2023学年北京市东城区初三(第1次)模拟考试数学试卷含答案解析

2022-2023学年北京市东城区初三（第1次）模拟考试数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________选择题（本大题共8小题，共16.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.下列四个几何体中，主视图为三角形的是(

)A. B. C. D.2.年月日，国家统计局发布的中华人民共和国年国民经济和社会发展统计公报中报道：年全年研究与试验发展经费支出亿元，比上年增长，将数字用科学记数法表示应为(

)A. B. C. D.3.下面四个图案均由北京年冬奥会比赛项目图标组成，其中可看作轴对称图形的是(

)A. B. C. D.4.若实数，在数轴上对应点的位置如图所示，则的值可能是(

)A. B. C. D.5.用配方法解一元二次方程时，将它化为的形式，则的值为(

)A. B. C. D.6.下图是甲、乙两名同学五次数学测试成绩的折线图比较甲、乙两名同学的成绩，下列说法正确的是(

)A.甲同学平均分高，成绩波动较小 B.甲同学平均分高，成绩波动较大

C.乙同学平均分高，成绩波动较小 D.乙同学平均分高，成绩波动较大7.如图，，按下列步骤作图：在

边上取一点，以点为圆心、

长为半径画弧，交

于点，连接

；以点为圆心、

长为半径画弧，交

于点，连接

，则的度数为(

)A. B. C. D.8.如图，动点在线段

上不与点，重合，分别以，，为直径作半圆，记图中所示的阴影部分面积为，线段

的长为当点从点移动到点时，随的变化而变化，则表示与之间关系的图象大致是(

)A. B. C. D.填空题（本大题共8小题，共16.0分）9.若分式的值为，则实数的值为

．10.分解因式：

．11.如图，已知，用直尺测量中

边上的高约为

结果保留一位小数．12.已知点，在一次函数的图象上，则

填“”“”或“”．13.在如图所示的网格中，每个小正方形的边长都是，点，，是网格线交点，则的外角的度数等于

14.抛掷一枚质地均匀的硬币次，次抛掷的结果都是正面朝上的概率是

．15.如图，树在路灯的照射下形成投影，已知路灯高，树影，树与路灯的水平距离，则树的高度长是

米．16.一枚质地均匀的骰子放在棋盘上，骰子的六个面上分别刻有到的点数，相对两个面上的点数之和为骰子摆放的初始位置如图所示，骰子由初始位置翻滚一次，点数为的面落在号格内；再从号格翻滚一次，点数为的面落在号格内；继续这样翻滚当骰子翻滚到

号格时，朝上一面的点数为

；依次翻滚

次到

号格，每次翻滚后骰子朝上一面的点数之和为

．计算题（本大题共2小题，共10.0分）17.计算．18.解不等式组解答题（本大题共10小题，共58.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）19.本小题分已知，求代数式的值．20.本小题分下面是证明三角形中位线定理的两种添加辅助线的方法，选择其中一种，完成证明．三角形中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半．已知：如图，点，分别是的边，的中点．求证：，且．方法一证明：如图，过点作，交

的延长线于点．方法二证明：如图，延长

到点，使得，连接，，．21.本小题分在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过点．求这个反比例函数的解析式；当时，对于的每一个值，函数的值大于反比例函数的值，直接写出的取值范围．22.本小题分如图，在平行四边形中，平分．求证：四边形

是菱形；连接

交

于点，延长

到点，在的内部作射线

，使得，过点作于点若

，，求的度数及

的长．23.本小题分某校开展了“学习二十大”的知识竞赛百分制，七、八年级学生参加了本次活动．为了解两个年级的答题情况，该校从每个年级各随机抽取了名学生的成绩，并对数据成绩进行了整理、描述和分析．下面给出了部分信息．七年级成绩的频数分布直方图如下数据分成五组：，，，，；七年级成绩在的数据如下单位：分：

七、八年级各抽取的名学生成绩的平均数、中位数、众数、方差如下表：年级平均数中位数众数方差七年级八年级根据以上信息，回答下列问题：表中______，______；下列推断合理的是______；样本中两个年级数据的平均数相同，八年级数据的方差较小，由此可以推断该校八年级学生成绩的波动程度较小；若八年级小明同学的成绩是分，可以推断他的成绩超过了该校八年级一半以上学生的成绩．竞赛成绩分及以上记为优秀，该校七年级有名学生，估计七年级成绩优秀的学生人数．24.本小题分如图，是的直径，点，在上，点为的中点，的切线

交

的延长线于点，连接，，．求证：；若的半径长为，，求

和

的长．25.本小题分已知乒乓球桌的长度为，某人从球桌边缘正上方高处将乒乓球向正前方抛向对面桌面，乒乓球的运动路线近似是抛物线的一部分．建立如图所示的平面直角坐标系，从乒乓球抛出到第一次落在球桌的过程中，乒乓球的竖直高度

单位：

与水平距离

单位：

近似满足函数关系．乒乓球的水平距离

与竖直高度

的几组数据如下表所示根据表中数据，直接写出乒乓球竖直高度的最大值，并求出满足的函数关系式；水平距离

竖直高度

乒乓球第一次落在球桌后弹起，它的竖直高度与水平距离近似满足函数关系，判断乒乓球再次落下时是否仍落在球桌上，并说明理由．26.本小题分已知抛物线．求该抛物线的顶点坐标用含的式子表示；当时，抛物线上有两点，，若时，直接写出的取值范围；若，，都在抛物线上，是否存在实数，使得恒成立？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由．27.本小题分如图，在中，，，点在

边上，以点为中心，将线段

顺时针旋转得到线段

，连接

．求证：

平分；连接

交

于点，过点作，交

的延长线于点补全图形，用等式表示线段

与

之间的数量关系，并证明．28.本小题分在平面直角坐标系中，已知点，将点向左或向右平移个单位长度，再向下或向上平移个单位长度，得到点，再将点关于直线对称得到点，称点为点的倍“对应点”特别地，当与重合时，点为点关于点的中心对称点．已知点，．若点的坐标为，画出点，并直接写出点的倍“对应点”的坐标；若，直线上存在点的倍“对应点”，直接写出的取值范围；半径为的上有不重合的两点，，若半径为的上存在点的倍“对应点”，直接写出的取值范围．

答案和解析1.【答案】

【解析】【分析】根据主视图是从正面看到的图形进行求解即可．【详解】解：、球的主视图为圆，不符合题意；B、圆柱的主视图为长方形，不符合题意；C、圆锥的主视图为三角形，符合题意；D、正方体的主视图为正方形，不符合题意；故选C．【点睛】本题主要考查了简单几何体的三视图，熟知主视图是从正面看到的图形是解题的关键．

2.【答案】

【解析】【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为

，其中

，

为整数．【详解】解：

．故选：．【点睛】本题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为

的形式，其中

，

为整数．确定

的值时，要看把原来的数，变成

时，小数点移动了多少位，

的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值

时，

是正数；当原数的绝对值

时，

是负数，确定

与

的值是解题的关键．

3.【答案】

【解析】【分析】根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形．【详解】解：、不是轴对称图形，不符合题意；B、不是轴对称图形，不符合题意；C、不是轴对称图形，不符合题意；D、是轴对称图形，符合题意；故选D．【点睛】本题主要考查了轴对称图形的识别，解题的关键在于能够熟练掌握轴对称图形的定义．

4.【答案】

【解析】【分析】根据数轴上点的位置得到

，再根据不等式的性质得到

，由此即可得到答案．【详解】解：由题意得，

，

，

的值可能是

，故选B．【点睛】本题主要考查了实数与数轴，不等式的性质，正确推出

是解题的关键．

5.【答案】

【解析】【分析】由

，配方可得

，进而可得

的值，然后代入

，计算求解即可．【详解】解：

，

，

，

，

，

，故选：．【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，代数式求值．解题的关键在于正确的配方求出

的值．

6.【答案】

【解析】【分析】分别计算甲、乙的平均分以及方差，然后比较即可．【详解】解：

，

，

，

，

，乙的平均分较高，成绩波动较大；甲的平均分较低，成绩波动较小．故选：．

7.【答案】

【解析】【分析】根据作图步骤得到

，

，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和计算出

，

，然后利用三角形外角性质可计算出

的度数．【详解】解：由作法得

，

，

，

，

，

，

，

．故选：．【点睛】本题考查了尺规作图，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质和尺规作图的基本原理．也考查了三角形内角和定理以及三角形的外角性质．

8.【答案】

【解析】【分析】假设

，则

，然后根据

求出关于的函数关系式即可得到答案．【详解】解：假设

，则

，

，故选C．【点睛】本题主要考查了二次函数在几何图形中的应用，正确求出关于的函数关系式是解题的关键．

9.【答案】

【解析】【分析】根据分式值为的条件进行求解即可．【详解】解：分式

的值为，

，

，故答案为：

．【点睛】本题主要考查了分式值为的条件，熟知分式值为的条件是分母不为，分子为是解题的关键．

10.【答案】

【解析】【分析】

此题考查了提公因式法与公式法的综合运用．掌握因式分解的常见方法是解题的关键．

原式提取，再利用完全平方公式分解即可．

【解答】

解：原式

．

故答案为：．

11.【答案】

【解析】【分析】直接用刻度尺进行测量即可得到答案．【详解】解：经过测量可知

中

边上的高约为

，故答案为：

．

12.【答案】

【解析】【分析】先由函数的解析式求得一次函数的增减性，然后得到与的大小关系．【详解】解：

中

的系数

，一次函数的随的增大而增大，

，

，故答案为：

．

13.【答案】

【解析】【分析】通过证明

可得

为等腰直角三角形，即可求解．【详解】解：如图：在

和

中，

，

，

，

，

，

，

．故答案为：．

14.【答案】

【解析】【分析】列举出所有情况，看所求的情况占总情况的多少即可．【详解】共有正反，正正，反正，反反种可能，则次抛掷的结果都是正面朝上的概率为

．故答案为

．

15.【答案】

【解析】【分析】由题意知

，得出

，根据

求出

的值．【详解】解：由题意知

在

和

中

解得

故答案为：

．

16.【答案】

【解析】【分析】根据题意可知，的对面为

，的对面是

，的对面是

，然后根据图示，分别求得落在格子内时的点数与朝上的点数，即可求解．【详解】解：根据题意可知，

的对面为

，的对面是

，的对面是

，骰子由初始位置翻滚一次，点数为

的面落在

号格内；则朝上一面的点数为

，再从

号格翻滚一次，点数为

的面落在

号格内；则朝上一面的点数为

；故答案为

．再从

号格翻滚一次，点数为

的面落在

号格内，则朝上一面的点数为

；再从

号格翻滚一次，点数为

的面落在

号格内，则朝上一面的点数为

；再从

号格翻滚一次，点数为

的面落在

号格内，则朝上一面的点数为

；再从

号格翻滚一次，点数为

的面落在

号格内，则朝上一面的点数为

．每次翻滚后骰子朝上一面的点数之和为

．故答案为：

．

17.【答案】解：

．

【解析】先根据算术平方根、特殊角的三角函数值、零次幂、绝对值的意义逐项化简，再合并同类项或同类二次根式即可．

18.【答案】

，由得：

由得：

，所以不等式组的解集为

．

【解析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分即可．

19.【答案】解：

，

，原式

．

【解析】先直接利用乘法公式化简，再结合整式的混合运算法则计算，把已知整体代入得出答案．

20.【答案】方法一，证明：点，分别是

的边

的中点，

，

，

，

，

，

，

，

，

，

，

，

，四边形

是平行四边形，

，

，

，

．方法二，证明：点，分别是

的边

的中点，

，

，

，

，

，

，

，

，

，

，四边形

是平行四边形，

，

，

，

，

．

【解析】【分析】方法一，证明

，则

，

，

，

，证明四边形

是平行四边形，则

，

，进而结论得证；方法二，证明

，则

，

，

，证明四边形

是平行四边形，则

，

，进而结论得证．

21.【答案】解：反比例函数

的图象经过点

，

，这个反比例函数的解析式为

．解：当

时，

，

，当

时，对于的每一个值，函数

的值大于反比例函数

的值，

．

【解析】【分析】利用待定系数法即可求解；求得直线经过点

时的解析式，求得此时直线与轴的交点，利用数形结合思想即可求解．

22.【答案】证明：四边形

是平行四边形，

，

．

平分

，

，

，

，平行四边形

是菱形．解：四边形

是菱形，

，

，

．

，

．四边形

是菱形，

，

，又

，

，

．

【解析】【分析】由平行四边形的性质和角平分线的定义证明

，得到

，即可证明平行四边形

是菱形；由菱形的性质可得

，进而得到

，

；进一步求出

，则由角平分线的性质得到

，则

．【点睛】本题主要考查了菱形的性质与判定，角平分线的性质和定义，平行四边形的性质，证明四边形

是菱形是解题的关键．

23.【答案】；．．解：由题意知

名，估计七年级成绩优秀的学生人数为．

【解析】【分析】根据中位数、众数的定义进行求解即可；根据方差、中位数进行判断即可；根据

，计算求解即可．

【解】解：由题意知，七年级成绩的中位数为第、位数的平均数，

，

，中位数

为

，由题意知，出现次，次数最多，众数

为，故答案为：，；解：由题意知样本中两个年级数据的平均数相同，八年级数据的方差较小，由此可以推断该校八年级学生成绩的波动程度较小；推断合理，故符合要求；若八年级小明同学的成绩是分，因为

，所以可以推断他的成绩超过了该校八年级一半以上学生的成绩，推断合理，故符合要求，故答案为：．见答案。

24.【答案】证明：如图，连接交于点．

点为

的中点，

，

是

的切线，

，

，

．解：由得

，

，

的半径长为，

，

，

，

，在

中，由勾股定理得

，点为

的中点，

．

，

，

，即

，

．

【解析】【分析】由垂径定理和切线的性质得到

，即可证明

；由的结论，得到

，求得

，

，在

中，由勾股定理求得

的长，证明

，利用相似三角形的性质即可求解．

25.【答案】根据表格数据，可知

与

关于对称轴

对称，则当

时，

，即乒乓球竖直高度的最大值为

．

，将点

代入得，

，解得：

，

．解：乒乓球再次落下时仍落在球桌上，理由如下，由

，令

，即

，解得：

或

舍去依题意，

，将点

代入得，

解得：

或

舍去解析式为

当

时，

，解得：

舍去

，乒乓球再次落下时仍落在球桌上．

【解析】根据表格数据可知

与

关于对称轴

对称，则

，利用待定系数法求解析式即可求解；根据的结论，令

，求得

，代入

，求得

，进而令

，求得

，与乒乓球桌的长度比较即可求解．

26.【答案】解：

，该抛物线的顶点坐标为

．解：

时，抛物线的开口向上，且对称轴为直线

，离对称轴越远函数值越大，要使

，则

，此时的取值范围是；综上分析可知，的取值范围是

．解：如图，当

，

关于抛物线的对称轴对称时，

，解得：

，此时点

，

，

，根据图形可知，当

时，

时，

恒成立．

【解析】【分析】先将抛物线的一般式化为顶点式，得出顶点坐标即可；根据

时，抛物线的开口向上，且对称轴为直线

，离对称轴越远函数值越大，据此求解即可；由

可得抛物线开口向下时，才可能存在符合条件的值存在，根据抛物线的对称轴为直线

，结合图象回答即可．

27.【答案】证明：由旋转的性质可得

，

，

，即

，又

，

，

，

，

，

平分

．解：补全图形如下所示，

，理由如下：如图所示，在

上取一点，使得

，连接

，

，

，由知

，

．

，

．

，

，

，

，

，

．

【解析】【分析】由旋转的性质得到

，先证明

，再利用

证明

，根据等边对等角证明

，即可证明

，则

平分

；根据题意补全图形即可；如图所示，在

上取一点，使得

，连接

，由平行线的性质得到

，证明

，得到

，

，再证明

，得到

，即可证明

．

28.【答案】解：

，点

向下平移个单位长度得到点

，

，设直线

的解析式为

，

，

，直线

的解析式为

，在

中，当

时，

，即

，

，