三角形和钝角三角形.(2)注意分清斜边和直角边，避免盲目代入公式致错.(3)注意勾股定理公式的变形：在直角三角形中，已知任意两边长，可求第三边长，即，，。三、课堂小结2000多年来，人们对勾股定理的证明颇感兴趣。不但因为这个定理重要、基本，还因为这个定理贴近人们的生活实践.以至于古往今来，下至平民百姓，上至帝王总裁都愿意探讨、研究它的证明，新的证法不断出现.下面介绍几种用来证明勾股定理的图形，你能根据这些图形及提示证明勾股定理吗？四、课堂扩展：勾股定理的证明1.传说中毕达哥拉斯的政法：

提示：两个图形中的正方形面积相等.2. 总统政法：

提示：3个三角形的面积之和=梯形的面积.第二课时一、知识回顾：

如图，在△ABC中，已知∠C=90°，则∠A和∠B的关系为:

；a、b为直角边，c为斜边，三边关系为

；a、b、c、h之间的关系式为

。

1.直角三角形性质：一、知识回顾：

2.已知在Rt△ABC中，∠C=90°，a、b、c是△ABC的三边，则c=

（已知a、b，求c）；a=

（已知b、c，求a）；b=

（已知a、c，求b）。1.直角三角形性质：一、知识回顾：

3.（1）在Rt△ABC，∠C=90°，a=3，b=4，则c=

。

（2）在Rt△ABC，∠C=90°，a=6，c=8，则b=

。

（3）在Rt△ABC，∠C=90°，b=12，c=13，则a=

。1.直角三角形性质：问题1：

例1一个门框的尺寸如图所示，一块长3m，宽2.2m的长方形薄木板能否从门框内通过？为什么？二、新课讲解：解：在Rt△ABC中，根据勾股定理，AC²=AB²+BC²=1²+2²=5.∴AC=≈2.24.∵AC大于木板的宽2.2m，∴木板能从门框内通过.二、新课讲解：

如图，一架2.6米长的梯子AB斜靠在一竖直的墙AO上，这时AO为2.4米．（1）求梯子的底端B距墙角O多少米？（2）如果梯子的顶端A沿墙下滑0.5米，那么梯子底端B也外移0.5米吗？练习1解：可以看出，BD=OD-OB.在Rt△AOB中，根据勾股定理，OB=

=

=1；在Rt△COD中，根据勾股定理，OD=

==≈1.77；∴BD=OD-OB≈1.77-1=0.77.答：梯子的顶端沿墙下滑0.5m时，梯子底端外移约0.77m.问题2：

例2

池塘中有一株荷花的茎长为OA，无风时露出水面部分CA=0.4米，如果把这株荷花旁边拉至使它的顶端A恰好到达池塘的水面B处，此时荷花顶端离原来位置的距离BC=1.2米，求这颗荷花的茎长OA．二、新课讲解：解：如图，已知AC=0.4m，BC=1.2m、∠OCB=90°设OA=OB=x，则OC=OA-AC=(x-0.4)m在Rt△OBC中，由勾股定理可知OC²+BC²=OB²∴(x-0.4)²+1.2²=x²解得，x=2答：荷花的茎长OA等于2m.二、新课讲解：如图，一棵树被台风吹折断后，树顶端落在离底端3米处，测得折断后长的一截比短的一截长1米，你能计算树折断前的高度吗？练习2解：根据题意画出图形，已知∠ACB=90°，AC=3，AB-BC=1.设BC=x，则AB=BC+1=x+1.在Rt△ABC中，根据勾股定理得，AC²+BC²=AB²∴3²+x²=(x+1)²解得，x=4.∴AB+BC=3+5=8m.答：树折断前的高度为8m.问题3：例3

科技改变生活，手机导航极大方便了人们的出行，如图，小明一家自驾到古镇C游玩，到达A地后，导航显示车辆应沿北偏西60°方向行驶4千米至B地，再沿北偏东45°方向行驶一段距离到达古镇C，小明发现古镇C恰好在A地的正北方向，求B，C两地的距离．二、新课讲解：解：过B点作BD⊥AC于D，在Rt△ABD中，∵∠BAD=60°，∴∠ABD=90°-∠BAD=30°，∴AD=AB=2km.∴BD==km.在Rt△BCD中，∵∠DBC=45°，∴CD=BD=km.∴BC==km.答：B，C两地距离为km.二、新课讲解：如图所示，两艘货船分别从点A出发离开码头，甲船以16海里/时的速度向北偏东60°的方向行驶，乙船以12海里/时的速度向南偏东30°的方向行驶，若两船同时出发，2小时后两船相距多远？练习3解：根据题意可得∠BAC=90°，AB=16ｘ2=32海里，AC=12ｘ2=24海里，根据勾股定理可得BC===40.∴2小时后两船相距40海里.问题4：

如图所示，C城市在A城市正东方向，现计划在A、C两城市间修建一条高速公路（即线段AC），经测量，森林保护区的中心P在A城市的北偏东60°方向上，在线段AC上距A城市120km的B处测得P在北偏东30°方向上，已知森林保护区是以点P为圆心，100km为半径的圆形区域，请问计划修建的这条高速公路是否穿越保护区，为什么？（参考数据：≈1.73）二、新课讲解：问题4：

二、新课讲解：解：公路不会穿越保护区，理由如下：过P作PD⊥AC于D，在Rt△BDP中，∵∠PBD=60°，∴∠BPD=90°-∠PBD=30°，∴PB=2BD，设BD=x，则PB=2x，∴PD==

x.∵∠PBD=∠A+∠APB，∴∠APB=∠PBD-∠A=30°，∴∠A=∠APB，∴PB=AB=120km，∴2x=120解得，x=60.∴PD=x=60

≈103.8km＞100km.∴这条公路不会穿过保护区.二、新课讲解：如图，一幢居民楼与马路平行且相距9米，在距离载重汽车41米处（图中B点位置）就会受到噪音影响，试求在马路上以4米/秒速度行驶的载重汽车，给这幢居民楼带来多长时间的噪音影响？若影响时间超过25秒，则此路禁止该车通行，那么载重汽车可以在这条路上通行吗？练习4二、新课讲解：练习4解：如图，过点A作AC⊥BD于点C，∵由题意得AC=9，AB=AD=41，AC⊥BD，∴Rt△ACB中，BC==40m，∵AB=AD，AC⊥BD，∴BD=2BC=80m，∴80÷4=20（s），∴受影响时间为20s；∵20＜25，∴可以通行．

1.解决实际问题时，首先要将实际问题转化为数学问题，即画出几何图形，明确已知和未知，借助直角三角形勾股定理来解决问题.2.有时需要先构造直角三角形，通过作垂线化非直角三角形为直角三角形来解决问题.三、课堂小结：第三课时一、利用勾股定理证明:斜边和一直角边对应相等的两个直角三角形全等

已知：如图，在Rt△ABC和Rt△中，∠C=∠C'=90°，AB=A'B'，AC=A'C'.求证：△ABC≌△A'B'C'.问题1：

在八年级上册中，我们曾经通过画图得到结论：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等．学习了勾股定理后，你能证明这一结论吗？证明：在Rt△ABC和Rt△中,∠C=∠=90°,根据勾股定理，得BC=，.又∵AB=A'B'，AC=A'C'，∴BC=B'C

'.∴△ABC≌△A'B'C'（SSS）.

二、利用勾股定理画出一条线段等于已知长度为无理数的线段

问题2：

我们知道数轴上的点有的表示有理数，有的表示无理数，你能在数轴上画出表示的点吗？解：以直角边长为2、3的直角三角形的斜边长为，由此在数轴上找出表示3的点A，过A点作直线垂直于OA，并在垂线上截取AB=2，以原点O为圆心，OB为半径作弧，弧与数轴交在原点右侧点C处，点C即为表示的点。如下图所示：拓展（1）类似地，利用勾股定理，可以作出长为，

，

，…的点，如下图：拓展（2）我们也可以用下图中的方式构造线段为，，，…的点，如下图：练习1

在数轴上画出表示的点.

【点拨】作一条长度等于无理数的线段的方法不唯一，如，除了上题中构造直角边为1,2的直角三角形，也可以借助直角边为

，的直角三角形得到，我们一般尽量利用直角边为整数的直角三角形作出.练习2

在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长皆为1．请在网格上画出长度分别为，，的线段.

解：如图所示，图中AB，CD，EF即为所求，AB==，CD==，EF==.

三、利用勾股定理解决较复杂的几何问题问题3：

如图，折叠长方形的一边AD，使点D落在BC边上的点F处，已知AB=8