导数运算简单复合函数

第5章导数及其应用INNOVATIVEDESIGN5.2.3简单复合函数的导数成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群483122854联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存，自动更新，永不过期课标要求能求简单的复合函数(限于形如f(ax＋b))的导数.素养要求在根据复合函数的求导法则求复合函数的导数的过程中，发展学生的数学运算素养.问题导学预习教材必备知识探究内容索引互动合作研析题型关键能力提升拓展延伸分层精练核心素养达成WENTIDAOXUEYUXIJIAOCAIBIBEIZHISHITANJIU问题导学预习教材必备知识探究11.思考

(1)函数y＝ln(2x－1)是如何构成的？

提示

y＝ln(2x－1)，其中的2x－1“占据”了对数函数y＝lnx中x的位置，f(x)＝lnx，而f(2x－1)＝ln(2x－1)，这里有代入、代换的思想，则函数y＝ln(2x－1)是由内层函数和外层函数复合而成，是复合函数.(2)如何求函数y＝sin2x的导数？提示

y＝2sinxcosx，由积的求导法则可知：y′＝2cos2x－2sin2x＝2cos2x；从整体上来看，外层函数是基本初等函数y＝sinu，它的导数y′＝cosu，内层函数是幂函数的线性组合u＝2x，它的导数是u′＝2，发现y′x＝y′u·u′x.2.填空

基本初等函数yu′·ux′yu′·a温馨提醒

(1)复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数乘中间变量对自变量的导数.(2)中学阶段不涉及较复杂的复合函数的求导问题，只研究y＝f(ax＋b)型复合函数的求导，不难得到y′＝(ax＋b)′·f′(ax＋b)＝a·f′(ax＋b).3.做一做设f(x)＝cos2x，则f′(x)＝(

) A.sin2x B.2sin2x C.－sin2x D.－2sin2x

解析

f′(x)＝－sin2x·(2x)′＝－2sin2x.DHUDONGHEZUOYANXITIXINGGUANJIANMENGLITISHENG互动合作研析题型关键能力提升2例1

求下列函数的导数.题型一求复合函数的导数(1)求复合函数的导数的步骤思维升华(2)求复合函数的导数的注意点：①分解的函数通常为基本初等函数；②求导时分清是对哪个变量求导；③计算结果尽量简洁.训练1

求下列函数的导数：(1)y＝(2x－1)4；(2)y＝102x＋3；解

设y＝u4，u＝2x－1，则yx′＝yu′ux′＝(u4)′(2x－1)′＝4u3·2＝8(2x－1)3.(2)设y＝10u，u＝2x＋3，则yx′＝yu′ux′＝(10u)′(2x＋3)′＝10uln10·2＝2·102x＋3·ln10＝102x＋3·ln100.题型二与复合函数有关的切线问题解此类问题的关键有两个：(1)求复合函数的导数，这是正确解答的前提条件，要注意把复合函数逐层分解，求导时不要有遗漏.(2)求切线方程，注意切线所过的点是否为切点.思维升华训练2

已知f(x)为偶函数，当x≤0时，f(x)＝e－x－1－x，则曲线y＝f(x)在点(1，2)处的切线方程是____________.2x－y＝0解析

设x>0，则－x<0，f(－x)＝ex－1＋x.又f(x)为偶函数，所以f(x)＝f(－x)＝ex－1＋x.所以当x>0时，f(x)＝ex－1＋x.因此，当x>0时，f′(x)＝ex－1＋1，f′(1)＝e0＋1＝2.则曲线y＝f(x)在点(1，2)处的切线的斜率为f′(1)＝2，所以切线方程为y－2＝2(x－1)，即2x－y＝0.题型三导数法则的综合应用关于复合函数导数的应用及其解决方法(1)应用：求在某点处的切线方程，已知切线的方程或斜率求切点，以及涉及切线问题的综合应用.(2)方法：先求出复合函数的导数，若已知切点，则求出切线斜率、切线方程；若切点未知，则先设出切点，用切点表示切线斜率，再根据条件求切点坐标.总之，在解决此类问题时切点起着至关重要的作用.思维升华训练3

曲线y＝e－2x＋1在点(0，2)处的切线与直线y＝0和y＝x围成的三角形的面积为(

)A课堂小结1.牢记1个知识点

复合函数的导数.2.求复合函数的导数的5个环节 (1)中间变量的选择应是基本初等函数结构. (2)关键是正确分析函数的复合层次. (3)一般是从最外层开始，由外及里，一层层地求导. (4)善于把一部分表达式作为一个整体. (5)最后要把中间变量换成自变量的函数.3.注意1个易错点

对复合函数求导不完全.TUOZHANYANSHENFENCENGJINGLIANHEXINGSUYANGDACHENG拓展延伸分层精练核心素养达成31.设f(x)＝log3(x－1)，则f′(2)＝(

)C2.若函数y＝x(1－ax)2(a>0)，且y′|x＝2＝5，则a＝(

) A.1 B.－1 C.2 D.－2A解析

y′＝(1－ax)2－2ax(1－ax)，则y′|x＝2＝12a2－8a＋1＝5(a>0)，解得a＝1.3.设函数f(x)＝(2021－2020x)3，则f′(1)＝(

) A.6060 B.－6060 C.2020 D.－2020B解析

f′(x)＝3×(－2020)(2021－2020x)2，则f′(1)＝3×(－2020)＝－6060.4.(多选题)下列结论中正确的是(

)BCB6.已知f(x)＝xlnx，若f′(x0)＋f(x0)＝1，则x0的值为________.1解析

因为f′(x)＝lnx＋1，所以由f′(x0)＋f(x0)＝1，得lnx0＋1＋x0lnx0＝1.解得x0＝1.7.某铁路线新开行“绿巨人”动力集中复兴号动车组，最高时速为160km/h.假设“绿巨人”开出站一段时间内，速度v(m/s)与行驶时间t(s)的关系为v＝0.4t＋0.6t2，则出站后“绿巨人”速度首次达到24m/s时的加速度为________(m/s2).7.6解析

当v＝24时，0.4t＋0.6t2＝24，解得t＝6(负根舍去)，v′＝0.4＋1.2t，当t＝6时，v′＝0.4＋1.2×6＝7.6(m/s2).8.已知直线y＝x＋1与曲线y＝ln(x＋a)相切，则a的值为________.29.求下列函数的