第8讲 计数原理与概率统计（2022年高考真题）（解析版）

第8讲计数原理与概率统计

一、单选题

1.（2022.全国•高考真题（理））某棋手与甲、乙、丙三位棋手各比赛一盘，各盘比赛结果

相互独立.已知该棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为P”P?，P3,且。3＞。2＞网＞0.记

该棋手连胜两盘的概率为P，则（）

A.P与该棋手和甲、乙、丙的比赛次序无关B.该棋手在第二盘与甲比赛，P最大

C.该棋手在第二盘与乙比赛，p最大D.该棋手在第二盘与丙比赛，p最大

【答案】D

【解析】

【分析】

该棋手连胜两盘，则第二盘为必胜盘.分别求得该棋手在第二盘与甲比赛且连胜两盘的概率

P甲；该棋手在第二盘与乙比赛且连胜两盘的概率心；该棋手在第二盘与丙比赛且连胜两盘

的概率桁.并对二者进行比较即可解决

【详解】

该棋手连胜两盘，则第二盘为必胜盘，

记该棋手在第二盘与甲比赛，比赛顺序为乙甲丙及丙甲乙的概率均为g,

则此时连胜两盘的概率为外

则小=j［（l-P2）PlP3+P2Pl（l-P3）］+＜［（l-P3）PlP2+P3Pl（l-P2）］

=Pi（P/P3）-2p\P2P3；

记该棋手在第二盘与乙比赛，且连胜两盘的概率为

则P乙=（1-Pl）P2P3+PlP?（1-。3）=P式Pl+P'）-2Plp2P3

记该棋手在第二盘与丙比赛，且连胜两盘的概率为P内

则P丙=（1-Pl）P3P2+PlP3（1一）=凸（Pl+P2）-2口p2P3

贝JPF-P乙=0（0+2）-2口p2P3一［2（Pi+用）-2RP必1=（P「P2）P3＜。

P乙一P丙=Pa（Pi+。3）-2口0。3-［2（口+p2）-2p1p2p3］=（p2-p3）p1＜0

BPpv＜Pi.P乙＜P丙，

则该棋手在第二盘与丙比赛，p最大.选项D判断正确；选项BC判断错误；

。与该棋手与甲、乙、丙的比赛次序有关.选项A判断错误.

故选：D

2.（2022•全国•高考真题）有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不

站在两端，丙和丁相邻，则不同排列方式共有（）

A.12种B.24种C.36种D.48种

【答案】B

【解析】

【分析】

利用捆绑法处理丙丁，用插空法安排甲，利用排列组合与计数原理即可得解

【详解】

因为丙丁要在一起，先把丙丁捆绑，看做一个元素，连同乙，戊看成三个元素排列，有3!种

排列方式;为使甲不在两端，必须且只需甲在此三个元素的中间两个位置任选一个位置插入,

有2种插空方式;注意到丙丁两人的顺序可交换，有2种排列方式，故安排这5名同学共有：

3!x2x2=24种不同的排列方式,

故选：B

3.（2022.全国•高考真题）从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的

概率为（）

A.-B.-C.JD.-

6323

【答案】D

【解析】

【分析】

由古典概型概率公式结合组合、列举法即可得解.

【详解】

从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，共有C；=21种不同的取法，

若两数不互质,不同的取法有:（2,4）,（2,6）,（2,8）,（3,6）,（4,6）,（4,8）,（6,8）,共7种,

故所求概率2=当21-一7=：2.

故选：D.

4.（2022・全国•高考真题（理））某社区通过公益讲座以普及社区居民的垃圾分类知识.为

了解讲座效果，随机抽取10位社区居民，让他们在讲座前和讲座后各回答一份垃圾分类知

识问卷，这10位社区居民在讲座前和讲座后问卷答题的正确率如下图：

100%

95%■*

90%

树85%

售80%*讲座前

田75%•讲座后

70%*-

65%*........*

60%...-**....

0：

12345678910

居民编号

则（）

A.讲座前问卷答题的正确率的中位数小于70%

B.讲座后问卷答题的正确率的平均数大于85%

C.讲座前问卷答题的正确率的标准差小于讲座后正确率的标准差

D.讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差

【答案】B

【解析】

【分析】

由图表信息，结合中位数、平均数、标准差、极差的概念，逐项判断即可得解.

【详解】

讲座前中位数为70%：75%>70%所以人错;

2

讲座后问卷答题的正确率只有一个是80%,4个85%,剩下全部大于等于90%,所以讲座后问

卷答题的正确率的平均数大于85%,所以B对；

讲座前问卷答题的正确率更加分散，所以讲座前问卷答题的正确率的标准差大于讲座后正确

率的标准差，所以C错；

讲座后问卷答题的正确率的极差为100%-80%=20%,

讲座前问卷答题的正确率的极差为95%-60%=35%>20%,所以D错.

故选:B.

5.（2022•全国•高考真题（文））从分别写有1,2,3,4,5,6的6张卡片中无放回随机抽

取2张，则抽到的2张卡片上的数字之积是4的倍数的概率为（）

【答案】C

【解析】

【分析】

先列举出所有情况，再从中挑出数字之积是4的倍数的情况，由古典概型求概率即可.

【详解】

从6张卡片中无放回抽取2张，共有

“2》（1,3）,（1,4）,（1,5）,（1,6）,（2,3）,（2,4）,（2,5）,（2,6）,（3,4）,（3,5）,（3,6）,（4,51（4,6）,（5,可15种

情况，

其中数字之积为4的倍数的有（1,4）,（2,4）,（2,6）,（3,4）,（4,5）,（4,6）6种情况，故概率为白='.

故选：C.

二、填空题

6.（2022・全国•高考真题）已知随机变量X服从正态分布N（2,〃），且P（2<X42.5）=0.36,

则P（X>2.5）=.

7

【答案】0.14##—.

【解析】

【分析】

根据正态分布曲线的性质即可解出.

【详解】

因为X~N（2,〃），所以P（X<2）=P（X>2）=0.5,因此

P（X>2.5）=P（X>2）-P（2<X42.5）=0.5-0.36=0.14.

故答案为：0.14.

7.（2022•全国•高考真题（文））从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作，则

甲、乙都入选的概率为.

3

【答案】一##0.3

10

【解析】

【分析】

根据古典概型计算即可

【详解】

从5名同学中随机选3名的方法数为C；=10

甲、乙都入选的方法数为C；=3,所以甲、乙都入选的概率75：*

3

故答案为:

10

8.（2022.全国•高考真题）。-?卜+4的展开式中巧6的系数为（用

数字作答）.

【答案】-28

【解析】

【分析】

（1-1］（x+可化为（x+_?（x+y）8,结合二项式展开式的通项公式求解.

【详解】

因为(i-9)(x+y)><=(x+y)!'-?(x+yy，

352

所以(X+y)’的展开式中含Vy6的项为C"2y6_2c^y=-28x/,

X

1-2（x+＞）8的展开式中Vy6的系数为-28

故答案为：-28

9.（2022.全国•高考真题（理））从正方体的8个顶点中任选4个，则这4个点在同一个平

面的概率为.

【答案】黑

【解析】

【分析】

根据古典概型的概率公式即可求出.

【详解】

从正方体的8个顶点中任取4个，有“=C；=70个结果，这4个点在同一个平面的有

机=6+6=12个，故所求概率尸='="=9.

n7035

故答案为：假.

三、解答题

10.（2022・全国•高考真题）在某地区进行流行病学调查，随机调查了100位某种疾病患者

的年龄，得到如下的样本数据的频率分布直方图：

(1)估计该地区这种疾病患者的平均年龄(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)；

(2)估计该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间［20,70)的概率；

(3)已知该地区这种疾病的患病率为0.1%,该地区年龄位于区间［40,50)的人口占该地区总人

口的16%.从该地区中任选一人，若此人的年龄位于区间［40,50),求此人患这种疾病的概

率.(以样本数据中患者的年龄位于各区间的频率作为患者的年龄位于该区间的概率，精确

到0.0001).

【答案】(1)47.9岁；

(2)0.89：

(3)0.0014.

【解析】

【分析】

(1)根据平均值等于各矩形的面积乘以对应区间的中点值的和即可求出；

(2)设人=｛一人患这种疾病的年龄在区间［20,70)｝,根据对立事件的概率公式

P(A)=1-P(A)即可解出;

(3)根据条件概率公式即可求出.

(1)

平均年龄5=(5x0.001+15*0.002+25x0.012+35x0.017+45*0.023

+55x0.020+65x0.017+75x0.006+85x0.002)x10=47.9(岁).

⑵

设A=｛一人患这种疾病的年龄在区间［20,70)｝,所以

P(A)=1-P(A)=1-(0.001+0.002+0.006+0.002)xlO=1-0.11=0.89.

(3)

设B=｛任选一人年龄位于区间［40,50)｝,C=｛任选一人患这种疾病｝,

则由条件概率公式可得

01%x0023xl00001x023

P(C|B)=^==-=0.0014375a0.0014.

11.(2022•全国•高考真题)一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习

惯(卫生习惯分为良好和不够良好两类)的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了100

例(称为病例组)，同时在未患该疾病的人群中随机调查了100人(称为对照组)，得到如下

数据：

不够良好良好

病例组4060

对照组1090

(1)能否有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异？

(2)从该地的人群中任选一人，A表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”，B表示事件“选到

的人患有该疾病露与嚼的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程度的一

项度量指标，记该指标为凡

P(AB)P(W目)

(i)证明:

P(A\B)P(A\B)

(ii)利用该调查数据，给出P(A|8),P(A|质的估计值，并利用(i)的结果给出R的估

计值.

n(ad-bc)2

(«+b)(c+d)(a+c)(b+(1)

P(K2>k)0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

【答案】(1)答案见解析

(2)(i)证明见解析；(ii)/?=6；

【解析】

【分析】

(1)由所给数据结合公式求出/的值，将其与临界值比较大小，由此确定是否有99%的把握

认为患该疾病群体与未黄该疾病群体的卫生习惯有差异；(2)⑴根据定义结合条件概率公式

即可完成证明；(ii)根据(i)结合已知数据求R.

(1)

犬=n(ad-bc#=200(40x90-60x10)2=24

(a+/?)(c+d)(a+c)3+d)50x150x100x100

又P(K?26.635)=0.01,24>6.635，

所以有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异.

⑵

P(B|A)P(g|A)_P(AB)P(A)P(方)P(A)

⑴因为R=

P(B|A)P(B|A)-P(A)'P(AB)P(A)P(AB)

尸(AB)P(B)P(通)P(B)

所以R=

P(B)P(AB)P{B}P(AB)

所以R=•遐图,

产(A18)尸(A13)

(ii)

由已知「(A|B)=里，P(A|B)=—,

100100

-60——90

又尸⑷8）=而'P(A|B)=——

100

P('|B)P(3g)_6

所以R=

P(A\B)P(A\B)~

12.（2022•全国•高考真题（理））甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个

项目胜方得10分，负方得。分，没有平局.三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠

军.已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5,0.4,0.8,各项目的比赛结果相互独立.

（1）求甲学校获得冠军的概率；

（2）用X表示乙学校的总得分，求X的分布列与期望.

【答案】（1）0.6；

（2）分布列见解析，E（X）=13.

【解析】

【分析】

（I）设甲在三个项目中获胜的事件依次记为A,8,C,再根据甲获得冠军则至少获胜两个项

目，利用互斥事件的概率加法公式以及相互独立事件的乘法公式即可求出；

（2）依题可知,X的可能取值为0,10,20,30,再分别计算出对应的概率,列出分布列，即

可求出期望.

（1）

设甲在三个项目中获胜的事件依次记为A,B,C,所以甲学校获得冠军的概率为

P=P（ABC）+P（ABC）+P（ABC）+P（ABC）

=0.5x0.4x（）.8+0.5x0.4x0.84-0.5x0.6x0.8+0.5x0.4x0.2

=0.16+0.16+0.24+0.04=0.6.

⑵

依题可知，X的可能取值为0,10,20,30,所以,

p(x=0)=0.5x04x0.8=0.16,

P(X=10)=0.5x0.4x0.8+0.5x0.6x0.8+0.5x0.4x0.2=0.44,

X=20)=0.5x0.6x0.8+().5x().4x0.2+0.5x0.6x0.2=0.34,

X=30)=0.5x0.6x0.2=().06.

即X的分布列为

X0102030

P0.160.440.340.06

期望E（X）=0x0.16+10x0.44+20x0.34+30x0.06=13.

13.（2022•全国•高考真题（文））某地经过多年的环境治理，已将荒山改造成了绿水青山.为

估计一林区某种树木的总材积量，随机选取了10棵这种树木，测量每棵树的根部横截面积

（单位：mD和材积量（单位：n?）,得到如下数据：

样本号i12345678910总和

根部横截面积占0.040.060.040.080.080.050.050.070.070.060.6

材积量、0.250.400.220.540.510.340.360.460.420.403.9

101010

并计算得=0.038,2弁=1.6158，Zxj=0.2474.

i=li=li=l

（1）估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量；

（2）求该林区这种树木的根部横截面积