专题06 椭圆性质综合归类 （解析版）2023-2024学年高二数学上学期期中期末复习讲练测（人教A版2019选择性必修第一册）

第第页专题06椭圆性质综合归类一、核心考点题型归纳【题型一】椭圆轨迹【题型二】立体几何中的椭圆轨迹【题型三】椭圆第一定义【题型四】焦半径中点【题型五】焦半径与定义【题型六】第一定义求最值【题型七】定义型：三角形两边和与差范围【题型八】焦点三角形面积【题型九】焦点三角形面积最值范围【题型十】求离心率【题型十一】离心率最值与范围【题型十二】由离心率求参数范围【题型十三】三角形余弦定理型求离心率二、期中期末好题培优练热点好题归纳知识点与技巧：一、求轨迹方程的常用方法（1）直接法：如果动点满足的几何条件本身就是一些几何量，如（距离和角）的等量关系，或几何条件简单明了易于表达，只需要把这种关系转化为的等式，就能得到曲线的轨迹方程；（2）定义法：某动点的轨迹符合某一基本轨迹如直线、圆锥曲线的定义，则可根据定义设方程，求方程系数得到动点的轨迹方程；（3）几何法：若所求轨迹满足某些几何性质，如线段的垂直平分线，角平分线的性质，则可以用几何法，列出几何式，再代入点的坐标即可；（4）相关点法（代入法）：若动点满足的条件不变用等式表示，但动点是随着另一动点（称之为相关点）的运动而运动，且相关点满足的条件是明显的或是可分析的，这时我们可以用动点的坐标表示相关点的坐标，根据相关点坐标所满足的方程，求得动点的轨迹方程；（5）交轨法：在求动点轨迹时，有时会出现求两个动曲线交点的轨迹问题，二、求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下：（1）定义法：通过已知条件列出方程组或不等式组，求得、的值或不等式，根据离心率的定义求解离心率的值或取值范围；（2）齐次式法：由已知条件得出关于、的齐次方程或不等式，然后转化为关于的方程或不等式求解；（3）特殊值法：通过取特殊位置或特殊值构建方程或不等式，求得离心率的值或取值范围.【题型一】椭圆轨迹1.（2021·全国·333高一专题练习）两动直线与的交点轨迹是（

）.A．椭圆的一部分 B．双曲线的一部分C．抛物线的一部分 D．圆的一部分【答案】A【分析】令，，则,由于过定点，过定点，令与的交点为，利用轨迹法可求得点的轨迹方程，进而得出结果.【详解】令，则，，所以，过定点，过定点，令与的交点为，则，，所以整理得，因为、存在，所以，所以点的轨迹为椭圆的一部分.故选：A.2.（2023秋·河南南阳·高二校联考阶段练习）已知点P是圆上的动点，作轴于点H，则线段PH的中点M的轨迹方程为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】设出中点，利用几何关系建立与点P坐标的关系，代入圆方程即可整理出轨迹方程.【详解】如下图所示：

不妨设，则满足；易知，又线段的中点为，可得；即，代入方程可得，整理得.故选：D3.（2023·江苏·高二专题练习）已知动圆过点，并且在圆B：的内部与其相切，则动圆圆心的轨迹方程为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据圆与圆的位置关系，整理等式，根据椭圆的定义，可得答案.【详解】由圆，则其圆心，半径为，设动圆的圆心为，半径为，由圆在圆的内部与其相切，则，由圆过点，则，即，所以动点的轨迹为以为焦点的椭圆，则，，，所以其轨迹方程为.故选：D.4.（2023秋·重庆·高一重庆一中校考开学考试）已知是圆内异于圆心的一定点，动点满足：在圆上存在唯一点，使得，则的轨迹是（

）A．直线 B．圆 C．椭圆 D．双曲线【答案】C【分析】根据向量垂直关系可确定点轨迹是以为直径的圆，且该圆与圆相内切；根据圆与圆的位置关系可确定，知点轨迹为椭圆；采用相关点法可确定点轨迹方程，由此可得结论.【详解】，，点轨迹是以为直径的圆，又在圆上且唯一，以为直径的圆与圆相内切，设中点为，圆半径为，由两圆内切且点在圆内可得：，，点轨迹是以为焦点，为长轴长的椭圆，以所在轴为轴，中点为坐标原点，可建立如图所示平面直角坐标系，不妨设，，点轨迹为，设，，则，，点轨迹为椭圆.故选：C.5.（2022·全国·高二专题练习）已知在中，点，点，若，则点C的轨迹方程为（

）A． B．（）C． D．（）【答案】B【分析】设动点,由两点间斜率公式及倾斜角的关系,可得的方程,化简即可得动点C的轨迹方程,排除不符合要求的点即可.【详解】设由两点间斜率公式可得由斜率与倾斜角关系,结合可得变形可得当时,C与A或B重合,不合题意所以点C的轨迹方程为（）故选:B【题型二】立体几何中的椭圆轨迹1.如图所示，为长方体，且AB=BC=2，=4，点P为平面上一动点，若，则P点的轨迹为（）A．抛物线 B．椭圆 C．双曲线 D．圆【答案】B【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量的坐标运算和轨迹方程思想求得的轨迹方程，进而根据方程判定轨迹类型.【详解】如图，建立直角坐标系，则,.设,则向量，向量,，∴，即,,,这方程表示的轨迹是平面上的椭圆，故选：B.2.．棱长为的正方体中，点P在平面内运动，点到直线的距离为定值，若动点的轨迹为椭圆，则此定值可能为（）A． B． C． D．【答案】A【分析】设，分析出点在以为轴的圆锥的侧面上，计算出，并分析出，可得出，由此可得出合适的选项.【详解】如下图所示：因为点到直线的距离为定值，所以，点在以为轴的圆锥的侧面上，因为点的轨迹为椭圆，即圆锥被平面所截的截面为椭圆，设圆锥轴截面的半顶角为，则点到直线的距离为，当截面与圆锥的母线平行时，即时，截面为抛物线，不合乎题意，所以，.综合选择，可知A选项合乎题意.故选：A.3.如图，已知水平地面上有一半径为3的球，球心为，在平行光线的照射下，其投影的边缘轨迹为椭圆C．如图，椭圆中心为O，球与地面的接触点为E，．若光线与地面所成角为，椭圆的离心率__________．【答案】【分析】根据平行投影计算出椭圆C的短半轴长b，再求出光线与水平面所成锐角的正弦，进而求得椭圆C的长轴长2a而得解.【详解】连接，则，因为，如图：所以，所以在照射过程中，椭圆的短半轴长b是球的半径R，即，过球心与椭圆长轴所在直线确定的平面截球面所得大圆及对应光线，如图：椭圆的长轴长是，过A向做垂线，垂足是B，则，由题意得：，又，则，，即，所以椭圆的离心率为.故答案为：4.（2021春·浙江湖州·高二浙江省德清县第三中学校考开学考试）如图，在棱长为1的正方体中，点M是底面正方形的中心，点P是底面所在平面内的一个动点，且满足，则动点P的轨迹为（

）A．圆 B．抛物线 C．双曲线 D．椭圆【答案】D【分析】建立适当的空间直角坐标系，求出向量，，代入化简整理为的形式，即可通过判别式判断轨迹.【详解】在点D处建立如图所示直角坐标系，正方体的棱长为1，则，，设点，，，，，化简得，等式两边同时平方可得，，上式表示椭圆，即点P的轨迹方程为椭圆.故选：D5.（2020秋·安徽黄山·高二统考期末）如图所示正方体中，设是底面正方形所在平面内的一个动点，且满足直线与直线所成的角等于，则以下说法正确的是（

）A．点的轨迹是圆 B．点的轨迹是椭圆C．点的轨迹是双曲线 D．点的轨迹是抛物线【答案】B【分析】以为原点建立空间直角坐标系，可利用异面直线夹角的向量求法构造等量关系，整理可得点的轨迹方程，从而确定轨迹图形.【详解】以为原点可建立如下图所示的空间直角坐标系设正方体棱长为，，则，，左右平方整理可得：，即点轨迹为点轨迹为椭圆。故选：【题型三】椭圆第一定义1.（2024·全国·高一专题练习）已知点，是椭圆上关于原点对称的两点，，分别是椭圆的左、右焦点，若，则（

）A．1 B．2 C．4 D．5【答案】C【分析】先证明四边形是平行四边形，再利用椭圆的定义求出即得解.【详解】因为,所以四边形是平行四边形.所以.由椭圆的定义得.所以.故选：C

2.（2023·全国·高二专题练习）设是椭圆的两个焦点，P在椭圆上，已知是一个直角三角形的三个顶点，且，则的值是（

）A．或2 B．或 C．或 D．或2【答案】D【分析】由题设可知轴或，由此进行分类讨论，利用已知条件结合椭圆的定义求出，即可求出的值．【详解】因为为椭圆两个焦点，所以，，则，，因为，则P点位于x轴右侧，则轴或故当轴时，P的横坐标为，其纵坐标为，则，，故；当时，设，，则，由勾股定理可得，即，解得或（舍去），故，综上，的值为或，故选：D3.（2023·全国·高二专题练习）设P为椭圆C：上一点，，分别为左、右焦点，且，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据椭圆的定义写出，再根据条件即可解得答案.【详解】根据P为椭圆C：上一点，则有，又，所以，故选：B.4.（2021·高二课时练习）已知点为椭圆的右焦点，点为椭圆与圆的一个交点，则（

）A．1 B． C．2 D．【答案】B【解析】求出椭圆的焦点坐标，圆的圆心和半径，利用椭圆的定义进行转化，即可求解．【详解】由题意，点F为椭圆C：的右焦点，则，左焦点为，圆的圆心坐标为，半径为，可得圆的圆心恰好为椭圆的左焦点，又由P为椭圆C与圆的一个交点，根据椭圆的定义可得，所以．故选：B．5.（2022春·陕西西安·高一校考阶段练习）已知椭圆上的一点P到椭圆一个焦点的距离为3，到另一焦点距离为7，则m等于（

）A．5 B．10 C．15 D．25【答案】D【解析】利用椭圆的定义，化简求解即可．【详解】由椭圆定义知|PF1|+|PF2|＝2a＝10，椭圆1可知，椭圆的焦点坐标在x轴，∴a＝5，∴a2＝25，即m＝25．故选：D．【题型四】焦半径中点1.（2022秋·河南周口·高二校考期中）点是椭圆的一个焦点，点在椭圆上，线段的中点为，且（为坐标原点），则线段的长为（

）A．2 B．3 C．4 D．【答案】A【分析】利用中位线先求出，再结合椭圆定义即可求解.【详解】如下图所示，连接，为的中点，且，可得由椭圆方程可知，.，根据椭圆定义有，故选：A2.（2022春·四川内江·高二四川省资中县球溪高级中学统考阶段练习）已知椭圆的左焦点是，右焦点是，点P在椭圆上，如果线段的中点在y轴上，那么（

）A．3：5 B．3：4 C．5：3 D．4：3【答案】A【分析】求出椭圆的焦点坐标，再根据点在椭圆上，线段的中点在轴上,求得点坐标，进而计算，从而求解.【详解】由椭圆方程可得：,设点坐标为，线段的中点为，因为线段的中点在轴上，所以，即，代入椭圆方程得或，不妨取,则，所以，故选：A.3.（2021春·宁夏吴忠·高二青铜峡市高级中学校考阶段练习）如图，是椭圆上的一点，是椭圆的左焦点且，，则（

）A．2 B． C．3 D．4【答案】A【分析】由椭圆的方程求出，设椭圆的右焦点为，可知，在结合椭圆的定义即可求解.【详解】由可得：因为，所以点是线段的中点，设椭圆的右焦点为，则是的中点，所以，由椭圆的定义可知：，所以，故选：A.4.（2020秋·山东济南·高二校考阶段练习）已知椭圆的左焦点为，点在椭圆上，且在轴上方，若线段的中点在以原点为圆心，为半径的圆上，则直线斜率为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】设线段的中点为，连接，连接，则，得到，，结合余弦定理和三角函数的基本关系式，即可求解.【详解】如图所示，由椭圆，可得，设椭圆的右焦点，连接，线段的中点为，连接，则，又由，设，在中，,所以，则，即直线斜率为.故选：B.5.（2023秋·全国·高二期中）已知椭圆，点与的焦点不重合，若关于的焦点的对称点分别为，，线段的中点在上，则（

）A．10 B．15 C．20 D．25【答案】C【分析】根据题意，画出图像，结合条件可得，，再结合椭圆的定义即可得到结果.【详解】设的中点为，椭圆的左右焦点分别为，则为的中点，为的中点，所以，同理，所以.故选:C【题型五】焦点弦与定义1.（2021秋·黑龙江·高二期中）已知，是椭圆的两焦点，过点的直线交椭圆于点、，若，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】结合椭圆定义与已知条件即可求得的值．【详解】解：由，得，，如图：，且，，故选：C.2.（2020秋·河北唐山·高一校考期中）已知、是椭圆的两焦点，过点的直线交椭圆于、两点．在中，若有两边之和是，则第三边的长度为（

）A．6 B．7 C．8 D．4【答案】B【分析】根据椭圆的定义即可求出的周长，进而可得第三边的长度.【详解】由可得，所以，由椭圆的定义可得：，，所以的周长，因为有两边之和是，所以第三边的长度为，故选：B.3.（2021·全国·高一专题练习）已知是椭圆：的左焦点，椭圆上一点关于原点的对称点为，若的周长为.则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】设出椭圆的右焦点，根据的周长结合四边形的形状以及椭圆的定义求解出的值，然后根据点在椭圆上求解出的值，则的值可求.【详解】设椭圆的右焦点为，连接，由对称性可知四边形为平行四边形，所以，由椭圆定义可知：，所以的周长为，所以，又因为在椭圆上，所以，所以，所以，故选：A.4.（2019秋·吉林长春·高二东北师大附中校考期末）椭圆的焦点为，，过的直线交椭圆于，两点，交轴于点.若，是线段的三等分点，则的周长为（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据三等分点结合三角形中位线定理、中点坐标公式，运用代入法、椭圆的定义进行求解即可.【详解】不妨设点在第一象限，，分别为椭圆的左右两焦点，因为，是线段的三等分点，所以是线段的中点，而坐标原点是的中点，所以，因此垂直于横轴，把代入椭圆方程中得：，所以，且，由中点坐标公式可得：，为线段的中点，结合中点坐标公式可得：，点在椭圆上，则：，得，而，所以，由椭圆的定义可知，的周长为，故选：D5.（2022·高二课时练习）已知椭圆的左、右焦点分别为为椭圆上异于端点的任意点，O为坐标原点，的中点分别为M，N，若四边形的周长为，则的周长是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据椭圆定义和三角形中位线定理可得，由求得，再计算焦点三角形的周长.【详解】由已知得，而的中点分别为M，N，所以，，所以，又由椭圆的定义知，所以，所以．故的周长为．故选：.【题型六】第一定义求最值1.（2023·全国·高一专题练习）已知分别为椭圆的两个焦点，为椭圆上一点，则的最大值为（

）A．64 B．16 C．8 D．4【答案】B【分析】由，根据三角形的三边关系有求解.【详解】解：，因为椭圆上的点满足，当点为的延长线与的交点时，取得最大值，最大值为．所以的最大值为16．故选：B．2.（2023·云南·高一校联考阶段练习）已知，P是椭圆上的任意一点，则的最大值为（

）A．9 B．16 C．25 D．50【答案】C【分析】由椭圆定义有，再应用基本不等式求最大值，注意取值条件.【详解】由题意，当且仅当时等号成立，所以，即，故最大值为.故选：C3.（2023·全国·高二专题练习）设是椭圆上一点，，分别是两圆和上的点，则的最小值、最大值分别为（

）A．8，11 B．8，12 C．6，10 D．6，11【答案】C【分析】求出两圆圆心和半径，得到圆心和刚好为椭圆的两个焦点，从而利用椭圆定义求出，可得的最大值为，的最小值为，求出答案.【详解】的圆心为，的圆心为，两圆半径均为，由于，，所以椭圆的两个焦点分别为和，由椭圆定义可知：，所以的最大值为，的最小值为.故选：C4.（2023·全国·高一专题练习）已知是椭圆的两个焦点，点在上，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据椭圆定义得到，将整理为，然后根据范围求得范围即可.【详解】设，，则，，又，所以当时，，当时，.故选：C.5.（2021·高二课时练习）已知椭圆的右焦点是，直线与椭圆交于、两点，则的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】求得，结合，利用二次函数的基本性质可求得的最小值.【详解】设椭圆的左焦点为，在椭圆中，，，则，由题意可知，点、关于原点对称，且为的中点，所以，四边形为平行四边形，所以，，由椭圆的定义可得，，，即，，当且仅当时，等号成立，因此，的最小值为.故选：D.【题型七】定义型：三角形两边和与差范围1..（2021秋·福建泉州·高二校联考阶段练习）已知是椭圆C：的左焦点，是椭圆C上的任意一点，点，则的最大值为(

)A． B． C． D．【答案】D【分析】标出椭圆的右焦点，利用椭圆定义转换|PF|，利用平面几何知识即可得最大值﹒【详解】由题意，点为椭圆的左焦点，∴．∵点为椭圆上任意一点，点的坐标为，如图，设椭圆的右焦点为，连接，根据椭圆定义知，．∵，∴，当在线段上时，等号成立.即要求的最大值为，故选：D．2.（2023·全国·高二专题练习）已知椭圆的右焦点为是椭圆上一点，点，则的周长最大值为（）A．14 B．16 C．18 D．20【答案】C【分析】设椭圆的左焦点为，由题可知，，利用，即可得出．【详解】如图所示设椭圆的左焦点为，则，则，，的周长，当且仅当三点M，，A共线时取等号．的周长最大值等于18．故选：C．3.．（2023秋·湖南株洲·高二株洲二中校考阶段练习）设实数满足的最小值为（

）A． B． C． D．前三个答案都不对【答案】A【分析】利用椭圆的定义可求代数式的最小值.【详解】设，则在椭圆上，又，设，则为椭圆的右焦点，如图，设椭圆的左焦点为，则：，当且仅当三点共线且在之间时等号成立，而，故的在最小值为，故选：A.

4.．（2023·江苏·高二专题练习）已知在上运动，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】首先得到曲线C的轨迹方程，利用数形结合，结合椭圆的定义转化，即可求解.【详解】，两边平方后化简得，，焦点分别是,的几何意义是曲线上的点与定点距离的差，如图表示点,根据椭圆定义可知，当三点三点共线时取等号，此时,所以的最小值是.故选：D5.（2022秋·四川成都·高二树德中学校考阶段练习）点是圆上一动点，过作轴的垂线，垂足为，点满足．已知点和，则的最小值为（

）．A． B． C． D．【答案】C【分析】利用相关点法可求得点轨迹方程为，由椭圆定义可将转化为，可知当三点共线时，取得最小值.【详解】设，，则，，，由得：，即，，为圆上的点，，即点轨迹为；为的左焦点，右焦点为，由椭圆定义知：，在椭圆外，（当且仅当三点共线时取等号），.故选：C.【题型八】焦点三角形面积1.（2023秋·河北衡水·高二河北武强中学校考期中）已知，为椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点且，则的面积为（

）A． B． C．4 D．【答案】B【分析】利用椭圆定义求得的值，判断为等腰三角形，即可求得答案.【详解】由椭圆可知，故，结合，可得，而，故为等腰三角形，其面积为，故选：B2.（2023秋·山东菏泽·高二山东省鄄城县第一中学校考阶段练习）已知点是椭圆上一点，椭圆的左、右焦点分别为、，且，则的面积为（

）A．6 B．12 C． D．【答案】C【分析】设，，由椭圆定义得，由余弦定理求出，从而利用三角形面积公式求出答案.【详解】由椭圆，得，，.

设，，∴，在中，由余弦定理可得：，可得，得，故.故选：C.3.（2023·全国·高二专题练习）已知是椭圆上的点，､分别是椭圆的左､右焦点，若，则的面积为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由条件根据向量夹角公式求，然后利用余弦定理和椭圆定义列方程组可解.【详解】设椭圆的长半轴为，短半轴为，半焦距为，则，，即.设，所以由椭圆的定义可得：①.因为，所以由数量积的公式可得：，所以.在中，所以由余弦定理可得：②，由①②可得：，所以.故选：A.4.（2022秋·上海浦东新·高二上海市进才中学校考期末）已知点是椭圆上一点，点、是椭圆上、下焦点，有一个内角为，则的面积为（

）A．或 B．或C．或 D．或【答案】D【分析】分、、三种情况讨论，利用余弦定理、椭圆的定义以及三角形的面积公式可求得的面积.【详解】在椭圆中，，，则，设，，则，由余弦定理可得，当且仅当时，等号成立，即当点为椭圆短轴的端点时，取最大值，且的最大值大于，所以，可以取，当时，，可得，此时；当时，由余弦定理可得，因为，解得，此时；当时，同理可得.综上所述，或.故选：D.5.（2023春·黑龙江大庆·高一肇州县第二中学校考开学考试）已知椭圆的左右焦点分别为，，点是椭圆上一点，且是直角三角形，的面积等于（

）A．3 B． C．3或 D．3或【答案】C【分析】根据椭圆定义和勾股定理，结合三角形面积公式即可求解．【详解】由于是椭圆上一点，∴，两边平方可得，即，因为是直角三角形，当时，，∴根据勾股定理可得，综上可解得，∴的面积等于；当时，，∴根据勾股定理可得，结合,计算可得,∴的面积等于；当时，，∴根据勾股定理可得，结合【题型九】焦点三角形面积最值范围1.（2023·全国·高二专题练习）已知是椭圆的左､右焦点，点在椭圆上.当最大时，求（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用椭圆的定义结合余弦定理可得时最大，利用三角形的面积公式即得.【详解】由椭圆的方程可得，，，则，所以，当且仅当则时等号成立，即为椭圆短轴端点时最大，此时，.故选：C.2.（2022·高二课时练习）已知椭圆的左、右焦点分别为，，为椭圆上一动点（异于左、右顶点），若△的周长为6，且面积的最大值为，则椭圆的标准方程为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用椭圆定义及焦点三角形的性质、椭圆参数关系求参数，写出椭圆方程即可.【详解】由椭圆的定义可得，∴①，当点为上顶点或下顶点时，△的面积取得最大值为，∴②．又③，由①②③，得，，，∴椭圆的标准方程为．故选：A3.（2022秋·福建泉州·高一校联考期中）已知a、b、c分别是内角A、B、C的对边，，，则面积的最大值是（

）A．2 B． C．3 D．【答案】B【分析】由，利用余弦定理代入化简解得，再根据，利用正弦定理得到，即，得到点C的轨迹是以A，B为焦点的椭圆，再利用椭圆的焦点三角形求解.【详解】∵，∴，∴，∵∴，即，∴点C的轨迹是以A，B为焦点的椭圆，其中长半轴长3，短半轴长，以AB为x轴，以线段AB的中点为原点，建立平面直角坐标系，其方程为，如图所示：则问题转化为点C在椭圆上运动求焦点三角形的面积问题．当点C在短轴端点时，的面积取得最大值，最大值为．故选：B．4.（2022·全国·高一专题练习）椭圆与双曲线有相同的焦点，，P为两曲线的一个公共点，则面积的最大值为（

）A．4 B． C．2 D．【答案】A【分析】由两曲线有相同焦点可得的关系，由椭圆与双曲线的定义可求得点到两焦点的距离，为确定值，因此当时，面积最大，同时求出验证正确性．【详解】由题意，即，．不妨设在第一象限，则，解得，易知当时，．此时，，，满足题意．故选：A.5.（2023·全国·高二专题练习）已知椭圆C：的左､右焦点分别为F1，F2，点M在椭圆C上，当△MF1F2的面积最大时，△MF1F2内切圆半径为（

）A．3 B．2 C． D．【答案】D【分析】由面积最大得的位置，从而可求出三角形的三条边，求出内切圆的半径.【详解】因为椭圆为，所以a=5，b=3，，当的面积最大时，点M在椭圆C的短轴顶点，不妨设点M为椭圆C的上顶点，点O为坐标原点，内切圆半径为r，则，，，因为，所以.

故选：D.【题型十】求离心率1.（云南省大理州2024届高一毕业生第一次复习统一检测数学试题）直线与椭圆C：的交点在x轴上的射影恰好是椭圆的焦点，则椭圆C的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据在椭圆上和直线上列方程，整理后求得椭圆的离心率.【详解】设在第一象限的交点为A，右焦点为，根据题意：轴，A在椭圆上，由解得，则，A在直线上，则，所以，，，所以，解得故选：A2.（2024秋·广东广州·高一统考阶段练习）已知椭圆：的左焦点为，若椭圆上存在点，使得线段被直线垂直平分，则椭圆的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据直角三角形的判定方法、正弦定理，结合椭圆的定义、比例的性质、椭圆离心率公式进行求解即可.【详解】设右焦点为，直线交于，连接，因为线段被直线垂直平分，所以，，所以是以为斜边的直角三角形，由直线的方程可知该直线的斜率为，所以该直线的倾斜角为，即，在中，由正弦定理可知：，故选：C

3.（2023秋·黑龙江哈尔滨·高二哈尔滨三中校考阶段练习）已知M为椭圆：上一点，，为左右焦点，设，，若，则离心率（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】设，，结合三角恒等变换以及正余弦定理将化为，继而推出的关系，求得答案.【详解】设，，则，

由得，即，在中，由正弦定理得，故，又，故，即，即，即或，结合椭圆定义可知且，故，即，故选：C4.（2023秋·宁夏银川·高二校考期中）已知椭圆的上顶点、右顶点、左焦点恰好是等腰三角形的三个顶点，则椭圆的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】设椭圆的上顶点、右顶点、左焦点分别为，依题意可得，结合即可求得椭圆的离心率.【详解】设椭圆的上顶点、右顶点、左焦点分别为，则，且，所以，，，依题意为等腰三角形，，所以，化简得，又，所以，即，解得，又，所以，即椭圆的离心率为.故选：B

5.（2023·湖南郴州·统考一模）已知点是椭圆的左右焦点，点为椭圆上一点，点关于平分线的对称点也在椭圆上，若，则椭圆的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据角平分线的对称性以及椭圆的性质，建立方程，表示出焦半径，利用余弦定理，结合齐次方程的思想，可得答案.【详解】由题意可作图如下：

由图可知：，由平分，则，所以，由，则解得，由是关于直线的对称点，则共线，，，，所以，在中，，可得，解得，，在中，由余弦定理，可得，代入可得：，化简可得：，所以其离心率.故选：C.【题型十一】离心率最值与范围1.（2023秋·山西太原·高一山西大附中校考阶段练习）设椭圆（）的右焦点为F，椭圆C上的两点A、B关于原点对称，且满足，，则椭圆C的离心率的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】设椭圆的左焦点，由椭圆的对称性结合，得到四边形为矩形，设，，在直角中，利用椭圆的定义和勾股定理化简得到，再根据，得到的范围，从而利用对勾函数的值域得到的范围，进而由即可得解.【详解】如图所示：设椭圆的左焦点，由椭圆的对称性可知，四边形为平行四边形，又，则，所以平行四边形为矩形，故，设，，则，在直角中，，，所以，则，所以，令，得，又由，得，因为对勾函数在上单调递增，所以，所以，即，则，故，所以，所以椭圆离心率的取值范围是.故选：B.2.（2023秋·全国·高二期中）点为椭圆的右顶点，为椭圆上一点（不与重合），若（是坐标原点），则椭圆的离心率的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】设，由，得到，再与椭圆方程联立得到，再由点P的位置求解.【详解】解：设，又，且，则，与椭圆方程联立，即，解得或，则，即，即，则，故选：B3.（2023秋·陕西西安·高二陕西师大附中校考阶段练习）已知两定点和，动点在直线上移动，椭圆C以A，B为焦点且经过点P，则椭圆C的离心率的最大值为（）A． B．C． D．【答案】B【分析】由题意知，要使椭圆C的离心率取最大值，则a取最小值．即取最小值．利用点的对称性求出的最小值即可解答．【详解】由题意得，，，当a取最小值时，椭圆C的离心率有最大值．设点关于直线的对称点为，则，解得，，

则，当时，椭圆有最大离心率，此时，．故选：B．4.（2023秋·陕西渭南·高二校考阶段练习）椭圆（）的左、右焦点分别为，，若椭圆上存在点P满足，则椭圆C的离心率的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先根据焦点三角形的顶角范围，求出椭圆特征三角形顶角的范围，继而求出离心率的范围.【详解】设椭圆的上顶点为,则令,则,

且，,,故选：B.5.（2023·全国·高一专题练习）设分别是椭圆（a＞b＞0）的左、右焦点，若在直线上存在点P，使线段的中垂线过点，则椭圆离心率的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用中垂线的性质列出关于的方程，再转化为关于的方程即可.【详解】由题知，如图所示：

设P，F1（－c，0），F2（c，0），由线段PF1的中垂线过点F2得｜PF2｜＝｜F1F2｜，即＝2c，得m2＝4c2－＝－＋2a2＋3c2≥0，即3c4＋2a2c2－a4≥0，得3e4＋2e2－1≥0，解得e2≥，又0＜e＜1，所以≤e＜1.故选：D.【题型十二】椭圆离心率求参范围1.（2022·全国·高一专题练习）已知A，B是椭圆长轴的两个端点，P、Q是椭圆上关于x轴对称的两点，直线AP，BQ的斜率分别为.若椭圆的离心率为，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】设出点P坐标，并写出点Q，A，B坐标，计算及，再分析比对即可得解.【详解】设点，则椭圆的对称性知，不妨令，而点A(-a，0)，B(a，0)，则，显然有，则，因椭圆的离心率为，即，，则，因，所以，当且仅当时取“=”，即的最小值为为.故选：B.2.．（2023春·江苏南京·高二南京市中华中学校考阶段练习）椭圆的左、右焦点分别是、，斜率为1的直线过左焦点且交于，两点，且的内切圆的面积是，若椭圆离心率的取值范围为，则线段的长度的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由题可求得，，即可得出，再根据离心率范围即可求出.【详解】设的内切圆的圆心为，半径为，则，解得，，又,，，，，则，即线段的长度的取值范围是.故选：C.3.（2020·广东佛山·统考模拟预测）已知椭圆的左、右顶点分别为A，B，C为上顶点，P是椭圆上一点，，椭圆的离心率，则直线斜率的最大值是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】利用已知条件，分别求出与的斜率乘积，结合题给的，化简求得，即可求出直线斜率的最大值．【详解】解：已知椭圆的左、右顶点分别为，，为上顶点，且是椭圆上一点，，则，，∴，又∵，∴，∴，∴，则，∴，∴.故选：C.4.（2023·全国·模拟预测）已知直线与椭圆交于两点，是椭圆上异于的一点．若椭圆的离心率的取值范围是，则直线，斜率之积的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】先设点的坐标，然后将的坐标代入方程中，相减，构造出直线，的斜率，相乘转化只含有的表达式，再根据的关系以及椭圆的离心率的取值范围是建立不等式，求出直线，斜率之积的取值范围即可.【详解】设，由直线与椭圆交于两点可知两点关于原点对称，所以且，由题意知：，两式相减得：，即，又，由椭圆的离心率的取值范围是，即，所以，即，故选：D.5.（2022秋·福建南平·高二统考期中）已知O为坐标原点，焦点在x轴上的曲线C：的离心率满足，A，B是x轴与曲线C的交点，P是曲线C上异于A，B的一点，延长PO交曲线C于另一点Q，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由离心率的范围可知曲线为椭圆，根据离心率与的关系得到的范围，然后利用斜率公式表示出，进而求出其范围．【详解】由解得，所以曲线C是椭圆．因椭圆C的焦点在x轴上，则．因为，所以，不妨设，，，，由题意知，则，即，．故选：A．【题型十三】三角形余弦定理型求离心率1.（2022秋·广东深圳·高二校考阶段练习）椭圆的左、右焦点分别为、，过右焦点作直线交椭圆C于A、B两点，若，则．【答案】【分析】设，则，由椭圆的定义得，，由即可求解结果．【详解】解：如图，椭圆C的焦点为，，设，则，由椭圆的定义得，．在三角形中，由余弦定理得．在三角形中，由余弦定理得．因为，所以，解得，，所以．故答案为：．2.设椭圆（）的右焦点为F，椭圆C上的两点A、B关于原点对称，且满足，，则椭圆C的离心率的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】设椭圆的左焦点，由椭圆的对称性结合，得到四边形为矩形，设，，在直角中，利用椭圆的定义和勾股定理化简得到，再根据，得到的范围，从而利用对勾函数的值域得到的范围，进而由即可得解.【详解】如图所示：设椭圆的左焦点，由椭圆的对称性可知，四边形为平行四边形，又，则，所以平行四边形为矩形，故，设，，则，在直角中，，，所以，则，所以，令，得，又由，得，因为对勾函数在上单调递增，所以，所以，即，则，故，所以，所以椭圆离心率的取值范围是.故选：B.3.已知椭圆的左､右焦点分别为，离心率为，点在椭圆上，连接并延长交于点，连接，若存在点使成立，则的取值范围为.【答案】【分析】设，所以存在点使等价于由可求的最小值，求得的范围，从而得到的取值范围.【详解】设，则.显然当靠近右顶点时，，所以存在点使等价于，在中由余弦定理得，即，解得，同理可得，所以，所以，所以，当且仅当时等号成立.由得，所以.故答案为：4.已知椭圆：的离心率为，左顶点是A，左、右焦点分别是，，是在第一象限上的一点，直线与的另一个交点为．若，且的周长为，则直线的斜率为．【答案】【分析】由平行关系得出对应线段成比例，结合椭圆定义，表示出长度，利用余弦定理求出，得出结果.【详解】因为椭圆：的离心率为，则，又因为，即，则，可得，所以，①又因为，可得，②又因为，③由①②③知，，在中，由余弦定理可得，可得为锐角，则，所以，即的斜率为．故答案为：.5.已知、分别为椭圆的左、右焦点，是上第一象限内的点，关于原点的对称点为，且，，则椭圆的离心率的取值范围为．【答案】【分析】连接、，分析可知四边形为矩形，设，，根据题中条件可得出，利用椭圆的定义、勾股定理可得出，令，设，利用函数的单调性可求得的取值范围，进而可求得的取值范围.【详解】解：连接、．由关于原点的对称点为，可知，，所以四边形为矩形，设，，由椭圆的定义可知，．在中，由，则，所以，则．在中，，在中，，由，得．由图形可知，．令，设，易知在上单调递增，所以，则，所以，所以，故椭圆的离心率的取值范围为．故答案为：.培优练1.（2023·全国·高二专题练习）如图所示，一圆形纸片的圆心为O，F是圆内一定点，M是圆周上一动点，把纸片折叠使M与F重合，然后抹平纸片，折痕为CD，设CD与OM交于点P，则点P的轨迹是（

）A．圆 B．双曲线 C．抛物线 D．椭圆【答案】D【分析】根据题意知,所以,故点P的轨迹是椭圆.【详解】由题意知，关于CD对称，所以，故，可知点P的轨迹是椭圆.2.（2018秋·安徽池州·高二统考期末）已知棱长为4的正方体，是正方形所在平面内一动点，点，满足，，若点到直线与直线的距离之比为，则动点的轨迹是（

）A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线【答案】B【分析】根据已知可得，原题可转化为“平面内点到点与直线的距离之比为”．将其转化为平面问题，建立平面直角坐标系，根据已知即可得到点的轨迹方程为，即可得出结果.【详解】如图1，因为，，且正方体的棱长为4，又，所以，则，所以，，又平面，则平面，又平面，平面，所以，故点到直线距离，即为点到点距离.于是条件“平面内点到直线与直线的距离之比为”转化为“平面内点到点与直线的距离之比为”．如图2，在平面内，以点为坐标原点，分别以为轴正方向建立平面直角坐标系，则，直线的方程为.设点的坐标为，过点作于点，则依据题意可得，化简可得，故动点的轨迹是椭圆．故选：B．3.（2020秋·江苏南京·高二南京师范大学附属中学江宁分校校考开学考试）已知椭圆的左，右焦点分别是，若椭圆上存在一点，使（为坐标原点），且，则实数的值为（

）A．2 B． C． D．1【答案】D【分析】由，依据向量的几何意义可得，即为的一半，所以△为直角三角形，结合勾股定理可求得、，即可确定的值【详解】由题意，可得如下示意图∵，依据向量的几何意义知：△为等腰三角形∴，即为的一半。可知△为直角三角形，且∠=90°∴有，，可得=4，=4又知：。故选：D4.（2021·浙江·高一期末）椭圆上一点P到左焦点F的距离为6，若点M满足（O为坐标原点），则．【答案】2【分析】根据求出左焦点的坐标，然后设的坐标，根据两点间的距离公式求出到左焦点的距离以及代入椭圆方程中解得的坐标，由得到为的中点，根据中点坐标公式求出的坐标，利用两点间的距离公式求出即可．【详解】由椭圆得，，左焦点，设，则又解得或（舍去）；又在椭圆上，则将代入到椭圆方程中求出，所以点，；由点满足，则得为中点，根据中点坐标公式求得，所以故答案为：2.5.（2022秋·河南驻马店·高二确山县第一高级中学校考阶段练习）如图，椭圆的焦点为、，过的直线交椭圆于、两点，交轴于点.若、是线段的三等分点，则的周长为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】求出点的坐标，根据可求得点的坐标，再将点的坐标代入椭圆方程，求出的值，结合椭圆的定义可求得的周长.【详解】由于、是线段的三等分点，则点为线段的中点，又因为点为线段的中点，则，可得点的横坐标为，设点为第一象限内的点，将代入椭圆的方程得，，可得，即点，设点，则，，由得，解得，所以，点的坐标为，将点的坐标代入椭圆的方程得，解得，则，因此，的周长为.故选：A