专题2.2三角形的认识大题专练（分层培优解答30题七下苏科）-2022-2023学年七年级数学下学期复习备考高分秘籍【苏科版】（解析版）

2022-2023学年七年级数学下学期复习备考高分秘籍【苏科版】专题2.2三角形的认识大题专练（分层培优解答30题，七下苏科）A卷基础过关卷（限时50分钟，每题10分，满分100分）1．（2021春•广陵区校级期中）已知a、b、c是一个三角形的三条边长，则化简|a+b﹣c|+|b﹣a﹣c|的结果是多少？【分析】根据三角形三边关系得到a+b﹣c＞0，b﹣a﹣c＜0，再去绝对值，合并同类项即可求解．【解答】解：∵a，b，c是一个三角形的三条边长，∴a+b﹣c＞0，b﹣a﹣c＜0，∴|a+b﹣c|+|b﹣a﹣c|＝a+b﹣c+a+c﹣b＝2a．2．（2020春•相城区期中）若a，b，c是△ABC三边的长，化简：|a+b﹣c|+|b﹣a﹣c|﹣|c﹣a﹣b|．【分析】根据三角形的三边关系判断出a+b﹣c，b﹣a﹣c及c﹣a﹣b的符号，再去绝对值符号，合并同类项即可．【解答】解：∵a、b、c是△ABC的三边的长，∴a+b﹣c＞0，b﹣a﹣c＜0，c﹣a﹣b＜0，∴原式＝a+b﹣c﹣b+a+c+c﹣a﹣b＝a﹣b+c．3．（2019春•大丰区期中）如图，在△ABC中，点D在BC上，且∠BAD＝∠CAD，E是AC的中点，BE交AD于点F．图中哪条线段是哪个三角形的角平分线？哪条线段是哪个三角形的中线？【分析】利用角平分线和中线的定义解答即可．【解答】解：AD是△ABC的角平分线，AF是△ABE的角平分线；BE是△ABC的中线，DE是△ADC的中线．4．（2022春•盱眙县期中）如图，已知AD、AE分别是△ABC的高和中线，AB＝3cm，AC＝4cm，BC＝5cm，∠BAC＝90°．试求：（1）△ABE的面积；（2）AD的长度．【分析】（1）△AEC与△ABE是等底同高的两个三角形，它们的面积相等；（2）利用“面积法”来求线段AD的长度．【解答】解：（1）如图在△ABC中，∠BAC＝90°，∴S△ABC＝AB•AC＝6，又∵AE是△ABC的中线，∴S△ABE＝S△ABC＝3；（2）AD是△ABC的高，∴S△ABC＝BC•AD，又∵S△ABC＝6，BC＝5cm，∴AD＝2.4cm．5．（2022春•姜堰区期末）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A、B、C都在格点上．（1）利用网格画直线CD，使CD⊥AB，且点D在格点上，并标出所有符合条件的格点D；（2）在（1）的条件下，连接AD、BD，求△ABD的面积．【分析】（1）把AB绕点A逆时针旋转90°得到AE，然后平移AE使A点或E点与C点重合，从而得到D点和D′点；（2）利用三角形面积公式直角计算△ABD的面积，用一个矩形的面积分别减去三个直角三角形的面积去计算△ABD′的面积．【解答】解：（1）如图，点D和点D′为所作；（2）S△ABD＝×2×3＝3，S△ABD′＝5×3﹣×3×1﹣×5×1﹣×2×4＝7，综上所述，△ABD的面积为3或7．6．（2022春•高港区校级月考）已知△ABC的三边长分别为3、5、a，化简|a﹣2|﹣|a﹣1|+|a﹣8|．【分析】直接利用三角形三边关系进而得出a的取值范围，进而利用绝对值的性质化简得出答案．【解答】解：∵△ABC的三边长分别为3、5、a，∴5﹣3＜a＜3+5，解得：2＜a＜8，故|a﹣2|﹣|a﹣1|+|a﹣8|．＝a﹣2﹣（a﹣1）+8﹣a＝7﹣a．7．（2022春•锡山区校级月考）已知a，b，c是一个三角形的三边长，（1）填入“＞、＜或＝”号：a﹣b﹣c＜0，b﹣a﹣c＜0，c+b﹣a＞0．（2）化简：|a﹣b﹣c|+|b﹣a﹣c|﹣|c+b﹣a|．【分析】（1）利用三边关系直接写出答案即可；（2）根据（1）的判断去掉绝对值符号后合并同类项即可．【解答】解：（1）∵a，b，c是一个三角形的三边长，∴a﹣b﹣c＜0，b﹣a﹣c＜0，c+b﹣a＞0，故答案为：＜，＜，＞；（2）原式＝b+c﹣a+a+c﹣b﹣c﹣b+a＝a﹣b+c．8．（2022春•亭湖区校级月考）如图，AD、AE、AF分别是△ABC的高线、角平分线和中线．（1）若S△ABC＝20，CF＝4，求AD的长．（2）若∠C＝70°，∠B＝26°，求∠DAE的度数．【分析】（1）根据题意求得BC＝8，然后根据三角形面积公式即可求得AD的长；（2）先根据三角形内角和得到∠CAB＝180°﹣∠ABC﹣∠C＝82°，再根据角平分线与高线的定义得到∠CAE＝∠CAB＝42°，∠ADC＝90°，则∠DAC＝90°﹣∠C＝20°，然后利用∠DAE＝∠CAE﹣∠DAC计算即可．【解答】解：（1）∵AF是△ABC的中线，∴BF＝CF＝4，∴BC＝8，∵S△ABC＝20，∴＝20，即＝20，∴AD＝5；（2）∵∠C＝70°，∠B＝26°，∴∠CAB＝180°﹣∠B﹣∠C＝84°，∴∠CAE＝∠CAB＝42°，∵∠ADC＝90°，∠C＝70°，∴∠DAC＝20°∴∠DAE＝∠CAE﹣∠DAC＝42°﹣20°＝22°．9．（2022春•泗阳县月考）如图，在△ABC中，AE为边BC上的高，点D为边BC上的一点，连接AD．（1）当AD为边BC上的中线时，若AE＝6，△ABC的面积为30，求CD的长；（2）当AD为∠BAC的角平分线时，若∠C＝66°，∠B＝36°，求∠DAE的度数．【分析】（1）利用三角形中线定义及三角形面积求出CD长；（2）利用三角形内角和先求∠BAC，再用外角性质和直角三角形性质求出∠DAE．【解答】解：（1）∵AD为边BC上的中线，∴S△ADC＝S△ABC＝15，∵AE为边BC上的高，∴，∴CD＝5．（2）∵∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝78°，∵AD为∠BAC的角平分线，∴∠BAD＝∠DAC＝39°，∴∠ADC＝∠BAD+∠B＝39°+36°＝75°，∵AE⊥BC，∴∠AED＝90°，∴∠DAE＝15°10．（2022春•阜宁县期中）已知，如图，∠1＝∠ACB，∠2＝∠3，FH⊥AB于H．（1）∠2与∠DCB相等吗？为什么？（2）试说明CD是△ABC的高．【分析】（1）根据同位角相等，两直线平行得到DE∥BC，再根据两直线平行，同位角相等证明结论；（2）根据平行线的性质得到CD⊥AB，根据三角形的概念证明即可．【解答】解：（1）∠2＝∠DCB，理由如下：∵∠1＝∠ACB，∴DE∥BC，∴∠2＝∠DCB；（2）∵∠2＝∠3，∠2＝∠DCB，∴∠3＝∠DCB，∴HF∥CD，∵FH⊥AB，∴CD⊥AB，即CD是△ABC的高．B卷能力提升卷（限时60分钟，每题10分，满分100分）11．（2022春•东台市月考）如图，已知△ABC的周长为24cm，AB＝6cm，BC边上的中线AD＝5cm，△ABD的周长为16cm，求AC的长．【分析】先根据△ABD周长为16cm，AB＝6cm，AD＝5cm，由周长的定义可求BD的长，再根据中线的定义可求BC的长，由△ABC的周长为24cm，即可求出AC长．【解答】解：∵AB＝6cm，AD＝5cm，△ABD周长为16cm，∴BD＝16﹣AB﹣AD＝16﹣6﹣5＝5（cm），∵AD是BC边上的中线，∴BC＝10cm，∵△ABC的周长为24cm，∴AC＝24﹣AB﹣BC＝24﹣6﹣10＝8（cm）．故AC长为8cm．12．（2019春•锡山区期中）如图所示，已知AD，AE分别是△ABC的高和中线，AB＝6cm，AC＝8cm，BC＝10cm，∠CAB＝90°．试求：（1）AD的长；（2）△ABE的面积；（3）△ACE和△ABE的周长的差．【分析】（1）利用“面积法”来求线段AD的长度；（2）△AEC与△ABE是等底同高的两个三角形，它们的面积相等；（3）由于AE是中线，那么BE＝CE，于是△ACE的周长﹣△ABE的周长＝AC+AE+CE﹣（AB+BE+AE），化简可得△ACE的周长﹣△ABE的周长＝AC﹣AB，易求其值．【解答】解：∵∠BAC＝90°，AD是边BC上的高，∴AB•AC＝BC•AD，∴AD＝＝＝4.8（cm），即AD的长度为4.8cm；（2）方法一：如图，∵△ABC是直角三角形，∠BAC＝90°，AB＝6cm，AC＝8cm，∴S△ABC＝AB•AC＝×6×8＝24（cm2）．又∵AE是边BC的中线，∴BE＝EC，∴BE•AD＝EC•AD，即S△ABE＝S△AEC，∴S△ABE＝S△ABC＝12（cm2）．∴△ABE的面积是12cm2．方法二：因为BE＝BC＝5，由（1）知AD＝4.8，所以S△ABE＝BE•AD＝×5×4.8＝12（cm2）．∴△ABE的面积是12cm2．（3）∵AE为BC边上的中线，∴BE＝CE，∴△ACE的周长﹣△ABE的周长＝AC+AE+CE﹣（AB+BE+AE）＝AC﹣AB＝8﹣6＝2（cm），即△ACE和△ABE的周长的差是2cm．13．（2022春•鼓楼区期末）如图，P为△ABC内任意一点，求证：AB+AC＞PB+PC．【分析】首先延长BP交AC于点D，再在△ABD中可得PB+PD＜AB+AD，在△PCD中，PC＜PD+CD然后把两个不等式相加整理后可得结论．【解答】证明：延长BP交AC于点D，在△ABD中，PB+PD＜AB+AD①在△PCD中，PC＜PD+CD②①+②得PB+PD+PC＜AB+AD+PD+CD，即PB+PC＜AB+AC，即：AB+AC＞PB+PC．14．（2022春•秦淮区期末）如图，△ABC中，AD是高，AE、BF是角平分线，它们相交于点O，∠CAB＝50°，∠C＝60°，求∠DAE和∠BOA的度数．【分析】先利用三角形内角和定理可求∠ABC，在直角三角形ACD中，易求∠DAC；再根据角平分线定义可求∠CBF、∠EAF，可得∠DAE的度数；然后利用三角形外角性质，可先求∠AFB，再次利用三角形外角性质，容易求出∠BOA．【解答】解：∵∠CAB＝50°，∠C＝60°∴∠ABC＝180°﹣50°﹣60°＝70°，又∵AD是高，∴∠ADC＝90°，∴∠DAC＝180°﹣90°﹣∠C＝30°，∵AE、BF是角平分线，∴∠CBF＝∠ABF＝35°，∠EAF＝25°，∴∠DAE＝∠DAC﹣∠EAF＝5°，∠AFB＝∠C+∠CBF＝60°+35°＝95°，∴∠BOA＝∠EAF+∠AFB＝25°+95°＝120°，∴∠DAC＝30°，∠BOA＝120°．故∠DAE＝5°，∠BOA＝120°．15．（2020春•姜堰区期中）如图，在△ABC中，AE为边BC上的高，点D为边BC上的一点，连接AD．（1）当AD为边BC上的中线时．若AE＝4，△ABC的面积为24，求CD的长；（2）当AD为∠BAC的角平分线时．①若∠C＝65°，∠B＝35°，求∠DAE的度数；②若∠C﹣∠B＝20°，则∠DAE＝10°．【分析】（1）利用三角形的面积公式求出BC即可解决问题；（2）①先根据三角形内角和求得∠BAC的度数，再根据AD平分∠BAC，AE⊥BC，求得∠BAE，∠BAD的度数，最后根据∠DAE＝∠BAE﹣∠BAD计算即可；②先根据三角形内角和求得∠BAC的度数，再根据AD平分∠BAC，AE⊥BC，求得∠BAE，∠BAD的度数，最后根据∠DAE＝∠BAE﹣∠BAD计算即可．【解答】解：（1）∵AE⊥BC，AE＝4，△ABC的面积为24，∴×BC×AE＝24，∴×BC×4＝24，∴BC＝12，∵AD是△ABC的中线，∴CD＝BC＝6；（2）①∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣35°﹣65°＝80°∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠BAC＝40°，∵AE⊥BC，∴∠AEB＝90°，∴∠BAE＝90°﹣∠B＝55°，∴∠DAE＝∠BAE﹣∠BAD＝55°﹣40°＝15°；②由①可得：∠DAE＝∠BAE﹣∠BAD＝90°﹣∠B﹣（180°﹣∠B﹣∠C）＝（∠C﹣∠B）＝10°，故答案为：10．16．如图，点P是△ABC内一点，连接BP，并延长交AC于点D．（1）试探究线段AB+BC+CA与线段2BD的大小关系；（2）试探究AB+AC与PB+PC的大小关系．【分析】（1）根据三角形三边关系可得AB+AD＞BD，BC+CD＞BD，再根据不等式的性质即可求解；（2）根据三角形三边关系可得AB+AD＞BD，PD+CD＞PC，再根据不等式的性质即可求解．【解答】解：（1）∵根据三角形三边关系可得AB+AD＞BD，BC+CD＞BD，∴AB+AD+BC+CD＞2BD，∴AB+BC+CA＞2BD；（2）∵根据三角形三边关系可得AB+AD＞BD，PD+CD＞PC，∴AB+AD+PD+CD＞BD+PC，∴AB+AC＞PB+PC．17．如图，已知D、E是△ABC内的两点，问AB+AC＞BD+DE+EC成立吗？请说明理由．【分析】结合图形，反复运用三角形的三边关系：“两边之和大于第三边”进行证明．【解答】解：AB+AC＞BD+DE+EC成立，理由如下：延长DE交AB于点F、延长DE交AC于G，在△AFG中：AF+AG＞FG①，在△BFD中：FB+FD＞BD②，在△EGC中：EG+GC＞EC③，∵FD+ED+EG＝FG，∴①+②+③得：AF+FB+FD+EG+GC+AG＞FG+BD+EC，即：AB+FD+EG+AC＞FG+BD+EC，AB+AC＞FG﹣FD﹣EG+BD+EC，∴AB+AC＞BD+ED+EC．18．如图，已知O是△ABC内的一点，试说明：（1）OB+OC＜AB+AC；（2）OA+OB+OC＞（AB+BC+AC）．【分析】（1）延长BO交AC于D，在△ABD与△COD中根据三角形的三边关系即可得出结论；（2）在△ABO和△AOC以及△BOC中，分别利用三角形三边关系定理，两边之和大于第三边，然后把三个式子相加即可证得．【解答】（1）证明：延长BO交AC于D，∵△ABD中，AB+AD＞BD，即AB+AD＞OB+OD，△COD中，OD+CD＞OC，∴AB+AD+CD＞OB+OD+CD＞OB+OC，AB+AC＞OB+OC；（2）证明：∵△ABO中，OA+OB＞AB，同理，OA+OC＞CA，OB+OC＞BC．∴2（OA+OB+OC）＞AB+BC+AC，∴OA+OB+OC＞（AB+BC+AC）．19．（2021秋•铁东区校级月考）如图，AD为△ABC中BC边上的中线（AB＞AC）（1）求证：AB﹣AC＜2AD＜AB+AC；（2）若AB＝8cm，AC＝5cm，求AD的取值范围．【分析】（1）延长AD至E，使AD＝DE，连接BE，然后再证明△ACD≌△EBD，根据全等三角形的性质可得AC＝BE，再根据三角形的三边关系可得AB﹣AC＜AE＜AB+BE，利用等量代换可得AB﹣AC＜2AD＜AB+AC；（2）把AB＝8cm，AC＝5cm代入（1）的结论里，再解不等式即可．【解答】（1）证明：如图延长AD至E，使AD＝DE，连接BE．在△ACD和△EBD中：，∴△ACD≌△EBD（SAS），∴AC＝BE（全等三角形的对应边相等），在△ABE中，由三角形的三边关系可得AB﹣AC＜AE＜AB+BE，即AB﹣AC＜2AD＜AB+AC；（2）解：∵AB＝8cm，AC＝5cm，∴8﹣5＜2AD＜8+5，∴＜AD＜．20．（2022秋•乌鲁木齐县月考）已知a，b，c是△ABC的三边长，a＝4，b＝6，设△ABC的周长是x．（1）求c与x的取值范围；（2）若x是小于18的偶数，试判断△ABC的形状．【分析】（1）利用三角形三边关系进而得出c的取值范围，进而得出答案；（2）利用等腰三角形的判定方法得出即可．【解答】解：（1）因为a＝4，b＝6，所以2＜c＜10．故周长x的范围为12＜x＜20．（2）因为周长为小于18的偶数，所以x＝16或x＝14．当x为16时，c＝6；当x为14时，c＝4．当c＝6时，b＝c，△ABC为等腰三角形；当c＝4时，a＝c，△ABC为等腰三角形．综上，△ABC是等腰三角形．C卷培优压轴卷（限时70分钟，每题10分，满分100分）21．（2022春•宝应县校级月考）如图，在三角形ABC中，AB＝10cm，AC＝6cm，D是BC的中点，E点在边AB上．（1）若三角形BDE的周长与四边形ACDE的周长相等，求线段AE的长．（2）若三角形ABC的周长被DE分成的两部分的差是2cm，求线段AE的长．【分析】（1）由图可知三角形BDE的周长＝BE+BD+DE，四边形ACDE的周长＝AE+AC+DC+DE，BD＝DC，所以BE＝AE+AC，则可解得AE＝2cm；（2）由三角形ABC的周长被DE分成的两部分的差是2，可得方程①BE＝AE+AC+2或②BE＝AE+AC﹣2．解得AE＝1cm或2cm．【解答】解：（1）由图可知三角形BDE的周长＝BE+BD+DE，四边形ACDE的周长＝AE+AC+DC+DE，又三角形BDE的周长与四边形ACDE的周长相等，D为BC中点，∴BD＝DC，BE+BD+DE＝AE+AC+DC+DE，即BE＝AE+AC，∵AB＝10cm，AC＝6cm，∴10﹣AE＝AE+6，∴AE＝2cm．（2）由三角形ABC的周长被DE分成的两部分的差是2，可得方程①BE＝AE+AC+2或②BE＝AE+AC﹣2．解①得AE＝1cm，解②得AE＝3cm．故AE长为1cm或3cm．22．（2020春•如东县期末）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝16cm，BC＝12cm，AB＝20cm，若动点P从点C开始按沿C→A→B→C的路径运动，且速度为每秒3cm，设运动时间为t秒．（1）当CP把△ABC的面积分成相等的两部分时，t的值为多少？（2）当t＝8时，求CP把△ABC分成的两部分面积之比．【分析】（1）根据三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，列出方程可求解；（2）求得PA＝8，即可求得PB＝12，根据三角形面积公式即可求得．【解答】解：（1）∵当点P是AB中点时，CP把△ABC的面积分成相等的两部分；∴3t＝16+，解得t＝；（2）∵3×8＝24，∴AC+AP＝24，∴AP＝8，BP＝12，∵△APC和△BPC同高，∴S△APC：S△BPD＝2：3．23．（2019春•无锡期末）如图，已知△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，点F在CD上．（1）若∠AED＝∠ACB，∠DEF＝∠B，求证：EF∥AB；（2）若D、E、F分别是AB、AC、CD的中点，连接BF，若四边形BDEF的面积为6，试求△ABC的面积．【分析】（1）根据平行线的判定得DE∥BC，则∠ADE＝∠B，而∠DEF＝∠B，所以∠ADE＝∠DEF，于是可判断EF∥AB；（2）由E为AC的中点，根据三角形面积公式得到S△ADE＝S△CDE＝S△ADC，再由F为DC的中点得S△DEF＝S△CEF＝S△DEC，而S四边形BDEF＝6，则S△DEF+S△BDC＝6，可计算出S△DEF＝2，则S△ABC＝8S△DEF＝1．【解答】（1）证明：∵∠AED＝∠ACB，∴DE∥BC．∴∠ADE＝∠B．又∵∠DEF＝∠B，∴∠ADE＝∠DEF，∴EF∥AB．（2）解：∵点F是DC的中点，∴设S△DEF＝S△CEF＝x，∵点E是AC的中点，∴S△ADE＝S△CDE＝2x，∵点D是AB的中点，∴S△BDC＝4x，S△BDF＝2x，∴S四边形BDEF＝3x．∵S四边形BDEF＝6，∴3x＝6，∴x＝2，∴S△ABC＝8x＝16．24．（2019秋•江阴市期中）如图，P是长方形ABCD内一点，三角形ABP的面积为a．（1）若长方形ABCD的面积为m，则三角形CPD的面积为m﹣a；（用含m、a的代数式表示）（2）若三角形BPC的面积为b（b＞a），则三角形BPD的面积为b﹣a．（用含a、b的代数式表示）【分析】（1）过点P作MN⊥AB，交AB于M、交CD于N，则四边形ADNM是矩形，得出AD＝BC＝MN，AB＝CD，求出S△ABP+S△CPD＝AB•PM+CD•PN＝S长方形ABCD＝m，即可得出结果；（2）设长方形ABCD的面积为m，则S△ABD＝m，过点P作MN⊥AD，交AD于M、交BC于N，则四边形ABNM是矩形，得出AD＝BC，AB＝MN＝CD，求出S△BPC+S△APD＝S长方形ABCD＝m，得出S△APD＝m﹣S△BPC＝m﹣b，即可得出答案．【解答】解：（1）过点P作MN⊥AB，交AB于M、交CD于N，如图1所示：则四边形ADNM是矩形，∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC＝MN，AB＝CD，∵S△ABP+S△CPD＝AB•PM+CD•PN＝AB（PM+PN）＝AB•MN＝AB•BC＝S长方形ABCD＝m，∴S△CPD＝m﹣S△ABP＝m﹣a，故答案为：m﹣a；（2）设长方形ABCD的面积为m，则S△ABD＝m，过点P作MN⊥AD，交AD于M、交BC于N，如图2所示：则四边形ABNM是矩形，∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC，AB＝MN＝CD，∵S△BPC+S△APD＝AD•PM+BC•PN＝AD（PM+PN）＝AD•MN＝AD•AB＝S长方形ABCD＝m，∴S△APD＝m﹣S△BPC＝m﹣b，∴S△BPD＝S△ABD﹣S△ABP﹣S△APD＝m﹣（m﹣b）﹣a＝b﹣a，故答案为：b﹣a．25．（2020春•江阴市期中）如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝6cm，AB＝10cm，若动点P从点C开始，按C→A→B→C的路径运动，且速度为每秒3cm，设运动的时间为t秒．（1）当t＝4时，CP把△ABC的周长分成相等的两部分？（2）当t＝时，CP把△ABC的面积分成相等的两部分？（3）当t为何值时，△BCP的面积为18cm2？【分析】（1）由点P的运动的路程＝△ABC的周长的一半，列出方程可求解；（2）由三角形的中线把三角形的面积分成相等的两部分，列出方程可求解；（3）分两种情况讨论，由三角形的面积公式可求解．【解答】解：（1）由题意得，3t＝（6+8+10），解得，t＝4，故答案为：4；（2）∵三角形的中线把三角形的面积分成相等的两部分，∴3t＝8+5，解得t＝，故答案为：；（3）如图，当点P在AC上时，∵S△BCP＝×6×3t＝18，∴t＝2，当点P在AB上时，过点C作CD⊥AB于D，∵S△ABC＝×AC×BC＝×AB×CD，∴CD＝＝，∵S△BCP＝×（18﹣3t）×＝18，∴t＝，综上所述：当t＝2或时，△BCP的面积为18cm2．26．（2022秋•西城区校级期中）已知△ABC（如图），按下列要求画图：（1）△ABC的中线AD；（2）△ABD的角平分线DM；（3）△ACD的高线CN；（4）若C△ADC﹣C△ADB＝3，（C表示周长）且AB＝4，则AC＝7．【分析】（1）取BC的中点D，然后连接AD即可；（2）作∠ADB的平分线交AB于M点；（3）过C点作CN⊥AD于N点；（4）利用三角形中线的定义得到BD＝CD，然后利用三角形周长的定义得到AC+AD+CD﹣（AB+AD+BD）＝3，所以AC﹣AB＝3，从而可计算出AC．【解答】解：（1）如图，AD为所作；（2）如图，DM为所作；（3）如图，CN为所作；（4）∵AD为△ABC的中线，∴BD＝CD，∵C△ADC﹣C△ADB＝3，∴AC+AD+CD﹣（AB+AD+BD）＝3，∴AC﹣AB＝3，∵AB＝4，∴AC＝AB+3＝4+3＝7．故答案为：7．27．（2020春•张家港市期末）如图，已知∠BDC+∠EFC＝180°，∠DEF＝∠B．（1）求证：ED∥BC；（2）若D，E，F分别是AB，AC，CD边上的中点，四边形ADFE的面积为6．①求△ABC的面积；②若G是BC边上一点，CG＝2BG，求△FCG的面积．【分析】（1）根据同角的补角得出∠BDC＝∠EFD，即可证得AB∥EF，根据平行线的性质得出∠ADE＝∠DEF，即可得出∠B＝∠ADE，从而证得结论；（2）根据三角形的中线把三角形分成面积相等的两个三角形进行计算即可．（3）连接DG，由CG＝2BG，得到S△DCG＝2S△DBG，即可得到，进一步得到．【解答】解：（1）如图，∵∠BDC+∠EFC＝180°，∠EFD+∠EFC＝180°，∴∠BDC＝∠EFD，∴AB∥EF，∴∠ADE＝∠DEF，又∵∠B＝∠DEF，∴∠B＝∠ADE，∴ED∥BC；（2）设△CEF的面积为a，∵F是CD的中点，∴S△DEF＝a，∴S△CDE＝2a，同理，S△ADC＝4a，S△ABC＝8a，∴S四边形ADFE＝3a，∵四边形ADFE的面积为6．∴3a＝6，即a＝2，∴S△ABC＝8a＝16；（3）如图，连接DG，∵CG＝2BG，∴S△DCG＝2S△DBG，∴，∵F是CD的中点，∴．28．（2020春•姑苏区期中）【数学经验】三角形的中线的性质：三角形的中线等分三角形的面积．【经验发展】面积比和线段比的联系：如图1，M为△ABC的AB上一点，且BM＝2AM，若△ABC的面积为a，若△CBM的面积为S，则S＝a（用含a的代数式表示）．【结论应用】如图2，已知△CDE的面积为1，，，求△ABC的面积．【迁移应用】如图3，在△ABC中，M是AB的三等分点（AM＝AB），N是BC的中点，若△ABC的面积是1，请直接写出四边形BMDN的面积为．【分析】【经验发展】根据等高三角形面积的比等于它们底的比求得即可；【结论应用】连接BD，根据等高三角形面积的比等于它们底的比求得即可；【迁移应用】连接BD，根据等高三角形面积的比等于它们底的比求得即可．【解答】解：【经验发展】∵M为△ABC的AB上一点，且BM＝2AM，∴S＝a，故答案为a；【结论应用】连接BD，∵△CDE的面积为1，，∴S△BDC＝3S△DEC＝3，∵，∴S△ABC＝4S△BDC＝12；【迁移应用】连接BD，设S△ADM＝a，∵M是AB的三等分点（AM＝AB），∴S△ABD＝3a，S△BDM＝2a，∵N是BC的中点，∴S△ABN＝S△ACN，S△BDN＝S△CDN，∴S△ADC＝S△ADB＝3a，∴S△ACM＝4a，∵AM＝AB，∴S△CBM＝2S△ACM＝8a，∴S△CDB＝6a，S△ABC＝12a，∴S△BDN＝3a，∴S四边形BMDN＝5a，∴S四边形BMDN＝S△ABC＝×1＝，故答案为．29．（2021秋•秦淮区校级月考）如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝9，AB＝15，若动