数字通信原理与技术(第五版) 课件 第10章 伪随机序列及应用

第10章伪随机序列及应用10.1伪随机序列的概念10.2正交码与伪随机码10.3伪随机序列的产生10.4

m序列10.5沃尔什码10.6伪随机序列的应用10.1伪随机序列的概念

在通信技术中，随机噪声是造成通信质量下降的重要因素，因而它最早受到人们的关注。如果信道中存在着随机噪声，对于模拟信号来说，输出信号就会产生失真，对于数字信号来说，解调输出就会出现误码。另外，如果信道的信噪比下降，那么信道的传输容量将会受到限制。

伪随机序列应当具有类似随机序列的性质。在工程上常用二元{0，1}序列来产生伪噪声码，它具有以下几个特点：

(1)在随机序列的每一个周期内0和1出现的次数近似相等。

(2)每一周期内，长度为n的游程取值(相同码元的码元串)出现的次数比长度为n+1的游程次数多一倍。

(3)随机序列的自相关类似于白噪声自相关函数的性质。10.2正交码与伪随机码

若M个周期为T的模拟信号s1(t)，s2(t)，…，sM(t)构成正交信号集合，则有

(10-1)

设序列周期为p的编码中，码元只取值+1和-1,而x和y是其中两个码组:常数i=j0式中，xi,yi∈（+1，-1）,i=1,2,…，n,则x

和y之间的互相关函数定义为(10-2)

若码组x和y正交，则有ρ(x,y)=0。如果一种编码码组中任意两者之间的相关系数都为0，即码组两两正交，这种两两正交的编码就称为正交编码。由于正交码各码组之间的相关性很弱，受到干扰后不容易互相混淆，因而具有较强的抗干扰能力。类似地，对于长度为ρ的码组x的自相关函数定义为

(10-3)

对于{0，1}二进制码，

式(11-2)的互相关函数定义可简化为

ρ(x,y)=(A-D)/(A+D)=(A-D)/p

(10-4)式中，A是x和y中对应码元相同的个数；D是x和y中对应码元不同的个数。式(11-3)的自相关函数也表示为ρx(j)=(A-D)/(A+D)=(A-D)/p

(10-5)式中，A是码字xi与其位移码字xi+j的对应码元相同的个数：D是对应码元不同的个数。伪随机码具有白噪声的统计特性，因此，对伪随机码定义可写为

(1)凡自相关函数具有（10-6）

形式的码，

称为伪随机码，

又称为狭义伪随机码。

（2）

凡自相关函数具有

（10-7）

形式的码，称为广义伪随机码。狭义伪随机码是广义伪随机码的特例。

10.3伪随机序列的产生

编码理论的数学基础是抽象代数的有限域理论。一个有限域是指集合F元素个数是有限的，而且满足所规定的加法运算和乘法运算中的交换律、结合律、分配律等。常用的只含（0，1）两个元素的二元集F2,由于受自封性的限制，这个二元集只有对模二加和模二乘才是一个域。一般来说，对整数集Fp={0,1,2,…,p-1},若p为素数，对于模p的加法和乘法来说，Fp是一个有限域。

可以用移位寄存器作为伪随机码产生器，产生二元域F2及其扩展域F2m中的各个元，m为正整数。可用域上多项式来表示一个码组，

域上多项式定义为

（10-8）

称其为F的n阶多项式，加号为模二和。式中，ai是F的元，anxn称为f(x)的首项，an是f(x)的首项系数。记F域上所有多项式组成的集合为F(x)。若g(x)是F(x)中的另一多项式，

（10-9）

如果n≥m，规定f(x)和g(x)的模二和为

（10-10）

其中,bm+1=bm+2=…=bn=0。

规定f(x)和g(x)的模二乘为

（10-11）

若g(x)≠0，则在F(x)总能找到一对多项式q(x)(称为商)和r(x)(称为余式)使得

f(x)=q(x)g(x)+r(x)（10-12）

这里r(x)的阶数小于g(x)的阶数。

式（10-12）称为带余除法算式，当余式r(x)=0,就说f(x)可被g(x)整除。

图10-1是一个4级移位寄存器，用它就可产生伪随机序列。规定移位寄存器的状态是各级存数从右至左的顺序排列而成的序列，这样的状态叫正状态或简称状态；反之，称移位寄存器状态是各级存数从左至右的顺序排列而成的序列叫反状态。图10-1中的反馈逻辑为

(10-13)图

10-14级移位寄存器

当移位寄存器的初始状态是1000时，即an-4=1,an-3=0,an-2=0,an-1=0,经过一个时钟节拍后，各级状态自左向右移到下一级，末级输出一位数，与此同时模二加法器输出加到移位寄存器第一级，从而形成移位寄存器的新状态，下一个时钟节拍到来又继续上述过程，末级输出序列就是伪随机序列。在这种条件下，图11-1产生的伪随机序列是{an-4}=1000100110101111000100110101111…P=15这是一个周期长度p=15的随机序列。

当图10-1的初始状态是0状态时，即an-4=an-3=an-2=an-1=0移存器的输出是一个0序列。

4级移存器共有16个状态，除去一个0状态外，还有15个状态。对于图10-1来说，只要随机序列的周期达到最大值，这时无论如何改变移存器的初始状态，其输出只改变序列的初相，序列的排序规律不会改变。但是，如果改变图10-1四级移存器的反馈逻辑，其输出序列就会发生变化。例如，

当反馈逻辑变成

(10-14)时，给定不同的初始状态1111、0001、1011，可以得到三个完全不同的输出序列111100111100…，

000101000001…，

101101101101它们的周期分别是6、6和3。

由此，我们可以得出以下几点结论：（1）线性移位寄存器的输出序列是一个周期序列。（2）当初始状态是0状态时，线性移位寄存器的输出是一个0序列。（3）级数相同的线性移位寄存器的输出序列与寄存器的反馈逻辑有关。（4）序列周期p<2n-1(n级线性移位寄存器)的同一个线性移存器的输出还与起始状态有关。（5）序列周期p=2n-1的线性移位寄存器，改变移位寄存起初始状态只改变序列的起始相位，而周期序列排序规律不变。10.4m

序

列

10.4.1线性反馈移位寄存器的特征多项式

1.线性反馈移位寄存器的递推关系式递推关系式又称为反馈逻辑函数或递推方程。设图10-2所示的线性反馈移位寄存器的初始状态为(a0a1…an-2an-1)，经一次移位线性反馈，移位寄存器左端第一级的输入为若经k次移位，则第一级的输入为

(10-15)其中，l=n+k-1≥n,k=1,2,3,…

由此可见，移位寄存器第一级的输入，由反馈逻辑及移位寄存器的原状态所决定。式(10-15)称为递推关系式。图

10-2n级线性反馈移位寄存器

2.线性反馈移位寄存器的特征多项式用多项式f(x)来描述线性反馈移位寄存器的反馈连接状态：(10-16)式(10-16)称为特征多项式或特征方程。其中，xi存在，表明ci=1，否则ci=0，x本身的取值并无实际意义。ci的取值决定了移位寄存器的反馈连接。由于c0=cn=1，因此，f(x)是一个常数项为1的n次多项式，n为移位寄存器级数。

可以证明，一个n级线性反馈移位寄存器能产生m序列的充要条件是它的特征多项式为一个n次本原多项式。若一个n次多项式f(x)满足下列条件:(1)f(x)为既约多项式(即不能分解因式的多项式)；

(2)f(x)可整除(xp+1),p=2n-1;(3)f(x)除不尽(xq+1),q<p。则称f(x)为本原多项式。以上为我们构成m序列提供了理论根据。10.4.2m序列产生器用线性反馈移位寄存器构成m序列产生器，关键是由特征多项式f(x)来确定反馈线的状态，而且特征多项式f(x)必须是本原多项式。现以n=4为例来说明m序列产生器的构成。用4级线性反馈移位寄存器产生的m序列，其周期为p=24-1=15，其特征多项式f(x)是4次本原多项式，能整除(x15+1)。先将(x15+1)分解因式，使各因式为既约多项式，再寻找f(x)。其中，4次既约多项式有3个，但(x4+x3+x2+x+1)能整除(x5+1)，故它不是本原多项式。因此找到两个4次本原多项式(x4+x+1)和(x4+x3+1)。由其中任何一个都可产生m序列。用f(x)=(x4+x+1)构成的m序列产生器如图10-3所示。图

10-3m序列产生器

设4级移位寄存器的初始状态为1000。c4=c1=c0=1,c3=c2=0。输出序列{ak}的周期长度为

15。

10.4.3m序列的性质

1.均衡特性(平衡性)m序列每一周期中1的个数比0的个数多1个。由于p=2n-1为奇数，因而在每一周期中1的个数为(p+1)/2=2n-1(偶数)，而0的个数为(p-1)/2=2n-1-1(奇数)。上例中p=15,1的个数为8，0的个数为7。当p足够大时，在一个周期中1与0出现的次数基本相等。

2.游程特性(游程分布的随机性)

我们把一个序列中取值(1或0)相同连在一起的元素合称为一个游程。在一个游程中元素的个数称为游程长度。例如图

11-2中给出的m序列

{ak}=000111101011001…在其一个周期的15个元素中，共有8个游程，其中长度为4的游程1个，即1111;长度为3的游程1个，即000；长度为2的游程2个，即11与00；长度为1的游程

4个，

即

2个

1与

2个

0。

m序列的一个周期(p=2n-1)中，游程总数为2n-1。其中，长度为1的游程个数占游程总数的1/2；长度为2的游程个数占游程总数的1/22=1/4；长度为3的游程个数占游程总数的1/23=1/8；等等。一般地，长度为k的游程个数占游程总数的1/2k=2-k，其中1≤k≤(n-2)。而且，在长度为k的游程中，连1游程与连0游程各占一半，长为(n-1)的游程是连0游程，长为

n

的游程是连1游程。

3.移位相加特性(线性叠加性)

m序列和它的位移序列模二相加后所得序列仍是该m序列的某个位移序列。设mr是周期为p的m序列mp的r次延迟移位后的序列，

那么

(10-17)其中，ms为mp某次延迟移位后的序列。例如，

mp=000111101011001,…mp延迟两位后得mr,再模二相加

mr=010001111010110,…

ms=mp⊕mr=010110010001111,…

可见，ms=mp⊕mr为mp延迟

8位后的序列。

4.自相关特性

m序列具有非常重要的自相关特性。在m序列中，常常用+1代表0，用-1代表1。此时定义：设长为

p的m序列，记作a1,a2,a3,…,ap(p=2n-1)经过j次移位后，m序列为

aj+1,aj+2,aj+3,…,aj+p

其中，ai+p=ai(以p为周期)，以上两序列的对应项相乘然后相加，利用所得的总和

来衡量一个m序列与它的j次移位序列之间的相关程度，并把它叫做m序列(a1,a2,a3,…,ap)的自相关函数。

记作

(10-18)

当采用二进制数字

0和

1代表码元的可能取值时，式(10-18)可表示为

(10-19)式中，A、D分别是m序列与其j次移位的序列在一个周期中对应元素相同、不相同的数目。

式(10-19)还可以改写为

(10-20)由移位相加特性可知，ai⊕ai+j仍是m序列中的元素，所以式(11-20)分子就等于m序列中一个周期中0的数目与1的数目之差。另外由m序列的均衡性可知，在一个周期中0比1的个数少一个，故得A-D=-1(j为非零整数时)或p(j为零时)。因此得(10-21)如图

10-4所示。

m序列的自相关函数只有两种取值(1和-1/p)。

R(j)是一个周期函数，

即

R(j)=R(j+kp)(10-22)式中，k=1,2,…,p=(2n-1)为周期。而且R(j)是偶函数，

即

R(j)=R(-j)j=整数

(10-23)图

10-4m序列的自相关函数

5.伪噪声特性如果我们对一个正态分布白噪声取样，若取样值为正，记为+1，若取样值为负，记为-1，将每次取样所得极性排成序列，可以写成

…+1,-1,+1,+1,+1,-1,-1,+1,-1,…这是一个随机序列，它具有如下基本性质：

(1)序列中+1和-1出现的概率相等；

(2)序列中长度为1的游程约占1/2，长度为2的游程约占1/4，长度为3的游程约占1/8,…一般地，长度为k的游程约占1/2k，而且+1、-1游程的数目各占一半；

(3)由于白噪声的功率谱为常数，因此其自相关函数为一冲击函数δ(τ)。把m序列与上述随机序列比较，当周期长度p足够大时，m序列与随机序列的性质是十分相似的。可见，m序列是一种伪噪声特性较好的伪随机序列，且易产生，因此应用十分广泛。 10.5沃尔什码沃尔什函数集是完备的非正弦型的二元(取值为+1与-1)正交函数集,其相应的离散沃尔什函数简称为沃尔什序列或沃尔什码,用WN(n)表示,n为离散沃尔什函数的编号,N为离散沃尔什函数长度(即元素或码元的个数)。两个离散沃尔什函数只有当它们的编号和长度相同时,这两个离散沃尔什函数才是相同的。离散沃尔什函数可由哈达马(Hadamard)矩阵的行(或列)构成。一阶哈达马矩阵为高阶哈达马矩阵的递推公式如下:(10－24)式中:Nm=2m,m=1,2,3,…。例如:m=1时,m=2时,m=3时,m=4,5,6,…时,其哈达马矩阵可依次递推。Nm阶哈达马矩阵的通式可表示为(10－25)式中:Nm=2m,m=1,2,3,…(10－26)

10.6伪随机序列的应用10.6.1扩展频谱通信扩展频谱通信系统是将待传送的基带信号在频域上扩展为很宽的频谱，远远大于原来信号的带宽；在接收端再把已扩展频谱的信号变换到原来信号的频带上，恢复出原来的基带信号。该系统的方框图如图10－5所示。图10－5扩展频谱通信系统扩展频谱技术的理论基础是香农公式。对于加性白高斯噪声的连续信道，其信道容量C与信道传输带宽B及信噪比S/N之间的关系可以用下式表示:(10－27)

这个公式表明，在保持信息传输速率不变的条件下，信噪比和带宽之间具有互换关系。就是说，可以用扩展信号的频谱作为代价，换取用很低信噪比传送信号，同样可以得到很低的差错率。扩频系统有以下特点：(1)具有选择地址能力；(2)信号的功率谱密度很低，有利于信号的隐蔽；(3)有利于加密，防止窃听；(4)抗干扰性强；(5)抗衰落能力强；(6)可以进行高分辨率的测距。扩频通信系统的工作方式有：直接序列扩频、跳变频率扩频、跳变时间扩频和混合式扩频。

1.直接序列扩频方式直接序列扩频(DirectSequenceSpreadSpectrum)又称为直扩(DS)，它是用高速率的伪随机序列与信息序列模二加后的序列去控制载波的相位而获得直扩信号的。图10-6(a)和(b)就是直扩系统的原理方框图和扩频信号传输图。在图10-6中，信息码与伪码模二加后产生发送序列，进行2PSK调制后输出。在接收端用一个和发射端同步的伪随机码所调制的本地信号，与接收到的信号进行相关处理，相关器输出中频信号经中频电路和解调器，恢复原信息。图10－6直扩系统方框图和扩频信号传输图(a)直扩系统原理方框图;(b)扩频信号传输图

2.跳变频率扩频方式跳变频率扩频(FrequencyHoppingSpreadSpectrum)又称跳频(FH)，它是用伪码构成跳频指令来控制频率合成器，并在多个频率中进行选择的移频键控。跳频指令由所传信息码与伪随机码模二加的组合来构成，它又称为跳频图案。跳频系统原理图如图10－7所示。图10－7跳频系统原理图

3.跳变时间扩频方式跳变时间扩频(TimeHoppingSpreadSpectrum)又称为跳时(TH)，该系统是用伪码序列来启闭信号的发射时刻和持续时间的。该方式一般和其他方式混合使用。以上

3种工作方式是基本的工作方式，

最常用的是直扩方式和跳频方式两种。

4.混合式扩频方式在实际系统中，仅仅采用单一工作方式不能达到所希望的性能时，往往采用两种或两种以上工作方式的混合式扩频。

如FH/DS,DS/TH,FH/TH等。

10.6.2码分多址(CDMA)通信码分多址系统给每个用户分配一个多址码。要求这些码的自相关特性尖锐,而互相关特性的峰值尽量小,以便准确识别和提取有用信息。同时各个用户间的干扰可减小到最低限度。码分多址系统有以下特点:①所有用户可以异步地共享整个频带资源,也就是说,不同用户码元发送信号的时间并不要求同步;②系统容量大;③信道数据率非常高。

1)跳频码分多址(FH－CDMA)跳频是指将待传送码元的载波分量随着时间顺序受一个伪随机序列控制而随机跳动。在该系统中,每个用户根据各自的伪随机序列,动态改变其已调信号的中心频率。各用户的中心频率可在给定的系统带宽内随机改变。其主要特征是带宽通常要比各用户已调信号的带宽宽得多。

FH－CDMA类似于FDMA,但使用的频道是动态变化的,且各用户使用的频率序列要求相互正交,在任一时刻都不相同。跳频的具体实现方框图如图10－8所示。图10－8跳频发送、接收端实现框图

2)直扩码分多址(DS－CDMA)在直接序列扩频码分多址系统中,所有用户工作在相同的中心频率上,输入数据序列与伪随机序列相乘得到宽带信号。不同的用户(或信道)使用不同的伪随机序列。这些伪随机序列相互正交,从而可像FDMA和TDMA系统中利用频率和时隙区分不同用户一样,利用伪随机序列来区分不同的用户。

(1)DS－CDMA系统框图,DS－CDMA系统实现框图如图10－9所示。图10－9

DS－CDMA系统发、收端实现框图图10－10

DS－CDMA构成方式(a)用地址码区分用户;(b)用伪随机码区分用户

(2)DS－CDMA构成方式。DS－CDMA的方式有两个,如图10－10所示。

(3)DS－CDMA特点。①具有抗干扰和抗多径衰落的能力。数字信息的扩展频谱信号占有带宽BW远远大于基带信号带宽BS。

BW与BS之比称为扩频增益GP(GP=BW/BS)。它表示扩频系统解扩后信噪比的改善程度。GP越大,抗干扰能力越强。②保密性能强。无论是直扩还是跳频,扩频后其频谱均为近似白噪声,因此具有良好的保密性能。③易于实现大容量多址通信。降低系统干扰,可直接提高系统容量。CDMA的系统容量为FDMA系统容量的20倍左右。④良好的隐蔽性能。由于扩频属于宽带系统,因而频带越宽,功率谱密度就越低。⑤可与窄带系统共存。许多码分信道共用一个载波频率,扩频传输的抗干扰能力可使CDMA系统在相邻小区重复使用该频率,这不仅可使频率分配和管理简单,而且可以与窄带FDMA、TDMA系统共享频带,相互影响很小。⑥存在自身多址干扰和远近效应。自身多址干扰的存在是因为所有用户都工作在相同的频率上,且各用户的地址不可能完全正交。因此进入接收机的信号除了所希望的有用信号外,还叠加有其他用户的地址码信号(即多址干扰)。我们知道,多址干扰直接限制着系统容量的扩大。多址干扰的大小取决于在该频率上工作的用户数及各用户的功率大小。10.6.3通信加密数字通信的一个重要优点是容易做到加密,在这方面m序列应用很多。数字加密的基本原理如图10-11所示。将信源产生的二进制数字消息和一个周期很长的m序列模二相加,这样就将原消息变成不可理解的另一序列。将这种加密序列在信道中传输，被他人窃听也不可理解其内容。在接收端再加上一同样的m序列，就能恢复为原发送消息。图10-11利用m序列加密设信源发送的数码为X1={1011010011…},m序列Y={1100001011…}。数码X1与m序列Y的各对应位分别进行模二加运算后，获得序列E，显然E不同于X1，它已失去了原信息的意义。如果不知道m序列Y，就无法解出携带原信息的数码X1,从而起到保密作用。假设信道传输过程中无误码，序列E到达接收端后与m序列Y再进行模二加运算，可恢复原数码X1

，即上述工作过程如图

10-12所示。

图

10-12数字信号的加密与解密

10.6.4误码率的测量在数字通信中误码率是一项主要的性能指标。在实际测量数字通信系统的误码率时，一般测量结果与信源送出信号的统计特性有关。通常认为二进制信号中0和1是以等概率随机出现的，所以测量误码率时最理想的信源应是随机信号产生器。由于m序列是周期性的伪随机序列，可作为一种较好的随机信源。通过终端机和信道后，输出仍为m序列。在接收端，本地产生一个同步的m序列，与收码序列逐位进行模二加运算，一旦有错，就会出现“1”码，用计数器计数，如图10-13所示。图

10-13误码率测试

10.6.5数字信息序列的扰码与解扰信道中的随机噪声有损于通信的质量,因而称之为干扰。但人们有时也希望得到随机噪声。比如,在一个二进码元序列构成的基带信号中,存在着连续的全“0”、全“1”序列,这种信号因有固定谱线而会干扰其他信道,同时会造成系统失步。我们可以人为地建造某些干扰,破坏原来的码元序列,形成伪随机序列,达到避免干扰的目的。如果我们能够先将信源产生的数字信号变换成具有近似于白噪声统计特性的数字序列,再进行传输,在接收端收到这个序列后,先变换成原始数字信号,再送给用户,这样就可以给数字通信系统的设计和性能估计带来很大方便。所谓扰码技术,就是不用增加多余度而扰乱信号,改变数字信号统计特性,将输入数据序列中存在的短周期序列或全“0”、全“1”序列,按某种规律变换成长周期的随机序列,使其近似于白噪声统计特性的一种技术。扰码的作用主要是:①避免交调的影响。防止发端功率谱中因有固定谱线而干扰其他系统。短周期数字信号中含有频率足够高的单音,这种单音能和载波或调制信号发生交调,成为相邻信道内传输信号的干扰。②有利于定时恢复。为了在准确的时间点上判定信号,在接收端和再生中继器中都需要一个与发端完全同步的定时脉冲。扰码的设置,可以防止二进码组中的全“0”、全“1”序列干扰定时器工作,有利于数据接收设备中的定时恢复。③有利于自适应均衡器的工作。当传输系统中具有时域均衡器时,扰码器能改善数据信号的随机性,从而改善自适应均衡器所需抽头增益调节信息的提取,这样就能保证均衡器总是处于最佳工作状态。扰乱方法有两种:一是用一个随机序列与输入数据序列进行逻辑加;二是用伪随机序列来代替完全随机序列进行扰乱与解扰。实际的数据通信系统中都采用第二种方法。采用加乱技术的通信系统通常在发送端用加乱器来改变原始数字信号的统计特性，而接收端用解扰器恢复出原始数字信号，图10-14中给出一种由7级移存器组成的自同步加扰器和解扰器的原理方框图。由图可以看出，加扰器是一个反馈电路，解扰器是一个前馈电路，它们分别都是由5级移存器和两个模二加法电路组成的。

图10-14自同步加扰器和解扰器原理框图

设加乱器的输入数字序列为{ak}，输出为{bk}；解乱器的输入数字序列为{bk}，输出为{ck}。加扰码器的输出为而解扰器的输出

上两式表明，

解扰后的序列与加扰前的序列相同。

这种解扰器是自同步的，因为如果信道干扰造成错码，它的影响只持续错码位于移存器内的一段时间，即最多影响连续7个输出码元。如果断开输入端，扰码器就变成一个线性反馈移存器序列产生器，其输出为一周期性序列，一般设计反馈抽头的位置，使其构成为m序列产生器。这样可以最有效地将输入序列搅乱，使输出数字码元之间相关性最小。加扰器的作用可以看作是使输出码元成为输入序列许多码元的模二和。因此可以把它当作是一