小升初奥数讲义讲解

★小学六年级奥数的根本分类★一、工程问题★跟知识握握手顾名思义，工程问题指的是与工程建造有关的数学问题。其实，这类题目的内容已不仅仅是工程方面的问题，也括行路、水管注水等许多内容。在分析解答工程问题时，一般常用的数量关系式是：工作总量=工作效率×工作时间，工作时间=工作总量÷工作效率，工作效率=工作总量÷工作时间。【工作总量指的是工作的多少，它可以是全部工作量，一般用数1表示，也可以是局部工作量，常用分数表示。例如工程的一半表示成..............工作效率指的是干工作的快慢，其意义是单位时间里所干的工作量。单位时间的选取，根据题目需要，可以是天，也可以是时、分、秒等。工作效率的单位是一个复合单位，表示成“工作量/天〞，或“工作量/时〞等。但在不引起误会的情况下，一般不写工作效率的单位。】★小试牛刀甲乙两个水管单独开，注满一池水，分别需要20小时，16小时.丙水管单独开，排一池水要10小时，假设水池没水，同时翻开甲乙两水管，5小时后，再翻开排水管丙，问水池注满还是要多少小时？2．修一条水渠，单独修，甲队需要20天完成，乙队需要30天完成。如果两队合作，由于彼此施工有影响，他们的工作效率就要降低，甲队的工作效率是原来的五分之四，乙队工作效率只有原来的十分之九。现在方案16天修完这条水渠，且要求两队合作的天数尽可能少，那么两队要合作几天？3．一件工作，甲、乙合做需4小时完成，乙、丙合做需5小时完成。现在先请甲、丙合做2小时后，余下的乙还需做6小时完成。乙单独做完这件工作要多少小时？一项工程，第一天甲做，第二天乙做，第三天甲做，第四天乙做，这样交替轮流做，那么恰好用整数天完工；如果第一天乙做，第二天甲做，第三天乙做，第四天甲做，这样交替轮流做，那么完工时间要比前一种多半天。乙单独做这项工程需17天完成，甲单独做这项工程要多少天完成？5．师徒俩人加工同样多的零件。当师傅完成了1/2时，徒弟完成了120个。当师傅完成了任务时，徒弟完成了4/5这批零件共有多少个？7．一个池上装有3根水管。甲管为进水管，乙管为出水管，20分钟可将满池水放完，丙管也是出水管，30分钟可将满池水放完。现在先翻开甲管，当水池水刚溢出时，翻开乙,丙两管用了18分钟放完，当翻开甲管注满水是，再翻开乙管，而不开丙管，多少分钟将水放完？8．某工程队需要在规定日期内完成，假设由甲队去做，恰好如期完成，假设乙队去做，要超过规定日期三天完成，假设先由甲乙合作二天，再由乙队单独做，恰好如期完成，问规定日期为几天？9．两根同样长的蜡烛，点完一根粗蜡烛要2小时，而点完一根细蜡烛要1小时，一天晚上停电，小芳同时点燃了这两根蜡烛看书，假设干分钟后来点了，小芳将两支蜡烛同时熄灭，发现粗蜡烛的长是细蜡烛的2倍，问：停电多少分钟？★二．鸡兔同笼问题★跟知识握握手1、根本概念：鸡兔同笼问题又称为置换问题、假设问题，就是把假设错的那局部置换出来。2、根本思路：①假设，即假设某种现象存在〔甲和乙一样或者乙和甲一样〕；②假设后，发生了和题目条件不同的差，找出这个差是多少；③每个事物造成的差是固定的，从而找出出现这个差的原因；④再根据这两个差作适当的调整，消去出现的差。3、根本公式：①把所有鸡假设成兔子：鸡数＝〔兔脚数×总头数－总脚数〕÷〔兔脚数－鸡脚数〕②把所有兔子假设成鸡：兔数＝〔总脚数一鸡脚数×总头数〕÷〔兔脚数一鸡脚数〕4、关键问题：找出总量的差与单位量的差。5、解“鸡兔同笼问题〞的常用方法是“替换法〞、“转换法〞、“置换法〞等。通常把其中一个未知数暂时当作另一个未知数，然后根据条件进行假设性的运算，直到求出结果。【概括起来，解“鸡兔同笼问题〞的根本公式是】：鸡数＝〔每只兔脚数×鸡兔总数－实际脚数〕÷〔每只兔子脚数－每只鸡的脚数〕兔数＝鸡兔总数－鸡数★小试牛刀1、有假设干只鸡和兔子，它们共有88个头，244只脚，问鸡、兔各多少只？2、蜘蛛有8条腿，蜻蜓有6条腿和2对翅膀，蝉有6条腿和1对翅膀。现在这三种小虫共18只，有118条腿和20对翅膀，问每种小虫各多少只？3、每一辆货车运输2000只玻璃瓶，运费按到达时完好的瓶子数计算，每只2角，如有破损，破损的不给运费，还要每只赔偿1元，结果得到运费379.6元，问这次搬运中玻璃瓶破损了几只？4、六年级甲班有50个同学向汶川灾区捐款共计2023元，其中捐50元的人有30人，其他同学捐20元或者30元，问捐20元和30元的同学各多少人？5、学校组织新年文艺晚会，用作奖品的铅笔、圆珠笔、钢笔共232支，共花了300元，其中铅笔数量是圆珠笔的4倍。铅笔每支0.6元，圆珠笔每支2.7元，钢笔每支6.3元，问三种笔个多少支？6、从甲到乙全长45千米，有上坡路、平路、下坡路，李强上坡速度是每小时3千米，平路上速度是每小时5千米，下坡速度是每小时6千米。从甲到乙，李强走了10小时，从乙到甲李强走了11小时，问甲到乙上坡、平路、下坡路各有多少千米？7、有堆硬币，面值为1分、2分和5分三种，其中1分硬币是2分硬币的11倍，这堆硬币的币值总和是1元，问5分有多少枚？8、有50名同学外出游玩，乘电车前往每人1.2元，乘小巴前往每人4元，乘地铁前往每人6元，这些同学共有车费110元，问其中乘小巴的共有多少人？9、鸡与兔共100只,鸡的腿数比兔的腿数少28条,问鸡与兔各有几只?★三．数字数位问题1．把1至2005这2005个自然数依次写下来得到一个多位数123456789.....2005,这个多位数除以9余数是多少?2．A和B是小于100的两个非零的不同自然数。求A+B分之A-B的最小值...3．A.B.C都是非0自然数,A/2+B/4+C/16的近似值市6.4,那么它的准确值是多少?4．一个三位数的各位数字之和是17.其中十位数字比个位数字大1.如果把这个三位数的百位数字与个位数字对调,得到一个新的三位数,那么新的三位数比原三位数大198,求原数.5．一个两位数,在它的前面写上3,所组成的三位数比原两位数的7倍多24,求原来的两位数.6．把一个两位数的个位数字与十位数字交换后得到一个新数,它与原数相加,和恰好是某自然数的平方,这个和是多少?7．一个六位数的末位数字是2,如果把2移到首位,原数就是新数的3倍,求原数.答案为857148．有一个四位数,个位数字与百位数字的和是12,十位数字与千位数字的和是9,如果个位数字与百位数字互换,千位数字与十位数字互换,新数就比原数增加2376,求原数.9．有一个两位数,如果用它去除以个位数字,商为9余数为6,如果用这个两位数除以个位数字与十位数字之和,那么商为5余数为3,求这个两位数.10．如果现在是上午的10点21分,那么在经过28799...99(一共有20个9)分钟之后的时间将是几点几分?★四．排列组合问题★跟知识握握手1、排列：一般地，从个不同的元素中取出()个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从个不同元素中取出个元素的一个排列．【根据排列的定义，两个排列相同，指的是两个排列的元素完全相同，并且元素的排列顺序也相同．如果两个排列中，元素不完全相同，它们是不同的排列；如果两个排列中，虽然元素完全相同，但元素的排列顺序不同，它们也是不同的排列．】2、排列的根本问题是计算排列的总个数．从个不同的元素中取出()个元素的所有排列的个数，叫做从个不同的元素的排列中取出个元素的排列数，我们把它记做．根据排列的定义，做一个元素的排列由个步骤完成：步骤：从个不同的元素中任取一个元素排在第一位，有种方法；步骤：从剩下的()个元素中任取一个元素排在第二位，有()种方法；……步骤：从剩下的个元素中任取一个元素排在第个位置，有(种)方法；3、【由乘法原理，从个不同元素中取出个元素的排列数是，即，这里，，且等号右边从开始，后面每个因数比前一个因数小，共有个因数相乘。】4、组合：一般地，从个不同元素中取出个()元素组成一组不计较组内各元素的次序，叫做从个不同元素中取出个元素的一个组合．【从排列和组合的定义可以知道，排列与元素的顺序有关，而组合与顺序无关．如果两个组合中的元素完全相同，那么不管元素的顺序如何，都是相同的组合，只有当两个组合中的元素不完全相同时，才是不同的组合．】5、从个不同元素中取出个元素()的所有组合的个数，叫做从个不同元素中取出个不同元素的组合数．记作。6、一般地，求从个不同元素中取出的个元素的排列数可分成以下两步：第一步：从个不同元素中取出个元素组成一组，共有种方法；第二步：将每一个组合中的个元素进行全排列，共有种排法．根据乘法原理，得到．因此，组合数．这个公式就是组合数公式．★小试牛刀1．有五对夫妇围成一圈，使每一对夫妇的夫妻二人动相邻的排法有〔〕A768种B32种C24种D2的10次方中2假设把英语单词hello的字母写错了,那么可能出现的错误共有()A119种B36种C59种D48种3、小新、阿呆等七个同学照像，分别求出在以下条件下有多少种站法？〔1〕七个人排成一排；〔2〕七个人排成一排，小新必须站在中间.〔3〕七个人排成一排，小新、阿呆必须有一人站在中间.〔4〕七个人排成一排，小新、阿呆必须都站在两边.〔5〕七个人排成一排，小新、阿呆都没有站在边上.〔6〕七个人战成两排，前排三人，后排四人.〔7〕七个人战成两排，前排三人，后排四人.小新、阿呆不在同一排。4、用1、2、3、4、5、6可以组成多少个没有重复数字的个位是5的三位数？用1、2、3、4、5这五个数字可组成多少个比大且百位数字不是的无重复数字的五位数？6、用0到9十个数字组成没有重复数字的四位数；假设将这些四位数按从小到大的顺序排列，那么5687是第几个数？7用、、、、这五个数字，不许重复，位数不限，能写出多少个3的倍数？8用1、2、3、4、5、6六张数字卡片，每次取三张卡片组成三位数，一共可以组成多少个不同的偶数？9某管理员忘记了自己小保险柜的密码数字，只记得是由四个非数码组成，且四个数码之和是，那么确保翻开保险柜至少要试几次？10、两对三胞胎喜相逢，他们围坐在桌子旁，要求每个人都不与自己的同胞兄妹相邻，(同一位置上坐不同的人算不同的坐法)，那么共有多少种不同的坐法？在由甲、乙、丙、丁、戊共5名同学进行的手工制作比赛中，决出了第一至第五名的名次．甲、乙两名参赛者去询问成绩，答复者对甲说：“很遗憾，你和乙都未拿到冠军．〞对乙说：“你当然不会是最差的．〞从这个答复分析，5人的名次排列共有多少种不同的情况？12、名男生，名女生，全体排成一行，问以下情形各有多少种不同的排法：[1]甲不在中间也不在两端；[2]甲、乙两人必须排在两端；[3]男、女生分别排在一起；[4]男女相间一台晚会上有个演唱节目和个舞蹈节目．求：[1]当个舞蹈节目要排在一起时，有多少不同的安排节目的顺序？[2]当要求每个舞蹈节目之间至少安排个演唱节目时，一共有多少不同的安排节目的顺序？13、[1]从1，2，…，8中任取3个数组成无重复数字的三位数，共有多少个？〔只要求列式〕[2]从8位候选人中任选三位分别任团支书，组织委员，宣传委员，共有多少种不同的选法？[3]3位同学坐8个座位，每个座位坐1人，共有几种坐法？[4]8个人坐3个座位，每个座位坐1人，共有多少种坐法？[5]一火车站有8股车道，停放3列火车，有多少种不同的停放方法？[6]8种不同的菜籽，任选3种种在不同土质的三块土地上，有多少种不同的种法？某校举行男生乒乓球比赛，比赛分成3个阶段进行，第一阶段：将参加比赛的48名选手分成8个小组，每组6人，分别进行单循环赛；第二阶段：将8个小组产生的前2名共16人再分成个小组，每组人，分别进行单循环赛；第三阶段：由4个小组产生的个第名进行场半决赛和场决赛，确定至名的名次．问：整个赛程一共需要进行多少场比赛？由数字1，2，3组成五位数，要求这五位数中1，2，3至少各出现一次，那么这样的五位数共有________个。(2007年“迎春杯〞高年级组决赛)个人围成一圈，从中选出两个不相邻的人，共有多少种不同选法？18、8个人站队，冬冬必须站在小悦和阿奇的中间〔不一定相邻〕，小慧和大智不能相邻，小光和大亮必须相邻，满足要求的站法一共有多少种？小明有10块大白兔奶糖,从今天起,每天至少吃一块.那么他一共有多少种不同的吃法?某池塘中有三只游船，船可乘坐人，船可乘坐人，船可乘坐人，今有个成人和个儿童要分乘这些游船，为平安起见，有儿童乘坐的游船上必须至少有个成人陪同，那么他们人乘坐这三支游船的所有平安乘船方法共有多少种？从名男生，名女生中选出人参加游泳比赛．在以下条件下，分别有多少种选法？[1]恰有名女生入选；[2]至少有两名女生入选；[3]某两名女生，某两名男生必须入选；[4]某两名女生，某两名男生不能同时入选；⑸某两名女生，某两名男生最多入选两人。在6名内科医生和4名外科医生中，内科主任和外科主任各一名，现要组成5人医疗小组送医下乡，按照以下条件各有多少种选派方法？

[1]有3名内科医生和2名外科医生；

[2]既有内科医生，又有外科医生；

[3]至少有一名主任参加；

[4]既有主任，又有外科医生.在10名学生中，有5人会装电脑，有3人会安装音响设备，其余2人既会安装电脑，又会安装音响设备，今选派由人组成的安装小组，组内安装电脑要人，安装音响设备要人，共有多少种不同的选人方案？有11名外语翻译人员，其中名是英语翻译员，名是日语翻译员，另外两名英语、日语都精通．从中找出人，使他们组成两个翻译小组，其中人翻译英文，另人翻译日文，这两个小组能同时工作．问这样的分配名单共可以开出多少张？★五．容斥原理问题★跟知识握握手容斥原理的概念：在计数时，为了使重叠局部不被重复计算，人们研究出一种新的计数方法，这种方法的根本思想是：先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复，这种计数的方法称为容斥原理。有关容斥原理的公式：公式1.如果被计数的事物有A、B两类，那么，A类或B类元素个数=A类元素个数+B类元素个数—既是A类又是B类的元素个数。公式2.如果被计数的事物有A、B、C三类，那么，A类或B类或C类元素个数=A类元素个数+B类元素个数+C类元素个数—既是A类又是B类的元素个数—既是A类又是C类的元素个数—既是B类又是C类的元素个数+既是A类又是B类而且是C类的元素个数。★小试牛刀1．有100种赤贫.其中含钙的有68种,含铁的有43种,那么,同时含钙和铁的食品种类的最大值和最小值分别是()A43,25B32,25C32,15D43,112．在多元智能大赛的决赛中只有三道题.:(1)某校25名学生参加竞赛,每个学生至少解出一道题;(2)在所有没有解出第一题的学生中,解出第二题的人数是解出第三题的人数的2倍:(3)只解出第一题的学生比余下的学生中解出第一题的人数多1人;(4)只解出一道题的学生中,有一半没有解出第一题,那么只解出第二题的学生人数是()A，5B，6C，7D，83．一次考试共有5道试题。做对第1、2、3、、4、5题的分别占参加考试人数的95%、80%、79%、74%、85%。如果做对三道或三道以上为合格，那么这次考试的合格率至少是多少？某大楼里有125盏灯，按1,2，3，…,125编号，每盏灯有一个拉线开关，拉一次灯亮，再拉一次灯熄。工程师做实验，他先把所有号码是4的倍数的灯的开关拉1次，再把所有号码是6的倍数的灯的开关拉1次，同时再拉1次号码是4的倍数、但不是6的倍数的灯开关，问：现在有多少盏灯是亮的？A、B、C三位质检员对流水线上的书包进行检查，A每3个书包抽查1个，B每5个书包抽查1个，C每7个书包抽查1个，一共有250个书包通过流水线，假定A、B、C首个抽查到的书包分别是第三个、第五个和第七个，试求：没被抽查到的书包数。在A或B抽查到的书包中，没被C抽查到的书包数。学校举行趣味运动会，班里的同学有20人报名。参加障碍过河比赛的有10人，参加自行车慢骑的有13人，参加“袋鼠跳〞比赛的有15人，障碍过河、“袋鼠跳〞都参加的有9人，障碍过河、自行车慢骑都参加的有6人，自行车慢骑、“袋鼠跳〞都参加的有8人，你能画出参加比赛的人数文氏图吗？某体育学校的运发动中，会游泳的有15人，会跳高的有12人，会跳远的有9人，以上三个工程只会其中两种的有13人，会三种的有5人，那么只会其中两种的人分别有多少可能？在一所中学的实验班里，60个学生参加过竞赛。其中参加过数学竞赛的有30人，参加过英语竞赛的有25人，参加过作文比赛的有17人，参加过数学竞赛和英语竞赛的有12人，参加过英语竞赛和作文比赛的有10人，参加过数学竞赛和作文比赛的有7人，那么三种竞赛都参加过的学生有()人。请写出过程：★六．抽屉原理、奇偶性问题★跟知识握握手1、第一抽屉原理：原理1：把多于n个的物体放到n个抽屉里，那么至少有一个抽屉里的东西不少于两件；【证明】〔反证法〕：如果每个抽屉至多只能放进一个物体，那么物体的总数至多是n，而不是题设的n+k(k≥1),这不可能。原理2：把多于mn(m乘以n)个的物体放到n个抽屉里，那么至少有一个抽屉里有不少于m+1的物体。【证明】〔反证法〕：假设每个抽屉至多放进m个物体,那么n个抽屉至多放进mn个物体,与题设不符，故不可能原理3：把无穷多件物体放入n个抽屉，那么至少有一个抽屉里有无穷个物体。【证明】.：根据原理1、2即可证明【原理123都是第一抽屉原理的表述】2、第二抽屉原理：把〔mn－1〕个物体放入n个抽屉中，其中必有一个抽屉中至多有〔m—1〕个物体。【证明】〔反证法〕：假设每个抽屉都有不少于m个物体，那么总共至少有mn个物体，与题设矛盾，故不可能3、抽屉原理的一般表述：“把多于kn+1个东西任意分放进n个空抽屉〔k是正整数〕，那么一定有一个抽屉中放进了至少k+1个东西。〞★4、奇数和偶数：整数可以分成奇数和偶数两大类.能被2整除的数叫做偶数，不能被2整除的数叫做奇数。【偶数通常可以用2k〔k为整数〕表示，奇数那么可以用2k+1〔k为整数〕表示。特别注意，因为0能被2整除，所以0是偶数。】5、奇数与偶数的运算性质：性质1：偶数±偶数=偶数，奇数±奇数=偶数。性质2：偶数±奇数=奇数。性质3：偶数个奇数相加得偶数。性质4：奇数个奇数相加得奇数。性质5：偶数×奇数=偶数，奇数×奇数=奇数。★经典例题【表述】：在第二抽屉原理中，抽屉中的元素个数随着元素总数的增加而增加，当元素总数到达抽屉数的假设干倍后，可用抽屉数除元素总数，写成下面的等式：元素总数=商×抽屉数+余数【如果余数不是0，那么最小数=商+1；如果余数正好是0，那么最小数=商。】例题1：幼儿园里有120个小朋友，各种玩具有364件。把这些玩具分给小朋友，是否有人会得到4件或4件以上的玩具？【解析】：把120个小朋友看做是120个抽屉，把玩具件数看做是元素。那么364=120×3+4，4＜120。根据抽屉原理的第〔2〕条规那么：如果把m×x×k〔x＞k≥1〕个元素放到x个抽屉里，那么至少有一个抽屉里含有m+1个或更多个元素。可知至少有一个抽屉里有3+1=4个元素，即有人会得到4件或4件以上的玩具。练习1：一个幼儿园大班有40个小朋友，班里有各种玩具125件。把这些玩具分给小朋友，是否有人会得到4件或4件以上的玩具？把16枝铅笔放入三个笔盒里，至少有一个笔盒里的笔不少于6枝。这是为什么？3、把25个球最多放在几个盒子里，才能至少有一个盒子里有7个球？例题2：布袋里有4种不同颜色的球，每种都有10个。最少取出多少个球，才能保证其中一定有3个球的颜色一样？【解析】：把4种不同颜色看做4个抽屉，把布袋中的球看做元素。根据抽屉原理第〔2〕条，要使其中一个抽屉里至少有3个颜色一样的球，那么取出的球的个数应比抽屉个数的2倍多1。即2×4+1=9〔个〕球。列算式为〔3—1〕×4+1=9〔个〕练习2：布袋里有组都多的5种不同颜色的球。最少取出多少个球才能保证其中一定有3个颜色一样的球？一个容器里放有10块红木块、10块白木块、10块蓝木块，它们的形状、大小都一样。当你被蒙上眼睛去容器中取出木块时，为确保取出的木块中至少有4块颜色相同，应至少取出多少块木块？3、一副扑克牌共54张，其中1—13点各有4张，还有两张王的扑克牌。至少要取出几张牌，才能保证其中必有4张牌的点数相同？例题3：某班共有46名学生，他们都参加了课外兴趣小组。活动内容有数学、美术、书法和英语，每人可参加1个、2个、3个或4个兴趣小组。问班级中至少有几名学生参加的工程完全相同？【解析】：参加课外兴趣小组的学生共分四种情况，只参加一个组的有4种类型，只参加两个小组的有6个类型，只参加三个组的有4种类型，参加四个组的有1种类型。把4+6+4+1=15〔种〕类型看做15个抽屉，把46个学生放入这些抽屉，因为46=3×15+1，所以班级中至少有4名学生参加的工程完全相同。练习3：某班有37个学生，他们都订阅了《小主人报》、《少年文艺》、《小学生优秀作文》三种报刊中的一、二、三种。其中至少有几位同学订的报刊相同？学校开办了绘画、笛子、足球和电脑四个课外学习班，每个学生最多可以参加两个〔可以不参加〕。某班有52名同学，问至少有几名同学参加课外学习班的情况完全相同？库房里有一批篮球、排球、足球和铅球，每人任意搬运两个，问：在31个搬运者中至少有几人搬运的球完全相同？例题4：从1至30中，3的倍数有30÷3=10个，不是3的倍数的数有30—10=20个，至少要取出20+1=21个不同的数才能保证其中一定有一个数是3的倍数。练习4：在1，2，3，……49，50中，至少要取出多少个不同的数，才能保证其中一定有一个数能被5整除？从1至120中，至少要取出几个不同的数才能保证其中一定有一个数是4的倍数？3、从1至36中，最多可以取出几个数，使得这些数中没有两数的差是5的倍数？例题5：将400张卡片分给假设干名同学，每人都能分到，但都不能超过11张，试证明：找少有七名同学得到的卡片的张数相同。【证明】：这题需要灵活运用抽屉原理。将分得1，2，3，……，11张可片看做11个抽屉，把同学人数看做元素，如果每个抽屉都有一个元素，那么需1+2+3+……+10+11=66〔张〕卡片。而400÷66=6……4〔张〕，即每个周体都有6个元素，还余下4张卡片没分掉。而这4张卡片无论怎么分，都会使得某一个抽屉至少有7个元素，所以至少有7名同学得到的卡片的张数相同。练习5：把280个桃分给假设干只猴子，每只猴子不超过10个。证明：无论怎样分，至少有6只猴子得到的桃一样多。把61颗棋子放在假设干个格子里，每个格子最多可以放5颗棋子。证明：至少有5个格子中的棋子数目相同。3、汽车8小时行了310千米，汽车第一小时行了25千米，最后一小时行了45千米。证明：一定存在连续的两小时，在这两小时内汽车至少行了80千米。例题6：1+2+3+…+1993的和是奇数？还是偶数？例题7：一个数分别与另外两个相邻奇数相乘，所得的两个积相差150，这个数是多少？例题8：回赠贺年卡，那么送了奇数张贺年卡的人数是奇数，还是偶数？为什么例题9：a、b、c中有一个是5，一个是6，一个是7.求证a-1，b-2，c-3的乘积一定是偶数。例题10：如下页图，从起点始，隔一米种一棵树，如果把三块“保护树木〞的小牌分别挂在三棵树上，那么不管怎样挂，至少有两棵挂牌的树，它们之间的距离是偶数〔以米为单位〕，这是为什么？★小试牛刀1．木箱里装有红色球3个、黄色球5个、蓝色球7个，假设蒙眼去摸，为保证取出的球中有两个球的颜色相同，那么最少要取出多少个球？2．一幅扑克牌有54张，最少要抽取几张牌，方能保证其中至少有3张牌有相同的点数？有11名学生到老师家借书，老师的书房中有Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ四类书，每名学生最多可借两本不同类的书，最少借一本。试证明：必有两个学生所借的书的类型相同4．有50名运发动进行某个工程的单循环赛，如果没有平局，也没有全胜。试证明：一定有两个运发动积分相同。5．体育用品仓库里有许多足球、排球和篮球，某班50名同学来仓库拿球，规定每个人至少拿1个球，至多拿2个球，问至少有几名同学所拿的球种类是一致的？6．某校有55个同学参加数学竞赛，将参赛人任意分成四组，那么必有一组的女生多于2人，又知参赛者中任何10人中必有男生，那么参赛男生的人数为多少人？7．有黑色、白色、蓝色手套各5只〔不分左右手〕，至少要拿出多少只〔拿的时候不许看颜色〕，才能使拿出的手套中一定有两双是同颜色的。8．一些苹果和梨混放在一个筐里，小明把这筐水果分成了假设干堆，后来发现无论怎么分，总能从这假设干堆里找到两堆，把这两堆水果合并在一起后，苹果和梨的个数是偶数，那么小明至少把这些水果分成了多少堆？9．从1，3，5，……，99中，至少选出多少个数，其中必有两个数的和是100。10．某旅游车上有47名乘客，每位乘客都只带有一种水果。如果乘客中有人带梨，并且其中任何两位乘客中至少有一个人带苹果，那么乘客中有多少人带苹果。11．某个年级有202人参加考试，总分值为100分，且得分都为整数，总得分为10101分，那么至少有多少人得分相同？12．2006名营员去游览长城，颐和园，天坛。规定每人最少去一处，最多去两处游览，至少有几个人游览的地方完全相同?13．某校派出学生204人上山植树15301株，其中最少一人植树50株，最多一人植树100株，那么至少有多少人植树的株数相同？有100个自然数，它们的和是偶数.在这100个自然数中，奇数的个数比偶数的个数多.问：这些数中至多有多少个偶数？有一串数，最前面的四个数依次是1、9、8、7.从第五个数起，每一个数都是它前面相邻四个数之和的个位数字.问：在这一串数中，会依次出现1、9、8、8这四个数吗？16、求证：四个连续奇数的和一定是8的倍数。17、把任意6个整数分别填入右图中的6个小方格内，试说明一定有一个矩形，它的四个角上四个小方格中的四个数之和为偶数。18、如果两个人通一次，每人都记通话一次，在24小时以内，全世界通话次数是奇数的那些人的总数为____。〔A〕必为奇数，〔B〕必为偶数，〔C〕可能是奇数，也可能是偶数。请选择并写出过程：一次宴会上，客人们相互握手.问握手次数是奇数的那些人的总人数是奇数还是偶数。有12张卡片，其中有3张上面写着1，有3张上面写着3，有3张上面写着5，有3张上面写着7.你能否从中选出五张，使它们上面的数字和为20？为什么？有10只杯子全部口朝下放在盘子里.你能否每次翻动4只杯子，经过假设干次翻动后将杯子全部翻成口朝上？电影厅每排有19个座位，共23排，要求每一观众都仅和它邻近〔即前、后、左、右〕一人交换位置.问：这种交换方法是否可行？23、由14个大小相同的方格组成以下图形〔右图〕，请证明：不管怎样剪法，总不能把它剪成7个由两个相邻方格组成的长方形.★七．行程问题★跟知识握握手1、发车问题[1]一般间隔发车问题。用3个公式迅速作答；汽车间距=〔汽车速度+行人速度〕×相遇事件时间间隔

汽车间距=〔汽车速度-行人速度〕×追及事件时间间隔

汽车间距=汽车速度×汽车发车时间间隔[2]求到达目的地后相遇和追及的公共汽车的辆数。标准方法是：画图——尽可能多的列3个好使公式——结合s全程＝v×t-结合植树问题数数。[3]当出现屡次相遇和追及问题——柳卡2、火车过桥【火车过桥问题常用方法】[1]火车过桥时间是指从车头上桥起到车尾离桥所用的时间，因此火车的路程是桥长与车身长度之和.[2]火车与人错身时，忽略人本身的长度，两者路程和为火车本身长度；火车与火车错身时，两者路程和那么为两车身长度之和.[3]火车与火车上的人错身时，只要认为人具备所在火车的速度，而忽略本身的长度，那么他所看到的错车的相应路程仍只是对面火车的长度.【对于火车过桥、火车和人相遇、火车追及人、以及火车和火车之间的相遇、追及等等这几种类型的题目，在分析题目的时候一定得结合着图来进行.】3、接送问题：【根据校车速度〔来回不同〕、班级速度〔不同班不同速〕、班数是否变化分类为四种常见题型】：

[1]车速不变-班速不变-班数2个〔最常见〕

[2]车速不变-班速不变-班数多个

[3]车速不变-班速变-班数2个

[4]车速变-班速不变-班数2个【标准解法：画图＋列3个式子】：[1]总时间=一个队伍坐车的时间+这个队伍步行的时间；[2]班车走的总路程；[3]一个队伍步行的时间=班车同时出发后回来接它的时间。4、时钟问题：时钟问题可以看做是一个特殊的圆形轨道上2人追及问题，不过这里的两个“人〞分别是时钟的分针和时针。【时钟问题有别于其他行程问题是因为它的速度和总路程的度量方式不再是常规的米每秒或者千米每小时，而是2个指针“每分钟走多少角度〞或者“每分钟走多少小格〞。】流水行船问题中的相遇与追及[1]两只船在河流中相遇问题，当甲、乙两船〔甲在上游、乙在下游〕在江河里相向开出：【甲船顺水速度+乙船逆水速度=〔甲船速+水速〕＋〔乙船速-水速〕=甲船船速+乙船船速】[2]同样道理，如果两只船，同向运动，一只船追上另一只船所用的时间，与水速无关.【甲船顺水速度-乙船顺水速度=〔甲船速+水速〕-〔乙船速+水速〕=甲船速-乙船速也有：甲船逆水速度-乙船逆水速度=〔甲船速-水速〕-〔乙船速-水速〕=甲船速-乙船速.】说明：两船在水中的相遇与追及问题同静水中的及两车在陆地上的相遇与追及问题一样，与水速没有关系.6、比例与行程问题综合问题：比例的知识是小学数学最后一个重要内容，从某种意义上讲仿佛扮演着一个小学“压轴知识点〞的角色。从一个工具性的知识点而言，比例在解很多应用题时有着“得天独厚〞的优势，往往表达在方法的灵活性和思维的巧妙性上，使得一道看似很难的题目变得简单明了。比例的技巧不仅可用于解行程问题，对于工程问题、分数百分数应用题也有广泛的应用。我们常常会应用比例的工具分析2个物体在某一段相同路线上的运动情况，我们将甲、乙的速度、时间、路程分别用来表示，大体可分为以下两种情况：[1]当2个物体运行速度在所讨论的路线上保持不变时，经过同一段时间后，他们走过的路程之比就等于他们的速度之比。，这里因为时间相同，即,所以由得到，，甲乙在同一段时间t内的路程之比等于速度比[2]当2个物体运行速度在所讨论的路线上保持不变时，走过相同的路程时，2个物体所用的时间之比等于他们速度的反比。，这里因为路程相同，即，由得，，甲乙在同一段路程s上的时间之比等于速度比的反比。行程问题常用的解题方法有[1]公式法即根据常用的行程问题的公式进行求解，这种方法看似简单，其实也有很多技巧，使用公式不仅包括公式的原形，也包括公式的各种变形形式；有时条件不是直接给出的，这就需要对公式非常熟悉，可以推知需要的条件；[2]图示法在一些复杂的行程问题中，为了明确过程，常用示意图作为辅助工具．示意图包括线段图和折线图．图示法即画出行程的大概过程，重点在折返、相遇、追及的地点．另外在屡次相遇、追及问题中，画图分析往往也是最有效的解题方法；[3]比例法行程问题中有很多比例关系，在只知道和差、比例时，用比例法可求得具体数值．更重要的是，在一些较复杂的题目中，有些条件(如路程、速度、时间等)往往是不确定的，在没有具体数值的情况下，只能用比例解题；[4]分段法在非匀速即分段变速的行程问题中，公式不能直接适用．这时通常把不匀速的运动分为匀速的几段，在每一段中用匀速问题的方法去分析，然后再把结果结合起来；[5]方程法在关系复杂、条件分散的题目中，直接用公式或比例都很难求解时，设条件关系最多的未知量为未知数，抓住重要的等量关系列方程常常可以顺利求解．★小试牛刀某停车场有10辆出租汽车，第一辆出租汽车出发后，每隔4分钟，有一辆出租汽车开出.在第一辆出租汽车开出2分钟后，有一辆出租汽车进场.以后每隔6分钟有一辆出租汽车回场.回场的出租汽车，在原有的10辆出租汽车之后又依次每隔4分钟开出一辆，问：从第一辆出租汽车开出后，经过多少时间，停车场就没有出租汽车了？小峰骑自行车去小宝家聚会，一路上小峰注意到，每隔9分钟就有一辆公交车从前方超越小峰，小峰骑车到半路，车坏了，小峰只好打的去小宝家，这时小峰又发现出租车也是每隔9分钟超越一辆公交车，出租车的速度是小峰骑车速度的5倍，那么如果公交车的发车时间间隔和行驶速度固定的话，公交车的发车时间间隔为多少分钟？小英和小敏为了测量飞驶而过的火车速度和车身长,他们拿了两块跑表.小英用一块表记下了火车从她面前通过所花的时间是15秒;小敏用另一块表记下了从车头过第一根电线杆到车尾过第二根电线杆所花的时间是20秒.两电线杆之间的距离是100米.你能帮助小英和小敏算出火车的全长和时速吗?一条单线铁路上有A,B,C,D,E5个车站,它们之间的路程如下图(单位:千米).两列火车同时从A,E两站相对开出,从A站开出的每小时行60千米,从E站开出的每小时行50千米.由于单线铁路上只有车站才铺有停车的轨道,要使对面开来的列车通过,必须在车站停车,才能让开行车轨道.因此,应安排哪个站相遇,才能使停车等候的时间最短.先到这一站的那一列火车至少需要停车多少分钟?乙船顺水航行2小时，行了120千米，返回原地用了4小时.甲船顺水航行同一段水路，用了3小时.甲船返回原地比去时多用了几小时?一条小河流过A，B,C三镇.A,B两镇之间有汽船来往,汽船在静水中的速度为每小时11千米.B,CA,CA镇上船顺流而下到B镇,吃午饭用去1小时,接着乘木船又顺流而下到CA,B两镇间的距离是多少千米?现在是10点，再过多长时间，时针与分针将第一次在一条直线上？有一座时钟现在显示10时整．那么，经过多少分钟，分针与时针第一次重合；再经过多少分钟，分针与时针第二次重合?某科学家设计了只怪钟，这只怪钟每昼夜10时，每时100分〔如右图所示〕。当这只钟显示5点时，实际上是中午12点；当这只钟显示6点75分时，实际上是什么时间？10、手表比闹钟每时快60秒，闹钟比标准时间每时慢60秒。8点整将手表对准，12点整手表显示的时间是几点几分几秒？甲、乙二人分别从A、B两地同时出发，相向而行，甲、乙的速度之比是4:3，二人相遇后继续行进，甲到达B地和乙到达A地后都立即沿原路返回，二人第二次相遇的地点距第一次相遇的地点30千米，那么A、B两地相距多少千米？B地在A，C两地之间．甲从B地到A地去送信，甲出发10分后，乙从B地出发到C地去送另一封信，乙出发后10分，丙发现甲、乙刚好把两封信拿颠倒了，于是他从B地出发骑车去追赶甲和乙，以便把信调过来．甲、乙的速度相等，丙的速度是甲、乙速度的3倍，丙从出发到把信调过来后返回B地至少要用多少时间。13、甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，相向而行．出发时，甲、乙的速度之比是5:4，相遇后甲的速度减少20%，乙的速度增加20%．这样当甲到达B地时，乙离A地还有10千米．那么A、B两地相距多少千米？13、在一圆形跑道上，甲从A点、乙从B点同时出发反向而行，6分后两人相遇，再过4分甲到达B点，又过8分两人再次相遇.甲、乙环行一周各需要多少分？一辆汽车从甲地开往乙地，每分钟行750米，预计50分钟到达．但汽车行驶到路程的时，出了故障，用5分钟修理完毕，如果仍需在预定时间内到达乙地，汽车行驶余下的路程时，每分钟必须比原来快多少米？15、狗跑5步的时间马跑3步，马跑4步的距离狗跑7步，现在狗已跑出30米，马开始追它。问：狗再跑多远，马可以追上它？16、甲乙辆车同时从ab两地相对开出，几小时后再距中点40千米处相遇？，甲车行完全程要8小时，乙车行完全程要10小时，求ab两地相距多少千米？17、在一个600米的环形跑道上，兄两人同时从同一个起点按顺时针方向跑步，两人每隔12分钟相遇一次，假设两个人速度不变，还是在原来出发点同时出发，哥哥改为按逆时针方向跑，那么两人每隔4分钟相遇一次，两人跑一圈各要多少分钟？18、慢车车长125米，车速每秒行17米，快车车长140米，车速每秒行22米，慢车在前面行驶，快车从后面追上来，那么，快车从追上慢车的车尾到完全超过慢车需要多少时间？19、在300米长的环形跑道上，甲乙两个人同时同向并排起跑，甲平均速度是每秒5米，乙平均速度是每秒4.4米，两人起跑后的第一次相遇在起跑线前几米？20、一个人在铁道边，听见远处传来的火车汽笛声后，在经过57秒火车经过她前面，火车鸣笛时离他1360米，(轨道是直的),声音每秒传340米，求火车的速度〔得出保存整数〕21、猎犬发现在离它10米远的前方有一只奔跑着的野兔，马上紧追上去，猎犬的步子大，它跑5步的路程，兔子要跑9步，但是兔子的动作快，猎犬跑2步的时间，兔子却能跑3步，问猎犬至少跑多少米才能追上兔子。正确的答案是猎犬至少跑60米才能追上。22、AB两地,甲乙两人骑自行车行完全程所用时间的比是4:5,如果甲乙二人分别同时从AB两地相对行使,40分钟后两人相遇,相遇后各自继续前行,这样，乙到达A地比甲到达B地要晚多少分钟?23、甲乙两车同时从AB两地相对开出。第一次相遇后两车继续行驶，各自到达对方出发点后立即返回。第二次相遇时离B地的距离是AB全程的1/5。甲车在第一次相遇时行了120千米。AB两地相距多少千米？24、一船以同样速度往返于两地之间，它顺流需要6小时;逆流8小时。如果水流速度是每小时2千米，求两地间的距离？25、快车和慢车同时从甲乙两地相对开出，快车每小时行33千米，相遇是已行了全程的七分之四，慢车行完全程需要8小时，求甲乙两地的路程。26、小华从甲地到乙地,3分之1骑车,3分之2乘车;从乙地返回甲地,5分之3骑车,5分之2乘车,结果慢了半小时.,骑车每小时12千米,乘车每小时30千米,问:甲乙两地相距多少千米?★八．比例问题★跟知识握握手★【比例与百分数作为一种数学工具在人们日常生活中处理多组数量关系非常有用，这一局部内容也是小升初考试的重要内容。故学生应该掌握的知识有】：1、比和比例的性质性质1：假设a:b=c：d，那么(a+c)：(b+d)=a：b=c：d；性质2：假设a:b=c：d，那么(a-c)：(b-d)=a：b=c：d；性质3：假设a:b=c：d，那么(a+xc)：(b+xd)=a：b=c：d；(x为常数)性质4：假设a:b=c：d，那么a×d=b×c；(即外项积等于内项积)正比例：如果a÷b=k(k为常数)，那么称a、b成正比；反比例：如果a×b=k(k为常数)，那么称a、b成反比．2、主要比例转化实例[1]；；；[2]；(其中)；[3]；；；[4]，；；[5]的等于的，那么是的，是的．3、按比例分配与和差关系[1]按比例分配例如：将个物体按照的比例分配给甲、乙两个人，那么实际上甲、乙两个人各自分配到的物体数量与的比分别为和，所以甲分配到个，乙分配到个.[2]两组物体的数量比和数量差，求各个类别数量的问题例如：两个类别、，元素的数量比为(这里)，数量差为，那么的元素数量为，的元素数量为，所以解题的关键是求出与或的比值．4、比例题目常用解题方式和思路解答分数应用题关键是正确理解、运用单位“l〞。题中如果有几个不同的单位“1〞，必须根据具体情况，将不同的单位“1〞，转化成统一的单位“1〞，使数量关系简单化，到达解决问题的效果。在解答分数应用题时，要注意以下几点：[1]题中有几种数量相比拟时，要选择与各个条件关系密切、便于直接解答的数量为单位“1〞。[2]假设题中数量发生变化的，一般要选择不变量为单位“1〞。[3]应用正、反比例性质解容许用题时要注意题中某一数量是否一定，然后再确定是成正比例，还是成反比例。找出这些具体数量相对应的分率与其他具体数量之间的正、反比例关系，就能找到更好、更巧的解法。[4]题中有明显的等量关系，也可以用方程的方法去解。[5]赋值解比例问题★小试牛刀甲、乙、丙三个数，甲等于乙、丙两数和的，乙等于甲、丙两数和的，丙等于甲、乙两数和的，求.甲、乙、丙三个数，甲的一半等于乙的倍也等于丙的，那么甲的、乙的倍、丙的一半这三个数的比为多少？3、如以下图所示，圆与圆的面积之和等于圆面积的，且圆中的阴影局部面积占圆面积的，圆的阴影局部面积占圆面积的，圆的阴影局部面积占圆面积的．求圆、圆、圆的面积之比某俱乐部男、女会员的人数比是3:2，分为甲、乙、丙三组的人数比是10:8:7，甲组中男、女会员的人数之比是3:1，乙组中男、女会员的人数之比是5:3.求丙组中男、女会员人数之比。某团体有名会员，男女会员人数之比是，会员分成三组，甲组人数与乙、丙两组人数之和一样多，各组男女会员人数之比依次为、、，那么丙组有多少名男会员？(2007年华杯赛总决赛)、、三项工程的工作量之比为，由甲、乙、丙三队分别承当．三个工程队同时开工，假设干天后，甲完成的工作量是乙未完成的工作量的二分之一，乙完成的工作量是丙未完成的工作量的三分之一，丙完成的工作量等于甲未完成的工作量，那么甲、乙、丙队的工作效率的比是多少？7、[1]某校毕业生共有9个班，每班人数相等．[2]一班的男生人数比二、三班两个班的女生总数多1；[3]四、五、六班三个班的女生总数比七、八、九班三个班的男生总数多1．那么该校毕业生中男、女生人数比是多少?一些苹果平均分给甲、乙两班的学生，甲班比乙班多分到个，而甲、乙两班的人数比为，求一共有多少个苹果？一班和二班的人数之比是，如果将一班的名同学调到二班去，那么一班和二班的人数比变为．求原来两班的人数。10、幼儿园大班和中班共有32名男生，18名女生．大班男生数与女生数的比为，中班男生数与女生数的比为，那么大班有女生多少名？11、甲、乙两只蚂蚁同时从点出发，沿长方形的边爬去，结果在距点厘米的点相遇，乙蚂蚁的速度是甲的倍，求这个长方形的周长？甲乙两车分别从A，B两地出发，相向而行．出发时，甲、乙的速度比是5∶4，相遇后，甲的速度减少20％，乙的速度增加20％，这样，当甲到达B地时，乙离A地还有10千米．问：A，B两地相距多少千米？师徒二人加工一批零件，师傅加工一个零件用9分钟，徒弟加工一个零件用15分钟．完成任务时，师傅比徒弟多加工100个零件，求师傅和徒弟一共加工了多少个零件、、三个水桶的总容积是公升，如果、两桶装满水，桶是空的；假设将桶水的全部和桶水的，或将桶水的全部和桶水的倒入桶，桶都恰好装满．求、、三个水桶容积各是多少公升？一块长方形铁板，宽是长的．从宽边截去厘米，长边截去以后，得到一块正方形铁板．问原来长方形铁板的长是多少厘米？一把小刀售价元．如果小明买了这把小刀，那么小明与小强剩余的钱数之比是；如果小强买了这把小刀，那么两人剩余的钱数之比变为．小明原来有多少钱？一项机械加工作业，用4台型机床，5天可以完成；用4台型机床和2台型机床3天可以完成；用3台型机床和9台型机床，2天可以完成，假设3种机床各取一台工作5天后，剩下、型机床继续工作，还需要______天可以完动物园门票大人元，小孩元．六一儿童节那天，儿童免票，结果与前一天相比，大人增加了，儿童增加了，共增加了人，但门票收入与前一天相同．六一儿童节这天共有多少人入园？某水果批发市场存放的苹果与桃子的吨数的比是，第一天售出苹果的，售出桃子的吨数与所剩桃子的吨数的比是；第二天售出苹果吨，桃子吨，这样一来，所剩苹果的吨数是所剩桃子吨数的，问原有苹果和桃子各有多少吨？有一个长方体，长和宽的比是，宽与高的比是．外表积为，求这个长方体的体积。〔2023年第七届“希望杯〞二试六年级〕某高速公路收费站对于过往车辆收费标准是：大型车元，中型车元，小型车元．一天，通过该收费站的大型车和中型车数量之比是，中型车与小型车之比是，小型车的通行费总数比大型车多元．〔1〕这天通过收费站的大型车、中型车、小型车各有多少辆？〔2〕这天的收费总数是多枚壹分硬币摞在一起与枚贰分硬币摞在一起一样高，枚壹分硬币摞在一起与枚伍分硬币摞在一起一样高．用壹分、贰分、伍分硬币各摞成一个圆柱体，并且三个圆柱体一样高，共用了枚硬币，问：这些硬币的币值为多少元？某工地用种型号的卡车运送土方．甲、乙、丙三种卡车载重量之比为，速度比为，运送土方的路程之比为，三种车的辆数之比为．工程开始时，乙、丙两种车全部投入运输，但甲种车只有一半投入，直到天后，另一半甲种车才投入工作，一共干了天完成任务．那么，甲种车完成的工作量与总工作量之比是多少将一堆糖果全局部给甲、乙、丙三个小朋友．原方案甲、乙、丙三人所得糖果数的比为．实际上，甲、乙、丙三人所得糖果数的比为，其中有一位小朋友比原方案多得了块糖果．那么这位小朋友是(填“甲〞、“乙〞或“丙〞)，他实际所得的糖果数为一个周长是厘米的大长方形，按图⑴与图⑵所示意那样，划分为四个小长方形．在图⑴中小长方形面积的比是，．而在图⑵中相应的比例是，.又知长方形的宽减去的宽所得到的差与的长减去的长所得到差之比为．求大长方形的面积。〔1〕⑵北京中学生运动会男女运发动比例为，组委会决定增加女子艺术体操工程，这样男女运发动比例变为；后来又决定增加男子象棋工程，男女比例变为,男子象棋工程运发动比女子艺术体操运发动多人，那么总运发动人数为多少？27有假设干个突击队参加某工地会战，每个突击队人数相同，而且每个队的女队员的人数是该队的男队员的，以后上级从第一突击队调走了该队的一半队员，而且全是男队员，于是工地上的全体女队员的人数是剩下的全体男队员的，问开始共有多少支突击队参加会战？某学校入学考试，参加的男生与女生人数之比是．结果录取91人，其中男生与女生人数之比是．未被录取的学生中，男生与女生人数之比是．问报考的共有多少人？有甲、乙两块含铜率不同的合金，甲块重千克，乙块重千克，现在从甲、乙两块合金上各切下重量相等的一局部，将甲块上切下的局部与乙块的剩余的局部一起熔炼，再将乙块上切下的局部与甲块的剩余的局部一起熔炼，得到的两块新合金的含铜率相同，求切下的重量为________。小学奥数分类型讲解资料1、最值问题【最小值问题】例1外宾由甲地经乙地、丙地去丁地参观。甲、乙、丙、丁四地和甲乙、乙丙、丙丁的中点，原来就各有一位民警值勤。为了保证平安，上级决定在沿途增加值勤民警，并规定每相邻的两位民警〔包括原有的民警〕之间的距离都相等。现知甲乙相距5000米，乙丙相距8000米，丙丁相距4000米，那么至少要增加______位民警。〔《中华电力杯》少年数学竞赛决赛第一试试题〕讲析：如图5.91，现在甲、乙、丙、丁和甲乙、乙丙、丙丁各处中点各有一位民警，共有7位民警。他们将上面的线段分为了2个2500米，2个4000米，2个2000米。现要在他们各自的中间插入假设干名民警，要求每两人之间距离相等，这实际上是要求将2500、4000、2000分成尽可能长的同样长的小路。由于2500、4000、2000的最大公约数是500，所以，整段路最少需要的民警数是〔5000＋8000＋4000〕÷500＋1=35〔名〕。例2在一个正方体外表上，三只蚂蚁分别处在A、B、C的位置上，如图5.92所示，它们爬行的速度相等。假设要求它们同时出发会面，那么，应选择哪点会面最省时？〔湖南怀化地区小学数学奥林匹克预赛试题〕讲析：因为三只蚂蚁速度相等，要想从各自的地点出发会面最省时，必须三者同时到达，即各自行的路程相等。我们可将正方体外表展开，如图5.93，那么A、B、C三点在同一平面上。这样，便将问题转化为在同一平面内找出一点O，使O到这三点的距离相等且最短。所以，连接A和C，它与正方体的一条棱交于O；再连接OB，不难得出AO=OC=OB。故，O点即为三只蚂蚁会面之处。【最大值问题】例1有三条线段a、b、c，并且a＜b＜c。判断：图5.94的三个梯形中，第几个图形面积最大？〔全国第二届“华杯赛〞初赛试题〕讲析：三个图的面积分别是：三个面积数变化的局部是两数和与另一数的乘积，不变量是〔a＋b＋c〕的和一定。其问题实质上是把这个定值拆成两个数，求这两个数为何值时，乘积最大。由等周长的长方形面积最大原理可知，〔a＋b〕×c这组数的值最接近。故图〔3〕的面积最大。例2某商店有一天，估计将进货单价为90元的某商品按100元售出后，能卖出500个。这种商品每个涨价1元，其销售量就减少10个。为了使这一天能赚得更多利润，售价应定为每个______元。〔台北市数学竞赛试题〕讲析：因为按每个100元出售，能卖出500个，每个涨价1元，其销量减少10个，所以，这种商品按单价90元进货，共进了600个。现把600个商品按每份10个，可分成60份。因每个涨价1元，销量就减少1份〔即10个〕；相反，每个减价1元，销量就增加1份。所以，每个涨价的钱数与销售的份数之和是不变的〔为60〕，根据等周长长方形面积最大原理可知，当把60分为两个30时，即每个涨价30元，卖出30份，此时有最大的利润。因此，每个售价应定为90＋30=120〔元〕时，这一天能获得最大利润。2、最值规律【积最大的规律】〔1〕多个数的和一定〔为一个不变的常数〕，当这几个数均相等时，它们的积最大。用字母表示，就是如果a1+a2+…+an=b〔b为一常数〕，那么，当a1=a2=…=an时，a1×a2×…×an有最大值。例如，a1+a2=10，…………→…………；1+9=10→1×9=9；2+8=10→2×8=16；3+7=10→3×7=21；4+6=10→4×6=24；4.5+5.5=10→×5.5=24.75；5+5=10→5×5=25；5.5+4.5=10→×4.5=24.75；…………→…………；9+1=10→9×1=9；…………→…………由上可见，当a1、a2两数的差越小时，它们的积就越大；只有当它们的差为0，即a1=a2时，它们的积就会变得最大。三个或三个以上的数也是一样的。由于篇幅所限，在此不一一举例。由“积最大规律〞，可以推出以下的结论：结论1所有周长相等的n边形，以正n边形〔各角相等，各边也相等的n边形〕的面积为最大。例如，当n=4时，周长相等的所有四边形中，以正方形的面积为最大。例题：用长为24厘米的铁丝，围成一个长方形，长宽如何分配时，它的面积为最大？解设长为a厘米，宽为b厘米，依题意得〔a+b〕×2=24即a+b=12由积最大规律，得a=b=6〔厘米〕时，面积最大为6×6=36〔平方厘米〕。〔注：正方形是特殊的矩形，即特殊的长方形。〕结论2在三度〔长、宽、高〕的和一定的长方体中，以正方体的体积为最大。例题：用12米长的铁丝焊接成一个长方体，长、宽、高如何分配，它的体积才会最大？解设长方体的长为a米，宽为b米，高为c米，依题意得〔a+b+c〕×4=12即a+b+c=3由积最大规律，得a=b=c=1〔米〕时，长方体体积为最大。最大体积为1×1×1=1〔立方米〕。〔2〕将给定的自然数N，分拆成假设干个〔不定〕的自然数的和，只有当这些自然数全是2或3，并且2至多为两个时，这些自然数的积最大。例如，将自然数8拆成假设干个自然数的和，要使这些自然数的乘积为最大。怎么办呢？我们可将各种拆法详述如下：分拆成8个数，那么只能是8个“1〞，其积为1。分拆成7个数，那么只能是6个“1〞，1个“2〞，其积为2。分拆成6个数，可得两组数：〔1，1，1，1，1，3〕；〔1，1，1，1，2，2〕。它们的积分别是3和4。分拆成5个数，可得三组数：〔1，1，1，1，4〕；〔1，1，1，2，3〕；〔1，1，2，2，2〕。它们的积分别为4，6，8。分拆成4个数，可得5组数：〔1，1，1，5〕；〔1，1，2，4〕；〔1，1，3，3〕；〔1，2，2，3〕；〔2，2，2，2〕。它们的积分别为5，8，9，12，16。分拆成3个数，可得5组数：〔1，1，6〕；〔1，2，5〕；〔1，3，4〕；〔2，2，4〕；〔2，3，3〕。它们的积分别为6，10，12，16，18。分拆成2个数，可得4组数：〔1，7〕；〔2，6〕；〔3，5〕；〔4，4〕。它们的积分别为7，12，15，16。分拆成一个数，就是这个8。从上面可以看出，积最大的是18=3×3×2。可见，它符合上面所述规律。用同样的方法，将6、7、14、25分拆成假设干个自然数的和，可发现6=3+3时，其积3×3=9为最大；7=3+2+2时，其积3×2×2=12为最大；14=3+3+3+3+2时，其积3×3×3×3×2=162为最大；由这些例子可知，上面所述的规律是正确的。【和最小的规律】几个数的积一定，当这几个数相等时，它们的和相等。用字母表达，就是如果a1×a2×…×an=c〔c为常数〕，那么，当a1=a2=…=an时，a1+a2+…+an有最小值。例如，a1×a2=9，…………→…………1×9=9→1+9=10；3×3=9→3+3=6；…………→…………由上述各式可见，当两数差越小时，它们的和也就越小；当两数差为0时，它们的和为最小。例题：用铁丝围成一个面积为16平方分米的长方形，如何下料，材料最省？解设长方形长为a分米，宽为b分米，依题意得a×b=16。要使材料最省，那么长方形周长应最小，即a+b要最小。根据“和最小规律〞，取a=b=4〔分米〕时，即用16分米长的铁丝围成一个正方形，所用的材料为最省。推论由“和最小规律〞可以推出：在所有面积相等的封闭图形中，以圆的周长为最小。例如，面积均为4平方分米的正方形和圆，正方形的周长为8分米；而的周长小于正方形的周长。【面积变化规律】在周长一定的正多边形中，边数越多，面积越大。×6=2.598〔平方分米〕。方形的面积。推论由这一面积变化规律，可以推出下面的结论：在周长一定的所有封闭图形中，以圆的面积为最大。例如，周长为4分米的正方形面积为1平方分米；而周长为4分米的圆，于和它周长相等的正方形面积。【体积变化规律】在外表积一定的正多面体〔各面为正n边形，各面角和各二面角相等的多面体〕中，面数越多，体积越大。例如，外表积为8平方厘米的正四面体S—ABC〔如图1.30〕，它每一个面均为正三角形，每个三角形面积为2平方厘米，它的体积约是1.1697立方厘米。而外表积为8平方厘米长约为1.1546厘米，体积约为1.539立方厘米。显然，正方体体积大于正四面体体积。推论由这一体积变化规律，可推出如下结论：在外表积相等的所有封闭体中，以球的体积为最大。例如，外表积为8平方厘米的正四面体，体积约为1.1697立方米；外表积为8平方厘米的正六面体〔正方体〕，体积约为1.539立方厘米；而外表积是8平方厘米的球，体积却约有2.128立方厘米。可见上面的结论是正确的。【排序不等式】对于两个有序数组：a1≤a2≤…≤an及b1≤b2≤…≤bn，那么a1b1+a2b2+……+anb抇n〔同序〕T≥a1b抇1+a2b抇2+……+anb抇n〔乱序〕≥a1bn+a2bn-1+……+a>nb1〔倒序〕〔其中b抇1、b抇2、……、b抇n为b1、b2、……、bn的任意一种排列〔顺序、倒序排列在外〕，当且仅当a1=a2=…=an，或b1=b2=…=bn时，式中等号成立。〕由这一不等式可知，同序积之和为最大，倒序积之和为最小。例题：设有10个人各拿一只水桶，同时到一个水龙头下接水。水龙头注满第一、第二、……九、十个人的桶，分别需要1、2、3、……、9、10分钟。问：如何安排这10个人的排队顺序，可使每个人所费时间的总和尽可能少？这个总费时至少是多少分钟？解设每人水桶注满时间的一个有序数组为：1，2，3，……，9，10。打水时，等候的人数为第二个有序数组，等候时间最长的人数排前，这样组成1，2，3，……，9，10。根据排序不等式，最小积的和为倒序，即1×10+2×9+3×8+4×7+5×6+6×5+7×4+8×3+9×2+10×1=〔1×10+2×9+3×8+4×7+5×6〕×2=〔10+18+24+28+30〕×2=220〔分钟〕其排队顺序应为：根据注满一桶水所需时间的多少，按从少到多的排法。3、最优方案与最正确策略【最优方案】例1某工厂每天要生产甲、乙两种产品，按工艺规定，每件甲产品需分别在A、B、C、D四台不同设备上加工2、1、4、0小时；每件乙产品需分别在A、B、C、D四台不同设备上加工2、2、0、4小时。A、B、C、D四台设备，每天最多能转动的时间分别是12、8、16、12小时。生产一件甲产品该厂得利润200元，生产一件乙产品得利润300元。问：每天如何安排生产，才能得到最大利润？〔中国台北第一届小学数学竞赛试题〕讲析：设每天生产甲产品a件，乙产品b件。由于设备A的转动时间每天最多为12小时，那么有：〔2a＋2b〕不超过12。又〔a＋2b〕不超过8，4a不超过16，4b不超过12。由以上四个条件知，当b取1时，a可取1、2、3、4；当b取2时，a可取1、2、3、4；当b取3时，a可取1、2。这样，就是在以上情况下，求利润200a＋300b的最大值。可列表如下：所以，每天安排生产4件甲产品，2件乙产品时，能得到最大利润1400元。例2甲厂和乙厂是相邻的两个服装厂。它们生产同一规格的成衣，每个厂的人员和设备都能进行上衣和裤子生产。由于各厂的特点不同，甲厂每月联合生产，尽量发挥各自的特长多生产成衣。那么现在比过去每月能多生产成衣______套。〔1989年全国小学数学奥林匹克初赛试题〕的时间生产上衣。所以，甲厂长于生产裤子，乙厂长于生产上衣。如果甲厂全月生产裤子，那么可生产如果乙厂全月生产上衣，那么可生产把甲厂生产的裤子与乙厂生产的上衣配成2100套成衣，这时甲厂生产150条裤子的时间可用来生产成套的成衣故现在比过去每月可以多生产60套。【最正确策略】例1A、B二人从A开始，轮流在1、2、3、……、1990这1990个数中划去一个数，直到最后剩下两个数互质，那么B胜，否那么A胜。问：谁能必胜？制胜的策略是什么？〔《中华电力杯》少年数学竞赛试题〕讲析：将这1990个数按每两个数分为一组；〔1、2〕，〔3、4〕，〔5、6〕，…，〔1989、1990〕。当A任意在括号中划去一个时，B就在同一个括号中划去另一个数。这样B就一定能获胜。例2桌上放有1992根火柴。甲乙两人轮流从中任取，每次取得根数为1根或2根，规定取得最后一根火柴者胜。问：谁可获胜？〔1992年乌克兰基辅市小学数学竞赛试题〕讲析：因为两人轮流各取一次后，可以做到只取3根。谁要抢到第1992根，谁就必须抢到第1989根，进而抢到第1986、1983、1980、…、6、3根。谁抢到第3根呢？自然是后取的人。即后取的可以获胜。后者获胜的策略是，领先取的人每取一次火柴梗时，他紧接着取一次，每次取的根数与先取的加起来的和等于3。例3有分别装球73个和118个的两个箱子，两人轮流在任一箱中任意取球，规定取得最后一球者为胜。问：假设要先取者为获胜，应如何取？〔上海市数学竞赛试题〕讲析：先取者应不断地让后者在取球之前，使两箱的球处于平衡状态，即每次先取者取之后，使两箱球保持相等。这样，先取者一定获胜。4、直接思路“直接思路〞是解题中的常规思路。它一般是通过分析、综合、归纳等方法，直接找到解题的途径。【顺向综合思路】从条件出发，根据数量关系先选择两个数量，提出可以解决的问题；然后把所求出的数量作为新的条件，与其他的条件搭配，再提出可以解决的问题；这样逐步推导，直到求出所要求的解为止。这就是顺向综合思路，运用这种思路解题的方法叫“综合法〞。例1兄弟俩骑车出外郊游，弟弟先出发，速度为每分钟200米，弟弟出发5分钟后，哥哥带一条狗出发，以每分钟250米的速度追赶弟弟，而狗以每分钟300米的速度向弟弟追去，追上弟弟后，立即返回，见到哥哥后又立即向弟弟追去，直到哥哥追上弟弟，这时狗跑了多少千米？分析〔按顺向综合思路探索〕：〔1〕根据弟弟速度为每分钟200米，出发5分钟的条件，可以求什么？可以求出弟弟走了多少米，也就是哥哥追赶弟弟的距离。〔2〕根据弟弟速度为每分钟200米，哥哥速度为每分钟250米，可以求什么？可以求出哥哥每分钟能追上弟弟多少米。〔3〕通过计算后可以知道哥哥追赶弟弟的距离为1000米，每分钟可追上的距离为50米，根据这两个条件，可以求什么？可以求出哥哥赶上弟弟所需的时间。〔4〕狗在哥哥与弟弟之间来回不断奔跑，看起来很复杂，仔细想一想，狗跑的时间与谁用的时间是一样的？狗跑的时间与哥哥追上弟弟所用的时间是相同的。〔5〕狗以每分钟300米的速度，在哥哥与弟弟之间来回奔跑，直到哥哥追上弟弟为止，和哥哥追上弟弟所需的时间，可以求什么？可以求出这时狗总共跑了多少距离？这个分析思路可以用以下图〔图2.1〕表示。例2下面图形〔图2.2〕中有多少条线段？分析〔仍可用综合思路考虑〕：我们知道，直线上两点间的一段叫做线段，如果我们把上面任意相邻两点间的线段叫做根本线段，那么就可以这样来计数。〔1〕左端点是A的线段有哪些？有ABACADAEAFAG共6条。〔2〕左端点是B的线段有哪些？有BC、BD、BE、BF、BG共5条。〔3〕左端点是C的线段有哪些？有CD、CE、CF、CG共4条。〔4〕左端点是D的线段有哪些？有DE、DF、DG共3条。〔5〕左端点是E的线段有哪些？有EF、EG共2条。〔6〕左端点是F的线段有哪些？有FG共1条。然后把这些线段加起来就是所要求的线段。【逆向分析思路】从题目的问题入手，根据数量关系，找出解这个问题所需要的两个条件，然后把其中的一个〔或两个〕未知的条件作为要解决的问题，再找出解这一个〔或两个〕问题所需的条件；这样逐步逆推，直到所找的条件在题里都是的为止，这就是逆向分析思路，运用这种思路解题的方法叫分析法。例1两只船分别从上游的A地和下游的B地同时相向而行，水的流速为每分钟30米，两船在静水中的速度都是每分钟600米，有一天，两船又分别从A、B两地同时相向而行，但这次水流速度为平时的2倍，所以两船相遇的地点比平时相遇点相差60米，求A、B两地间的距离。分析〔用分析思路考虑〕：〔1〕要求A、B两地间的距离，根据题意需要什么条件？需要知道两船的速度和与两船相遇的时间。〔2〕要求两船的速度和，必要什么条件？两船分别的速度各是多少。题中已告之在静水中两船都是每分钟600米，那么不管其水速是否改变，其速度和均为〔600+600〕米，这是因为顺水船速为：船速+水速，逆水船速为：船速-水速，故顺水船速与逆水船速的和为：船速+水速+船速-水速=2个船速〔实为船在静水中的速度〕〔3〕要求相遇的时间，根据题意要什么条件？两次相遇的时间因为距离相同，速度和相同，所以应该是相等的，这就是