高中数学必修二《直线、平面垂直的判定及其性质》测试卷解析版

高中数学必修二《直线、平面垂直的判定及其性质》测试卷

解析版

—.选择题（共40小题）

1.如图，在下列四个正方体4BCO-481C1D1中，E,F,G均为所在棱的中点，过E,F,

G作正方体的截面，则在各个正方体中，直线BDi与平面EFG不垂直的是（）

【分析】画出截面图形，利用直线与平面垂直的判定定理判断即可.

【解答】解：如图在正方体中，E,F,G,M,N,Q均为所在棱的中点，是一个平面图

形，直线8D1与平面EFMNQG垂直，并且选项A、B、C中的平面与这个平面重合，满

足题意，

只有选项D直线BD\与平面EFG不垂直.

【点评】本题考查直线与平面垂直的判定定理的应用，考查空间想象能力以及逻辑推理

能力.

2.如图，A-8CDE是一个四棱锥，平面BCQE,且四边形BCQE为矩形，则图中互

相垂直的平面共有（)

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A.4组B.5组C.6组D.7组

【分析】先有ABJ_平面BCDE得到3组互相垂直的平面.再利用四边形BCDE为矩形得

到其他互相垂直的平面即可.

【解答】解：因为A8，平面BCDE,所以平面A8C_L平面BCDE,平面ABZ）_L平面BCDE,

平面ABE_L平面BCDE,

又因为四边形BCDE为矩形，所以8C，平面平面A8C，平面ABE,

同理可得平面4c力J_平面ABC.平面AOE_L平面ABE

故图中互相垂直的平面共有6组.

故选：C.

【点评】本题考查面面垂直的判定.在证明面面垂直时，其常用方法是在其中一个平面

内找两条相交直线和另一平面内的某一条直线垂直

3.如图甲所示，在正方形A8CQ中，EF分别是BC、CQ的中点，G是EF的中点，现在沿

AE、AF及EF把这个正方形折成一个四面体，使8、C、。三点重合，重合后的点记为

H,如图乙所示，那么，在四面体A-E尸，中必有（）

甲乙

A.所在平面B.所在平面

C.所在平面D.，G_LZ\AEF所在平面

【分析】本题为折叠问题，分析折叠前与折叠后位置关系、儿何量的变与不变，可得HA、

HE、”尸三者相互垂直，根据线面垂直的判定定理，可判断AH与平面HEF的垂直.

【解答】解：根据折叠前、后4“，”尸不变，平面EF4,A正确；

•••过A只有一条直线与平面EFH垂直，...B不正确；

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,：AGLEF,EF±AH,，《尸，平面”AG,平面〃AG_LAEF,过，作直线垂直于平面

AEF,一定在平面HAG内，

C不正确；

；“6不垂直于46,；.，6_1平面4£'尸不正确，。不正确.

故选:A.

【点评】本题考查直线与平面垂直的判定，一般利用线线=线面=面面，垂直关系的相

互转化判断.

4.如图，以等腰直角三角形ABC的斜边BC上的高AO为折痕，把△A3。和△AC。折成互

相垂直的两个平面后，某学生得出下列四个结论

②△BAC是等边三角形；

③三棱锥D-ABC是正三棱锥；

④平面AOCJ_平面A8C

其中正确的是（）

A.①②④B.①②③C.②③④D.①③④

【分析】设等腰直角三角形AABC的腰为”，则斜边8C=、/5“，

①利用面面垂直的性质定理易证平面ADC,又4Cu平面ADC,从而可知BDLAC,

可判断①；

②依题意及设法可知,AB=AC=a,BO=CD=Y0a,利用勾股定理可求得BC=«•互7

22

=〃，从而可判断②；

③又因为DA=DB=DC,根据正三棱锥的定义判断；

④作出平面AOC与平面A8C的二面角的平面角，利用平面AOC可知，NBDF为

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直角，/8F。不是直角，从而可判断④.

【解答】解：设等腰直角三角形△ABC的腰为小则斜边BC=小，

①：。为BC的中点，J.ADVBC,

又平面ABDJ_平面4CD,平面A8DA平面ACD=A£>,BDLAD,BOu平面AB。，

J.BDL^-^ADC,又ACu平面ADC,

：.BD±AC,故①正确；

②由A知，80_L平面ADC,CDu平面ADC,

C.BDVCD,又BD=CD=?^a,

2

...由勾股定理得：BC=J5•返a=a,又A8=AC=a,

2

••.△ABC是等边三角形，故②正确；

③；△ABC是等边三角形，DA=DB=DC,

...三棱锥。-ABC是正三棱锥，故③正确.

④•.•△4OC为等腰直角三角形，取斜边AC的中点尸，则。尸，4C,又△4BC为等边三

角形，连接BF,则8FL4C,

六①

b力L15C

ZBFD为平面AOC与平面ABC的二面角的平面角，

由平面AQC可知，NBDF为直角,N8FC不是直角，故平面43C与平面ABC不

垂直，故④错误；

综上所述，正确的结论是①②③.

故选：B.

【点评】本题考查命题的真假判断与应用，着重考查线面垂直的判定与应用，考查二面

角的作图与运算，属于中档题.

5.下列命题中错误的是（）

A.如果a，0,那么a内一定存在直线平行于平面p

B.如果a，0,那么a内所有直线都垂直于平面0

C.如果平面a不垂直平面0,那么a内一定不存在直线垂直于平面0

D.如果a_Ly,p±y,ar）B=/,那么/J_y

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【分析】如果a，0,则a内与两平面的交线平行的直线都平行于面0,进而可推断出A

命题正确；a内与两平面的交线平行的直线都平行于面0,故可判断出8命题错误；根

据平面与平面垂直的判定定理可知C命题正确；根据两个平面垂直的性质推断出。命题

正确.

【解答】解：如果则a内与两平面的交线平行的直线都平行于面0,故可推断出

A命题正确.

B选项中a内与两平面的交线平行的直线都平行于面0,故B命题错误.

C根据平面与平面垂直的判定定理可知C命题正确.

D根据两个平面垂直的性质推断出D命题正确.

故选：B.

【点评】本题主要考查了平面与平面垂直的性质.解题的关键是对平面与平面垂直的性

质及判定定理熟练记忆.

6.如图，在斜三棱柱ABC-4B1C1的底面△A8C中，/BAC=90°,且BCi_LAC,过Ci

作C1H_L底面48C,垂足为，，则点〃在（）

A.直线4c上B.直线4B上C.直线BC上D.ZVIBC内部

【分析】由条件，根据线面垂直的判定定理，AC,平面A8O,又AC在平面A8C内，

根据面面垂直的判定定理，平面ABC,平面A8C1,

则根据面面垂直的性质，在平面ABC\内一点C1向平面ABC作垂线，垂足必落在交线

AB上.

【解答】解：如图：

,：ZBAC=90°,：.AC±AB,

VBCiXAC,：.AC-LBCi,

而B。、A8为平面ABCi的两条相交直线，根据线面垂直的判定定理，AC,平面ABCi,

又AC在平面A8C内，根据面面垂直的判定定理，平面ABC,平面ABG,

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则根据面面垂直的性质，在平面ABC\内一点Ci向平面ABC作垂线，垂足必落在交线

A2上.

故选：B.

【点评】本题主要考查空间中线面垂直、面面垂直的判定定理与性质定理，属于中档题.

7.如图是一儿何体的平面展开图，其中四边形ABC。为正方形，APDC,APBC,/XPAB,

△PD4为全等的等边三角形，E、尸分别为以、PO的中点，在此几何体中，下列结论中

错误的为（）

A.直线BE与直线CF共面

B.直线BE与直线AF是异面直线

C.平面BCE_L平面以。

D.面附。与面P8C的交线与BC平行

【分析】几何体的展开图，复原出几何体，利用异面直线的定义判断A，B的正误；

利用直线与平面垂直的判定定理判断C的正误；利用直线与平面平行的判定、性质定理

判断。的正误.

【解答】解：画出几何体的图形，如图，

由题意可知，A,直线BE与直线CF共面，正确，

因为E,F是以与PO的中点，可知E尸〃AO,

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所以E尸〃BC,直线BE与直线CF是共面直线；

B,直线BE与直线A尸异面；满足异面直线的定义，正确.

C,因为是等腰三角形，BE与m的关系不能确定，所以平面平面PAD,

不正确.

D,'：AD//BC,〃平面PBC,；.面以。与面PBC的交线与BC平行，正确.

故选：C.

【点评】本题是中档题，考查空间图形中直线与直线、平面的位置关系，考查异面直线

的判断，基本知识与定理的灵活运用.

8.如图所示，在四棱锥P-A8C。中，用，底面ABCD,且底面ABC。为菱形，M是PC

上的一个动点，若要使得平面MB。，平面PCD,则应补充的一个条件可以是（）

A.MD1MBB.MD1PC

C.ABLADD.M是棱PC的中点

【分析】由已知得8O_LB4,BDLAC,从而8O_L平面B4C,进而BO_LPC.由此得到当

DMA.PC（sKBMlPC）时，平面MB。_L平面PCD

【解答】解：•••在四棱锥P-ABC。中，以，底面ABCD,且底面各边都相等，

M是PC上的一动点，

：.BDLPA,BD±AC,

'：PAC\AC=A,；.8O_L平面以C,:.BD1PC.

当。W_LPC（或8例J_PC）时，即有PCI■平面例80.

而PC属于平面PCD,二平面MBQ_L平面PCD

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【点评】本题考查面面垂直的条件的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意空间中

线线、线面、面面间的位置关系的合理运用.

9.已知正方形A8C。的边长为2,若将正方形A8CD沿对角线8。折叠为三棱锥A-8CZ）,

则在折叠过程中，不能出现（）

A.BDA.ACB.平面平面C8D

C.VD.AB±CD

VA-CBD3

【分析】作出直观图，根据空间线面位置关系判断即可.

【解答】解：设正方形中心为。，则BCOC,BD±OA,

...8£>_L平面AOC,：.BD±AC,故A正确；

•/NAOC为二面角A-BO-C的平面角，

...当NA0C=三时，平面AB。，平面C8D,故B正确：

2

当NA°C=3时，以.取得最大值*母口@忖*2'血=平，

...三棱锥A-88的体积的取值范围是（0,平］,故C正确；

若ABJ_CD,又BC工CD,则。£>_1_平面ABC,

：.CDrAC,：.AD>CD,

显然这与AD=CD矛盾，故AB与CD不垂直.

故选：D.

【点评】本题考查了空间线面位置故选的判断，属于中档题.

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10.如图，已知四边形ABC。是边长为1的正方形，MD_L平面ABC。，NB_L平面ABCQ,

且M£)=NB=1,E为MC的中点，则下列结论不正确的是()

A.平面BCE_L平面ABNB.MCLAN

C.平面CMNJ_平面AMND.平面BOE〃平面AMN

【分析】将几何体补成正方体后再进行判断.

【解答】解：分别过4,C作平面ABC。的垂线4P,CQ,使得AP=CQ=1,连接PM,

PN,QM,QN,将几何体补成棱长为1的正方体.

：8C_L平面A2MBCu平面BCE,

平面2CEL平面ABM故A正确；

连接P8,则PB〃MC,显然P8J_AN,，MC_L4N,故8正确；

取MN的中点F,连接AF,CF,AC.

•:/XAMN和aCMN都是边长为我的等边三角形，

：.AF1MN,CFLMN,

；.NAFC为二面角A-MN-C的平面角，

,:AF=CF=®,4C=&,J.AF^+CF^^AC2,即

22

二平面CMN与平面不垂直，故C错误；

\'DE//AN,MN//BD,

平面8DE〃平面4MM故O正确.

故选：C.

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【点评】本题考查了空间线面位置关系的判断，属于中档题.

11.如图，四棱锥P-A8CD中，△%B与△P8C是正三角形，平面以B_L平面PBC,AC

LBD,则下列结论不一定成立的是（）

A.PB±ACB.平面ABCQ

C.ACVPDD.平面P8O_L平面ABC。

【分析】在4中，取尸8中点0,连结AO、C0,推导出尸8_L平面A0C,从而尸B_LAC；

在8中，推导出与AC不垂直，从而PC与平面A8C。不垂直；在C中，推导出AC

LPB,AC±BD,PBCBD=B,从而AC_L平面P8Q,进而AC_LPQ；在。中，由AC_L

平面PBD,得到平面PBZ）_L平面ABCD.

【解答】解：在4中，取PB中点0,连结AO、C0,

:四棱锥P-ABC。中，/XBAB与△P8C是正三角形，平面以8_L平面尸BC,ACVBD,

J.AOVPB,COLPB,

；Aonco=。，：.PBmA0C,

；ACu平面AOC,：.PBLAC,故4成立；

在8中，•.•△以B与△P8C是正三角形，：.PA=PC,AB=AC,

设ACCI8O=M,连结PM,MPMLAC,与AC不垂直，

.•.PO与平面ABCQ不垂直，故8不成立；

在C中，平面40C,ACu平面AOC,J.ACLPB,

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'：AC±BD,PBCBD=B,；.AC_L平面

VPDc^®PBD,J.ACLPD,故C成立；

在。中，VAC±¥®PBD,ACu平面A8CD,

平面PBDJ_平面ABC。，故。成立.

故选：B.

【点评】本题考查命题真假的判断，考查线面、线线、面央间的位置关系等基础知识,

考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想，是中档题.

12.如图，在三棱锥4-BC。中，AB_L平面BCD,NACB=45°,ZADB=30°,NBCD

【分析】设8C=x,则AB=x,AO=2x,B£>=J§x,由此利用余弦定理能求出A8.

【解答】解：设BC=x,

:在三棱锥A-BCD中，BCD,ZACB=45Q,N4OB=30°,

.•./B4C=NAC8=45°,ZBAD=6O0,/48C=/ABO=90°,

.'.AB—x,AD=2x,BD=yf3x,

\'ZBCD=nO°,CD=40,

解得x=40或x=-20（舍）.

：.AB=40.

故选：D.

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【点评】本题考查三角形边长的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系及余

弦定理等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与

方程思想，是中档题.

13.如图，点E为正方形ABCD边CD上异于点C,D的动点，将△AOE沿AE翻折成△SAE,

使得平面必£，平面ABCE,则下列说法中正确的有（）

①存在点E使得直线SAL平面SBC；

②平面SBC内存在直线与SA平行

③平面ABCE内存在直线与平面S4E平行；

④存在点E使得SELBA.

图1图2

A.1个B.2个C.3个D.4个

【分析】由已知中点E为正方形ABCD边CZ）上异于点C,。的动点，将△AOE沿AE

翻折成△SAE,使得平面SAE_L平面48CE,我们可得NSE4为锐角，Z5EC不为直角，

逐一分析题目中的四个结论，分别分析出它们的真假，即可得到答案.

【解答】解：①若直线SA,平面SBC,

则直线与平面SBC均垂直，则SA_L8C,

又由AD〃BC,贝这与NSAD为锐角矛盾，故①错误；

②..•平面SBCC直线SA=S,

故平面SBC内的直线与SA相交或异面，故②错误；

③取AB的中点凡则CF〃4E,由线面平行的判定定理，可得CF〃以E平行，故③正

确；

④若SE_LBA,由EC〃AB,可得SELEC,这与NSEC不为直角矛盾，故④错误；

故选：A.

【点评】本题考查的知识点是平面与平面垂直的性质，反证法，其中根据对于存在性结

论的论证，从正面论证难度较大时，一般使用反证法来进行证明.

14.已知不重合的直线a,b和平面a,p,ala,blp,则是“a_L0”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

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C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【分析】根据面面垂直的性质可知a，。，两平面的法向量垂直则两平面垂直，最后根据

“若pnq为真命题且为真命题，则命题p是命题q的充要条件”即可得到结论.

【解答】解：alp

又〜，0,a邙

.".aLb

反之a±b则a±p也成立，

故选：C.

【点评】本题主要考查了平面与平面之间的位置关系，以及空间中直线与平面之间的位

置关系，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题.

15.如图是一几何体的平面展开图，其中四边形ABC。为矩形，E,尸分别为以，的中

点，在此几何体中，给出下面4个结论：

①直线BE与直线CF异面；②直线BE与直线AF异面；

③直线EF〃平面PBC：④平面BCE_L平面物D

其中正确的结论个数为（）

A.4个B.3个C.2个D.1个

【分析】几何体的展开图，复原出几何体，利用异面直线的定义判断①，②的正误;

利用直线与平面平行的判定定理判断③的正误；

利用直线与平面垂直的判定定理判断④的正误；

【解答】解：画出几何体的图形，如图，

由题意可知，①直线BE与直线CF异面，不正确，

因为E,F是％与尸。的中点，可知E尸〃AO,

所以EF〃BC,直线BE与直线CF是共面直线；

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②直线8E与直线AF异面；满足异面直线的定义，正确.

③直线EF〃平面PBC；由E,尸是雨与的中点，可知EF〃A£>,所以EF〃BC,

平面PBC,8Cu平面尸BC,所以判断是正确的.

④因为B与底面ABC。的关系不是垂直关系，BC与平面外8的关系不能确定，所

以平面BCE_L平面不正确.

故选：C.

【点评】本题是基础题，考查空间图形中直线与直线、平面的位置关系，考查异面直线

的判断，基本知识与定理的灵活运用.

16.平面a过正方体ABCC-AiBiCiQi的面对角线ABJ且平面a,平面CIB。，平面aC

平面4£）£>iAi=AS,则N4AS的正切值为（）

A.遮B.立C.返D.A

2532

【分析】推导出AlCL80,A1C1BC1,从而AC平面C1B£>,以A41为侧棱补作一个

正方体AEFG-4PQS,使得侧面AG/M1与平面AODA1共面，连结A。，则AQ〃C4i,

连结Q8i,交4R于S,则平面A0&就是平面a,且AS为所求作，由此能求出结果.

【解答】解：正方体ABC。-AIBICIQI中，BD±AC,BD±AAi,

'.'ACDAAi^A,.\BO_L平面A41C,：.A\C1BD,

同理，得41cl.BC1,

,：BDnBC\=B,平面C1BD,

如图，以A4i为侧棱补作一个正方体AEFG-A\PQS,

使得侧面AGRAi与平面ADDiAi共面，

连结4。，则AQ〃C4,连结。物，交A1R于S,则平面AQB1就是平面a,且AS为所

求作，

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■：AQ//CAi,；.AQ_L平面CiBO,

•.•AQu平面a,二平面a_L平面CiBZ),

A.Si

/.tanZAiAS=—--.

AAj2

故选：D.

【点评】本题考查平角的正切值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等

基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、数据处理能力，考查数形结合思想，是

中档题.

17.在底面是菱形的四棱锥P-ABC。中，以，底面ABCC,点E为棱PB的中点，点尸在

棱AO上，平面CEF与南交于点K,且必=AB=3,AF=2,则埋等于（）

PK

A.2B.3C.AD.$

3579

【分析】如图所示，延长BA,CF,交于G,连接EG,与必交于K,则AG=6,过A

做AH〃P8,与EG交于H,则&[=&!=&!,即可得出结论.

PKPEBE

【解答】解：如图所示，延长BA,CF,交于G,连接EG,与附交于K,则AG=6,

过A做A”〃P8,与EG交于，，则由1=£旦=上旦=乜=2,

PKPEBE93

故选：A.

【点评】本题考查棱锥的结构特征，考查平面与平面交线的求法，属于中档题.

18.如图所示，已知三棱柱ABC-AiBiCi的所有棱长均为I,且AAi,底面A8C,则三棱

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锥Bi-ABC\的体积为（)

A.返B.返C.逅D.逅

124124

【分析】根据题意，三棱柱48（：-4］劭。是棱长均为1的正三棱柱，算出它的体积丫=

返.再根据锥体的体积公式得三棱锥A-4BCi、三棱锥CLABC的体积都等于三棱

4

柱ABC-AIBICI体积的工，由此用三棱柱ABC-AIBICI体积减去两个三棱锥的体积，即

3

可算出三棱锥Bi-ABC\的体积.

【解答】解：•.•三棱柱ABC-AIBICI的所有棱长均为1,

底面△ABC为正三角形，面积SAABC=®AB2=^

又J_底面ABC,A4i=l

三棱柱4BC-AiBCi的体积7ABe_ABc=SAABC・A41=*

•.•三棱锥4-Ai&Ci、三棱锥Cl-ABC与三棱柱ABC-4B1C1等底等高

,•VA-AXB：Ci="c「ABC=5丫幽＞A：BiCi=噜

由此可得三棱锥Bi-屈的体积片％c_A/】C「%A1B：C「％1ABe唔

故选：A.

【点评】本题给出棱长均为1的正三棱柱，求其中的三棱锥Bi-A3。体积.着重考查了

正三棱柱的性质、柱体和锥体的体积公式等知识，属于中档题.

19.在四面体ABC。中，AB±AD,AB=AD=BC=CD=\,且平面ABO_L平面BCD,M为

AB中点，则线段C例的长为（）

A.A/2B.V3C.返D.返

22

【分析】如图所示，取BQ的中点。，连接OA,0C,利用等腰三角形的性质可得0A,

BD,OCVBD.又平面AB£）_L平面8CZ）,可得04_L平面BCD,OAA.OC.建立空间直

角坐标系.又AB±AD,可得DB=版,取0B中点N,连结MN、CN,.'.MN//OA,

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MNmBCD.可得0加=d152忆/=率，

【解答】解：如图所示，取8。的中点。，连接OA,0C,

\'AB=AD=BC^CD=l,：.OA±BD,OCLBD.

又平面A8£>_L平面BCD,，。4_1平面BCD,OA±OC.

y.ABLAD,：.DB=y/2-

取。8中点N,连结MV、CN,.,.MN//OA,MN_L平面BCD

CN2^ON2+OC2,

ACM=VMN2-K：N2=-y-

【点评】本题考查了空间线面位置关系、向量夹角公式、等腰三角形的性质，考查了数

形结合方法、推理能力与计算能力，属于中档题.

20.如图，点E为正方形ABCD边C。上异于点C,D的动点，将△4£）£沿AE翻折成△SAE,

使得平面SAEL平面ABCE,则下列三个说法中正确的个数是（）

①存在点E使得直线S4L平面SBC

②平面SBC内存在直线与SA平行

③平面ABCE内存在直线与平面SAE平行.

图1

A.0B.1C.2D.3

【分析】根据题意，将△4OE沿AE翻折成使平面平面ABCE,S与。点

是同一个点，判断①错误；

由异面直线的定义可以判断平面SBC内的直线与SA相交或异面，得出②错误；

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由线面平行的判定定理，判断出③正确.

【解答】解：①当直线SA_L平面SBC时，8Cu平面SBC,.•.SA_L8C：

S与。点是同一个点，不存在SAL4O,...①错误；

②..•平面SBCA直线SA=S,

平面SBC内的直线与SA相交或异面，②错误；

③过点C作CF//AE,交AB于F,：CFC平面SAE,AEu平面SAE,

由线面平行的判定定理得，CF〃平面SAE,.•.③正确：

综上，正确的命题是③.

故选：B.

【点评】本题考查了空间中的平行与垂直的应用问题，也考查了图形折叠问题，是基础

题目.

21.在四棱锥P-ABC。中，PD_L底面ABC。，底面A8C£>为矩形，AB=1BC,E是CO上

一点，若平面尸8D,则的值为（）

ED

A.3B.5C.3D.4

22

【分析】推导出当AE_LBO时，AE_L平面P8O,此时由此

能求出丝的值.

ED

【解答】解：•.•尸。，底面4^。，，「。，4£

当AE_LB£>时，AE_L平面尸2£）,此时△A8Z>S^OAE,

则幽四，

ADDE

'：AB=2BC,.•.£>£•=工杷”CO,

44

...丝=3.

ED

故选：C.

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【点评】本题考查两线段长的比值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系

等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想、

数形结合思想、函数与方程思想，是中档题.

22.如图，附垂直于以AB为直径的圆所在平面，C为圆上异于A,8的任意一点，则下列

关系中不正确的是（）

A.PA±BCB.BC_L平面B4cC.ACVPBD.PCIBC

【分析】在A中，由以垂直于以A8为直径的圆所在平面ABC,得雨，BC；在B中，

推导出8ULAC,PA1BC,从而BCJL平面以C；在C中，由ACJ_BC,得若ACLPB,

则AC_L平面PBC,与AC_Lm矛盾；在。中，由BC_L平面PAC,得PCVBC.

【解答】解：在A中，...BA垂直于以A8为直径的圆所在平面A8C,

BCu平面ABC,

：.PALBC,故A正确；

在8中，：C为圆上异于A,8的任意一点，...BC,AC,

,JPALBC,PAC\AC=A,

平面B4C,故8正确；

在C中，'：ACVBC,.•.若ACLLPB,则AC_L平面P8C,则AC_LPC,

与ACJ-R1矛盾，故AC与8C不垂直，故C错误；

在。中，平面B4C,PCu平面阴C,，PC，BC,故。正确.

故选：C.

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【点评】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础

知识，考查运算求解能力，属于中档题.

23.点尸是AABC所在平面外一点，PA,PB、PC两两垂直，且尸0J_平面A8C于点0,则

。是△ABC的（）

A.外心B.内心C.垂心D.重心

【分析】点P为△ABC所在平面外一点，POmABC,垂足为0,从而证得BE,AC、

ADVBC,符合这一性质的点。是AABC垂心.

【解答】证明：连结A。并延长，交8c与/）连结80并延长，交AC与E；

因府_LPB,B4_LPC,故也，面PBC,故附_LBC；

因故P0_L8C,故BC_L面用0,

故A0_LBC即ADA.BC；

同理：BEA.AC；

故0是△ABC的垂心.

故选：C.

【点评】本题是立体几何中一道证明题，考查了线面垂直的定义与三角形的全等.

24.设a,。为不重合的平面，，筌，〃为不重合的直线，则下列命题正确的是（）

A.若wiua,〃u0,m//n,贝ija〃0B.若”_1_。，n±p,根_1_0,贝ijn?J_a

C.若能〃a,n//^>,m-Ln,贝lja_L0D.若&_1_0,mVn,则zn_La

【分析】对于①两平面可能相交，对于②面面平行的性质可知正确，对于③当两平面平

行时也符合条件，对于④当/nca时错误.

【解答】解：A若,"ua,nep,m//n,则a〃0或a与0相交，故不正确；

B若n±a,n±p,/n±p,则zn±a,由〃J_a,〃J_0可得a//0,又因nt_L0,所以w±a.故

正确；

C若〃z〃a,n/7p,mkn,则a_L。不正确，也可能平行；

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。若a_L0,n±p,m±n,则不正确，可能有mua；

故选：B.

【点评】本题主要考查了平面与平面平行的判定，以及直线与平面垂直的判定和平面与

平面垂直的判定等有关知识，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基本

知识的考查.

25.空间四边形A8CD中，若AD_LBC,ADLBD,那么有（）

A.平面A5C_L平面AOCB.平面ABC_L平面AO8

C.平面ABC_L平面DBCD.平面AOCL平面DBC

【分析】用判定定理先证明AC平面8QC,再证明平面AQC,平面。BC即可.

【解答】解•；AO_LBC,AD±BD,BCCBD=B

.*.AD_L平面BDC

又；AD在平面ADC内,

平面AOC_L平面QBC

故选：D.

【点评】本题主要考察了直线与平面垂直的判定，平面与平面垂直的判定，属于基本知

识的考查.

26.已知棱长为/的正方体ABC。-AIBICIQI中，E,F,M分别是AB、2D、A4的中点,

又尸、。分别在线段AiBi,Ai£h上，且AiP=AiQ=x,0<x<l,设面MEFA面MPQ=

I,则下列结论中不成立的是（)

A./〃面ABC。B.11AC

C.面MEF与面MPQ垂直D.当x变化时，/是定直线

【分析】由已知条件推导出1//EF,从而得到/〃面ABCD；由MN是运动的，得到面MEF

与面MPQ所成二面角是不确定的，从而平面ME/与平面MP。不垂直；EF//BD,I//

EF,EF与AC所成的角为90°,从而/与AC垂直；"是一个确定的点，从而当x变化

时，/是定直线.

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【解答】解：对于A,丁棱长为1的正方体ABC。-AiBCiOi中，E,F,M分别是A3、

AD.AAi的中点，

又P、。分别在线段AiBi、A\D\±,且4P=4Q=x,0<x<l,

'：QP//EF,E尸〃中截面，由平面与平面平行的性质定理，可知：面ME尸A面例PQ=/,

由平面与平面平行的性质定理可知：/〃面ABCZ),故A结论正确；

对于8,•.•正方体ABC。-AIBICIDI中，E,F,M分别是AB、AD,A41的中点...ACl.

EF,由三垂线定理可知：/_LAC,故B结论正确.

对于C,是运动的，，面ME/与面MPQ所成二面角是不确定的，平面ME尸与

平面MPQ不垂直，故C不正确；

对于力，；〃是/14的中点，是一个确定的点，.•.当x变化时，/是过M与所平行的定

直线，故力正确.

故选：C.

【点评】本题考查空间想象能力，直线与平面，直线与直线的位置关系，考查逻辑推理

能力.属于中档题，

27.直三棱柱A8C-4B1C1中，侧棱长为2,AC=8C=1,乙4c8=90°,。是A181的中

点，尸是BB1上的动点，AB\,。尸交于点E,要使平面巴则线段加尸的长为

()

B.1C.3D.2

2

【分析】作力E-L4B1交AB1于E,延长。E交281于F,连接C1F,则ABi_L平面CiOF,

点尸即为所求，由Ci£>_L平面AA\BB,ABiu平面AA\B\B,则C\DLAB\,ABilDF,

DFnCiD=D,满足线面垂直的判定定理，则，平面C。尸

【解答】解：作。ELAB1交AB1于E,延长。E交8B1于F,连接C1F,则ABi,平面

CDF,点尸即为所求.

平面A41B18,ABiu平面A41B18,

：.C\DA,AB\.又A8iJ_D尸，DFnC\D=D,

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平面C\DF.

四边形A41BB为矩形，此时点尸为81B的中点.

AAAB1

如图则有△A4I8IS/)B|F,即__L=_!_=B.F=L.

DBt%F12

故选：A.

【点评】本题主要考查了直线与平面垂直的判定.应熟练记忆直线与平面垂直的判定定

理，属于中档题.

28.将正方形ABCD沿对角线BD对折使得平面平面CBD,以下四个结论中不乖硼

的结论是()

A.AC1BDB.△ACZ)是正三角形

C.ABLCDD.A8与CD所成的角是60°

【分析】建立空间直角坐标系，结合空间向量法逐一分析给定四个答案的真假，可得答

案.

【解答】解：如图所示，建立空间直角坐标系.

不妨设48=血，

则A(0,0,1),B(1,0,0),C(0,1,0),0(-1,0,0),

AC=(0，1，-1)，BD=(-2,0,0),

AC«BD=0.即ACLB。，故A正确；

AC=CD=AD=近,即△AC。是正三角形，故8正确;

则族=(1,0,-1),而=(-1,-1,0),

.".|cos<AB«CD>I==A,

IABI-1CDI2

...直线AB与直线C。所成的角为60°.

故C错误，。正确;

故选：C.

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【点评】本题考查了向量夹角公式求异面直线所成的角、正方形的性质，考查了推理能

力与计算能力，属于中档题

29.把正方形ABCD沿对角线折，使平面平面CBD后,下列命题正确的是（）

A.AB1BCB.AC±BD

C.C"平面ABCD.平面平面AC£>

【分析】取8。中点。，连结AO,CO,设正方形ABC。边长为2,则AB=BC=S=

A£>=2,BD=2近,AO=CO=/BD=V^，从而AO^BD'COLBD,进而BQ_L平面AOC,

由此能证明BDLAC,推导出AB与BC所成角为60°,AC与CO所成角为60°,取AC

中点£,连结BE、DE,贝i]BE_LAC,DE±AC,NBEC是二面角8-AC-。的平面角,

求出cosZBED=--1,由此能求出正确选项.

3

【解答】解：把正方形A8CD沿对角线折，使平面A8/XL平面C8O,

取8。中点O,连结AO,CO,

设正方形ABC。边长为2,

则AB=BC=CO=AO=2,点,AO=CO=1BD=7^,

：.AOLBD,COVBD,又AOnCO=O,，台。，平面AOC,

：ACu平面AOC,J.BDVAC,故3正确；

AC=、0A240（2=2,：.AB=BC=AC,：.ZABC=60°,AB与BC所成角为60°,

故A错误；

•.•AD=£）C=4C,；.AC与CD所成角为60°,...C。与平面ABC不垂直，故C错误；

取AC中点E,连结BE、DE,则BE_LAC,DELAC,

是二面角B-AC-。的平面角，

22=

VBE=DE=^2-1V3>BQ=2点，