八年级下 矩形、菱形与正方形19.2 菱形1. 菱形的性质（全国一等奖）

菱形的性质数学华师大版八年级下新知导入请观察下列这些图形有什么共同特征？都有一种特殊的平行四边形——菱形新知讲解在平行四边形中，如果内角大小保持不变，仅改变边的长度，请仔细观察和思考：在这变化过程中，哪些关系没变？哪些关系变了？平行四边形邻边相等菱形如果改变了边的长度，使两邻边相等，那么这个平行四边形成为怎样的四边形？新知讲解菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．几何语言：∵四边形ABCD是平行四边形，

AB=BC，∴四边形ABCD是菱形．新知讲解将一张长方形的纸对折、再对折，然后沿图中的虚线剪下，打开，你发现这是一个什么样的图形？菱形新知讲解画出菱形的两条折痕，并通过折叠手中的图形回答以下问题：2、菱形是轴对称图形吗？菱形有几条对称轴？对称轴之间有什么关系？1、菱形是中心对称图形吗？若是，对称中心是什么？菱形是中心对称图形，对称中心是对角线的交点．菱形是轴对称图形，对称轴有两条是对角线所在的直线，两条对称轴互相垂直．菱形既是中心对称图形，又是轴对称图形，对称中心是对角线的交点，对称轴是对角线所在的直线．新知讲解具备平行四边形所有的性质对称性：边：角：对角线：既是轴对称图形又是中心对称图形菱形是特殊的平行四边形，因此菱形除具有平行四边形的性质外，还有它的特殊性质．你能说出菱形有哪些特殊性质吗?新知讲解画出菱形的两条对称轴，从边、角、对角线三个方面猜想菱形具有哪些特殊的性质？如何证明？猜想：1、菱形的四条边都相等．2、菱形的对角线互相垂直，且每条对角线对平分一组对角．如何验证以上的猜想？新知讲解命题：菱形的四条边都相等．已知：如图，四边形ABCD是菱形．求证：AB=BC=CD=AD．证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=DC，AD=BC，

∴AB=BC=CD=AD．定理：菱形的四条边都相等．新知讲解命题：菱形的对角线互相垂直，且每条对角线对平分一组对角．已知：如图，四边形ABCD是菱形．求证：AC⊥BD

；AC平分∠DAB和∠DCB；BD平分∠ADC和∠ABC．证明：∵四边形ABCD是菱形，∴DA=AB，OB＝OD，在等腰△DAC中，∵AO=CO，∴DB⊥AC，DB平分∠ADC（三线合一）．同理AC平分∠BCD；BD平分∠ABD和∠ADC．定理：菱形的对角线互相垂直，且每条对角线对平分一组对角．新知讲解对称性边角对角线平行四边形的一般性性质矩形的特殊性质菱形的特殊性质对边平行且相等邻边垂直四个角都是直角中心对称图形既是中心对称图形又是轴对称图形对角相等邻角互补对角线互相平分对角线相等既是中心对称图形又是轴对称图形四条边相等对角线互相垂直平行四边形、矩形、菱形的性质对比新知讲解菱形是特殊的平行四边形，那么能否利用平行四边形面积公式计算菱形的面积吗?思考：计算菱形的面积除了上式方法外，利用对角线能计算菱形的面积公式吗?E【菱形的面积公式】

S菱形

=底×高=对角线乘积的一半．新知讲解例1如图，在菱形ABCD中，∠BAD=2∠B，试求出∠B的大小，并说明△ABC是等边三角形．解：在菱形ABCD中，∵∠BAD+∠B=180°，∠BAD=2∠B，∴∠B=60°．在菱形ABCD中，∵AB=BC（菱形的四条边都相等），∠B=60°，∴△ABC是等边三角形．新知讲解例2如图，已知菱形ABCD的边长为2cm，∠BAD=120°，对角线AC、BD相交于点O．试求这个菱形的两条对角线AC与BD的长．（结果保留根号）解：∵四边形是ABCD菱形，∴OB=OD，AB=AD（菱形的四条边都相等），在△ABO和△ADO中，∵OB=OD，AO=AO，OB=OD，∴△ABO≌△ADO．∴∠BAO=∠DAO=∠BAD=60°

．在△ABC中，∵AB=BC，∠BAC=60°

，∴△ABC为等边三角形，∴AC=AB=2．在菱形ABCD中，∵AC⊥BD（菱形的对角线互相垂直），∴△AOB为直角三角形，∴BO=，∴BD=2BO=（cm）．新知讲解例3如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AE垂直且平分CD，垂足为点E．求∠BCD的大小．解：∵四边形ABCD是菱形，∴AD=DC=CB=BA（菱形的四条边都相等）．又∵AE垂直平分CD，∴AC=AD，∴AC=AD=DC=CB=BA，即△ADC与△ABC都为等边三角形．∴∠ACD=∠ACB=60°，∠BCD=120°．课堂练习1、菱形具有而矩形不一定具有的性质是（）A．对角相等B．对角线互相垂直C．对角线互相平分D．对角线相等2、下列说法错误的是（）A．菱形的四边都相等B．菱形的对角线互相垂直C．菱形的对角线互相平分且平分一组对角D．菱形的对角线相等且互相平分BD课堂练习3、如图在菱形ABCD中，对角线AC，BD交与点O，下列说法错误的是（）A．AB∥CD

B．AC=BD

C．AC⊥BD

D．OA=OC4、如图在菱形ABCD中，对角线AC=6，BD=8，AE⊥BC于点E，则AE的长是（）A．3

B．2

C．9.6

D．4.8BD课堂练习5、如图，菱形ABCD的对角线相交于点O，AC=6cm，BD=8cm，求菱形的高AE．

解：在菱形ABCD中，∵AC=6m，BD=8cm，∴OC=AC=×6=3cm，OB=BD=×8=4cm，∵AC⊥BD，∴BC=5cm，∴CD=BC=5cm，S菱形ABCD=CD•AE=AC•BD，即5AE=×6×8，解得AE=4.8cm．课堂练习6、如图，在菱形ABCD中，过B作BE⊥AD于E，过B作BF⊥CD于F．求证：AE=CF．证明：∵菱形ABCD，∴BA=BC，∠A=∠C，∵BE⊥AD，BF⊥CD，∴∠BEA=∠BFC=90°，在△ABE与△CBF中∠BEA＝∠BFC＝90°，∠A＝∠C，BA＝BC，∴△ABE≌△CBF（AAS），∴AE=CF．拓展提高7、如图，已知菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过C作CE⊥AC，交AB的延长线于点E．（1）求证：四边形BECD是平行四边形；（2）若∠E=50°，求∠DAB的度数．拓展提高（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，DC∥BE，又∵CE⊥AC，∴BD∥EC，∴四边形BECD是平行四边形；（2）解：∵四边形ABCD是菱形，∴AD=AB，∴∠ADB=∠ABD，∵四边形BECD是平行四边形，∴DB∥CE，∴∠CEA=∠DBA=50°，∴∠ADB=50°，∴∠DAB=180°-50°-50°=80°．中考链接1、【2018•大连】如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若AB=5，AC=6，则BD的长是（）A．8B．7C．4D．32、【2018•淮安】如图，菱形ABCD的对角线AC、BD的长分别为6和8，则这个菱形的周长是（）A．20B．24C．40D．48AA课堂总结2．思想方法：S菱形=底×高=两对角线积的一半．从知识和思想方法上谈谈你的收获？（2）探究问题的思维方法：观察—猜想—实验—验证．1．知识上：特性＂特＂在“边、对角线、对称性”．有一组邻边相等的平行四边形叫菱形．1个定义；2个公式；3个特