人教版八年级下第十七章-勾股定理17.2勾股定理的逆定理“十市联赛”一等奖

勾股定理及其逆定理

勾股定理

如果直角三角形的两直角边长分别为a,b，斜边长为c，那么a2+b2=c2.abcCAB△ABC中，∠C为直角.BC2+AC2=AB2即a2+b2=c2复习回顾(3)已知c=19,a=13.则b=

.(结果保留根号)(4)已知a:b=3:4,c=15,则b=

.(2)已知c=25,b=15.则a=

.在Rt△ABC中,∠A,∠B,∠C的对边为a,b,c(1)已知a=3,b=4.则c=

.520

复习回顾12(4)已知a:b=3:4,c=15,则b=-------

注意:利用方程的思想求直角三角形有关线段的长设：a=3k,b=4k,由勾股定理得a2﹢b2=c2(3k)2﹢(4k)2=152解得k=3,则b=12

猜想：命题2

如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形。

因为命题2与勾股定理的题设、结论正好相反，我们把这样的两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。

如果把勾股定理当成原命题，那么命题2是勾股定理的逆命题。

猜想：命题2

如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形。

我们来证明这个命题：首先画出图形其次写出已知、求证已知：⊿ABC的三边a、b、c满足a2﹢b2=c2，求证：⊿ABC是直角三角形已知：⊿ABC的三边a、b、c满足a2﹢b2=c2，求证：⊿ABC是直角三角形思考：画一个直角三角形A,B,C,,使B,C,=a,A,C,=b,∠C=900,把画好的⊿A,B,C,剪下，放到⊿ABC上，它们重合吗？已知：⊿ABC的三边a、b、c满a2﹢b2=c2，求证：⊿ABC是直角三角形证明：画一个直角三角形A,B,C,,使B,C,=a,A,C,=b,∠C=900,

∵在Rt⊿A,B,C,,中，∠C,=900∴A,B,2=B,C,2﹢A,C,2=a2﹢b2∵a2﹢b2=c2∴A,B,=c∴在⊿ABC和⊿A,B,C,中BC=a=B,C,,AC=b=B,C,,AB=c=A,B,∴⊿ABC≌⊿A,B,C,∴∠C=∠C,=900即⊿ABC是直角三角形

一般地，如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，它也是一个定理，称这两个定理互为逆定理。

经过证明命题2是正确的，它也是一个定理。我们把这个定理叫做勾股定理的逆定理。

若原命题成立，它的逆命题是否也一定成立？

勾股定理的逆定理是初中几何中极其重要的一个定理，有着广泛的应用。以下举例说明。

如果一个三角形的三条边长分别为a、b、c，且有a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形。勾股定理的逆定理：应用1

判断由线段a、b、c组成的三角形是不是直角三角形：（1）a=15，b=8，c=17;（2）a=13，b=14，c=15;

分析：根据勾股定理逆定理，判断一个三角形是不是直角三角形，只要看两条较小线段的平方和是否等于最大边长的平方。判断三角形的形状（1）∵152+82=225+64=289解：172=289∴152+82=172，则这个三角形是直角三角形。（2）∵132+142=169+196=365152=225∴132+142≠152，则这个三角形不是直角三角形。

像15，8，17这样，能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数。应用2用于证垂直

已知正方形ABCD中，AE=EB，AF=AD，求证：CE⊥EF.

分析：证垂直常常可以通过证直角得到。已知条件只有边的数量关系，故需要把边的关系转化为角度的关系。证明：连结FC，设AF=1，则DF=3.AE=EB=BC=CD=4在RtAEF中，同理得EC2=20CF2=25∴EF2+EC2=CF2由勾股定理的逆定理得∠CEF=900∴CE⊥EF拓展应用3用于求边长

在△ABC中，D的BC边上的点，已知AB=13，AD=12，AC=15，BD=5，求DC的长。解：在△ABC中，122+52=132即AD2+BD2=AB2，由勾股定理的逆定理知∠ADB=900在Rt△ADC中，DC=拓展应用4用于求面积ABCD

已知AB⊥BC，AB=3，BC=4，CD=12，DA=13，求四边形ABCD的面积.解：在Rt△ABC中，由勾股定理得

连结AC，AC=在△ACD中，AC2+CD2=52+122=132=AD2由勾股定理的逆定理得∠ACD=900∴S四边形ABCD=SRt△ABC+SRt△ACDABCD拓展应用5用于求角度

如图，点P是等边△ABC内一点，且PA=3a，PB=4a，PC=5a，求∠APB的度数。分析：题目中没有任何的角度，故需要利用边的关系转化得到角度。则要把三边移到一直角三角形中利用勾股定理的逆定理解题。ABCPABCPPl解：∵BC=BA，以点B为定点，将△BCP转60°到达△BAPl，连接PlP，则PlA=PC=5a∵∠PlBP=60°,BPl=BP∴△PlBP是等边三角形.∴PlP=PB=4a.在△APlP中，PA2+PlP2=(3a)2+(4a)2=(5a)2由勾股定理的逆定理知∠APPl=90o∠APB=∠APPl+∠BPPl=900+600=1500梳理归纳

如果一个三角形的三条边长分别为a、b、c，且有a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形。判断三角形的形状用于证垂直用于求边长用于求面积用于求角度定理:定理应用:练习1、下列各组数为边长的三角形中，能构成直角三角形的有：①5，12，13②7，24，25③8，15，16④32，42，52⑤⑥①②⑤⑥能构成直角三角形。2、△ABC的三边为a,b,c且(a+b)(a-b)=c2,则（）.A.a边的对角是直角B.b边的对角是直角C.c边的对角是直