高等数学练习册答案

专业班级姓名学号成绩时间1

第一章函数与极限

§1函数

一、是非判断题

1、/(x)在X上有界，g(x)在X上无界，则/(x)+g(x)在X上无界.[4]

2、函数/3=仙/与函数8(*)=00是表示同一函数.[X]

答：不是同一函数，因为/(X)的定义域是(-8,+8)而g(x)的定义域

(0,+00)

1

3、函数〃x)=(l-cos2x”与函数g(x)=sinx是表示同-函数。[X]

答：不是表示同一函数，因为两函数的对应规律不同.

4、函数f(x)=(eA同-+x),则/(x)既是奇函数又是偶函数.[由

答：是，

当x>0,|x|-x-0,ln(l+N-x)=0,从ffiiy(x)=0

当x<0利+x=0,e[x]+x-1=0,从而(x)=0

综上述，对任意x,/(x)三0,故/'(-X)=0=/(x),/(_%)=0=_/(x),

/(x)既是奇函数乂是偶函数.

5、函数[x]表示不超过x的最大整数，则°(x)=x-[x]的周期为1.[Y]

答：是，任取xeR,若〃Wx<n+l,则[x]=〃，(p(x)-x-n

止匕时x+1e[//+Ln+2)，e(x+1)=—[x+1]+x+1,=-(n+l)+x+l=x-”=(p(x)，

故夕(x)是以1为周期的周期函数。

二、单项选择题

1、下面四个函数中，与y=|x|不同的是(A)

(A)y-\e'nx|(B)y-(C)y=(D)y-xsgnx

2、/(x)=(cos3x)2在其定义域(-oo,+8)上是(6)

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(A)最小正周期为3颁周期函数；(8)最小正周期为(的周期函数；

(C)最小正周期为胃的周期函数：(0非周期函数。

/7—X

3、函数/'(x)=ln----伍〉0)是(A)

a+x

(A)奇函数；(B)偶函数；

(C)非奇非偶函数；(。)奇偶性决定于。的值

三、填空题

1、设［=》+》+/0-》)，且当〉=0时，％=/,则2=.

解：因y=0时，z=­；.》+/(*)=/故有/(x)=x2-x

/(x-y)=(x-y)2-(x-y)z=x+y+(x-y)2-(x-y)=2^+(x-y)2

2、设/(x)=A/6+5X-X2+lg(x2-5x+6),则/'(x)的定义域为—

解：由6+5x—厂N0解得—1<xK6,

由X2-5X+6>0解得l<2或1>3

故函数的定义域是［-1,2)U(3,6］.

、门2+X,X<0：,rI

3、即(x)=。、八贝巩/(x)卜______

2,x>0.

rF4+x,x<—2；

解：>0

，，XN一，

x,-oo<X<1；

四、^fM=<X2A<X<4；求f(%)的反函数火x).

2x,4<x<+oo.

解：当一8cx<1时,y=x,即x=y-oo<y<1

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当14元W4时，y=x2,/.x=Jy

l<y<16.

Xv

当4<x<+8时，y=2,x=log2

y>16.

故f(x)的反函数

X,-00<x<1；

(|)(x)=<,1<x<16；

log2x,x>16.

五、设2/3+、，—）=弓>'求〃x）。

解：已知:2/(X)+X2/(-L)=厂+产(1)

Xx+1

故得:2/(」-)+-V/«==等2

xx21/+1Mx+1)

〃0+2(2"!)=2：；,(2)

2x（1）一⑵消却（十）得:3小）=2”+4：］产73x

x+T

故/（X）=

7+T

0,x<0；X+1,X<1;

六、设/Xx)=<x,X2。夕⑴的(x)+o(x).

X,X>1.

答：当x<0时，f(x)+(p(x)=x+l；

当04x<1时，/(x)+(p(x)=2x+l；

当xNl时,f(x)+(p(x)=2x.

x+1,x<0；

/(x)+(p(x)=<2x+l,0<x<1；

2x,x>1.

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§2数列的极限

一是非判断题

1、当“充分大后，数列与常数4越来接近，则limx“=A.[X]

X—

2、如果数列乙发散，则x,必是无界数列。[X]

3、如果对任意£〉0,存在正整数N,使得当n>N时总有无穷多个x"满足

则limx“=a.[X]

/I—>00

4、如果对任意£〉0,数列居中只有有限项不满足|x"一。|<£,则limx“=a[山

n—

5、设数列｛x“｝,｛yj都是无界数列，z“=x"y"，则｛zj必是无界数列。[X]

解：结论不一定成立

例如｛x“｝=1,030,5,…,2〃一1,0,2n+1,…

机｝=0,204,0,6,…,0,2”,0,•••

都是无界数列,但z“=x,j“=0

显然z.是有界数列

6、若lim%=A(AwO),则当〃充分大时，必有卜』>回。M

“Teo112

二.单项选择题

1、数列｛。"｝无界是数列发散的(B)

A.必要条件；B.充分条件；

C.充分必要条件；。.既非充分又非必要条件.

10工当〃为偶数

(A)limx-0;(B)limx“=10°;

n〃T8

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,、「[(),〃为奇数，于力士

(C)limx„=<;(D)hmx“不存在

“1101〃为偶数，"

3、数列有界是数列收敛的B。

(A)充分条件；(B)必要条件；

(C)充分必要条件；(D)既非充分又非必要条件。

4、下列数列X,,中，收敛的是B

H—1HH7T

n

(A)xn=(-l)----(B)xn------(C)xn-sin——(D)xfl=n

n〃+l2

三.根据数列极限的定义证明。

/八r2〃+12

(1)lim-----=—

/l-X»3n+l3

1

分析要使卜23〃n++l123',2(21〃+1)<*<£,只须/<£,即心

7T

证明因为V£>o,mN=['-],当心N时，有I加生-3<£,所以lim网口=3

4e2〃+12«->«>2«+12

(2)limO.999…9=1

”个

分析要使[0.99•••9-1|=—二<£,只须一二<£,即〃>l+lg2_.

IO'』io，i&£

证明因为V60TN=[l+lgL],当V心N时，有|0.99…所以limO.999…9=1

四、设数列｛%｝有界又lim%=0,证明：limx,%=0.

n—>oon—

证明因为数列｛x“｝有界，所以存在M使有|x“|WW.

又lim%=0,所以V6),引VeN,当心N时，|<—.从而当心N时，有

〃-»ooM

瓦--0|=兄/14Mly所以limx„y„=o.

五、hmu=a,证明lim%|=|“|.并举例说明：如果数列｛历|｝有极限，但数列｛%｝未必有极

〃T8n〃一>8

限.

证明因为所以V。。,mNwN,当心N时，有〃一〃|<£,从而

\\un\-\a\\<\un-a\<8.

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这就证明了lim|H„|=|«|.

数列｛%|｝有极限,但数列｛x〃｝未必有极限.例如但lim(-1)"不存在.

“TOOn-x®

§3函数的极限

一是非判断题

1、如果/(Xo)=5,但/(4-0)=〃/+0)=4,则lim/(x)不存在。[X]

2、lim/(x)存在的充分必要条件是lim/(x)和lim/*)都存在。[X]

X-X->-oO

3、如果对某个£〉0,存在b〉0,使得当0<|x—x0|<b时，有|/(x)—A|<£，那末

lim/(x)=A.[X]

4、如果在公的某去心邻域内，/。)〉0,且1加/(》)=4,那末4〉0.[X]

5、如果lim/(x)=A且A〉0,那么必有X>0,使x在[-X,X]以外时/(x)〉0.[4]

二.单项选择题

1、从lim/(x)=1不能推出C.

1X0

(A)lim/(x)=l(B)/(xo-O)=l(C)/(x0)=l(D)lim[/(x)-l]=0

x->xo+O.v->.r0

2、/(x)在x=X。处有定义是lim/(x)存在的___D„

(A)充分条件但非必要条件；(B)必要条件但非充分条件

(C)充分必要条件；(D)既不是充分条件也不是必要条件

3、若喏,g(x)=*则—C

(A)/(x)=g(x)(B)lim/(x)=g(x)

X->1

(C)lim/(x)=limg(x)(D)以上等式都不成立

X->1X->1

4^limf(x)=lim/(x)是lim/(x)存在的___C。

X->Xo-OXfo+OXT*0

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（A）充分条件但非必要条件；（B）必要条件但非充分条件

（C）充分必要条件；（D）既不是充分条件也不是必要条件

三、根据函数极限的定义证明

l-4x3

(1)lim=2

2*+1

分析I；'I--2|=|1-2X-2|=2|X-(-^-)|,要使|-■-2卜£，只须

4人IJL乙乙人"I1乙乙

11.1_4r3।

证明因为Te>0,33=-s,当0<|x—(—―)|<b时，有-------2<£,所以

2212x+l1

1-4-

lim

户+1

(2)

2x2

1+x3-X3卜力要的1+x31<£,只须」<£,即

分析1I3

2x322x32x~22|婷

证明因为当|x|>X时，有|£•二|<£，所以limW[=L

匹'2x321…2x32

\x\

四、求limU

Xf0x

解lim(p(x)=lim—=lim—=-l,

xf(T^->0-X^->0-X

lim°(x)=lim--=lim—=1,

A->O+x->o+xx->0+x

limQ(x)wlim(p(x),

XT。-XT0+

所以极限lim^（x）不存在.

x->0

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五、lim/(x)=A,limg(x)=B,且8>4证明存在点与的某去心邻域,

XT/XT/

使得在该邻域内g(x)>/(%).

B—A

证：取£=-----，由lim/(x)=A可知

2xf

存在a>o,使当0<(彳一/(<可1时，有

\f(x)-A\<s,即

又limg(x)=B，可知存在&〉。，

使当0<k_尤0|<当时,有

A4-R

|g(x)—8|〈&即8(外>工一

取S=min{b],2},则当0<k-x(J<加寸

有/(x)<-y-<g(x)

§4无穷小与无穷大

一、是非题

1、零是无穷小。N]

2、■!"是无穷小。[X]

X

3、两个无穷小之和仍是无穷小。[4]

4、两个无穷小之积仍是无穷小。[4]

5、两个无穷大之和仍是无穷大。[X]

6、无界变量必是无穷大量。[X]

7、无穷大量必是无界变量。N1

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8、。,£是》―与时的无穷小，则对任意常数A、B、C、D、E,

22

Aa+Ba/3+C/3+Da+E夕也是x—>x0时的无穷小。

1、若x是无穷小，下面说法错误的是Co

（A）x2是无穷小；（B）2x是无穷小；（C）x—0.000001是无穷小；（D）-x是无穷

小。

2、在x-0时，下面说法中错误的是C。

（A）是无穷小（B）xsin^是无穷小（C）!sin』是无穷大；（D）」是无穷大。

xx

3、下面命题中正确的是一D<,

（A）无穷大是一个非常大的数；（B）有限个无穷大的和仍为无穷大;

（C）无界变量必为无穷大;（D）无穷大必是无界变量。

4、若lim/（x）=A（A为常数），则当XfX。时，函数/（x）-4是/

A.无穷大量；B.无界，但非无穷大量；

C.无穷小量；D.有界，而未必为无穷小量.

5、若lim/（x）=8,limg（x）=8,则下式中必定成立的是D。

A.lim[/(x)+g(x)]=8;B.lim[/(x)-g(x)]=0;

X-X-

C.lim"*)=cw0;D.limkf(x)=<x),(k0).

6、下列叙述不正确的是B。

A.无穷大量的倒数是无穷小量；

B.无穷小量的倒数是无穷大量；

C.无穷小量与有界量的乘积是无穷小量；

D.无穷大量与无穷大量的乘积是无穷大量。

7、下列叙述不正确的是£.

4无穷小量与无穷大量的商为无穷小量；

B.无穷小量与有界量的积是无穷小量；

C.无穷大量与有界量的积是无穷大量；

D.无穷大量与无穷大量的积是无穷大量。

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三、已知：lim〃(x)=oo,lim〃(x)y(x)=An0,问limy(x)=?为什么？

XTX。XTX。XTx0

证：limv(^)=0

Xf而

因为：limv(x)=lim=lim---•v(x)w(x)

rf与〃(1)w(x)

=lim---limv(x)w(x)=0•A=0

XfXoXfXo

四.证明函数y=XCOSX在(0,+8)内无界，但当Xf+8时，这函数不是无穷大。

证：因为VM〉0,在(-8,+8)内总能找到这样的儿使得双划>标例如

y(2Z不)=2k»cos2Z乃=2左1(女=0,1,2,•••),

当攵充分大时;就旬)，(2k»)|>M.所以，函数y=xcosx在(-8,+8)内无界.

因为DM>0,找不到这样一个时刻N,使对一切大于N的羽都有|y(_r)|〉M.例如

TT7TTT

y(2k乃+;)=(2%乃+5)cos(2jbr+m)=0伙=0,1,2,・••)，

TT

对任何大的N,当女充分大时，总有x=2jbr+1>N,但伏x)|=0<M.所以，当xf+8时，函

数y=xcosx不是无穷大.

§5极限的运算法则

一、是非题

,1+2+3+…+”1..2..n,

]、lim---------------------—lim—-+lirn—-+4-lini-T-=0.[/\]

M—>oo几〃一>QO匕n—>oc〃n—>oo"

2、limxsin—=limx.limsin—=0[X]

0]xf0x-»0*

3、若1而也存在，且limg(x)=O,则可断言lim/(x)=0[«]

3一与8(X)A*%XT"。

二、单项选择题

1、设有两个数列｛%｝也｝，且lim3“-a“)=0,则D

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4｛4｝,也｝必都收敛，且极限相等;

氏｛%,｝,｛〃｝必都收敛，但极限未必相等；

C.｛%｝收敛,而也｝发散;

。｛q｝和也｝可能都发散，也可能都收敛.

2、设有两命题:_A_。

命题甲：若lim/(办limg(x)都不存在，则lim[/(x)+g(x)]必不存在；

L

A->X0X->A0」

命题乙：若lim/(x)存在，而limg(x)不存在,则lim/(x)-g(x)必不存在。

XT与X—>.r0XT*o

则A.甲、乙都不成立；B.甲成立，乙不成立；

C.甲不成立，乙成立；D甲、乙都成立。

三、计算下列极限

-2x+1

(1)lim

X->1》2—1

X2-2.V+1(XT)2

解崛NT=!吧蒜士丁崂岩二殳。

(2)lim--------

-x-1

N—l

解lim=lim

XTOO2x2-x-lXToo12

(3)lim(l+—+—+--4--)

724T

解lim(l+《+!+…+[)=lim=2

“T8242〃H->0014

(4)四+"+3]

f05n'

解iim(»+l)(»+2)(^+3)=l(分子与分母的次数相同，极限为最高次项系数之比).

或Hm("+1)(〃+2)("+3」iim(l+l)(l+2)(i+2)=l

85n358nnn5

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(5)求lim+三」之值.

J4+/+2X-2

,Vl+x2-13+____-____

3H----------D十I22

解：原式=lim----/*---=lim---"1+尤+1=_

口V4+X2-23°2，X2

mx2+ax+bc#,

四、设lim---------=3,求〃和rnb.

3x-1

解由题设可知lim。;？+〃x+b)=0,/,l+a+b=O

x1+ax+h1.x2+ax-a-1-x+l+〃2+。

lim---------=lim------------=lim-------=-----=3

11x-1(x-l)(x+l)J(x+1)2

a=4,b=-5

,证明：lim更D=0.

五、设x->x()时，/(%)->oo,g(x)->A(A是常数)

f0/(x)

证因得二g(力1

lim^(x)=A,即g(x)在尤。的某去心命域内有界

lim---=0,即一--是当xfX。时的无穷小，故lim=0

-%/(X)/(x)"T8〃X)

§6极限存在准则，两个重要极限

一、是非题

1、limy,,=limz“=a,且当n>N时有y“4x“Az.,那么limx“=a.[«]

/I—>00H—>OCX—>OC

2、如果数列居满足：⑴心va(〃=12..M为常数(2)Xn>%+l(〃=/,2...).则心必有

极限[X]

sinx

3、lim----=1[X]

**x

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4、lim(l+-)"=1[X]

“TOO〃

5、lim(l+x)x=oo[X]

x->0

二.单项选择题

1、下列极限中，极限值不为0的是^

/.、「arctanx,一、..2sinx+3cosx..-1lim^^

(A)hm-------(B)lim--------------(C)limx2sin-(D)

XT8第Xx->0XA->°X+x

2、若，(x)>/(x),且lim/(x)=A,lim0(x)=3,贝lj必有^

(A)A>B(B)A2B(C)|A|>B(D)|A|2iB

3、lim(l+-)H+1000的值是A.

X-XCn

(A)e(B)e,00°(C)e•e1000(D)其它值

「tanx八

4、lim----=B_______o

xmsinx

(A)l(B)-1(C)0(D)oo

5、lim(xsin---sinx)-A。

xx

(A)-1(B)l(C)0(D)不存在

_t_a_n_b_;Y>Q八

6、匆(x)=A-'，且lim〃x)存在，则攵的值为[C]

x->0

x+3,x<0

Al；B.2；C.3；DA.

7、已知lim场3,则出的值为[D]

°x(x+2)

3

A.—3；B.—；C.6；D.—6.

2

8、极限lim-=[C]

XT乃X一九

A.l；B.O；C»—1；D.oo.

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9、极限1而(34丫"的值是[D]

Xf00(2x+l)

AA；B.e；C.e,；D.e~2.

10>下列等式成立的是[B]

2i

22jt2

Alim(l+±)2*=e；及lim(l+-)=e；

XT8尤XTOOJQ

C.lim(l+-)'+2=e2；D.lim(l+-)x+,=e2.

8XXf8X

£

11、已知lim(l+丘>=&,则4的值为[C]

x->0

A.l；B.—1；C.—；D.2.

2

三.计算下列极限

(1)

Dxsinx

解法一Hm上空空Tim上/=lim出哈=21im(迎人2.

,rTOxsinxA->0x2K-»0X2xfOX

解法二limlzeos2x=Hm2sir1^=21imsinx=2

x->oxsinx入一。xsinxx->ox

(2)lim曳生；

XTOX

解lim重生=31im皿•一^=3

XT。xNfO3xcos3x

(3)lim(l-x)；;

A->0

解lim(l-x)^=lim[l+(-x)]<-x)(0={lirn[l+(-x)]^-x)}-1=e~l.

(4)1油(小士户；

X-KOX

解lim(2)2,4lim(l+U*?=e2

KTOOXXT8X

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四、利用夹逼准则证明：limn(-J—+^—+,,,+—1—)=1；

«-x»nz+27Tnz+n7r

证明因为

n2/111\n2

-........<ni———+———+…+—-------i<——

n2+n/rn2+7rn2+2^n2+n7r/i2+^

.M2M2

而lim-------=1,lim------=1,

“foo〃2+〃乃“*几2+4

所以lim/?(——+.1+…——)=1・

n3n2+7T"2+24n2+n7T

四、数列也，h+6,J2+J2+拒，…的极限存在;

证明x、=6,x„+l=V2+x„(n=l,2,3,­••).

先证明数列｛x.｝有界.当"=1时7=收<2,假定"=k时必<2,当"=«+1时,

xi+i=J2+X&<V2+2=2,

所以x„<2(n=l,2,3,…)，即数列““｝有界.

再证明数列单调增.

2+x„-x^~(-y,,-2)(x„+l)

x.+1-x.=j2+x”

,2+x“+x“yj2+xn+xn

而x,-2<0,xn+l>0,所以x,l+i-x„>0,即数列｛x“｝单调增.

因为数列｛x“｝单调增加有上界，所以此数列是有极限的.

五、设％,4是两个正数，令a"+|=J。也,%=""丁"，(〃=1,2,…),

证明：lima“存在,lim2存在，且lima“=limb”

"—>8"T8"―>8"TQO

/—：-%+b]

a2-&<——-——=b2,・••

%+1=<弩=%

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故对一切w有<bn

=曰及2扃=%

"+i22

即｛%｝单调增，物,｝单调减

于是有肪=/+4…2池4如<-<b2<^

即同｝有上界/｛2｝有下界口

从而lima“与lim”都存在。

〃TcO”―>8

设lima〃=A,\\mhn-B

〃T8"TOO

则由limb,"]=lim""得6='：，

/I—>007J—>0022

从而A=B

§7无穷小的比较

一、是非题

1、a,是同一极限过程中的无穷小，且a〜£,£〜了,则必有a~7。[«]

、八2•tanx-sinxx-x八

2、：犬-0时sinx〜x,；.hm---------------=hm—―=0[rX

XissinxXTOx

COWX

3、已知lim——=1,由此可断言，当xf0时,cosx与（1—x）为等价无穷小。[X]

1。1-x

4.当X—>0时，sin3x与e*-l是同阶无穷小。[4]

5.当x-1时，1一正是x-l的高阶无穷小。[X]

二、单项选择题

1、%-*0时，1—cosx是x2的Bo

（A）高阶无穷小（B）同阶无穷小，但不等价（C）等价无穷小（D）低阶无穷小

2、当工一0时，（1—cosx）2是sin2x的A。

（A）高阶无穷小（B）同阶无穷小，但不等价（C）等价无穷小（D）低阶无穷小

3、如果X-8时,——是比」一高阶的无穷小，则。也c应满足一c。

ax+bx+cx+1

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(A)a-0,b=l,c=1(B)a=O,b=l,c为任意常数

(C)为任意常数(D)。也c,都可以是任意常数

4、工-»1时与无穷小1-不等价的是—Co

(A)—(1-x3)(B)—(1-Vx)(C)—(1-x")(D)1-Vx

5.下列极限中，值为1的是—Co

…「resinx小、[.7rsinx/、..7Csinx小、「7rsinx

(A)hm---------(B)hm---------------(C)lim-----------------(D)hm--------------------

XT82X1。2XXT三2XXT42X

2

6、极限1面色吐普的值为[C]

X

A.O；B,—C,—D.oo.

62

7、极限liml—c°s3*的值为①]

xsin3x

173

40；B.-；C.-；D.~.

632

三、设当x—>0时，(l-cosx)ln(l+x2)是比xsinx"高阶无穷小；而xsinx"又是比

(e*-1)高阶的无穷小，求n。

解：当x-0时，(1-cosx)ln(l+x2)~^-x4xsinx"~x"+'e'-l〜x2

由4>〃+1>2可知”+1=3,故”=2

四、若xf/时，a(x)与名(X)是等价无穷小，a(x)与"x)是同阶无穷小,

但不是等价无穷小，证明：a(x)-£(x)与%(x)-例x)也是等价无穷小。

证：因伏%)与a(x)是同阶无穷小，而不是等价无穷小

故lim,=A,A1

a(x)

专业班级一姓名学号成绩时间1

10

则lim0⑶一伙幻.=iim--、。埠不(•"")=上工=]

4fo。](X)-夕(X)9%%(x)_0(x)I-A

a(x)a(x)

§8函数的连续性与间断点

是非题

1、/(x)在其定义域(a,b)内一点xo处连续的充分必要条件是/(x)在xo既左连续又右

连续。[Y]

2、/(x)在xo有定义，且lim“X)存在，则“X)在xo连续。[X]

3、/(x)在x=x()无定义，则/(X)在xo处不连续。[4]

4、设/(x),g(x)为连续函数，试证明M(x)=Max{/(x),g(x)他是连续函数.[]

[4]因M(x)=Max{〃x),g(x)}

=+g(x)]+；|/(X)_g(x)|

已知/(x),g(x)为连续函数，故f(x)+g(x),f(x)-g(x)

均为连续函数，从而|/(x)-g(x)|是连续函数

所以有：

M(x)=1[/(x)+g(x)]+1|/(x)一g(x)|是连续函数

5、若已知极限lim[/(〃+x)-/(a-x)]=0,则”x)在x=a处连续。[]

A->0

[X]不能

例如：/(%)=—,a=0

专业班级一姓名学号成绩时间

虽有lirn[/(O+x)-/(O-x)]=-5)

=0

但/1(x)=4在工=0处不连续

X

6、若/(X)在/处连续，°(x)=/(x)g(x)在公处也连续，则g(x)在与处也连续。[]

例：/(x)=sin2x在x=0处连续

1,当x=0

g(x)=<1号八

一,当x=0

[X]x,但g(x)在x=0处不连续

0,当x=0

9(x)=/(x),g(x)=(1.2山八

—sinx,当x*0

.X

9(x)=/(x)g(x)在x=0处连续

单项选择题

1、/(x)在点x0处有定义是f(x)在点x=X。连续的A

(A)必要条件而非充分条件(B)充分条件而非必要条件

(C)充分必要条件(D)无关条件

2、lim/(%)=/(%)是/'(x)在x=x0连续的一C--------。

(A)必要条件而非充分条件(B)充分条件而非必要条件

(C)充分必要条件(D)无关条件

3、x=0面(x)=sinx-sin—的A。

x

(A)可去间断点(B)跳跃间断点(C)振荡间断点(D)无穷间断点

4、x-\"<：,则彳=1是/1(幻的——A------

2x,x>l,

(A)连续点(B)可去间断点(C)跳跃间断点(D)无穷间断点

专业班级—姓名学号成绩—时间1

sinjv门

XH-------,X<0,

X

5、/(x)=b,x=0,贝卜=0邺(x)的-----0------------。

xcos—,x>0,

(A)连续点(B)可去间断点(C)跳跃间断点(D)振荡间断点

6、设函数f(x)=(1-x)cot\则定义/(0)为—A时/(x)在工=0处连续

(A)-(B)e(C)-e(D)无论怎样定义/(O),/(x)在x=0处也不连续

e

7、函数/(x)=I、x*0,在》=0点的连续性是(C)

1,x=0

A.连续；B.左连续，右不连续；

C.右连续，左不连续；D.左右都不连续.

ex+cosx,x<0

2。+厂，x>0

若/(x)在x=0处连1续，贝必的值等于(B)

A.2B.lC.%

9、若函数/(x)=,'sin?，在x=0点连续，则&的最大的取值范围是(C)

0,x=0

A.k>\B.k>0C.k>0D.K>\

71

cos—X

10、即(x)=—2—,且x=0,1为/(x)的二个间断点，则间断点的类型为(C)

次(九一1)

A.x=0,x-l都是第一类间断点；

氏x=0为第一类间断点，x=l为第二类间断点；

C.x=0为第二类间断点，x=l为第一类间断点；

D.x=0,x—l都是第二类间断点.

三、判断下列函数在指定点处的间断点的类型，如果是可去间断点，则补充或改变函

数的定义使其连续。

专业班级一姓名学号成绩时间1

x2-1

(1)V=--------------x=l,x=2

x2—3x+2

2

解y=-T=(x+l)(xT)因为函数在x=2和x=l处无定义，所以x=2和x=l是函数

X2-3X+2(X-2)(X-1)

的间断点.

因为limy=lim—.............=8,所以x=2是函数的第二类间断点；

2

12x->2x-3x+2

因为limy=limG±ll=_2,所以是函数的第一类间断点，并且是可去间断点.在

XT1A->1(X-2)

户1处，令y=-2,则函数在x=l处成为连续的.

X71

(2)y=­:—x=k〃x=k7r+—(k=0,±1,±2---)

tanx2

解函数在点4eZ)和x=k/r+5(keZ)处无定义，因而这些点都是函数的间断点.

因lim」一=8(麻0),故x=k双后0)是第二类间断点；

tanx

因为lim'=1,lim上一=0(keZ),所以x=0和x=攵乃+2(k6Z)是第一类间断点

.♦otanx—.qtanx2

且是可去间断点.

令y|x=o=l,则函数在x=0处成为连续的；

令x=kn+工时,)=0,贝U函数在％=左万+2处成为连续的.

22

四、讨论函数/(x)=lim匕阜x的连续性，若有间断点，判别其类型.

“T81+X

一X国>1

八四1一九

解3bH0|x|=l

xkl<i

在分段点X=-1处，因为limf(x)=lim(-x)=l,limf(x)=limx=-l