仿真模拟卷01-2022年高考数学仿真预测模拟试题（全国卷理科）（解析版）

2022年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置

上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号

涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将

答案写在答题卡上。写在本试卷上无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选

项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知集合4={工,2一3%-4<0},S={x|2-x>0},则4nB等于()

A.{x|-l<x<2|B.{x[2<x<4}

C.{x[l<x<2}D.{x[0<x<2}

【答案】A

【解析】

【分析】

解不等式确定集合A3,然后由交集定义计算.

【详解】A={x|—1<x<4},B={x|x<2},AoB-(x|—1<x<21.

故选：A.

2.已知函数〃x)=/J则函数,'-I)的定义域为()

v2-4x+1

A.(—8,1)B.(—co,—1)

C.(-oo,-l)U(-l,0)D.(-oo,-l)U(Tl)

【答案】D

【解析】

【分析】

先求得函数/（X）的定义域，再运用复合函数的定义域求解方法可得选项.

【详解】因为也、4「所以2■'-4'>0解得x<0,所以函数/（X）的定义域为

（-00,0）,

所以函数/（"T）需满足x—1<0且x+lwO,解得X<1且xw—1,

x+l

故选：D.

3.等比数列｛4｝的前〃项和为5“，已知4a5=24，且％与2%的等差中项为I"，则

S5=（）

A.29B.31C.33D.36

【答案】B

【解析】

aiQaiQ=2a】g1

q=

试题分析：设等比数列｛4｝的苜项为用，公比为q，由题意知,.5，解得，2，所

a?+2qq、=2x—

.—=16

以Ss=&产2=31,故选B.

1-9

考点：等比数列通项公式及求前〃项和公式.

4.如图，网格上纸上小正方形边长为1,粗线是一个棱锥的三视图，则此棱锥的体积为

A.4JJB.-C.-D.2>/3

【答案】C

【解析】

【详解】

【分析】

试题分析：该棱锥如图，E-ABCD,它可以看作是从正方体中截出的一部分，其体积为

考点：三视图，体积.

5.下列函数中，最小正周期为万且图象关于原点对称的函数是()

A.y=cos(2x+/1B.y=sin(2x+/

C.y=sin2x+cos2xD.y=sinx+cosx

【答案】A

【解析】

【分析】

求出函数的周期，函数的奇偶性，判断求解即可.

【详解】解：y=cos(2t+—)=-sin2x,是奇函数，函数的周期为：n,满足题意，所以4

正确

TT

y=sin(2r+5)=cos2r,函数是偶函数，周期为：n,不满足题意，所以8不正确；

产sig+cos2x=0sin(2x+(),函数是非奇非偶函数，周期为m所以C不正确；

y=siiu+cosx=^sin(x+-^),函数是非奇非偶函数，周期为2m所以。不正确；

故选A.

6.若。>0,〃>0,怆。+怆〃=怆(。+〃)，则〃+〃的最小值为()

A.8B.6C.4D.2

【答案】C

【解析】

试题分析：由。>0力>OJga+lgb=lgCa+b),得lg(ab)=lg(a+b),即况)=。+6,则有1+g=l,

ab

所以a+b=(1+:Xa+b)=2+±+fN2+2j3.f=4,当且仅当a=b=2时等号成立，所以a+b的

abab\ab

最小值为4,故选C.

考点：1、对数的运算；2、基本不等式.

7.阅读如图所示的程序框图，则该算法的功能是()

A.计算数列｛2"T｝前5项的和B.计算数列｛2"-1｝前5项的和

C.计算数列｛2"—1｝前6项的和D.计算数列｛2"T｝前6项的和

【答案】D

【解析】

试题分析：第一次循环,得幺=Li=2;第二次循环：月=l-2xl/=31第三次循环：幺=l+2xl+2'xl/=4；

第四;欠循环：月=1-2+2：+21=5;第五次循环：月=1-2-2・-2；-2:，=6;第六次循环：月=1-2-2:+2'24+2’，

/=7>6,不满足循环条件，退出循环，输出么=1-2-2：-2=2*-2,即计篁数列F标》前6项的和，故选

D.

考点：循环结构流程图.

8.中华文化博大精深，我国古代算书《周髀算经》中介绍了用统计概率得到圆周率兀的

近似值的方法.古代数学家用体现“外圆内方''文化的钱币（如图D做统计，现将其抽象成

如图2所示的图形，其中圆的半径为2c772,正方形的边长为1CM,在圆内随机取点，若统

计得到此点取自阴影部分的概率是P,则圆周率兀的近似值为（）

【答案】A

【解析】

【分析】

根据几何概型的方法分析阴影部分占总面积的比值,列式求解乃的表达式即可.

【详解】圆形钱币的半径为2cs面积为s/=兀・22=4兀；正方形边长为1C肛面积为S=12=

1.

11

在圆形内随机取一点,此点取自黑色部分的概率是P=1——，则乃=——7.

4万4（1-/?）

故选：A.

9.设S,,是数列｛4｝的前“项和，满足。；+1=2“£,且可>0,则百皿()

A.10B.3vHc.io-3vnD.11

【答案】A

【解析】

【分析】

根据和项与通项关系将条件转化为s：-S3=1，再根据等差数列定义以及通项公式解得用,

即可得到结果.

【详解】a；+1=2a“S“a；+1=2alsa：=1an>0a｝=1

V4+1=2《,S"；.(S“-S„_,)2+l=2⑸-S,-电,(〃>2)

•••S：-S3=1,(〃N2)

因此数列｛S；｝为等差数列，首项为1,公差为1,

即S；+>0Sn>0Sn-4n

■-S|oo=1。

故选：A

2

10.已知双曲线c：l—方=13>0)的左、右焦点分别为"，F2,过户2的直线分别交

双曲线。的两条渐近线于点M,N两点.若点"是线段的中点，且N耳，N用，则

b=()

A.1B.6C.2D.6

【答案】D

【解析】

【分析】

根据已知条件判断出双曲线渐近线的倾斜角为60°,由此求得。的值.

【详解】因为OM是的中位线，所以OM//NF],

又由g，得。MJ_N居，从而△。叫是等腰三角形,

而ZMOF2=NNOF\,

所以ZMOF2=AMON=4N0F、=60°,

即渐近线y=bx的倾斜角为60°,因此匕=tan60。=8.

故选：D

11.张衡（78年~139年）是中国东汉时期伟大的天文学家、文学家、数学家.他的数学著作有

《算罔论》，他曾经得出结论：圆周率的平方除以十六等于八分之五.已知正方体的外接球

与内切球上各有一个动点A，B,若线段AB的最小值为百-1，利用张衡的结论可得该

正方体的外接球的表面积为（）

A.30B.loVlOC.12>/10D.36

【答案】C

【解析】

【分析】

设正方体的棱长为。，正方体的内切球半径为厂=二，正方体的外接球半径R=再已

22

知条件和球的表面积公式可得选项.

【详解】设正方体的棱长为。，正方体的内切球半径为厂=0,

2

正方体的外接球半径R满足：+(受a],则k二走必

⑶12J2

山题意知：R—r=BK-l，则。=2,R=也,

22

该正方体的外接球的表面积为12兀,

又因为圆周率的平方除以十六等于八分之五，即上=3,所以兀=J而,

168

所以外接球的表面积为12M.

故选：C.

12.已知定义(7,”)的奇函数，满足/(x)=/(2—x),若/⑴=1,则错误的是

()

A./⑶=1B.4是“X)的一个周期

C./(2018)+/(2019)+/(2020)=-1D./(x)的图像关于x=1对称

【答案】A

【解析】

【分析】

对于A，/⑶=—1，故A错误；对于5,/(x+4)=/(x),即4是f(x)的一个周期，

故8正确；对于C,/(2018)+/(2019)+/(2020)=-1,故C正确；对于。，的图象

关于x=l对称，故。正确.

【详解】对于A,/⑶=/(-1)=一./■⑴=—1，故A错误；

对于8,•.-/(x+4)=/[2-(x+4)]=f(-x-2)=-f(x+2),

而f{x+2)=f[2-(x+2)]=/(-x)=-/(%),

：.f(x+4)=f(x),即4是f(x)的一个周期，故8正确；

对于C，•••/(x)是奇函数，，/(0)=0,

又/(X)的一个周期为4,

,-./(2018)=/(2)=/(0)=0,7(2019)=/⑶=一1,/(2020)=/(0)=0,

.•./(2018)+/(2019)+/(2020)-1,故C正确；

对于O，■.■f(x)=f(2-x),.-./(x+l)=/[2-(x+l)]=/(l-x),

・••/(x)的图象关于X=1对称，故。正确；

故选：A.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知函数/(x)=(f—2)x'是幕函数，则曲线＞=1。&(%一。+，恒过定点.

【答案】(4,3)

【解析】

【分析】

根据"函&的定义求出，的值，代入Illi线V=10g,(X一/)+/中写出解析式，内求|川线)‘”这

的定点.

【详解】因为函数/(x)=«—2)£是幕函数，

所以f—2=l,f=3,

所以曲线〉=108,(*_。+.化为＞=1083(%—3)+3,

令x-3=1,解得x=4,

所以y=log31+3=3,

所以曲线＞恒过定点(4,3).

故答案为：(4,3).

14.14.已知尤＞0,y＞0,且4x-2肛+y=(),则4x+y的最小值为.

【答案】8

【解析】

【分析】

21,“21

由己知条件得出一+h=1,再将代数式4x+y与一+/相乘，展开后利用基本不等式可

y2xy2x

求得4x+y的最小值.

，-八4x+v211

【详解】由4%-2孙+y=。，得f—-=—+—=1，

2xyy2x

'2］、RY'V/Qv,

则4x+y=（4%+y）-+—=4+—+-^>4+2——^=8,当且仅当x=l,

2xjy2x\y2x

》=4时等号成立.

因此，4x+y的最小值为8.

故答案为：8.

15.已知经过点（1,0）的直线/与抛物线j/=4x相交于A，B两点,点。（一1,一1）,且

CA1CB,则AAbC的面积为.

【答案】上叵

2

【解析】

【分析】

y2=4x

设直线/：元=m>+1,联立〈，由CA-C5=0，利用韦达定理求得加，然后再求

x=my+1

得点C到I的距离及弦长IAB|求解.

【详解】设直线//=冲+1,

设点A（5,yJ,3（孙力）,联立“"，得_4/改一4=0,

x=my+l

则%+%=4机，乂%二-4，

则须+々=4%2+2,x}x2=1.

由题意知瓦.瓯=0，

所以（玉+1）（为+1）+（凹+1）（%+1）=（），

展开并代入化简得4m2+4团+1=0，

所以/〃=一L

2

所以/的方程为2x+y-2=0,

点。到/的距离为士=1=V5,

V5

|A6|=Vl+m2-1（必+必）2-4必必=J]*〃+16=5，

--d-\AB\=-xy/5x5=^-

所以

21122

故答案为：士叵

2

16.已知数列｛4｝的通项公式为%=2〃+2,将这个数列中的项摆放成如图所示的数

n

阵，记"为数阵从左至右的〃歹IJ,从上到下的〃行共〃2个数的和，则数列《丁卜的前2020

项和为

%

an+\

an+2

an+\an+2“2"-1

、1010

【答案】-----

2021

【解析】

【分析】

n

每行都是等差数列,分别求和（注意用第一行的S“表示），然后求出々，对广裂项后可求得

和$2020-

【详解】由题意，设数列MJ的前〃项和为s“.

V数列｛an｝的通项公式为an=2n+2,

，数列｛%｝是以4为首项，2为公差的等差数列.

...第1行的所有项的和即为：

n(n-i)?

q+。2----%=5〃=4〃+2~~-2=n+3几.

则第2行的所有项的和为：

q+/+,••+%+i=(4+d)+(%+[)+••・+(〃〃+d)=+nd；

第3行的所有项的和为：

%+%+•,,+4+2=(4+2d)+(3+2d)+…+(+2z7)=+2nd；

第〃行的所有项的和为：

a+a

nn+\+…+4，I=[4+(/l-l)j]+[«2+(〃-l)d]

+…++(〃—l)d]—StJ+(〃—1)；

hn=(q+%+•,,+q?)+(生+6+,,,+4?+i)

+(%+&+・一+4，+2)+…+(4+4用+…+W，I)

=S〃+(Sn+nd)+(S〃+2nd)+…+[S〃+(〃-1)]

=nS〃+[l+2d----F(〃—

/\(n-\\n

=〃，广9+377J+-~2・〃・2

=2n2(〃+l).

n_n_11、

bn2〃2(〃+l)2〃+1)2\nn+l；

，数列《丁n》的前2020项和为

l^J

1010

2021

1010

故答案为:

2021

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21为

必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.

(一)必考题：共60分.

17,已知等比数列｛4｝的公比大于1,且满足4+4=90,4=27.

(D求｛g｝的通项公式；

⑵记bn=log,a„,求数列｛a“(bn+1)｝的前〃项和7；.

【答案】⑴勺=3"，(2)7；=；(2〃-1>3"+：

【解析】

【分析】

⑴设｛为｝的公比为q(q>l)，依题意得到方程组，解得即可；

⑵由⑴知a,=3"T,所以么=咋3%=〃-1,从而a,,(2+l)=〃3i,再利用错位相

减法求和即可；

【详解】解：⑴设｛可｝的公比为鼠4>1),因为%+%=90，%=27

而""4+"4=9°

所以《.,

axc[-27

两式相除，得匕二=3，整理得3d-10q+3=0,

q3

结合4>1，解得q=3,

27271

所以4=不=m=1,所以勺=3〃」.

q，

⑵由知a„所以勿=

（1）=3"T,log3a“=〃-1,

从而an（4+1）="♦3"T,

所以7；=以3°+2乂3|+3乂32+1+〃31,①

两边同乘以3,得37；=lx3i+2x32+3x33+L+〃-3”,②

由①-②，得一27；=3°+3+32+L+3'"-〃-〃—g,

所以北=；（2“_1>3”+；.

18.如图，在梯形ABCO中，AB//DC,ZABC=60°,FC_L平面A8CD,四边形

V3

ACEE为矩形，点M为线段EF的中点，且AT>=CD=BC=1,CFV

(1)求证：平面3CMJ_平面AA/C；

(2)求平面MAB与平面FCB所成锐二面角的余弦值.

【答案】(1)证明见解析：(2)好.

5

【解析】

【分析】

(1)依题意可得4。，8。、FCYBC,即可得到3CJ_平面ACFE,即8C_L平面AMC,

再根面面垂直的判定定理即可得证；

(2)以C为坐标原点，分别以直线C4，CB,CF为x轴、N轴、z轴建立空间直角坐标

系，利用空间向量法求出二面角的余弦值；

【详解】（1）证明：在梯形48c。中，AB//DC.ZABC=60°,AD=BC,

所以NZMB=60。，ZACD^ZCAB,

又AZ>=C£），所以ND4C=ZAC。，

所以NZMC=NC4B=30°,

所以NACB=90°,所以AC_L3c.

又尸CJ_平面ABC。，BCu平面ABC。，所以ECJ_8C，

因为ACcFC=C,AC,FCu平面ACFE,

所以BCL平面ACFE,即3CL平面AMC.

又BCu平面BCM，则平面BCM，平面AMC.

（2）解：由（1）知C4,CB,CF两两垂直，

所以以。为坐标原点，分别以向线C4，CB,CF为x轴、>轴、z轴建立空间直角坐标

系,

。，CF=

因为8c=1,ZABC=60叵,

2

所以4C=J$,所以A（J5,0,0）,8（0,1,0）

所以罚=（一G,l,o）,AM

设q=（%y,z）为平面也AB的一个法向量,

-A/3JC+y=0

伍•通=°俎

由，可磁=0，得

-----z=0

I-----2--x-\2

“，V-百X

解得《,取％=1,则%=(1,6』).

z-X

因为为=(1,0,0)是平面FCB的一个法向量,

设平面MAB与平面FCB所成锐二面角为3，

用.即=1

所以cos。=

19.某网游经销商在甲地区5个位置对“电信”和“网通”两种类型的网络在相同条件下进行

游戏掉线测试，得到数据如下:

ABcDE

电信438612

网通57943

(1)如果在测试中掉线次数超过5次，则网络状况为“糟糕”，否则为“良好”，那么在犯错误

的概率不超过0.15的前提下，能否说明游戏的网络状况与网络的类型有关?

(2)若该游戏经销商要在上述接受测试的电信的5个地区中任选3个作为游戏推广，求A、

8两个地区同时选到的概率;

(3)在(2)的条件下，以X表示选中的掉线次数超过5个的位置的个数，求随机变量X的

分布列及数学期望.

n(ad-bc)~

参考公式：K2=

(a+b)(c+d)(a+c)(Z?+d)

P(K2>k.)0.500.400.250.150.100.050.0250.010.0050.001

k。0.460.711.322.072.713.845.0246.6357.87910.828

【答案】(1)不能；(2)本3；(3)分布列见解析，1.8.

【解析】

分析】

⑴写出列联表计算出K?可得结论；

(2)求出任选3个的方法数，以及A8同时选到的方法数，然后可计算概率;

(3)随机变量X的所有可能取值为I，2,3,计算出概率，得分布列，再根据期望计算期

望.

【详解】(1)根据题意列出2x2列联表如下:

位置

糟糕良好合计

类型

电信325

网通235

合计5510

^2=10（4-<=10x25=04<207,

5x5x5x525x25

故在犯错误的概率不超过0.15的前提下，不能说明游戏的网络状况与网络的类型有关.

r'3

(2)依题意，所求概率P=U=G.

(3)随机变量X的所有可能取值为I,2,3,

尸等卷;3=2)=等=|；尸—3咦哈

故X的分布列为

X123

331

P

10510

33i

/.E（X）=lx—+2x-+3x—=1.8.

'/10510

20.已知椭圆C:0+/=l(a>〃>O)过点顺次连接椭圆四个顶点得到的四

边形的面积为46，点P(l,0).

(1)求椭圆C的方程.

⑵已知点A(4y)，8(%,%)是椭圆C上的两点.

(i)若斗=々，且为等边三角形，求的边长；

(ii)若%工超，证明：△PA8不可能为等边三角形.

【答案】(1)三+二=1；(2)(i)24-6&或24+延;(ii)证明见解析.

431313

【解析】

【分析】

(1)由椭圆面积得2ab=46，再把点的坐标代入可求得得椭圆方程；

(2)(i)由对称性，得出直线丛,尸8的方程，求出AB的横坐标，即可得三角形边长.直

线斜率存在.

(ii)设直线AB-.y=kx+m,AB中点为。(不，为)，直线方程与椭圆方程联立方程组消元

后应用韦达定理得中点2的坐标，再由PQ_LAB求出左，机的关系，代入得出。点坐标，

在椭圆外不合题意.完成证明.

19

【详解】⑴依题意，=+F=1，2ab=4四，

a4h-

联立两式，解得〃=4，6=3，

22

故椭圆。的方程为三+二=1.

43

(2)(i)由玉=马且为等边三角形及椭圆的对称性可知，

直线PA和直线PB与X轴的夹角均为30°,

3x2+4y2=12

由〈，也,、，可得13/一8x-32=0.

3=苧CM

.4±1273

••X=----------------，

13

△尸他的边长为号工即竺二述或生还.

V31313

（ii）因为M力々，故直线AB斜率存在.

设直线AB：y=Ax+，〃，AB中点为。（玉）,先），

联立＜3"+"=12,消去＞得（3+4女2）/+85a+4利2_i2=0,

y=kx+m17

由△＞（）得到/＜3+4F,①

所以罚+%2=—3+4/2、乂+%=3+々）+2.=3+47，

所“以4/一二4k花m'彳3/记n）、

又尸。,0），若为等边三角形，则有PQLAB，

3m

即怎0xL=-l,即一斗止—X/:=-1,

’4km

------1

3+4公

化简得4k2+3=—km，

山②得点Q坐标为（4,-"不合题意.

故△B4B不可能为等边三角形.

21.己知函数/(x)=e…一xlnx—(a-l)x—1,aeR,e=2.718…为自然对数的底数.

(1)若a=l,证明：(x-l)/(x)20；

（2）讨论/（x）极值点个数.

【答案】(1)证明见解析；(2)答案见解析.

【解析】

【分析】

⑴由。=1,则/(x)=-xInx-1,f'(x)=一Inx-1(x>0),令g(x)=ex~'-x,

用导数法得到el>x，从而得到fM在(0,+8)上单调递增，结合/(I)=0,得到xe(0,1)

时，f(x)<0；xe(l,+oo)时，/(x)>0证明；

⑵求导r(x)=e""Tnx—a(x>0),令〃(x)=/'(x),分aWl和结合零点存在

定理求解.

【详解】⑴若。=1,则./Xx)=ei—xlnx—l,f,(x)=ex-'-inx-l(x>0)

令g(x)=ex~'-x,贝ijg'(x)-ex~'-1

当xe(0,l)时，g'(x)<0,g(x)在(0,1)上单调递减；

当xe(l,+8)时，g'(x)>0,g(x)(l,+o。)上单调递增；

xX

因此g(x)2g(l)=0,BPe~>x；也有了一12111了(》>0),

所以当°=1时-，/,(x)=^-'-lnx-l>x-(x-l)-l=0,

所以/(X)在(0,+8)上单调递增；

又因为/(1)=0,

所以,当X€(0,l)时，/(X)<0；当XG(1,+OO)时，/(无)>0；

所以(X—1)1320.

⑵由题意知/'(x)=ei—lnx—a(x>0),

令/i(x)=/'(x),则/(幻=，-〃一］，

X

当aW1时，h(x)=f\x)-e*-"-\nx—a>ex~'-\x\x-a>ex~'-lnx-l>0.

所以/(X)在(0,+8)上单调递增，/(%)无极值点;

当a>l时,h'(l)=e'-a>0,且"(x)在(0，+8)上单调递增,

xa

故存在x0G(l,a)满足〃'(%)=e°---=0,

X()

因此e&-"=‘；a=x0+Inx0,

%

当》€(0,%)时，h'(x)<0,所以/z(x)在(0,%)上单调递减；

当xe(Xo，+oo)时,h\x)>0,所以//(x)在(x°,+8)上单调递增；

a

所以h(x)>/?(%)=e^~-lnx0-a=---x0-21nx0,

%

1,］2

再令。(工0)-----x0-21nx0,x0G(1,<7),(p(x0)=-----<0,

4%X。

所以奴修)在(La)上单调递减，且。3)〈。⑴=0,BPh(x0)<0,

因为力(e-")=e""-">0'又知e*T『x，x-l>lnx(x>0),

所以h(3a)=/"-ln3a-a>2a+l-ln3a-a=a+l-lna-ln3>2-ln3〉0,

所以存在％e(e-",Xo),々e(x(),3a)满足〃(内)=〃&2)=0，

所以当X€(0,%)时，ff(x)=h(x)>0,f(x)在(0,再)上单调递增；

当工€(石,%2)时，/'(X)=Kv)<0,f(x)在(%,％2)上单调递减;

当X€(%2，+8)时，f\x)=h(x)>0,/(x)在(々,+8)上单调递增；

所以，当。>1时，f(x)存两个极值点为

综上可知：当a«l时，/(X)不存在极值点；

当a>1时，f(幻存在两个极值点，

(-)选考题：共10分。请考生在第22、23题中任