专题5.2 二次函数的图像与性质（二）（六大题型）（解析版）

专题5.2二次函数的图像与性质（二）（六大题型）重难点题型归纳【题型1二次函数的配方法】【题型2二次函数的五点绘图法】【题型3二次函数的图像与各系数之间的关系】【题型4二次函数的平移变换】【题型5二次函数图像的对称变换】【题型6利用对称轴、顶点坐标公式求值】满分必练【题型1二次函数的配方法】【典例1】（2022秋•罗山县期末）用配方法将二次函数y＝x2﹣8x﹣9化为顶点式的形式为（）A．y＝（x﹣4）2+7 B．y＝（x﹣4）2﹣25 C．y＝（x+4）2+7 D．y＝（x+4）2﹣25【答案】B【解答】解：y＝x2﹣8x﹣9＝x2﹣8x+16﹣16﹣9＝（x﹣4）2﹣25，故选：B．【变式1-1】（2022•吕梁模拟）用配方法将二次函数y＝x2﹣4x﹣6化为y＝a（x﹣h）2+k的形式为（）A．y＝（x﹣2）2﹣2 B．y＝（x﹣2）2﹣10 C．y＝（x+2）2﹣2 D．y＝（x+2）2﹣10【答案】B【解答】解：y＝x2﹣4x﹣6＝x2﹣4x+4﹣10＝（x﹣2）2﹣10，故选：B．【变式1-2】（2022•山西二模）用配方法将二次函数y＝x2﹣2x﹣4化为y＝a（x﹣h）2+k的形式为（）A．y＝（x﹣2）2﹣4 B．y＝（x﹣1）2﹣3 C．y＝（x﹣2）2﹣5 D．y＝（x﹣2）2﹣6【答案】D【解答】解：y＝x2﹣2x﹣4＝（x﹣2）2﹣6，故选：D．【变式1-3】（2022•莆田模拟）将二次函数y＝2x2﹣4x+5的右边进行配方，正确的结果是（）A．y＝2（x﹣1）2﹣3 B．y＝2（x﹣2）2﹣3 C．y＝2（x﹣1）2+3 D．y＝2（x﹣2）2+3【答案】C【解答】解：提出二次项系数得，y＝2（x2﹣2x）+5，配方得，y＝2（x2﹣2x+1）+5﹣2，即y＝2（x﹣1）2+3．故选：C．【题型2二次函数的五点绘图法】【典例2】（2022秋•新罗区校级月考）已知：在平面直角坐标系中A（﹣1，0），B（5，0），C（0，5）；（1）在平面直角坐标系中画出△ABC；（2）画出过A、B、C三点的抛物线的大致图象．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）如图所示；△ABC即为所求；（2）过A、B、C三点的抛物线的大致图象如图所示．【变式2-1】（春•通州区校级期末）如表给出一个二次函数的一些取值情况：x…01234…y…30﹣103…（1）请在直角坐标系中画出这个二次函数的图象；（2）根据图象说明：当x取何值时，y的值大于0？【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）画图如图所示，（3）根据图象知，当x＜1或x＞3时，y＞0．【变式2-2】（秋•亭湖区校级期末）已知二次函数y＝（x﹣2）2﹣4．（1）在给定的直角坐标系中，画出这个函数的图象；（2）根据图象，直接写出当y＜0时x的取值范围．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）列表：x…01234…y…0﹣3﹣4﹣30…描点、连线如图；（2）由图象可知：当y＜0时x的取值范围是0＜x＜4．【变式2-3】（秋•北京校级期中）对于抛物线y＝x2﹣4x+3．（1）将抛物线的解析式化为顶点式．（2）在坐标系中利用五点法画出此抛物线．x……y……（3）结合图象，当0＜x＜3时，y的取值范围﹣1≤y＜3．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）y＝x2﹣4x+3＝（x2﹣4x+4）﹣4+3＝（x﹣2）2﹣1．∴抛物线的顶点式为故答案为：y＝（x﹣2）2﹣1．（2）列表：x…01234…y…30﹣103…函数图象如图所示：（3）根据函数图象可知：当0＜x＜3时，y的取值范围﹣1≤y＜3．故答案为：﹣1≤y＜3．【变式2-4】（秋•张家港市校级期中）已知二次函数y＝﹣（x﹣1）2+4，（1）用列表描点法，在所给的如图坐标系中画出这个二次函数的图象；（2）根据图象写出当y为正数时x的取值范围．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）填表如下：x…﹣10123…y…03430…（2）如图所示：当y为正数时x的取值范围为：﹣1＜x＜3．【题型3二次函数的图像与各系数之间的关系】【典例3】（2023秋•恩施市期中）直线y＝ax+b与抛物线y＝ax2+bx﹣ab在同一坐标系里的大致图象正确的是（）A． B． C． D．【答案】B【解答】解：选项A中，直线y＝ax+b中的a＞0，b＞0，抛物线y＝ax2+bx﹣ab中a＞0，b＜0，故选项A不符合题意；选项B中，直线y＝ax+b中的a＞0，b＞0，抛物线y＝ax2+bx﹣ab中a＞0，b＞0，﹣ab＜0，故选项B符合题意；选项C中，直线y＝ax+b中的a＞0，b＞0，抛物线y＝ax2+bx﹣ab中a＞0，b＞0，﹣ab＜0，而抛物线中﹣ab＞0，故选项C不符合题意；选项D中，直线y＝ax+b中的a＞0，b＞0，抛物线y＝ax2+bx﹣ab中a＞0，b＜0，故选项D不符合题意；故选：B．【变式3-1】（2023•灞桥区校级模拟）函数y＝ax+b和y＝ax2+bx+c在同一直角坐标系内的图象大致是（）A． B． C． D．【答案】D【解答】解：A、二次函数的图象开口向上则a＞0，一次函数的图象经过一、二、四象限，则a＜0，不一致，故A不合题意；B、二次函数的图象开口向上，对称轴x＝﹣＞0，则a＞0，b＜0，一次函数的图象经过一、二、三象限，则a＞0，b＞0，不一致，故B不合题意；C、二次函数的图象开口向下，a＜0，一次函数的图象经过一、三、四象限，则a＞0，不一致，故C不合题意；D、二次函数的图象开口向上，对称轴x＝﹣＞0，则a＞0，b＜0，一次函数的图象经过一、三、四象限，则a＞0，b＜0，一致，故D符合题意；故选：D．【变式3-2】（2023秋•东湖区校级月考）在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax2+k与y＝kx+a（a≠0）的图象可能是（）A． B． C． D．【答案】D【解答】解：A选项中，y＝ax2+k开口朝上，与y轴交点在原点下方，∴a＞0，k＜0，而y＝kx+a函数y随x增大而增大，与y轴交点在原点下方，∴k＞0，a＜0，∴A选项不符合题意；B选项中，y＝ax2+k开口朝上，与y轴交点在原点上方，∴a＞0，k＞0，而y＝kx+a函数y随x增大而减少，与y轴交点在原点上方，∴k＜0，a＞0，∴B选项不符合题意；C选项中，y＝ax2+k开口朝下，与y轴交点在原点下方，∴a＜0，k＜0，而y＝kx+a函数y随x增大而减少，与y轴交点在原点上方，∴k＜0，a＞0，∴C选项不符合题意；D选项中，y＝ax2+k开口朝下，与y轴交点在原点上方，∴a＜0，k＞0，而y＝kx+a函数y随x增大而增大，与y轴交点在原点下方，∴k＞0，a＜0，∴D选项符合题意；故选：D．【变式3-3】（2023秋•河东区月考）在同一坐标系中，一次函数y＝ax+a和二次函数y＝﹣ax2+3x+2的图象可能是（）A． B． C． D．【答案】D【解答】解：由题知，一次函数y＝ax+a过定点（﹣1，0），二次函数y＝﹣ax2+3x+2过定点（0，2）．当a＜0时，一次函数中y随x的增大而减小，此时抛物线的开口向上，且对称轴在y轴左侧．所以A和B都不正确．当a＞0时，一次函数中y随x的增大而增大，此时抛物线的开口向下．所以C不正确．故选：D．【典例4】（2023•石城县模拟）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示．下列结论：①abc＞0；②2a+b＝0；③m为任意实数，则a+b＞am2+bm；④a﹣b+c＞0；⑤若且x1≠x2，则x1+x2＝2．其中正确的有（）A．①④ B．③④ C．②⑤ D．②③⑤【答案】C【解答】解：①抛物线开口方向向下，则a＜0．抛物线对称轴位于y轴右侧，则a、b异号，即ab＜0．抛物线与y轴交于正半轴，则c＞0．所以abc＜0．故①错误．②∵抛物线对称轴为直线x＝＝1，∴b＝﹣2a，即2a+b＝0，故②正确；③∵抛物线对称轴为直线x＝1，∴函数的最大值为：y＝a+b+c；∴a+b+c≥am2+bm+c，即a+b≥am2+bm，故③错误；④∵抛物线与x轴的一个交点在（3，0）的左侧，而对称轴为直线x＝1，∴抛物线与x轴的另一个交点在（﹣1，0）的右侧，∴当x＝﹣1时，y＜0，∴a﹣b+c＜0，故④错误；⑤∵+bx1＝+bx2，∴+bx1﹣﹣bx2＝0，∴a（x1+x2）（x1﹣x2）+b（x1﹣x2）＝0，∴（x1﹣x2）[a（x1+x2）+b]＝0，而x1≠x2，∴a（x1+x2）+b＝0，即x1+x2＝，∵b＝﹣2a，∴x1+x2＝2，故⑤正确．综上所述，正确的有②⑤．故选：C．【变式4-1】（2023秋•中山市月考）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列4个结论：①abc＞0；②b2＞4ac；③a（m2﹣1）+b（m﹣1）＜0（m≠1）；④关于x的方程|ax2+bx+c|＝1有四个根，且这四个根的和为4．其中正确的结论有（）A．①②③ B．②③④ C．①④ D．②③【答案】B【解答】解：∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵抛物线对称轴为直线x＝1，∴﹣＝1，∴b＝﹣2a＞0，∵抛物线与y轴交点在x轴上方，∴c＞0，∴abc＜0，①错误；∵抛物线与x轴有2个交点，∴b2﹣4ac＞0，∴b2＞4ac，②正确；∵x＝1时函数取最大值，∴am2+bm+c＜a+b+c（m≠1），∴am2﹣a+bm﹣b＜0，即a（m2﹣1）+b（m﹣1）＜0（m≠1），③正确．∴由图象可得函数最大值大于2，∴ax2+bx+c＝1有两个不相等的实数根x1，x2，ax2+bx+c＝﹣1有两个不相等的实数根x3，x4，∵图象对称轴为直线x＝1，∴x1+x2＝2，x3+x4＝2．∴x1+x2+x3+x4＝4，∴④正确．故选：B．【变式4-2】（2023•深圳模拟）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，以下结论正确的个数为（）①abc＜0；②c+2a＜0；③9a﹣3b+c＝0；④am2﹣a+bm+b＞0（m为任意实数）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【解答】解：∵抛物线开口向上，∴a＞0，∵对称轴x＝﹣＝﹣1＜0，∴a、b同号，而a＞0，∴b＞0，∵抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴，∴c＜0，∴abc＜0，因此①正确；由于抛物线过点（1，0）点，∴a+b+c＝0，又∵对称轴为x＝﹣1，即﹣＝﹣1，∴b＝2a，∴a+2a+c＝0，即3a+c＝0，而a＞0，∴2a+c＜0，因此②正确；由图象可知，抛物线与x轴的一个交点坐标为（1，0），而对称轴为x＝﹣1，由对称性可知，抛物线与x轴的另一个交点坐标为（﹣3，0），∴9a﹣3b+c＝0，因此③正确；由二次函数的最小值可知，当x＝﹣1时，y最小值＝a﹣b+c，当x＝m时，y＝am2+bm+c，∴am2+bm+c≥a﹣b+c，即am2+bm﹣a+b≥0，因此④不正确；综上所述，正确的结论有①②③，共3个，故选：C．【变式4-3】（2023秋•惠阳区校级月考）已知经过点（﹣1，0）且对称轴为x＝1的二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，有以下结论：①abc＞0；②a﹣b+c＜0；③4a+2b+c＞0；④2a+b＝0；⑤3a+c＜0．其中正确结论有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【解答】解：∵抛物线开口向下，与y轴交于正半轴，∴a＜0，c＞0．∵对称轴是直线x＝1，∴x＝﹣＝1，∴b＝﹣2a＞0，∴abc＜0，∴①错误．∵当x＝﹣1时，y＝0．∴a﹣b+c＝0，∴②错误．∵当x＝2时，y＞0，∴4a+2b+c＞0，∴③正确．∵对称轴是直线x＝1，∴x＝﹣＝1，∴b＝﹣2a，∴2a+b＝0∴④正确．∵当x＝﹣1时，y＝0．∴a﹣b+c＝0，∴a+2a+c＝0．∴3a+c＝0，∴⑤错误．故选：B．【变式4-4】（2023秋•肇源县校级月考）已知，二次函数y＝ax2+bx+c图象如图所示，则下列结论正确的是（）①abc＜0；②2a+b＝0；③4a+2b+c＞0；④a+b≥m（am+b）（其中，m为任意实数）；⑤（a+c）2＜b2．A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【答案】D【解答】解：∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵抛物线对称轴为直线x＝1，∴﹣＝1，∴b＝﹣2a＞0，即2a+b＝0，②正确．∵抛物线与y轴交点在x轴上方，∴c＞0，∴abc＜0，①正确．∵x＝0时，y＞0，抛物线对称轴为直线x＝1，∴x＝2时，y＝4a+2b+c＞0，③正确．∵x＝1时y取最大值，∴a+b+c≥am2+bm+c，∴a+b≥m（am+b），④正确．由图象可得x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＜0，x＝1时，y＝a+b+c＞0，∴（a﹣b+c）（a+b+c）＝（a+c）2﹣b2＜0，∴（a+c）2＜b2，⑤正确．故选：D．【题型4二次函数的平移变换】【典例5】（2023•徐州）在平面直角坐标系中，将二次函数y＝（x+1）2+3的图集向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得抛物线对应的函数表达式为（）A．y＝（x+3）2+2 B．y＝（x﹣1）2+2 C．y＝（x﹣1）2+4 D．y＝（x+3）2+4【答案】B【解答】解：将二次函数y＝（x+1）2+3的图集向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得抛物线对应的函数表达式为y＝（x+1﹣2）2+3﹣1，即y＝（x﹣1）2+2．故选：B．【变式5-1】（2023春•金东区期末）将抛物线y＝x2+2向左平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度得到的抛物线解析式为（）y＝（x+3）2﹣2 B．y＝（x﹣3）2+6 C．y＝（x+3）2+6 D．y＝（x﹣3）2+2【答案】A【解答】解：将抛物线y＝x2+2向左平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度得到的抛物线解析式为：y＝（x+3）2+2﹣4，即y＝（x+3）2﹣2．故选：A．【变式5-2】（2023•江夏区校级模拟）将二次函数y＝﹣x2的图象平移或翻折后经过点（1，0）有4种方法：①向右平移1个单位长度，②向左平移1个单位长度，再向上平移4个单位长度，③向上平移1个单位长度，④沿x轴翻折，再向下平移1个单位长度，你认为以上4种方法正确的个数有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】D【解答】解：①向右平移1个单位长度，则平移后的解析式为y＝﹣（x﹣1）2，当x＝1时，y＝0，所以平移后的抛物线过点（1，0），故①符合题意；②向左平移1个单位长度，再向上平移4个单位长度，则平移后的解析式为y＝﹣（x+1）2+4，当x＝1时，y＝0，所以平移后的抛物线过点（1，0），故②符合题意；③向上平移1个单位长度，则平移后的解析式为y＝﹣x2+1，当x＝1时，y＝0，所以平移后的抛物线过点（1，0），故③符合题意；④沿x轴翻折，再向下平移1个单位长度，则平移后的解析式为y＝x2﹣1，当x＝1时，y＝0，所以平移后的抛物线过点（1，0），故④符合题意；故选：D．【变式4-3】（2023•宛城区校级模拟）将抛物线y＝x2﹣2x+1向上平移2个单位长度，再向左平移3个单位长度，得到抛物线y＝x2+bx+c，则b，c的值为（）A．b＝﹣8，c＝18 B．b＝8，c＝14 C．b＝﹣4，c＝6 D．b＝4，c＝6【答案】D【解答】解：二次函数y＝x2﹣2x+1＝（x﹣1）2的图象向上平移2个单位，再向左平移3个单位，∴平移后解析式为：y＝（x﹣1+3）2+2＝（x+2）2+2＝x2+4x+6，则b＝4，c＝6．故选：D．【变式4-4】（2022秋•鄄城县期末）抛物线y＝x2+bx+c图象向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得图象的解析式为y＝x2﹣4x+3，则b+c的值为．【解答】解：y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，所以将该函数图象向左平移3个单位，再向上平移2个单位后得到的函数解析式为：y＝（x﹣2+3）2﹣1+2＝x2+2x+2，所以b＝2，c＝2，所以b+c＝4．故答案是：4．【题型5二次函数图像的对称变换】【典例5】（2022秋•朔城区期中）在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣4x+5与y轴交于点C，则该抛物线关于点C成中心对称的抛物线的表达式为（）A．y＝﹣x2﹣4x﹣5B．y＝x2+4x+5C．y＝﹣x2+4x﹣5 D．y＝﹣x2﹣4x+5【答案】D【解答】解：由抛物线y＝x2﹣4x+5＝（x﹣2）2+1知，抛物线顶点坐标是（2，1）．由抛物线y＝x2﹣4x+5知，C（0，5）．∴该抛物线关于点C成中心对称的抛物线的顶点坐标是（﹣2，9）．∴该抛物线关于点C成中心对称的抛物线的表达式为：y＝﹣（x+2）2+9＝﹣x2﹣4x+5．故选：D．【变式5-1】（2021秋•新市区校级期末）将抛物线y＝﹣x2+2x+3沿y轴对称后的函数解析式为（）A．y＝﹣x2﹣2x﹣3B．y＝x2+2x+3C．y＝x2﹣2x﹣3D．y＝﹣x2﹣2x+3【答案】D【解答】解：∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，∴抛物线开口向下，顶点坐标为（1，4），∵点（1，4）关于y轴对称轴坐标为（﹣1，4），∴抛物线关于y轴对称后解析式为y＝﹣（x+1）2+4＝﹣x2﹣2x+3，故选：D．【变式5-2】（2022春•海曙区校级期中）将抛物线y＝x2﹣6x﹣3沿x轴对称，得到的新的抛物线解析式为y＝﹣（x﹣3）2+12．【答案】y＝﹣（x﹣3）2+12．【解答】解：∵y＝x2﹣6x﹣3＝（x﹣3）2﹣12，∴抛物线y＝x2﹣6x﹣3的顶点坐标为（3，﹣12），∵点（3，﹣12）关于x轴对称的点的坐标为（3，12），∴将抛物线y＝x2﹣6x﹣3沿x轴对称，得到的新的抛物线解析式为y＝﹣（x﹣3）2+12，故答案为：y＝﹣（x﹣3）2+12．【变式5-3】在同一平面直角坐标系中，若抛物线y＝x2+（2m﹣1）x+2m﹣4与y＝x2﹣（3m+n）x+n关于y轴对称，则符合条件的m，n的值为（）A．m=57，n=-187 B．m＝5，C．m＝﹣1，n＝6 D．m＝1，n＝﹣2【解答】解：∵抛物线y＝x2+（2m﹣1）x+2m﹣4与y＝x2﹣（3m+n）x+n关于y轴对称，∴2m-1=3m+n2m-4=n，解之得m=1∴则符合条件的m，n的值为m＝1，n＝﹣2，故选：D．【题型6利用对称轴、顶点坐标公式求值】【典例6】（2023•鼓楼区校级一模）关于二次函数y＝﹣（x﹣1）2+3的最值，说法正确的是（）A．最小值为﹣1 B．最小值为3 C．最大值为1 D．最大值为3【答案】D【解答】解：二次函数y＝﹣（x﹣1）2+3中，∵a＝﹣1＜0，∴函数图象开口向下，∴函数有最大值，∵函数图象的顶点坐标为（1，3），∴二次函数y＝﹣（x﹣1）2+3的最大值为3．故选：D．【变式6-1】（2022秋•盐山县校级期末）当y＝x2﹣6x﹣3的值最小时，x的取值是（）A．0 B．﹣3 C．3 D．﹣9【答案】C【解答】解：∵y＝x2﹣6x﹣3＝（x﹣3）2﹣12，∴该抛物线的顶点坐标是（3，﹣12）且抛物线开口向上，∴当x＝3时，该函数取最小值．故选：C．【变式6-2】（2022秋•沈河区校级期末）二次函数y＝﹣x2﹣4x+c的最大值为0，则c的值等于（）A．4 B．﹣4 C．﹣16 D．16【答案】B【解答】解：y＝﹣x2﹣4x+c＝﹣（x﹣2）2+4+c，∵最大值为0，∴4+c＝0，解得c＝﹣4．故选：B．【变式6-3】（2022秋•岳麓区校级期末）二次函数y＝﹣（x﹣1）2+3的最大值是（）A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．3【答案】D【解答】解：二次函数y＝﹣（x﹣1）2+3的最大值是3，故选：D．【变式6-4】（2023•永嘉县三模）已知二次函数的图象（0≤x≤4）如图，关于该函数在所给自变量的取值范围内，下列说法正确的是（）A．有最大值2，有最小值﹣2.5 B．有最大值2，有最小值1.5 C．有最大值1.5，有最小值﹣2.5 D．有最大值2，无最小值【答案】A【解答】解：观察图象可得，在0≤x≤4时，图象有最高点和最低点，∴函数有最大值2和最小值﹣2.5，故选：A．【典例7】（2022秋•江门校级期末）已知二次函数y＝mx2﹣2mx+2（m≠0）在﹣2≤x≤2时有最小值﹣2，则m＝（）A．﹣4或﹣ B．4或﹣ C．﹣4或 D．4或【答案】B【解答】解：∵二次函数解析式为y＝mx2﹣2mx+2（m≠0），∴二次函数对称轴为直线，当m＞0时，∵在﹣2≤x≤2时有最小值﹣2，∴当x＝1时，y＝m﹣2m+2＝﹣2，∴m＝4；当m＜0时，∵在﹣2≤x≤2时有最小值﹣2，∴当x＝﹣2时，y＝4m+4m+2＝﹣2，∴m＝﹣；综上所述，m＝4或m＝﹣，故选：B．【变式7-1】（2022秋•和平区校级期末）已知二次函数y＝x2﹣2x+2在m≤x≤m+1时有最小值m，则整数m的值是（）A．1 B．2 C．1或2