2023年广东省茂名市信宜市中考数学一模试卷（含解析）

2023学年第二学期九年级调研测试数学（问卷）一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．下列四个数中，属于无理数的是（）A．0 B． C．π D．（﹣2）﹣12．2023年全国一半公共预算教育支出安排超4.2万亿元．政府工作报告中提到，5年来，财政性教育经费占国内生产总值比例每年都保持在4%以上，学生人均经费投入大幅增加，其中4.2万亿用科学记数法表示是（）A．4.2×1013 B．4.2×1012 C．4.2×1011 D．4.2×1033．下列食品标识中，不是轴对称图形的是（）A． B． C． D．4．下列计算正确的是（）A．a+a2＝a3 B．（a3）2＝a6 C．a3•a2＝a6 D．a8+a2＝a45．某语文教师调查了本班10名学生平均每天的课外阅读时间，统计结果如表所示：课外阅读时间（小时）0.511.52人数2341那么这10名学生平均每天的课外阅读时间的平均数和众数分别是（）A．1.2和4 B．1.2和1.5 C．1.25和1.5 D．1.25和46．已知△ABC中∠C＝90°，c为斜边，a、b为直角边，若a+b＝17cm，c＝13cm，则△ABC的面积为（）A．15cm2 B．30cm2 C．45cm2 D．60cm27．下列命题中是真命题的是（）A．相等的角是对顶角 B．数轴上的点与实数一一对应 C．同旁内角互补 D．无理数就是开方开不尽的数8．如图，某校数学兴趣小组利用标杆BE测量建筑物的高度，已知标杆BE高1.5m，测得AB＝1.2m，BC＝12.8m，则建筑物CD的高是（）A．17.5m B．17m C．16.5m D．18m9．如图，正方形的四个顶点在半径为2的大圆圆周上，四条边都与小圆都相切，AB，CD过圆心O，且AB⊥CD，则图中阴影部分的面积是（）A．4π B．2π C．π D．10．如图，E是边长为1的正方形ABCD的对角线BD上一点，且BE＝BC，P为CE上任一点，PQ⊥BC于点Q，PR⊥BE于点R，则PQ+PR的值是（）A． B． C． D．二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）11．把a3﹣4ab2分解因式，结果为．12．学校文学社举办“谁是校园最可爱的人”征文比赛，设立一等奖5名，三等奖20名，三等奖50名，据统计共收到文字作品2000份，周同学也上交了一份作文，则她获得奖励的概率为．13．如图，△ABC与△A1B1C1位似，点O为位似中心，已知OA：AA1＝1：2，则△ABC与△A1B1C1的面积比为．14．小明想测量一棵树的高度，他发现树影子恰好落在地面和一斜坡上，如图，此时测得地面上的影长为8米，坡面上的影长为4米．已知斜坡的坡角为30°，同一时刻，一根长为1米、垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为2米，则树的高度为米．15．如图，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝90°，连接BD，CE，延长CE交AB于F．交BD于点G，且CG垂直BD，将△ADE绕点A旋转至AE∥BD时，若CE＝5，EF＝1，则BG的值是．三．解答题（共8小题，满分75分）16．（8分）先化简，再求值，其中a＝|2﹣2|﹣．17．（8分）如图，已知▱ABCD．（1）作图：延长BC，并在BC的延长线上截取线段CE，使得CE＝BC，连接AE，交CD于点F；（用尺规作图法，保留作图痕迹，不要求写作法）；（2）在（1）的条件下，求证：△AFD≌△EFC．18．（8分）在某次数学测验中，一道题满分3分，老师评分只给整数，即得分只能为0分，1分，2分，3分，王老师为了了解学生得分情况和试题的难易情况，对初三（1）班所有学生的试题进行了分析整理，并绘制了两幅尚不完整的统计图，如图所示．解答下列问题：（1）m＝，n＝，并补全条形统计图；（2）如果A、B、C、D四位同学得分恰好为0分，1分，2分，3分，王老师随机叫两位同学进行学法指导，求抽中的两位同学得分之和为3分的概率．19．一艘渔船从位于A海岛北偏东60°方向，距A海岛60海里的B处出发，以每小时30海里的速度沿正南方向航行．已知在A海岛周围50海里水域内有暗礁．（参考数据：≈1.73，≈2.24，≈2.65）（1）这艘渔船在航行过程中是否有触礁的危险？请说明理由．（2）渔船航行3小时后到达C处，求A，C之间的距离．20．已知一次函数y＝kx+b与反比例函数y＝（mk≠0）的图象相交于点A（1，6）和点B（n，﹣2）．（1）试确定一次函数与反比例函数的表达式；（2）若点P在x轴上，且△PAB的面积为12，求点P的坐标；（3）结合图象直接写出不等式kx+b＞的解集．21．某中学开学初在商场购进A、B两种品牌的足球，购买A品牌足球花费了2500元，购买B品牌足球花费了2000元，且购买A品牌足球数量是购买B品牌足球数量的2倍，已知购买一个B品牌足球比购买一个A品牌足球多花30元．（1）求购买一个A品牌、一个B品牌的足球各需多少元；（2）该中学决定再次购进A、B两种品牌足球共50个，恰逢商场对两种品牌足球的售价进行调整，A品牌足球售价比第一次购买时提高了8%，B品牌足球按第一次购买时售价的9折出售，如果这所中学此次购买A、B两种品牌足球的总费用不超过3060元，那么该中学此次最多可购买多少个B品牌足球？22．（12分）如图，A，B，C是⊙O上的三点，且AB＝AC，BC＝8，点D为优弧BDC上的动点，且cos∠ABC＝．（1）如图1，若∠BCD＝∠ACB，延长DC到F，使得CF＝CA，连接AF，求证：AF是⊙O的切线；（2）如图2，若∠BCD的角平分线与AD相交于E，求⊙O的半径与AE的长；（3）如图3，将△ABC的BC边所在的直线l1绕点A旋转得到l2，直线l2与⊙O相交于M，N，连接AM，AN．l2在运动的过程中，AM•AN的值是否发生变化？若不变，求出其值；若变化，说明变化规律．23．（12分）如图1，已知二次函数y＝ax2+bx+c的顶点坐标为（1，），其图象与x轴交于A、B两点，其中点B（4，0），与y轴交于点C．（1）求二次函数的解析式；（2）若点P为线段BC上方抛物线上的一点，当点P到线段BC的距离最大时，求点P的坐标；（3）如图2，已知点M为对称轴上一点，点N为抛物线上一点，若以点B、C、M、N为顶点的四边形为平行四边形，求点N的坐标．

参考答案与试题解析一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．解：A．0是整数，属于有理数，故本选项不合题意；B．是分数，属于有理数，故本选项不合题意；C．π无理数，故本选项符合题意；D．，是分数，属于有理数，故本选项不合题意．故选：C．2．解：4.2万亿＝4200000000000＝4.2×1012．故选：B．3．解：A．是轴对称图形，不合题意；B．是轴对称图形，不合题意；C．不是轴对称图形，符合题意；D．是轴对称图形，不合题意；故选：C．4．解：A、a与a2不能合并；B、（a3）2＝a6；C、a3•a2＝a5；D、a8与a2不能合并；故选：B．5．解：10名学生的每天阅读时间的平均数为＝1.2；学生平均每天阅读时间出现次数最多的是1.5小时，共出现4次，因此众数是1.5；故选：B．6．解：∵a+b＝17，∴（a+b）2＝289，∴2ab＝289﹣（a2+b2）＝289﹣c2＝289﹣169＝120∴ab＝30．答：Rt△ABC的面积是30cm2．故选：B．7．解：A、相等的角不一定是对顶角，故此命题是假命题；B、数轴上的点与实数一一对应，故此命题是真命题；C、两直线平行，同旁内角互补，故此命题是假命题；D、无理数有三个来源：（1）开方开不尽的数；（2）与π有关的一些运算；（3）有规律的无限不循环小数，故此命题是假命题；故选：B．8．解：∵EB⊥AC，DC⊥AC，∴EB∥DC，∴△ABE∽△ACD，∴，∵BE＝1.5m，AB＝1.2m，BC＝12.8m，∴AC＝AB+BC＝14m，∴，解得，DC＝17.5，即建筑物CD的高是17.5m，故选：A．9．解：∵正方形的四条边都与小圆都相切，∴EF⊥CD，CD⊥MN，∵AB⊥CD，∴阴影部分的面积恰好为正方形MNEF外接圆面积的，∵正方形MNEF的四个顶点在半径为2的大圆上，∴S阴影＝π×22＝π，故选：C．10．解：如图，连接AC，PB，AC交BD于O，∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，AC＝BC＝，∴OC＝AC＝，∵S△BCE＝S△BPC+S△BPE，∴BE•OC＝BE•PR+，∵BC＝BE，∴BE•OC＝BE•PR+BE•PQ，∴PR+PQ＝OC＝，故选：A．二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）11．解：原式＝a（a2﹣4b2）＝a（a+2b）（a﹣2b），故答案为：a（a+2b）（a﹣2b）12．解：设立一等奖5名，三等奖20名，三等奖50名，据统计共收到文字作品2000份，所以她获得奖励的概率为＝．故答案为：．13．解：∵△ABC与△A1B1C1位似，OA：AA1＝1：2，∴△ABC与△A1B1C1的位似比是1：3，∴△ABC与△A1B1C1的相似比为1：3，∴△ABC与△A1B1C1的面积比为1：9．故答案为：1：9．14．解：延长AC交BF延长线于D点，则∠CFE＝30°，作CE⊥BD于E，在Rt△CFE中，∠CFE＝30°，CF＝4m，∴CE＝2（米），EF＝4cos30°＝2（米），在Rt△CED中，∵同一时刻，一根长为1米、垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为2米，CE＝2（米），CE：DE＝1：2，∴DE＝4（米），∴BD＝BF+EF+ED＝12+2（米）在Rt△ABD中，AB＝BD＝（12+2）＝（+6）（米）．故答案为：（+6）．15．解：∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠CAE＝∠BAD，在△AEC和△ADB中，，∴△AEC≌△ADB（SAS），∴CE＝BD＝5，∵AE∥BD，CG⊥BD，∠DAE＝90°，∴∠ADG＝∠AEG＝90°，∴四边形AEGD是正方形，∴AE＝AD＝DG＝GE，设AE＝AD＝DG＝GE＝x，∵AE∥BD，∴△AEF∽△BGF，∴，∴，解得：x＝（负值舍去），∴BG＝5﹣，故答案为：5﹣．三．解答题（共8小题，满分75分）16．解：原式＝•＝•＝，当a＝|2﹣2|﹣＝2﹣2﹣2＝﹣2时，原式＝＝．17．（1）解：如图，AE为所作；（2）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD＝BC，AD∥BC，而CE＝BC，∴AD＝EC，∵AD∥CE，∴∠D＝∠ECF，∠DAF＝∠CEF，在△AFD和△EFC中∴△AFD≌△EFC（ASA）．18．解：（1）根据题意得：6÷10%＝60（位），60﹣（6+27+12）＝15（位），12÷60×100%＝20%，则m＝25，n＝20，补全条形统计图，如图所示：故答案为：25，20；（2）列表得：01230﹣﹣﹣（0，1）（0，2）（0，3）1（1，0）﹣﹣﹣（1，2）（1，3）2（2，0）（2，1）﹣﹣﹣（2，3）3（3，0）（3，1）（3，2）﹣﹣﹣所有等可能的情况数为12种，其中得分之和为3分的情况有4中，分别为（0，3），（1，2），（2，1），（3，0），则P（得分之和为3分）＝＝．19．解：（1）这艘渔船在航行过程中没有触礁的危险，理由如下：过A作AD⊥BC于D，如图：则∠ADB＝∠ADC＝90°，由题意得：AB＝60（海里），∠BAD＝90°﹣60°＝30°，∴BD＝AB＝30（海里），AD＝BD＝30≈51.9（海里）＞50（海里），∴这艘渔船在航行过程中没有触礁的危险；（2）由（1）得：BD＝30（海里），AD＝30（海里），∵BC＝3×30＝90（海里），∴DC＝BC﹣BD＝90﹣30＝60（海里），在Rt△ADC中，AC＝＝＝30≈79.50（海里）；答：A，C之间的距离约为79.50海里．20．解：（1）把A（1，6）代入y＝得m＝1×6＝6；∴反比例函数解析式为y＝，把B（n，﹣2）代入y＝得﹣2＝，解得n＝﹣3，∴B（﹣3，﹣2），把A（1，6），B（﹣3，﹣2）分别代入y＝kx+b得，解得，∴一次函数解析式为y＝2x+4；（2）y＝2x+4中，令y＝0，则2x+4＝0，解得x＝﹣2，∴一次函数y＝2x+4的图象与x轴的交点C的坐标为（﹣2，0）．∵S△PAB＝12，∴PC×6+PC×2＝12．∴PC＝3，∴点P的坐标为（﹣5，0）、（1，0）．（3）由图象可知不等式kx+b＞的解集为：﹣3＜x＜0或x＞1．21．解：（1）设购买一个A品牌的足球需要x元，则购买一个B品牌的足球需要（x+30）元，依题意得：＝2×，解得：x＝50，经检验，x＝50是原方程的解，且符合题意，∴x+30＝80．答：购买一个A品牌的足球需要50元，购买一个B品牌的足球需要80元．（2）设该中学此次可以购买m个B品牌足球，则可以购买（50﹣m）个A品牌足球，依题意得：50×（1+8%）（50﹣m）+80×0.9m≤3060，解得：m≤20．答：该中学此次最多可购买20个B品牌足球．22．（1）证明：连接AO，如图1所示：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∵∠BCD＝∠ACB，∴∠BCD＝∠ABC，∴AB∥DF，∵CF＝CA，∴CF＝AB，∴四边形ABCF是平行四边形，∴AF∥BC，∵AB＝AC，∴＝，∴OA⊥BC，∴OA⊥AF，∵OA是⊙O的半径，∴AF是⊙O的切线；（2）解：连接AO交BC于H，连接OB，如图2所示：∵OA⊥BC，∴BH＝CH＝BC＝4，∵cos∠ABC＝＝，∴AB＝BH＝×4＝5，在Rt△AHB中，由勾股定理得：AH＝＝＝3，设⊙O的半径为x，则OA＝OB＝x，OH＝x﹣3，在Rt△BOH中，由勾股定理得：x2＝（x﹣3）2+42，解得：x＝，∴⊙O的半径为，∵CE平分∠BCD，∴∠BCE＝∠DCE，∵∠ABC＝∠ADC，∴∠AEC＝∠ADC+∠DCE＝∠ABC+∠DCE＝∠ACB+∠BCE＝∠ACE，∴AE＝AC＝AB＝5；（3）解：连接AO，并延长AO交⊙O于Q，连接NQ，过点A作AP⊥l2于P，如图3所示：则AQ是⊙O的直径，∴∠AMQ＝90°，∵AP⊥l2，∴∠APN＝90°，∴∠AMQ＝∠APN，∵∠AQM＝∠ANP，∴△AQM∽△ANP，∴＝，∴AM•AN＝AP•AQ，由（2）可知，点A到直线l1的距离为3，直线l1绕点A旋转得到l2，∴点A到直线l2的距离始终等于3，不会发生改变，∴AP＝3，∵AQ＝2OA＝2×＝，∴AM•AN＝AP•AQ＝3×＝25，∴l2在运动的过程中，AM•A