高中专题复习及考试要求 第二章 函数 破解有关x与exln x的组合函数的金钥匙

破解有关x与ex，lnx的组合函数的金钥匙有关x与ex，lnx的组合函数是高考的常考内容，常将基本初等函数的概念、图象与性质糅合在一起，发挥导数的工具作用，应用导数研究函数性质、证明相关不等式(或比较大小)、求参数的取值范围(或最值)等.如2019年全国Ⅰ卷T13是以x与ex的组合函数为载体，考查切线方程的求解，2019年全国Ⅲ卷T6是以x与ex，lnx的组合函数为载体，考查导数的几何意义，2018年全国Ⅱ卷T3是以x与ex的组合函数为载体，考查函数的图象的识别，2019年天津卷T20以x与lnx，ex的组合函数为载体考查函数的零点与不等式证明.预计今年高考对有关x与ex，lnx的组合函数的考查，除了延续往年的命题形式，还会更着眼于知识点的巧妙组合，突出对数学思维能力、数学核心素养的考查.类型一构造函数解(1)由题易知，函数f(x)的定义域为(0，＋∞).(2)设y＝f(x)的图象与直线y＝a相切于点(t，a)，易知h′(t)在(0，＋∞)上单调递减，且h′(1)＝0，所以当0<t<1时，h′(t)>0，h(t)单调递增，当t>1时，h′(t)<0，h(t)单调递减.所以当且仅当t＝1时，h(t)＝0，即(*)式成立，消去a可得t－1－(2t－1)lnt＝0.(*)解析函数y＝－x2－2的图象与函数y＝x2＋2的图象关于x轴对称，故当x＝2时，g(x)取最小值g(2)＝6－8ln2，答案D类型二分离参数，设而不求令v(x)＝ex－xlnx，则v′(x)＝ex－lnx－1，故存在整数m满足题意，且m的最大值为1.当x∈(x0，＋∞)时，φ(x)单调递增.类型三巧拆函数，有效分离lnx与ex(1)解由题意知，f′(x)＝2ax－lnx－1.易知g(x)在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，则g(x)max＝g(1)＝1，再令φ(x)＝ex－ex，则φ′(x)＝e－ex，易知φ(x)在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，则φ(x)max＝φ(1)＝0，所以ex－ex≤0.因为h(x)与φ(x)不同时为0，令g(x)＝－xlnx，则g′(x)＝－(lnx＋1).(1)解由题意可知，函数f(x)的定义域为(0，＋∞).令φ(x)＝xe－x，则φ′(x)＝e－x－xe－x＝e－x(1－x).∵x>0，∴即证xlnx＋a>xe－x，即证(xlnx＋a)min>(xe－x)max.令h(x)＝xlnx＋a，则h′(x)＝lnx＋1.显然，不等式①②中的等号不能同时成立，当0<x<1时，φ′(x)>0；当x>1时，φ′(x)<0.∴函数φ(x)在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，【例4】

已知函数f(x)＝x－1－alnx.解(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，类型四借助ex≥x＋1或lnx≤x－1(x>0)进行放缩当x∈(0，a)时，f′(x)<0；当x∈(a，＋∞)时，f′(x)>0；所以f(x)在(0，a)单调递减，在(a，＋∞)单调递增，故x＝a是f(x)在(0，＋∞)的唯一最小值点.因为f(1)＝0，所以当且仅当a＝1时，f(x)≥0，故a＝1.(2)由(1)知当x∈(1，＋∞)时，x－1－lnx>0，从而m的最小正整数是m＝3.思维升华1.第(1)问可借助y＝x－1与y＝alnx图象的位置关系，利用导数的几何意义求解，请读者完成.2.第(2)问利用教材习题结论x>1＋lnx(x>0，且x≠1)进行放缩，优化了解题过程.若利用ex替换x，可进一步得到不等式ex≥x＋1(当x≠0时取等号).【训练3】

已知函数f(x)＝ex－a. (1)若函数f(x)的图象与直线l：y＝x－1相切，求a的值； (2)若f(x)－lnx>0恒成立，求整数a的最大值.

解(1)f′(x)＝ex，因为函数f(x)的图象与直线y＝x－1相切，

所以令f′(x)＝1，即ex＝1，得x＝0， ∴切点坐标为(0，－1)，则f(0)＝1－a＝－1，∴a＝2. (2)先证明ex≥x＋1，设F(x)＝ex－x－1，

则F′(x)＝ex－1，令F′(x)＝0，则x＝0，

当x∈(0，＋∞)时，F′(x)>0；当x∈(－∞，0)时，F′(x)<0.所以F(x)在(0，＋∞)上单调递增，在(－∞，0)上单调递减，所以F(x)min＝F(0)＝0，即F(x)≥0恒成立.∴ex≥x＋1，从而ex－2≥x－1(x＝0时取等号).以lnx代换x得lnx≤x－1(当x＝1时，等号成立)，所以ex－2>lnx