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文档简介
第一学期期末考试试卷(1)
课程名称:高等数学(上)考试方式:闭卷完成时限:120分钟
班级:学号:姓名:得分:.
一、填空(每小题3分,满分15分)
3X2+5.2
1、lim-------sin—
Xie5x+3x
/(—1)一7'(—2〃一1)
2、设广'(一D=A,则网2--------4-----------=
x-2d
3、曲线-在,=0处切线方程的斜率为
[y=e
4、已知于(x)连续可导,且/(x)>O,/(O)=1,/(I)=e,"2)=e2=
J。/(2%)
5、已知小)=占,贝廿W---------------------------------
二、单项选择(每小题3分,满分15分)
1、函数/(%)=xsinx,贝!)()
A、当x->8时为无穷大B、当Xf8时有极限
C、在(一0°,+8)内无界D、在(-8,+00)内有界
”、e*,JC<1
2、已知〃%)=(「则/(%)在%=1处的导数()
Inx,x>1
A、等于0B、等于1C、等于eD、不存在
3、曲线y=的拐点是()
A、x=lB、x=2C、D、(2,2e-2)
4、下列广义积分中发散的是()
Hdx「dxdxr+xdx
d2
A'J。sinxB、JoJ]_%*J。1+/2'J2xlnx
5、若/(x)与g(x)在(-oo,+oo)内可导,f(x)<g(%),则必有()
A、f(-x)<g(-x)B、/'(%)<g\x)
c、lim/(x)<limg(x)口、『"(%)d%<『'g(%)公
X—>XQX-^XQJOJO
三、计算题(每小题7分,共56分)答题要求:写出详细计算过程
x2(e2x-e-x)
i乘rlim--------------------
、(J_cosx)sinx
2、求limarcsin(V%2+%-%)
Xf+oo
3、设y=y(x)由%+=()确定,求d_y|.D
4、求函数,/1(*)=arctan(2/-9/+12%-10)的单调区间。
5、/(x)=ln(x2-1),求」f⑺⑴
6、求〕r(1a+rc%ta2n严x办,
7、求fJ|x2-4x+4|(Zx
1
8、在曲线y==上求一点,使该点切线被两坐标轴所截的线段最短。
X
四、应用题(满分8分)答题要求:写出详细计算过程
一个圆锥形的容器,顶朝上,底边半径1米,高2米,盛满水,要将水全部
抽出底面需要做多少功?
五、体题满分6分)设/(X)是(-oo,+oo)上非负连续的偶函数,且当%之。时,
单调增加。
(1)对任意给定的常数。〈人,求常数使得f(x+9/(x+Gdx=。
(2)证明(1)中所得的J是惟一的。答题要求:写出详细过程。
第一学期期末考试试卷(2)
课程名称:高等数学(上)考试方式:闭卷完成时限:120分钟
班级:学号:姓名:得分:.
一、填空(每小题2分,满分20分)
X
1、/(X)的定义域为(1,2),则/(]+1)的定义域为
X
2、lim-一rsinx=
Xf00l+x-------------------------------
.
3、函数/(%)=<(1+"'),X>。在x=0处连续,则a=____________
2,x<0
4、t/(tanex)=______________________
5、设y=Inx,贝!jy(")=______________________________
6、设函数/(%)在x=/处可导,则1血"“°)二二2〃)=_____________
20h
7、已知J/(%)^=sin%+C,则/(x)=
8、J][2+xln(x2+l)]dx=
9、y"+yf-2y=xex的特解形式(不必精确计算)为
2
rx_t2,
10、已知y=L"dt,则yL1=
*u--------------------------------------------
二、单项选择(每小题3分,满分15分)
1、函数/(幻=%|%|在%=0处()
A、连续且可导B、连续不可导
C、可导不连续D、不连续且不可导
2、当x-0时,变量l-cosx是/的()
A、等价无穷小B、同阶无穷小但不等价C、高阶无穷小D、低阶无穷小
3、曲线y=d—6/+U在(0,2)内的一段弧是()
A、上升,凹的B、上升,凸的C、下降,凹的D、下降,凸的
4、广义积分是收敛的,则左满足()
A、k3—2B、k<—2c^k3—1D、k<—1
5、设在区间[0,1]上/"。)>0,由中值定理,必有()
A、r(i)>r(o)>/d)-/(o)B、r(i)>/(i)-/(o)>r(o)
C、/(l)-/(0)>/⑴>尸(0)D、1⑴〉/(O)-/(l)>尸(0)
三、计算题(每小题6分,共36分)答题要求:写出详细计算过程
1、求lim(J%+4-4)
XT+OO
Inx
耒lim
2、本一。,InC-l)
3、利用变换y=z(x)ex2求微分方程/-4R+(4x2—l)y=—3/的通解。
4、求x+xe~x)dx
5、j:2J/_]dx
X>04
6、设/(%)=“0,求Jf/Ddx
四、计算下列各题(每小题7分,满分14分)答题要求:写出详细计算过程
1、设平面图形。由y=%2,y=%所围成,求。的面积,并求。绕入轴旋转一
周所形成的体积。
sin/+l=O
2、求曲线[y"+2,在,=0处的切线方程。
五、(本题满分9分)答题要求:写出详细计算过程
试确定a,。,c的值,使抛物线y=[/+"+c满足:⑴过点(0,0)和(1,1);
⑵曲线向上凸;(3)与工轴所围的面积最小。
六、(本题满分6分)设/(%)是[0,+8)上连续,单调非减且/(%)20,试证
函数/(x)=<(1//⑺"">(),在[0,+8)上连续且单调非减(其中”>0)。
0%=0
答题要求:写出详细过程。
期末考试试卷(3)
课程名称:高等数学(上)考试方式:闭卷完成时限:12。分钟
班级名称:学号:姓名:
一、填空(每小题2分,满分20分)
X.limx(y/x2+1-5/x2-1)=
X->-KO
2.lim[X+CI=e,贝!Jc=_____________
1认x-cJ
sin2x口八
3.函数/(x)=<―—,在(一8,+8)处连续,则。=
ax=0
、、冗
4.设y=cosx2+cos2x+tan—,贝!Idy=___________________________
4
5.设fM=x(arcsine+arccosx),则
6.已知曲线y=。工2+以在x=l处取到极值,则a、〃应满足条件
33x
7.已知,/(x)dx=xe+c9则/(x)=
+0C
8.^e~xx2dx=______________
0
9.设/(x)在[0,1]存在二阶连续导数,且尸(0)=0,(⑴=1,则「r(x)/"(x)^=
J0
10.微分方程2y"+4/=xe口的特解形式y*=
二、单项选择(每小题3分,满分15分)
xcos
1./(x)=^-,则x=0是/(X)的()0
ln(l+x),x<0.
(A)连续点(B)可去间断点
(C)无穷间断点(D)跳跃间断点
2.当xf0,下列无穷小中与x不等价的是()o
(A)tan尤(B)ex(C)Jl+x-1(D)ln(x+1)
3.曲线y=xe'的拐点是()o
(A)2(B)2e~2(C)(2,2e2)(D)(-2,-2e-2)
4、若%,%,%是微分方程y〃++q(%)y=/(%)三个线性无关的解,
是任意常数,则该方程的通解为()
(A)Cty,+C2y2+y3(B)G(M一必)+02(%一3)+,
(C)G(M-乃)+。2(%一力)⑻G(M+%)+G(M+%)+,
5.设两曲线y=f(x)与y=g(x)相交于两点(xi,ji)和(X2,J2),且
/(x)>0,g(x)〉0,则此两曲线所围平面图形绕x轴旋转一周所得的旋转体体积为
()o
(A)『公
<B)J:%][/*)『一[g(x)『麻
22
(C).乃[/(x)]公—J;[g(x)]dx
(D)[/(x)]2-[g(x)]2}dx
三、计算下列各题(每小题6分,满分42分)
._p...Inx
1.求lim---------
3'ln(e'-1)
2.设limt士竺1^=5,求a,5的值。
XT】\-X
3.已知卜=1”,求立,将
y=/+fAxdx
4.设孙+lny+lnx=O,求电
dx
5.j\n(i+x2)dx
7、求微分方程外〃=-y'的通解。
四、应用题(每小题9分,满分18分)
1.求抛物线),=-/+4尤-3及其在点(0,-3)和(3,0)处的切线围成图形的
面积。
2.设圆锥体的母线长。为常数,试确定其高心使圆锥体体积达到最大。
五、证明题(本题满分5分)
设/(x)在(YO,4W)内具有连续的二阶导数,且7(0)=0,试证:
7w
XHO
g(x)=«x
r(o)x=0
具有连续的一阶导数。
期末考试试卷(4)
课程名称:高等数学(上)考试方式:闭卷完成时限:12。分钟
班级名称:学号:姓名:
一、填空(每小题2分,满分20分)
1.设函数/(x)的定义域为(0,1)则/(e-,)的定义域为
,r(2”1丫
2.lim----=__________________
(2〃+2J
sinox
3.设函数.〃x)=丁'在x=0处连续,则。=
1-ae\x<0
4.已知/(x)=xarctanx2,贝!|f'(1)=
5.设y=ln(l+x),则.*=
7.已知/(x)=e'+lnx,则/(x)=
8.微分方程y"+y=1的通解为
9.设贝!]y,=____________________________
10.设/(x)二阶可导,/(0)=0,/(«)=/,(«)=1,则门/>"(x)dx=______________
J0
二、单项选择(每小题3分,满分15分)
2
1.当X—>0时,—(cosr-cos2x)Mx2fitJ()
(A)高阶无穷小(B)同阶无穷小,但不是等价无穷小
(C)低阶无穷小(D)等价无穷小
2.^y=esin2\则dy=()
(A)^vJsin2x(B)es,nxdsin2x(C)6所“sin2xdsinx(D)e'"''dsinx
3.设函数/(x)二阶可导,/(x)=-/(-x),且当xw(0,+oo)J'(x)>0,f\x)>0,
则当xe(-8,0),曲线y=/(x)()
(A)单调上升,曲线是凸的(B)单调下降,曲线是凸的
(C)单调上升,曲线是凹的(D)单调下降,曲线是凹的
4、在区间[-1,1]上满足拉格朗日中值定理条件的是()
(A)y=ln(l+x)(B)y二一
X
(C)y=x2+\(D)y=\x\
5.下列广义积分收敛的是()
(A)[inxdx(B)
Jo
(C)f1—^(D)
Jo1—x
三、计算下列各题(每小题6分,满分42分)
sinx4
4.求lim
A-»0x2-ln(l+x2)
x—t—ln(l+f2),求"y
5.若<2
y=arctanfdxdx
x
6.⑴讨论函数g(x)=x此c~—b1x<0在x=0处的可导性;
sinx,x>0
(2)在g(x)的可导点求其导数。
4.求曲线y=x"在拐点处的切线方程。
5.求(笔竺
Jyjex-1
6.设〉="是9'+P(X)>=X的一个解,求此微分方程满足ykn2=。的解。
2x,x>0
7、已知了。)=3,x<0*求J。?*—1)公
A-x
四、应用题(每小题9分,满分18分)
3.设区域。由曲线y=sinx,及直线x=f,x=2f,y=0所围成,其中0</<;T/2
(1)问f为何值时,。的面积最大?
(2)求此时该区域绕x轴旋转的旋转体体积。
4.底边为正方形的正四棱锥容器,顶点朝下,底边长为2米,高为2米,盛满水,
要将水全部抽出底面,需做多少功?
五、证明题(本题满分5分)
函数/Xx)在口向上连续,在(a,8)内二阶可导,且/(a)=/(份=—力,
h-aJa
试证:存在一点Je(凡份,使得/"《)=0。
期末考试试卷(5)
课程名称:高等数学(上)考试方式:闭卷完成时限:12。分钟
班级名称:学号:姓名:
一、填空(每小题3分,满分15分)
1.设/(幻=<“smfx>0,/(幻在(_吟+8)内连续,则”
tz+cosx2,x<0
2.如果/(x)为偶函数,且尸(0)存在,则/(0)=
3.sinQ2)力]=
4.f(e~xsinx+x2)6tx=
5.微分方程设y"+4y=sin2x的特解形式y*=
二、单项选择(每小题3分,满分15分)
1.当xf0时,下列无穷小与x不等价的是()
(A)ln(l+tanx)(B)Jl+x-1
(C)VT+7-VT^7(D)earcsinx-l
2.已知/(%)=ex,贝!]x=0是函数/(幻的()
(A)无穷型间断点(B)有限跳跃间断点
(C)可去间断点(D)振荡间断点
3.设函数f(x)二阶可导,且lim―这一=-3,则x=0,则是/(x)的()
X-。ln(l-xsrnx)
(A)极大点(B)极小点(C)驻点(D)拐点的横坐标
InA:,
4、若是/(x)的一个原函数,贝!|J+(%)公=()
1n121nx
(A)Jx+C(B)-+C(C)xlnx-x+C(D)-+c
XXX
5.设在区间[a,b]上/(x)>0,f\x)<0,f,r(x)>0,令S,=[bf{x}dx,
Ja
S2^f(b)(b-a),53=;"3)+/(时(。一公则()
(A)S]<S2<S3(B)S2<St<S3
(C)S3<St<S2(D)S2<Si<Si
三、计算下列各题(每小题7分,满分49分)
7.求limf----匚]
\nxj
8.设>=>(%)是由x、——=siny所确定的隐函数'求上。
x=r”),且/"⑺存在且不为零,求序,会
9.已知
\y=O)-/(0axax
10.求函数/(x)=xe-'的凹或凸的区间及拐点。
xexdx
5.求J
Vex—2
2
xe~x,x>0
6、设函数/(%)=,-J-,-1<工<0,计算
J+COS%
7.设函数0(x)具有二阶连续导数,且0(0)=0,并满足方程
f[te1'-2(p(t)]dt=(p'(x)-3°(x),
JO
求(p(x)0
四、综合应用题(每小题8分,满分16分)
1.平面上通过已知点P(l,4)引一直线,要使它在两坐标轴上的截距都是正的,且截
距之和为最小,求此直线方程。
2.求曲线>=好一2%/=0,》=1/=3所围成的平面图形的面积5,并求该平面图
形绕y轴旋转一周所得旋转体的体积V,。
五、证明题(本题满分5分)
函数/(幻在区间口,勿上具有二阶导数,且/(。)=0,而尸(x)=(x-a)2/(x),
试证:存在一点自w(a,b),使得尸修)=0。
期末考试试卷(6)
课程名称:高等数学(上)考试方式:闭卷完成时限:12。分钟
班级名称:学号:姓名:
一、填空(每小题3分,满分15分)
1.已知A©/("3X)2『"0在户0点连续,贝儿=
2.曲线y=xe、的拐点是
3.J](x2+arcsinx)dx=
4.已知/(e')=2xe-,,且/⑴=0,贝!I/(x)=
5.微分方程设2y〃+3y,+y=0的通解是
二、单项选择题(每小题3分,满分15分)
1./(%)=0是函数/(x)在/点取得极值的()
A.充分条件B.必要条件
C.充分必要条件D.既非充分又非必要条件
、
2,.lim\-1-+--X-+--X-'--(,)
XT8%
A.1B.-1C.1或一1D.不存在
3.曲线段y=[:Jcos2rdr的弧长为()
A.1B.V2*D.2
4.下列广义积分收敛的是()
A/”也小f+CO1f+0CI
B.r~^dxC.[-------------dxD.I―f^=dx
JcXJexlnxJex(]nx)Jexjlnx
5.若必,%,%是微分方程y+〃(%)y+g(%)y=/(%)三个线性无关的解,
G,G是任意常数,则该方程的通解为()
A.孰以+。2%+为B.G(M—%)+。2(M一为)+必
C.。|(必一必)+。2。1-%)D.a(y+%)+。2(乂+为)+%
三、计算题(一)(每小题6分,满分24分)
cosx1
11.求lim
xtanx
12.设y=y(%)是由e»+sin%-y=。确定,求y(0),/(0).
0<x<2
已知/(x)=J4丁2
13.求定积分[:/(x-1)公。
-2<x<0
、2+x'
14.求微分方程W=y+/(尤h0)满足了⑴=o的特解。
四、计算题(二)(每小题8分,满分24分)
一、[小,%>0
1、设函数y=/(%)=,1,八,(1)讨论函数/'(x)在x=0处的连续性;(2)
x+1,x<0
函数/(X)在何处取得极值,为什么?
2.已知函数/(%)满足方程/(x)=3x-7i百工/(幻公,试求/(幻。
3.设/(%)=『"力,求]/詈公。
7X
五、应用题(每小题8分,满分16分)
1.假定足球门的宽度为4米,在距离右门柱6米处,一球员沿垂直于底线的方向
带球,问:他在离底线多远的地方射门将获得最大的射门张角8?
5
2.过点(4⑵作抛物线y=4的切线,该切线与抛物线y=4及y轴围成平面图
形,
(1)求该平面图形的面积;
(2)求该平面图形绕x轴旋转而成立体的体积。
六、证明题(6分)
函数f(x)在区间[0』上可微,满足/(x)e(0,l)且/'(x)wl,VxeOl],证明:
在(0,1)内有且仅有一个使得了《)=人
工商大学《高等数学》(1)参考答案
6..1
一、1、-2、2A3、-54、15、-1
二、1、C2、D3、D4、A5、A
_7t
三、1、6,2、—,3、dy\x=o=On3-l)dx,4、[-8,1],[3,+对单
0
调增加,[1,3]单调减少,5、(T)n|(11_])![炽1]);+
xarctan%18、(土近,:)。
6'Jl+%2Jl+%27、1,
四、,(kJ)
a+b
4二
五、2
《高等数学》(2)参考答案
、1、(0,2),2、0,3、ln2,
(…!
x2x5、(-1尸
4、esecedx,6、2/\x0)
7、COSX,8、4,9、y*=x{ax+b)ex
10.2/e
、ABDBB
2
A
、1、1/2,2、1,3、(C1cos%+C2sinx-3)e
4>i__
-\n~9x-xex-ex+C
2
5、2-71/2
6、|(8-2A/2)
四、i、A=l/6,V=27r/15
2、y=2ex+2e
五、a=-2,b=3,c=0
《高等数学》(3)参考答案
一、1;2-r3.2;
71
4.-2(xsinx2+cosxsinx)dx;5.—;6.2a+Z?=0;
2
…11
7.3xVx(l+x);8.-;9.-;10.y'=x(ax+b)e~2x.
32
二、1.A2.C3.D4.B5.B.
三、1•原式=lim-----——(3,)lime~x-——-=1(6分)
xx+
K->O+e/(e-1)=-v^ox
2.lim(x2+ax+〃)=l+a+Z?=0(2分)
x-M
「x2+ax+b2x+。
lim----------=---l-i-m----------=—(2+〃)=5(5分)
\-xx-»l—]
联立解得a=-7,b=6.(6分)
dy1+2,1
・—=-------=--------1(3分)
dx-2t2tf
(6分)
正一^^2t-—一彳
4,方程两边对x求导得y+W+yVy+l/x=0,(4分)
(6分)
X
5.原式=Q+x)1dx(3分)
J1+x
=xln(l+x2)-2x+2arctanx+C(6分)
原式(4分)
2
=-(4-X2)2+(/_4)];=(石+石)(6分)
1
7.y=C,In|x|+C2
四、1.抛物线在点(0,-3)的切线为y=4x-3,在点(3,0)的切线为y=一
2x+6,两切线的交点为(23)。
2
(5分)
所求面积
3
A=J2[(4x-3)-(-厂+4x—3)]cZv+J3[(—2x+6)—(—x'+4x—3)]cZv
9
4
(9分)
2.圆柱体体积丫=](/一〃2)〃(3分)
a
由V'=W(/-3/Z2)=0,得驻点h-(7分)
V3,
由\/"=一2;必<0,知当/?=C,『max=(9分)
五、证x=Q,g'(0)=痴他上幽二=w(°)
-0X-0I。X
rw-r(o)=#(o);
=htn----------(2分)
D2x
x/0,g,(x)=1'(x);〃x).
(3分)
因为limg'(x)=/加.=/加小包=-/*(0),(5分)
.v->ox->o£A->O2x2
所以g(x)具有连续的一阶导数。
《高等数学》(4)参考答案
一、(0,+oo);2.e2;
6.3In|x|+sinx+C
(x+1)'
x
7.e+%lnx-x+C;8.y=C,cosx+C2sinx+l;9.6
10.a—\.
二、1.D2.B3.A4.C5.B.
1d2y_2(1+t2)
三、1.2;
1+t2-2tdx1~(1-t)5
x<0
3.g(x)在%=。不可导,
cosxx>0
4・x+e2y+4=0;5.2xy1ex—1+4arctan7ex—1—4,/一1+C;
7.21n2
四、La/n笈ccosa时面积=]sinxd%最大
2/
v_f-2,__兀r13V15
(2)V-J乃sinxdx=・••=—[arccos———
2.建立x轴向下的坐标系,取x为积分变量
,0:2
dw=g%(2-x)~dx,W=£dw=4g/3
《高等数学》(5)参考答案
一、1.-1;2.0;3.(2xsinx4-sinx2)dx;
2万3
4.;5.x(Acos2x+Bsin2x)
二、1・B2.A3.B4.D5.B.
-11.2包=____也_____
一、•2',dxcosy+2^-x2,
3.包='=,_;
dxdx2f\t)
4.凸区间(-8,2),凹区间(2,+oo),拐点凸区间(2,2*2);
5.2xJe*-2+4A/2arctan-e-4Je'-2+C;
尬
11.1
41,
6.tan2-4e+27.夕(x)=-x-x+l)e0-ex
四、1.y=-2x+6
2,S=2,匕=9万
五、应用罗尔定理。
高等数学(6)参考答案
一.填空:
2
1.e62.(2,2e-2)3.一
3
X
2
4.Inx5.y=。户一"+C2e
一・选徉:
1.D2.D3.B4.C5.B
三.计算题(一)(,每小题6分,共24分)
,即目4..srnx-xsinx-x
1.解:原式=lim----=hm——z—(3分)
zojctanxDx
cosx-1
=lim(6分)
.v->03尤26
2.解:x=O时y=l(1分)
方程两边对x求导:e»(y+盯')+cosx-y'=0=>y'(O)=2(4分)
方程两边再对x求导:exy(y+xy'Y+*(2V+孙")一sinx-y"=0=>y,f(O)=5
(6分)
3.解:令n,J°/d)dx=J/⑺d"L干df+Jo^^(2分)
口才严=ln|2+f,=ln2(3分)
:信抖(令"2sin")=jj翳皿=?
(5分)
原式=In2+—(6分)
6
解:曳=上+/,一阶线性方程,
4.(1分)
dxx
x4
——+CX(5分)
3
由y⑴=0=c=-3,所以解为y-'§%(6分)
四、计算题(二)(每题8分,共24分)
1.解(1)lim/(x)=lim(x+1)=1,(1分)
x->o_
liin/(x)=limx2x=lime2dnA:=e°=1;(2分)
XfO,
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