高数(大一年级上册)期末试题及答案

第一学期期末考试试卷(1)

课程名称：高等数学(上)考试方式：闭卷完成时限：120分钟

班级：学号：姓名：得分：.

一、填空(每小题3分，满分15分)

3X2+5.2

1、lim-------sin—

Xie5x+3x

/(—1)一7'(—2〃一1)

2、设广'(一D=A,则网2--------4-----------=

x-2d

3、曲线-在，=0处切线方程的斜率为

[y=e

4、已知于(x)连续可导，且/(x)>O,/(O)=1,/(I)=e,"2)=e2=

J。/(2%)

5、已知小)=占，贝廿W---------------------------------

二、单项选择(每小题3分，满分15分)

1、函数/(%)=xsinx,贝!)()

A、当x->8时为无穷大B、当Xf8时有极限

C、在(一0°,+8)内无界D、在(-8,+00)内有界

”、e*,JC<1

2、已知〃%)=(「则/(%)在％=1处的导数()

Inx,x>1

A、等于0B、等于1C、等于eD、不存在

3、曲线y=的拐点是()

A、x=lB、x=2C、D、(2,2e-2)

4、下列广义积分中发散的是()

Hdx「dxdxr+xdx

d2

A'J。sinxB、JoJ]_%*J。1+/2'J2xlnx

5、若/(x)与g(x)在(-oo,+oo)内可导，f(x)<g(%),则必有()

A、f(-x)<g(-x)B、/'(%)<g\x)

c、lim/(x)<limg(x)口、『"(%)d%<『'g(%)公

X—>XQX-^XQJOJO

三、计算题(每小题7分，共56分)答题要求：写出详细计算过程

x2(e2x-e-x)

i乘rlim--------------------

、(J_cosx)sinx

2、求limarcsin(V%2+%-%)

Xf+oo

3、设y=y(x)由％+=()确定，求d_y|.D

4、求函数,/1(*)=arctan(2/-9/+12%-10)的单调区间。

5、/(x)=ln(x2-1),求」f⑺⑴

6、求〕r(1a+rc%ta2n严x办,

7、求fJ|x2-4x+4|(Zx

1

8、在曲线y==上求一点,使该点切线被两坐标轴所截的线段最短。

X

四、应用题(满分8分)答题要求：写出详细计算过程

一个圆锥形的容器，顶朝上，底边半径1米，高2米，盛满水，要将水全部

抽出底面需要做多少功？

五、体题满分6分)设/(X)是(-oo,+oo)上非负连续的偶函数，且当％之。时,

单调增加。

(1)对任意给定的常数。〈人，求常数使得f(x+9/(x+Gdx=。

(2)证明(1)中所得的J是惟一的。答题要求：写出详细过程。

第一学期期末考试试卷（2）

课程名称：高等数学（上）考试方式：闭卷完成时限：120分钟

班级：学号：姓名：得分：.

一、填空（每小题2分，满分20分）

X

1、/（X）的定义域为（1,2）,则/（]+1）的定义域为

X

2、lim-一rsinx=

Xf00l+x-------------------------------

.

3、函数/（%）=＜（1+"'），X＞。在x=0处连续，则a=____________

2,x＜0

4、t/（tanex）=______________________

5、设y=Inx,贝!jy（"）=______________________________

6、设函数/（%）在x=/处可导，则1血"“°）二二2〃）=_____________

20h

7、已知J/（%）^=sin%+C,则/（x）=

8、J][2+xln（x2+l）]dx=

9、y"+yf-2y=xex的特解形式（不必精确计算）为

2

rx_t2,

10、已知y=L"dt,则yL1=

*u--------------------------------------------

二、单项选择（每小题3分，满分15分）

1、函数/（幻=%|%|在％=0处（）

A、连续且可导B、连续不可导

C、可导不连续D、不连续且不可导

2、当x-0时，变量l-cosx是/的（）

A、等价无穷小B、同阶无穷小但不等价C、高阶无穷小D、低阶无穷小

3、曲线y=d—6/+U在（0,2）内的一段弧是（）

A、上升，凹的B、上升，凸的C、下降，凹的D、下降，凸的

4、广义积分是收敛的，则左满足（）

A、k3—2B、k＜—2c^k3—1D、k＜—1

5、设在区间［0,1］上/"。）＞0,由中值定理，必有（）

A、r（i）＞r（o）＞/d）-/（o）B、r（i）＞/（i）-/（o）＞r（o）

C、/（l）-/（0）＞/⑴＞尸（0）D、1⑴〉/（O）-/（l）＞尸（0）

三、计算题（每小题6分，共36分）答题要求：写出详细计算过程

1、求lim（J%+4-4）

XT+OO

Inx

耒lim

2、本一。，InC-l）

3、利用变换y=z（x）ex2求微分方程/-4R+（4x2—l）y=—3/的通解。

4、求x+xe~x)dx

5、j：2J/_]dx

X>04

6、设/(%)=“0,求Jf/Ddx

四、计算下列各题(每小题7分，满分14分)答题要求：写出详细计算过程

1、设平面图形。由y=%2,y=%所围成，求。的面积，并求。绕入轴旋转一

周所形成的体积。

sin/+l=O

2、求曲线［y"+2,在，=0处的切线方程。

五、（本题满分9分）答题要求：写出详细计算过程

试确定a,。,c的值，使抛物线y=［/+"+c满足：⑴过点（0,0）和（1,1）；

⑵曲线向上凸；（3）与工轴所围的面积最小。

六、（本题满分6分）设/（%）是［0,+8）上连续，单调非减且/（%）20,试证

函数/（x）=<（1//⑺"">（）,在［0,+8）上连续且单调非减（其中”>0）。

0%=0

答题要求：写出详细过程。

期末考试试卷(3)

课程名称：高等数学(上)考试方式：闭卷完成时限：12。分钟

班级名称：学号：姓名:

一、填空(每小题2分，满分20分)

X.limx(y/x2+1-5/x2-1)=

X->-KO

2.lim[X+CI=e,贝!Jc=_____________

1认x-cJ

sin2x口八

3.函数/(x)=<―—,在(一8,+8)处连续，则。=

ax=0

、、冗

4.设y=cosx2+cos2x+tan—,贝!Idy=___________________________

4

5.设fM=x(arcsine+arccosx),则

6.已知曲线y=。工2+以在x=l处取到极值，则a、〃应满足条件

33x

7.已知，/(x)dx=xe+c9则/(x)=

+0C

8.^e~xx2dx=______________

0

9.设/(x)在［0,1］存在二阶连续导数，且尸(0)=0,(⑴=1,则「r(x)/"(x)^=

J0

10.微分方程2y"+4/=xe口的特解形式y*=

二、单项选择(每小题3分，满分15分)

xcos

1./(x)=^-，则x=0是/(X)的()0

ln(l+x),x<0.

（A）连续点（B）可去间断点

（C）无穷间断点（D）跳跃间断点

2.当xf0,下列无穷小中与x不等价的是（）o

(A)tan尤(B)ex(C)Jl+x-1(D)ln(x+1)

3.曲线y=xe'的拐点是（）o

(A)2(B)2e~2(C)(2,2e2)(D)(-2,-2e-2)

4、若%,%，%是微分方程y〃++q（%）y=/（%）三个线性无关的解,

是任意常数，则该方程的通解为（）

（A）Cty,+C2y2+y3（B）G（M一必）+02（%一3）+，

（C）G（M-乃）+。2（%一力）⑻G（M+%）+G（M+%）+,

5.设两曲线y=f（x）与y=g（x）相交于两点（xi,ji）和（X2,J2）,且

/（x）＞0,g（x）〉0,则此两曲线所围平面图形绕x轴旋转一周所得的旋转体体积为

()o

(A)『公

<B)J：%][/*)『一[g(x)『麻

22

(C).乃[/(x)]公—J;[g(x)]dx

(D)[/(x)]2-[g(x)]2}dx

三、计算下列各题（每小题6分，满分42分）

._p...Inx

1.求lim---------

3'ln(e'-1)

2.设limt士竺1^=5,求a,5的值。

XT】\-X

3.已知卜=1”,求立，将

y=/+fAxdx

4.设孙+lny+lnx=O,求电

dx

5.j\n(i+x2)dx

7、求微分方程外〃=-y'的通解。

四、应用题（每小题9分，满分18分）

1.求抛物线），=-/+4尤-3及其在点（0,-3）和（3,0）处的切线围成图形的

面积。

2.设圆锥体的母线长。为常数，试确定其高心使圆锥体体积达到最大。

五、证明题（本题满分5分）

设/(x)在(YO,4W)内具有连续的二阶导数，且7(0)=0,试证:

7w

XHO

g(x)=«x

r(o)x=0

具有连续的一阶导数。

期末考试试卷（4）

课程名称：高等数学（上）考试方式：闭卷完成时限：12。分钟

班级名称：学号：姓名:

一、填空(每小题2分，满分20分)

1.设函数/(x)的定义域为(0,1)则/(e-，)的定义域为

,r(2”1丫

2.lim----=__________________

(2〃+2J

sinox

3.设函数.〃x)=丁'在x=0处连续，则。=

1-ae\x<0

4.已知/(x)=xarctanx2,贝!|f'(1)=

5.设y=ln(l+x),则.*=

7.已知/(x)=e'+lnx,则/(x)=

8.微分方程y"+y=1的通解为

9.设贝!]y，=____________________________

10.设/(x)二阶可导，/(0)=0,/(«)=/,(«)=1,则门/>"(x)dx=______________

J0

二、单项选择（每小题3分，满分15分）

2

1.当X—>0时，—（cosr-cos2x）Mx2fitJ（）

（A）高阶无穷小（B）同阶无穷小，但不是等价无穷小

(C)低阶无穷小(D)等价无穷小

2.^y=esin2\则dy=()

(A)^vJsin2x(B)es,nxdsin2x(C)6所“sin2xdsinx(D)e'"''dsinx

3.设函数/(x)二阶可导，/(x)=-/(-x),且当xw(0,+oo)J'(x)>0,f\x)>0,

则当xe(-8,0),曲线y=/(x)()

(A)单调上升，曲线是凸的(B)单调下降，曲线是凸的

(C)单调上升，曲线是凹的(D)单调下降，曲线是凹的

4、在区间［-1,1］上满足拉格朗日中值定理条件的是()

(A)y=ln(l+x)(B)y二一

X

(C)y=x2+\(D)y=\x\

5.下列广义积分收敛的是()

(A)［inxdx(B)

Jo

(C)f1—^(D)

Jo1—x

三、计算下列各题(每小题6分，满分42分)

sinx4

4.求lim

A-»0x2-ln(l+x2)

x—t—ln(l+f2),求"y

5.若<2

y=arctanfdxdx

x

6.⑴讨论函数g(x)=x此c~—b1x<0在x=0处的可导性;

sinx,x>0

(2)在g(x)的可导点求其导数。

4.求曲线y=x"在拐点处的切线方程。

5.求（笔竺

Jyjex-1

6.设〉="是9'+P(X)>=X的一个解，求此微分方程满足ykn2=。的解。

2x,x>0

7、已知了。）=3,x<0*求J。?*—1）公

A-x

四、应用题（每小题9分，满分18分）

3.设区域。由曲线y=sinx,及直线x=f,x=2f,y=0所围成，其中0</<;T/2

（1）问f为何值时，。的面积最大？

（2）求此时该区域绕x轴旋转的旋转体体积。

4.底边为正方形的正四棱锥容器，顶点朝下，底边长为2米，高为2米，盛满水,

要将水全部抽出底面，需做多少功？

五、证明题（本题满分5分）

函数/Xx)在口向上连续，在(a,8)内二阶可导，且/(a)=/(份=—力,

h-aJa

试证：存在一点Je(凡份，使得/"《)=0。

期末考试试卷（5）

课程名称：高等数学（上）考试方式：闭卷完成时限：12。分钟

班级名称：学号：姓名：

一、填空（每小题3分，满分15分）

1.设/（幻=<“smfx>0,/（幻在（_吟+8）内连续，则”

tz+cosx2,x<0

2.如果/（x）为偶函数，且尸（0）存在，则/（0）=

3.sinQ2）力]=

4.f（e~xsinx+x2）6tx=

5.微分方程设y"+4y=sin2x的特解形式y*=

二、单项选择（每小题3分，满分15分）

1.当xf0时，下列无穷小与x不等价的是（）

（A）ln（l+tanx）（B）Jl+x-1

（C）VT+7-VT^7（D）earcsinx-l

2.已知/（%）=ex,贝!]x=0是函数/（幻的（）

（A）无穷型间断点（B）有限跳跃间断点

（C）可去间断点（D）振荡间断点

3.设函数f（x）二阶可导，且lim―这一=-3,则x=0,则是/（x）的（）

X-。ln（l-xsrnx）

（A）极大点（B）极小点（C）驻点（D）拐点的横坐标

InA：,

4、若是/(x)的一个原函数，贝!|J+(%)公=()

1n121nx

(A)Jx+C(B)-+C(C)xlnx-x+C(D)-+c

XXX

5.设在区间[a,b]上/(x)>0,f\x)<0,f,r(x)>0,令S,=[bf{x}dx,

Ja

S2^f(b)(b-a),53=；"3)+/(时(。一公则()

(A)S]<S2<S3(B)S2<St<S3

(C)S3<St<S2(D)S2<Si<Si

三、计算下列各题(每小题7分，满分49分)

7.求limf----匚］

\nxj

8.设>=>(%)是由x、——=siny所确定的隐函数'求上。

x=r”),且/"⑺存在且不为零，求序,会

9.已知

\y=O)-/(0axax

10.求函数/(x)=xe-'的凹或凸的区间及拐点。

xexdx

5.求J

Vex—2

2

xe~x,x＞0

6、设函数/(%)=,-J-,-1＜工＜0,计算

J+COS%

7.设函数0(x)具有二阶连续导数，且0(0)=0,并满足方程

f[te1'-2(p(t)]dt=(p'(x)-3°(x),

JO

求(p(x)0

四、综合应用题(每小题8分，满分16分)

1.平面上通过已知点P(l,4)引一直线，要使它在两坐标轴上的截距都是正的，且截

距之和为最小，求此直线方程。

2.求曲线>=好一2%/=0,》=1/=3所围成的平面图形的面积5,并求该平面图

形绕y轴旋转一周所得旋转体的体积V,。

五、证明题(本题满分5分)

函数/(幻在区间口,勿上具有二阶导数，且/(。)=0,而尸(x)=(x-a)2/(x),

试证：存在一点自w(a,b),使得尸修)=0。

期末考试试卷(6)

课程名称：高等数学(上)考试方式：闭卷完成时限：12。分钟

班级名称：学号：姓名:

一、填空(每小题3分，满分15分)

1.已知A©/("3X)2『"0在户0点连续，贝儿=

2.曲线y=xe、的拐点是

3.J](x2+arcsinx)dx=

4.已知/(e')=2xe-，，且/⑴=0,贝!I/(x)=

5.微分方程设2y〃+3y，+y=0的通解是

二、单项选择题(每小题3分，满分15分)

1./(%)=0是函数/(x)在/点取得极值的()

A.充分条件B.必要条件

C.充分必要条件D.既非充分又非必要条件

、

2,.lim\-1-+--X-+--X-'--(,)

XT8%

A.1B.-1C.1或一1D.不存在

3.曲线段y=[:Jcos2rdr的弧长为()

A.1B.V2*D.2

4.下列广义积分收敛的是（)

A/”也小f+CO1f+0CI

B.r~^dxC.[-------------dxD.I―f^=dx

JcXJexlnxJex(]nx)Jexjlnx

5.若必，%，%是微分方程y+〃（％）y+g（%）y=/（%）三个线性无关的解,

G，G是任意常数，则该方程的通解为（）

A.孰以+。2%+为B.G（M—％）+。2（M一为）+必

C.。|（必一必）+。2。1-%）D.a（y+%）+。2（乂+为）+%

三、计算题（一）（每小题6分，满分24分）

cosx1

11.求lim

xtanx

12.设y=y(%)是由e»+sin%-y=。确定，求y(0)，/(0).

0<x<2

已知/(x)=J4丁2

13.求定积分［：/（x-1）公。

-2<x<0

、2+x'

14.求微分方程W=y+/（尤h0）满足了⑴=o的特解。

四、计算题（二）（每小题8分，满分24分）

一、［小，％>0

1、设函数y=/（%）=，1,八，（1）讨论函数/'（x）在x=0处的连续性；（2）

x+1,x<0

函数/（X）在何处取得极值，为什么？

2.已知函数/(%)满足方程/(x)=3x-7i百工/(幻公，试求/(幻。

3.设/(%)=『"力，求］/詈公。

7X

五、应用题(每小题8分，满分16分)

1.假定足球门的宽度为4米，在距离右门柱6米处，一球员沿垂直于底线的方向

带球，问：他在离底线多远的地方射门将获得最大的射门张角8?

5

2.过点(4⑵作抛物线y=4的切线，该切线与抛物线y=4及y轴围成平面图

形，

(1)求该平面图形的面积；

(2)求该平面图形绕x轴旋转而成立体的体积。

六、证明题(6分)

函数f(x)在区间[0』上可微,满足/(x)e(0,l)且/'(x)wl,VxeOl],证明:

在(0,1)内有且仅有一个使得了《)=人

工商大学《高等数学》（1）参考答案

6..1

一、1、-2、2A3、-54、15、-1

二、1、C2、D3、D4、A5、A

_7t

三、1、6,2、—,3、dy\x=o=On3-l)dx,4、[-8,1],[3,+对单

0

调增加，[1,3]单调减少，5、(T)n|(11_])![炽1])；+

xarctan%18、（土近,：）。

6'Jl+%2Jl+%27、1,

四、,(kJ)

a+b

4二

五、2

《高等数学》（2）参考答案

、1、(0,2),2、0,3、ln2,

(…!

x2x5、（-1尸

4、esecedx，6、2/\x0)

7、COSX,8、4,9、y*=x{ax+b)ex

10.2/e

、ABDBB

2

A

、1、1/2,2、1,3、(C1cos%+C2sinx-3)e

4>i__

-\n~9x-xex-ex+C

2

5、2-71/2

6、|(8-2A/2)

四、i、A=l/6,V=27r/15

2、y=2ex+2e

五、a=-2,b=3,c=0

《高等数学》（3）参考答案

一、1；2-r3.2；

71

4.-2(xsinx2+cosxsinx)dx；5.—；6.2a+Z?=0；

2

…11

7.3xVx(l+x)；8.-；9.-；10.y'=x(ax+b)e~2x.

32

二、1.A2.C3.D4.B5.B.

三、1•原式=lim-----——(3，)lime~x-——-=1（6分）

xx+

K->O+e/(e-1)=-v^ox

2.lim(x2+ax+〃)=l+a+Z?=0（2分）

x-M

「x2+ax+b2x+。

lim----------=---l-i-m----------=—(2+〃)=5（5分）

\-xx-»l—]

联立解得a=-7,b=6.（6分）

dy1+2，1

・—=-------=--------1（3分）

dx-2t2tf

（6分）

正一^^2t-—一彳

4,方程两边对x求导得y+W+yVy+l/x=0,（4分）

（6分）

X

5.原式=Q+x)1dx(3分)

J1+x

=xln(l+x2)-2x+2arctanx+C(6分)

原式（4分）

2

=-(4-X2)2+(/_4)]；=(石+石)(6分)

1

7.y=C,In|x|+C2

四、1.抛物线在点(0,-3)的切线为y=4x-3,在点(3,0)的切线为y=一

2x+6,两切线的交点为(23)。

2

(5分)

所求面积

3

A=J2[(4x-3)-(-厂+4x—3)]cZv+J3[(—2x+6)—(—x'+4x—3)]cZv

9

4

（9分）

2.圆柱体体积丫=］（/一〃2）〃（3分）

a

由V'=W(/-3/Z2)=0,得驻点h-（7分）

V3，

由\/"=一2；必＜0,知当/?=C，『max=（9分）

五、证x=Q,g'（0）=痴他上幽二=w（°）

-0X-0I。X

rw-r(o)=#（o）；

=htn----------（2分）

D2x

x/0,g，(x)=1'(x)；〃x).

（3分）

因为limg'(x)=/加.=/加小包=-/*(0),(5分)

.v->ox->o£A->O2x2

所以g（x）具有连续的一阶导数。

《高等数学》(4)参考答案

一、(0,+oo);2.e2；

6.3In|x|+sinx+C

(x+1)'

x

7.e+%lnx-x+C；8.y=C,cosx+C2sinx+l；9.6

10.a—\.

二、1.D2.B3.A4.C5.B.

1d2y_2(1+t2)

三、1.2；

1+t2-2tdx1~(1-t)5

x<0

3.g(x)在％=。不可导,

cosxx>0

4・x+e2y+4=0；5.2xy1ex—1+4arctan7ex—1—4，/一1+C；

7.21n2

四、La/n笈ccosa时面积=]sinxd%最大

2/

v_f-2,__兀r13V15

(2)V-J乃sinxdx=・••=—[arccos———

2.建立x轴向下的坐标系，取x为积分变量

,0:2

dw=g%(2-x)~dx,W=£dw=4g/3

《高等数学》(5)参考答案

一、1.-1；2.0；3.(2xsinx4-sinx2)dx；

2万3

4.；5.x(Acos2x+Bsin2x)

二、1・B2.A3.B4.D5.B.

-11.2包=____也_____

一、•2',dxcosy+2^-x2,

3.包='=，_；

dxdx2f\t)

4.凸区间(-8,2),凹区间(2,+oo),拐点凸区间(2,2*2)；

5.2xJe*-2+4A/2arctan-e-4Je'-2+C；

尬

11.1

41,

6.tan2-4e+27.夕(x)=-x-x+l)e0-ex

四、1.y=-2x+6

2,S=2,匕=9万

五、应用罗尔定理。

高等数学（6）参考答案

一.填空：

2

1.e62.（2,2e-2）3.一

3

X

2

4.Inx5.y=。户一"+C2e

一・选徉：

1.D2.D3.B4.C5.B

三.计算题（一）（,每小题6分，共24分）

,即目4..srnx-xsinx-x

1.解：原式=lim----=hm——z—（3分）

zojctanxDx

cosx-1

=lim（6分）

.v->03尤26

2.解：x=O时y=l（1分）

方程两边对x求导：e»（y+盯'）+cosx-y'=0=>y'（O）=2（4分）

方程两边再对x求导：exy（y+xy'Y+*（2V+孙"）一sinx-y"=0=>y,f（O）=5

（6分）

3.解：令n,J°/d）dx=J/⑺d"L干df+Jo^^（2分）

口才严=ln|2+f,=ln2（3分）

:信抖（令"2sin"）=jj翳皿=?

（5分）

原式=In2+—（6分）

6

解：曳=上+/,一阶线性方程,

4.（1分）

dxx

x4

——+CX（5分）

3

由y⑴=0=c=-3,所以解为y-'§%（6分）

四、计算题（二）（每题8分，共24分）

1.解（1）lim/（x）=lim（x+1）=1,（1分）

x->o_

liin/（x）=limx2x=lime2dnA：=e°=1;（2分）

XfO，