高考数学集合与逻辑考点解析

一、考察集合的子、交、并、补运算

1(2010浙江理数)⑴设P={x|x<4],Q={x|X2<4},则

(A)p^Q(B)QjP(C)P^CKQ⑴)

Q=CRP

解析：Q={x|-2VxV2},可知B正确，本题主要考察了集合的基

本运算，属容易题

2(2010陕西文数)1.集合片{x|-1<启2},B={x\x<l}，则{。炉

[D]

(A){%|x<1}(B){x1-1WXW2}

(C){x|-IWxWl}(D){x\—IWxVl}

解析：本题考查集合的基本运算

由交集定义得{*|-lWxW2}Cl{x\x<l}={x\

3(2010辽宁理数)1.已知A,B均为集合U={1,3,5,7,9}的子集,且ACB={3},6uBAA={9},

则A=

(A){1,3}(B){3,7,9}(C){3,5,9}(D){3,9}

【答案】D

【命题立意】本题考查了集合之间的关系、集合的交集、

补集的运算，考查了同学们借助于Venn图解决集合问题

的能力。

【解析】因为AAB={3},所以3GA,又因为

6uBCA={9},所以9GA,所以选D。本题也可以用Venn

图的方法帮助理解。

4(2010江西理数)2.若集合A={x|W41,xe/?!,B=|y|y=x2,xw/?},则ACB=

()

A.1x|-1<x<1}B.x>0}

C.{x|0<x<l}D.0

【答案】C

【解析】考查集合的性质与交集以及绝对值不等式运算。常见的解法为计算出集合A、B；

A={x|-l<x<l},6={y|yN0},解得AnB={x|0WxWl}。在应试中可采用特值检

验完成。

5(2010安徽文数)(1)若人={》|》+1>0},B={x|x-3<0},则4口8=

(A)(-l,+oo)(B)(-oo,3)(C)(-l,3)(D)(l,3)

C

【解析】A=(l,+oo),B=(—8,3),AnB=(—l,3),故选C.

【方法总结】先求集合A、B,然后求交集，可以直接得结论，也可以借助数轴得交集.

6(2010浙江文数)(1)设尸="|%<1},。={划/<4},则尸0。=

(A){x|-l<x<2}(B){x|-3<x<-1}

(C){x11<x<-4}(D){x\-2<x<1}

7.(2010安徽理数)2、若集合A=,xlog|xN；,,则«A=

2

、、00

(5(6C、(—00,0]U,+)D>[-^-,+°0)

A、(—00,0]U-------,+8B、——,+00

2

k77

【解析】"giX21=0<xS立.融1\4二(-00,0]11佟

.-wo

,22

【思雉总结】根据后面求所以必须先求巢合A,利用对数球的单调性求巢合A,然后得结论这里

要注意对数中其故的范困，否则容易出错

8(2010湖北理数)2.设集合A={(x,y)|?+^=1},8={(x,y)|y=3'},则AcB

的子集的个数是

A.4B.3C.2D.1

【答案】A

【解析】画出椭圆?+(=1和指数函数y=3,图象，可知其有两个不同交点，记为A、、

A2,则ans的子集应为0,{A},{4},{4,4}共四种，故选A.

9.(2009年广东卷文)已知全集U=R,则正确表示集合M={—1,0,1}和N=卜|f+%=0}

关系的韦恩(Venn)图是

【答案】B

【解析】由"=卜b2+工=0},得汽={—1,0},则NuM,选B.

二、考察已知集合间的关系求参数的取值范围

1(2010天津文数)设集合A={x||x-a|<l,xeR},B={x[l<x<5,xwR}.若AcB=0,

则实数a的取值范围是

(A){a10<a<6}(B){a|aM2,或a"}

(C){a|a<0,«ga>6}(D){a12<a<4}

【答案】C

【解析】本题主要考查绝对值不等式的基本解法与集合交矍竺量，属于中等题。

由|x-a|〈l得即a-kx〈a+l.如图a+11'a+1由图可知

a+lWl或aTM5,所以a=0或aM6.

【温馨提示】不等式型集合的交、并集通常可以利用数轴进行，解题时注意验证区间端点是

否符合题意。

2(2010天津理数)(9)设集合人={可|工一。|<1,彳€/?},8={%||'一"〉2,%€/?}.若人=8,

则实数a,b必满足

(A)\a+b\<3(B)\a+b\>3

(C)\a-b\<3(D)\a-b\>3

【答案】D

【解析】本题主要考查绝对值不等式的解法与几何与结合之间的关系，属于中等题。

A={x|a-l<x<a+l},B={x|x〈b-2或x>b+2}

因为AqB,所以a+lWb-2或a-l±b+2,即a-b4-3或a-b43,即|a-b|±3

【温馨提示】处理几何之间的子集、交、并运算时般利用数轴求解。

3(2010福建文数)12.设非空集合S=|x|m4x</|满足：当xeS时，有VeS。给出

如下三个命题工：①若"?=1,则S=|l|；②若加=—工，则1W/W1；③若/=!，则

242

--<w<0»其中正确命题的个数是

2

A.0B.1C.2D.3

【答案】D

4(2010重庆理数)(12^U={0,l,2,3},A={xeU,+机》=o},若&A={1,2},则实

数m=.

解析：•••24={1,2},.5={（）,3},故m=-3

5.（2009山东卷理）集合A={0,2,a},B={1,1},若AU3={0,1,2,4,16}，则a的值为（）

A.OB.lC.2D.4

【解析】：：A={0,2,a},8={l,a2},AUB={0,l,2,4,16}二一。=牝故选D.

答案:D

【命题立意】:本题考查了集合的并集运算，并用观察法得到相对应的元素,从而求得答案，本题

属于容易题.

6.（2009年上海卷理）已知集合4={x|xWl},B^{x\x>a},且=则实数a

的取值范围是.

【答案】aWl

【解析】因为AUB=R,画数轴可知，实数a必须在点1上或在1的左边，所以，有aWl。

三、考察充分要条件

jr

1（2010上海文数）16.“x=2上万+”是“tanx=l”成立的[答]（）

（A）充分不必要条件.（B）必要不充分条件.

（C）充分条件.（D）既不充分也不必要条件.

TTjr57r

解析：tan（2女万+—）=tan—=1,所以充分；但反之不成立，如tan—=1

444

2（2010陕西文数）6.“a>0"是“同>0"的[A]

（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件

（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件

解析：本题考查充要条件的判断

•••a>0n|4〉0，M〉0#a>0,a>0”是“时>0”的充分不必要条件

JIc

3（2010浙江文数）（6）设0Vx<—,则“xsin2x<r,是“xsinx<1"的

2

（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件

（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件

ji

解析：因为0<x<一,所以sinx<l,故xsin*x<xsinx,结合xsii?x'Jxsinx的取值范围相

2

同，可知答案选B,本题主要考察了必要条件、充分条件与充要条件的意义，以及转化思想

和处理不等关系的能力，属中档题

4（2010山东文数）（7）设{4}是首项大于零的等比数列，则“％”是“数列{%}是递

增数列”的

(A)充分而不必要条件(B)必要而不充分条件

(C)充分必要条件(D)既不充分也不必要条件

答案：C

5(2010北京理数)(6)a、b为非零向量。是“函数/(x)=(M+b)(xb-a)为

一次函数”的

(A)充分而不必要条件(B)必要不充分条件

(C)充分必要条件(D)既不充分也不必要条件

答案：B

6(2010广东理数)5.“加〈一”是“一元二次方程V+x+机=0”有实数解的

4

A.充分非必要条件B.充分必要条件

C.必要非充分条件D.非充分必要条件

A.由/+1+〃？=0知，(x+')2=^~—>0<=>m<—.

244

7(2010湖北文数)10.记实数石,马，…耳中的最大数为max{演,马,…%}，最小数为

min{…}.已知A4BC的三边边长为a、b、c(a4b4c),定义它的倾斜度为

,abc、..abc、

t=maxmin

ocabca

则“t=l”是“A4BC为等边三解形”的

A,充分布不必要的条件B.必要而不充分的条件

C.充要条件D.既不充分也不必要的条件

【答案】B

【解析】若^ABC为等边三角形时，即〃=8=以则max[3,2,£]=l=min[g,2,g则/=1；

[bca)[bca)

若AABC为等腰三角形，$11a=2,b=2,c=30'h

则max[q,2,£1=3,min[q,2,£1=2,此时仁1仍成立但aABC不为等边三角形，所以B

[bca)2[bca)3

正确.

8.(2009浙江理)已知a,b是实数,则“a>0且6>0”是“a+b>0且。—>0"的()

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

答案：C

【解析】对于“a>0且6〉0”可以推出“a+b〉0且ab>0”,反之也是成立的

四、考察全称量词与存在量词

1(2010湖南文数)2.卜列命题中的假命题是

A.BxG/?,lgx=0B.7?,tanx=1

C.VXG/?,x>0D.V%G/?,2A>0

【答案】C

【解析】对于C选项x=l时，(x—1)2=0,故选C

【命题意图】本题考查逻辑语言与指数函数、二次函数、对数函数、正切函数的值域:属容

易题.

2(2010辽宁理数)(11)已知a>0,则xo满足关于x的方程ax=6的充要条件是

12121212

(A)3xGR,—ax^-hx>—ax^-bx^(B)3xGR.—ax-hx<—axQ-bxQ

22

(C)VXGR,^ax-bx>—axl-hxQ(D)VXGR,^ax-bx<^ax^-bx0

【答案】C

【命题立意】本题考查了二次函数的性质、全称量词与充要条件知识，考查了学生构造二次

函数解决问题的能力。

【解析】由于介0,令函数y=Lax2-bx='a(x—32一生，此时函数对应的开口向上，

22a2a

bb2

当x='时，取得最小值-乙，而X。满足关于x的方程ax=b,那么

a2a

22

x0=—,ymin=—^x0-bxQ=--,那么对于任意的x£R,都有y=—ax-bx2

a22a2

3（2010湖南理数）2.下列命题中的假命题是

A.VXG/?,2A-1>02^>0B.VXEN*,（九一I）2>0

C.3xe/?,1gx<1D.3xe/?,tanx=2

【答案】B,

【解析】对于B选项x=l时，（x-l）：=0,故选B.

【命题意图】本题考查送辑语言与指数函数、二次函数、对数函数、正切函数的值域，厩容

易题・

4(2010安徽文数)(11)命题“存在xeR,使得x?+2x+5=0”的否定是

对任意xe7?,都有x?+2x+5#0.

【解析】特称命题的否定时全称命题，“存在”对应“任意”.

【误区警示】这类问题的常见错误是没有把全称量词改为存在量词，或者对于“>”的否定

用了.这里就有注意量词的否定形式.如“都是”的否定