广东省佛山市2023届高三二模数学试卷

广东省佛山市2023届高三数学二模试卷

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1.己知集合A={XGR|-34X«3},8={xeR|x2>4},则A「8=（）

A.（2,3]B.[-3,+8）

C.[-3,-2）l（2,3]D.（-oo,-2）（2,+00）

2.己知A8CD的顶点A（—l,—2）,B（3,-l）,C（5,6）.则顶点。的坐标为（）

A.（1,4）B.（l,5）C.（2,4）D.（2,5）

3.记数列{4}的前〃项和为5“，则"53=3%”是”{4}为等差数歹中’的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

4.“基础学科拔尖学生培养试验计划”简称“珠峰计划”，是国家为回应“钱学森之问”而推出的

一项人才培养计划，旨在培养中国自己的学术大师.已知浙江大学、复旦大学、武汉大学、中

山大学均有开设数学学科拔尖学生培养基地，某班级有5位同学从中任选一所学校作为奋

斗目标，则每所学校至少有一位同学选择的不同方法数共有（）

A.120种B.180种C.240种D.300种

5.科技是一个国家强盛之根，创新是一个民族进步之魂，科技创新铸就国之重器，极目一号

（如图1）是中国科学院空天信息研究院自主研发的系留浮空器.2022年5月，“极目一号”III

型浮空艇成功完成10次升空大气科学观测，最高升空至9050米，超过珠穆朗玛峰，创造了

浮空艇大气科学观测海拔最高的世界纪录，彰显了中国的实力.“极目一号TH型浮空艇长55

米，高19米，若将它近似看作一个半球、一个圆柱和一个圆台的组合体，正视图如图2所

示，则极目一号体积约为（）

（参考数据：9.5?。90,9.53«857,315x10()5®3166(H))

图1

图2

A.9064m3B.9004m3C.8944m3D.8884m3

6.已知方程4?+8），+8+瓜+£》+/=0,其中4232。2£>2£：之尸.现有四位

同学对该方程进行了判断，提出了四个命题：

甲：可以是圆的方程：乙：可以是抛物线的方程；

丙：可以是桶圆的标准方程；丁：可以是双曲线的标准方程.

其中，真命题有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

7.若斜率为1的直线/与曲线y=ln（x+a）和圆f+y2=g都相切，则实数。的值为（）

A.-lB.OC.2D.0或2

8.已知函数"X）=sin（2x+°）（[同<]],若存在为，x2,x3e，且

X3—不2=2（芍一%）=4不，使/（玉）=/（工2）=/（工3）>0，则"的值为（）

兀兀一兀一兀

A.——B.—C.——D.—

6633

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.

9.设Z,Z1,Z2为复数，且Z1#Z2,下列命题中正确的是（）

A.若Z]=Z2，则Z[=z2

B.若上一,=[z]+Z21则"2=0

C.若ZZ]=zz2,则z=0

D.若[z-Z]|=|z-Z2]，则z在复平面对应的点在一条直线上

10.四面体ABC。中，AB±BD,CD上BD,AB=3,BD=2,CD=4,平面AB。

与平面8。的夹角为四，则AC的值可能为（）

3

A.V17B,V23C.V35D.同

11.如图抛物线3的顶点为A,焦点为产，准线为丸，焦准距为4；抛物线匚的顶点为3,

焦点也为产，准线为4,焦准距为6.和和匚交于P、。两点，分别过P、。作直线与两

准线垂直，垂足分别为M、N、S、T,过尸的直线与封闭曲线APBQ交于c、D两点,则

()

A.|AB|=5B.四边形“VST的面积为100

—•—•「25~

C.FSFT=0D.|CD|的取值范围为5,—

12.已知函数/（尤）对于任意的实数。，下列结论一定成立的有（）

A.若a+b>0,WJ/（a）+/（b）>0B.若a+b>0,则—人）>0

C.若/（a）+/（b）>0,则a+h>0D.若/（。）+/（人）<0,则a+0<0

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分，其中第16题，第一空2分，第二空3

分.

13.已知函数/（x）=x3-x有2个极值点七,%,,则X[+*2+/（工1）+/（/）=.

14.佛山被誉为“南国陶都”，拥有上千年的制陶史，佛山瓷砖享誉海内外.某企业瓷砖生产线

上生产的瓷砖某项指标X〜N（8OO,b2）,且P（X<801）=0.6,现从该生产线上随机抽取

io片瓷砖，记y表示800Vx<801的瓷砖片数，则E（y）=.

22

15.已知£、尸2分别为椭圆?+5=1的左、右焦点，P是过椭圆右顶点且与长轴垂直的

直线上的动点，则sin乙的最大值为.

16.有“个编号分别为1,2,…，〃的盒子，第1个盒子中有2个白球1个黑球，其余盒子

中均为1个白球1个黑球，现从第1个盒子中任取一球放入第2个盒子，再从第2个盒子

中任取一球放入第3个盒子，以此类推，则从第2个盒子中取到白球的概率是,从第

〃个盒子中取到白球的概率是.

四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.（10分）

2023年3月5日，国务院总理李克强在政府工作报告中指出“着力扩大消费和有效投资.面

对需求不足甚至出现收缩，推动消费尽快恢复.帮扶旅游业发展.围绕补短板、调结构、增后

劲扩大有效投资.”某旅游公司为确定接下来五年的发展规划，对2013~2022这十年的国内旅

客人数作了初步处理，用土和兄分别表示第，年的年份代号和国内游客人数（单位：百万人

次），得到下面的表格与散点图.

年份2013201420152016201720182019202020212022

年份代码X12345678910

国内游客数y3262361139904432500055426006287932462530

S一

Y

加

袋

K直

（1）2020年~2022年疫情特殊时期，旅游业受到重挫，现剔除这三年的数据，再根据剩余

样本数据（王,%）（i=l,2,3，…，7）建立国内游客人数y关于年份代号x的一元线性回

归模型；

（2）2023年春节期间旅游市场繁荣火爆，预计2023年国内旅游人数约4550百万人次，假

若2024年~2027年能延续2013年~2019年的增长势头，请结合以上信息预测2027年国内

游客人数.

附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：匕=上―------------，

/=]

a=y-bx

77

参考数据：W＞，=31843,一4)3—4549)=13104

i=\/=1

18.(12分)

已知AABC为锐角三角形，且cosA+sinB=J§(sinA+cos5).

TT

(1)若。=上，求A；

3

(2)已知点。在边AC上，且AD=5D=2,求CD的取值范围.

19.（12分）

已知各项均为正数的等比数列｛《,｝,其前〃项和为5.，满足2S.=%+2-6，

（1）求数列｛4｝的通项公式；

（2）记超为数列⑸｝在区间（a,“M,“+2）中最大的项，求数列也｝的前八项和7

20.（12分）

中国正在由“制造大国”向“制造强国”迈进，企业不仅仅需要大批技术过硬的技术工人，更需

要努力培育工人们执着专注、精益求精、一丝不苟、追求卓越的工匠精神，这是传承工艺、

革新技术的重要基石.如图所示的一块木料中，A5CQ是正方形，F4_L平面A5C。，

PA=AB=2,点E,尸是PC,AD的中点.

（1）若要经过点E和棱A8将木料锯开，在木料表面应该怎样画线，请说明理由并计算截

面周长；

（2）若要经过点B,E,尸将木料锯开，在木料表面应该怎样画线，请说明理由.

21.(12分)

22

双曲线C:当■-2r=1(。＞0力＞0)的左顶点为A,焦距为4,过右焦点尸作垂直于实轴的

ab"

直线交C于8、。两点，且△ABD是直角三角形.

(1)求双曲线C的方程；

(2)M、N是C右支上的两动点，设直线AM、AN的斜率分别为人、匕，若人色=一2,

求点A到直线MN的距离d的取值范围.

22.(12分)

已知函数/(x)=Le'—3x,其中〃声0.

(1)若/(x)有两个零点，求”的取值范围;

(2)若/(x)Za(l-2sinx),求。的取值范围

■■■参*考*答*案■■■

一、选择题:本题共8小题,每小题5分，共40分在每小建给出的四个选购中，只有一项是符合

踊目要求的,_________________________________________________________

题号]234567B

答案cBBCACDA

二、选择题:本题共4小JS.每小题5分.共20分.在每小题给出的选项中.有多项符合85目要

求,全部选对的得5分,有选错的梅0分,部分选对的得2分，

9]0]])2

答案ACDADACDABD

三、填空题:本题共4小题，每小JS5分，共20分.

巧.1(分)，为(]+[(分)

13.014.116,723

9232

四、解答期:本大题共6小题，共70分，解答须写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.

17,【解析】⑴由2012年-2017年的数据,

_।t1*

：=2£三=±(l+2+3+4+5+6+7)=4.£(七-4y=9+4+1+0+1+4+9=28,

7u7川

1,.E(X「4)(%-4549)

13104

y二匕二4549"=目^^=468,«=4549-468x4=2677

28

/*1£&-4)，

所以根据样本数据(X"%)(i=1,2t…,7)建立一元然性回!H模型为尸=46©+2677.,7分

⑵由y=468x+2677知.年份每增加1年，国内游客人数的均值格姆加顿百万人次，所以预测2027

年国内游客人数为4550.468*4=6422百万人次,...................................10分

18.【解析】(I)由o>s4+sinB=Vi(sinW：a>s8),得1cos4-坐sinX二白Z轲B,

所以cos(d+g)=cos(

嗯卜•3分

因为0＜4〈四，0＜8＜四，所以四＜/+四＜皂,2＜8+工＜生,

22336663

所以4+色=8+e.即8=，+巴’.........................5分

366

乂4+&+C=K,C।所以/+4+工+三二小解得J=—■6分

3634

(2)因为/。=8£>=2,所以/。3/=/4,由(1)知/48。=4+四，可得/(78£>=四.........7分

66

CDBD

在ABCD中,山正假定理得

sinZC0DsinC

AB

所以8=sin/CBO8口=_j_T分

在A/LBC中，sinC=sin(/J+5)=sinf2/J+I

I。分

J40＜5=74+-efo,-1C=lt-A-B=--2Ae(0,工1所以三＜《〈二，

26\2J6\2)63

所以三＜24+0＜江，所以［＜sin(24+色］Vl,

2662I6J

故8的取值苑用力(1,2)一...............................................................12分

19.【解析】⑴当“=】时，2，=%-6：当*=2时，2&=d-6,

两式相减,得2町二%一%,所以2=92-%玷介。，＞0.可解得4=2(9=-】舍去)........3分

山2』=q-6,得24=4q-6,解得4=3,.............................................................................4分

所以q=q/i=3x2-',即数列｛a.｝的通项公式为a.=3x2"-'..............................................5分

(2)由2，=a“,_6,l9$,=；(ap_6)=；(3*2“'-6)=3x2«_3,...................................6分

所以S*=4.|-3.则S,＜。》］,..........................................................7分

因为%＞0,所以32q.当且仅当甘=1时,等号成立，.....................................B分

所以4£工〈＞“va.—v邑

所以九=Se”=3、2"fl-3,............................................................................................””10分

所以4=3(22+23+2'+--+2"')-3"=3*2川-12-3”，

即毒=3x2"Jl2-3”.....................................................12分

20,【解析】⑴因为4B〃8.4Ba平面PCD,CDu平面PCD,/K

所以48"平面PCD.................1分/1W＞?

又川5u平面设平面ZBEn平面PC»=，，则/8〃L/：次

作PD的中点G,连接EG,4G,则EG//CD.又ABUCD,/Jz\

则EG〃/8,即EG为/,EG,4G就是应画的线,……3分於，..'

ZBC

因为，平面,钻8,46u平面，5co，所以48J,F4*

又/6JL4D,PA^AD=A,4,4Du平面产40,则43_L平面H4D・..................................1分

因为AGu平而HD,所以4B1.AG..........5分

即裱面4REG是直角梯形,其中AB=2,GE=1,AG=五,BEm瓜

所以截面周长为Q+收+3.......................................................................................................6分

(2)如图所示，以点/为原点,〃所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，

则8(2.0.0).0(020),尸(0,1,0),P(0,0,2),E(IJJ),

5E=(-1JJ),而=(-2J,0),丽=(0,2.-2),..................................................................8分

[BE-n=0f—JT+y+z=0

设平面广的法向或无二由锵<,，取舞=(1,2,—1),.....9分

|(J3F»=0(-2X+J=0

设P。n平面BEF=H.设*=N尸。，则"(0,24,2-24)...........................10分

——2

BH=(-2,22,2-22)，则6H』=0得62-4=0,解得2=：.........................11分

2

即8罡PD的三等分点(也=：尸。>.连接£户・17/.即£日,切就是应画的线.............12分

21,[解析]U)依题意，/^/田二虾，华焦矩c=2,...................................I分

JL2

dlAF—BF得。+c=一...............................................................2分

即丁+2。=22-。,解得<1=1(其中。=-2<0含去)......................................“3分

所以9=。2-/=4—1=3,故双曲线。的方程为/-工=1.............................11分

3

⑵显然日级切不可能与轴平行.故可设立线附N的方程为x=my+“，

联立I.[：：§‘消去x修理得—I)/+6Mly+3(M-1)=0,....................5分

在条件(3加，-1：°木，设M(覆,凹)、N(x±,%).则X+力=-J：”；，凹y2=%J?(*)……6分

[A>03m—13m-I

由无/?二一2,得yly2+2(玉+IX/+D=0,即乂%+2(此用+〃■•■1乂电匕+rt+1)=0,

2

整理得(2^?+1)>|尸2+2M(o+1)(1yt+/2)+2(/I+1)=0,...............................7分

将｛*)式代入存&/一1)(2耐2+D-]2m%(n+D+25+l汽3K'-I)=0.................8分

化简可清去所有的含加项，解得〃=5或》=-1(舍去).......................................9分

则向线M7V的方程为x-可-5=0,则"=>4一...................................10分

Vm2+1

又MN都在双曲线右支上,故有碗2_|〈o得04m2<1............................"分

3

此时IVy/m~+1<—f=>d=―,€(3>^,61

6J才+11J