第一章 特殊平行四边形 单元测试（能力提升）(备作业)-2021-2022学年九年级数学上册同步备课系列（北师大版）（解析版）

第一章特殊平行四边形单元测试（能力提升）

一、单选题

1.如图，平行四边形ABCD对角线AC、BD交于点。，NADB=20。，ZACB=50°,过点。的直线交AD于点E,交

BC于点F当点E从点A向点D移动过程中（点E与点A、点D不重合），四边形AFCE的形状变化依次是（）

A.平行四边形玲矩形玲平行四边形玲菱形玲平行四边形

B.平行四边形f矩形3平行四边形今正方形今平行四边形

C.平行四边形好菱形玲平行四边形玲矩形T平行四边形

D.平行四边形玲矩形T菱形今正方形T平行四边形

【答案】C

【解析】

先判断出点E在移动过程中，四边形AECF始终是平行四边形，当NAFC=80。时，四边形AECF是菱形，当NAFC=90。

时，四边形AECF是矩形，即可求解.解：I・点。是平行四边形ABCD的对角线得交点，

OA=OC,ADIIBC,

ZACF=ZCAD,ZADB=ZDBC=20°

ZCOF=ZAOE,OA=OC,ZDAC=ZACF

△AOE"ACOF（ASA）,

/.AE=CF,

AEIICF,

四边形AECF是平行四边形，

•••ZADB=ZDBC=20°,ZACB=50°,

ZAFC>20"

当NAFC=80°时，ZFAC=1800-80o-50°=50°

ZFAC=ZACB=50°

AF=FC

,平行四边形AECF是菱形

当ZAFC=90。时，平行四边形AECF是矩形

・•.综上述，当点E从D点向A点移动过程中（点E与点D,A不重合），则四边形AFCE的变化是：平行四边形

玲菱形f平行四边形〉矩形〉平行四边形.

故选：C.

【点睛】

本题考查了平行四边形、矩形、菱形的判定的应用，主要考查学生的理解能力和推理能力，题目比较好，难度适

中.

2.菱形ABC。中，"=60°.点E、尸分别在边8C、CDk,且=若EF=2,则AAEE的

面积为（）.

A.473B.3>/3C.26D.73

【答案】D

【解析】

先证明△ABE合△ACF,推出AF=AE,NEAF=60。，得到△AEF是等边三角形，即可解决问题.解：丫四边形ABCD

是菱形，

ND=NB=60",AB=BC,

A&ABC是等边三角形,

AB-AC,

〈AC是菱形的对角线，

1

二ZACF=—A0cB=60°,

2

...ZB=ZACF,

/AB=ACfBE=CF,

AABE^△ACF,

AF=AE,ZBAE=NCAF,

：.ZBAE+NEAC=ZCAF+ZEAC,

即ZEAF=A84c=60°,

△4EF是等边三角形，

---EF=2,

SaAEF=x22——5/3，

4

故选：D.

【点睛】

本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质等知识，解题的关键是证明全等三角形得到AAEF是等边三角

形，牢记等边三角形面积公式是解题关键.

3.如图，在矩形ABCD中，E,F分别是边AB,CD上的点，AE=CF,连接EF,BF,EF与对角线AC交于点O,且

BE=BF,ZBEF=2ZBAC,FC=2,贝ljAB的长为()

A.8B.8C.4D.6

【答案】D

【解析】

连接OB,根据等腰三角形三线合一的性质可得BO_LEF,再根据矩形的性质可得OA=OB,根据等边对等角的性质

可得ZBACNAB0,再根据三角形的内角和定理列式求出NABO=30。，即NBAC=30。，根据直角三角形30。角所对

的直角边等于斜边的一半求出AC,再利用勾股定理列式计算即可求出AB.解：如图，连接0B,

BE=BF,OE=OF,

BO±EF,

在RtABEO中，ZBEF+ZABO=90°,

由直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半可知：OA=OB=OC,

ZBAC=ZABO,

又ZBEF=2ZBAC,

即2ZBAC+ZBAC=90°,

解得NBAC=30",

ZFCA=30",

ZFBC=30°,

FC=2,

BC=2上,

AC=2BC=4班,

AB=7AC2-BC2=1（4回一（2折2=6,

故选D.

【点睛】

本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形三线合一的性质，直角三角形30。角所对的直角

边等于斜边的一半，综合题，但难度不大，（2）作辅助线并求出NBAC=30。是解题的关键.

4.如图，菱形ABCD中，NABC=60。，AB=4,E是边AD上一动点，将△CDE沿CE折叠，得到△CFE,则△BCF

面积的最大值是（）

A.8B.8^3C.16D.1673

【答案】A

【解析】

由三角形底边BC是定长，所以当△BCF的高最大时，△BCF的面积最大，即当FCLBC时，二角形有最大面积.解：

在菱形ABCD中，BC=CD=AB=4

又,•・将ACDE沿CE折叠,得到ACFE,

FC=CD=4

由此，△BCF的底边BC是定长，所以当△BCF的高最大时，ABCF的面积最大，即当FC_LBC时，三角形有最大

面积

「.△BCF面积的最大值是!3c•/C='x4x4=8

22

故选：A.

【点睛】

本题考查菱形的性质和折叠的性质，掌握三角形面积的计算方法和菱形的性质正确推理计算是解题关键.

5.如图，在AABC中，于点E,BD_LAC于点D；点F是A8的中点，连结DF,EF,设ZDEEux。，

NACB=y°,则（）

A.y-xB.y=-—x+90c.y=-2x+180D.y=-x+90

【答案】B

【解析】

由直角三角形斜边的中线等于斜边的一半可的AF=DF,BF=EF,从而由等腰三角形的性质得NADF=NDAF,

NEBF=4BEF,然后根据三角形外角的性质和三角形外角的性质可求得结论.：AE，BC于点E,BO_LAC于

点D；点F是AB的中点，

AF=DF,BF=EF,

：.ZADF=NDAF,ZEBF=NBEF,

■：ZAFD+Z.DFE=4EBF+NBEF=2NEBF,ZBFE+NDFE=NDAF+NADF=2NDAF,

ZAFD+ADFE+NBFE+NDFE

=2ZEBF+2NDAF

=2(ZEBF+NDAF)

=2(180°-ZC)

=360°-2ZC,

1800+ZDF£=360°-2ZC,

1800+x=360°-2y,

/.y=-gx+90.

故选B.

【点睛】

本题考查了直角三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和及三角形外角的性质，熟练掌握直角三角形

斜边的中线等于斜边的一半是解答本题的关键.

6.点E是正方形ABCD对角线AC上，且EC=2AE,FEG的两条直角边EF、EG分别交BC、DC于M、N两点，

若正方形ABCD的边长为a,则四边形EMCN的面积()

A.■B.LC&4,

D.—a2

3499

【答案】D

【解析】

【解析】

根据题意过E作EK垂直于直线CD,垂足为K,再过E作EL垂直于直线BC,垂足为L,只要证明KENK=^ELM,

则可计算Spq边形硒°”=S°EKCL•解：根据题意过E作EK垂直于直线CD,垂足为K,再过E作EL垂直于直线BC,

垂足为L.

四边形ABCD为正方形

EL=EK

EK±CD,EL±BC

4ELM=NEKN=9G

NBC。=90°

NK£L=90°

•.•△EEG为直角三角形

NKEM+NLEM=NKEM+ZNEK=90°

:"LEM=/NEK

:.庄NK三血M

■■S四边形ENCM=S口EKCL=（§a）~=

故选D.

【点睛】

本题主要考查正方形的性质，关键在于根据题意做辅助线.

7.如图，正方形ABCD内有两条相交线段MN,EF,M,N,E,F分别在边AB,CD,AD,BC上.小明认为：若

MN=EF,则MN_LEF；小亮认为：若MN_LEF,则MN=EF,你认为（）

AED

A.仅小明对B.仅小亮对C.两人都对D.两人都不对

【答案】C

【解析】

分别过点E作EGJLBC于点G,过点M作MP_LCD于点P,设EF与MN相交于点0,MP与EF相交于点Q,根据

正方形的性质可得EG=MP；对于小明的说法，先利用"HL"证明RtAEFG合RtAMNP,根据全等三角形对应角相等

可得NMNP=ZEFG,再根据角的关系推出NEQM=NMNP,然后根据NMNP+ZNMP=90°得到NNMP+ZEQM=90。，

从而得到NMOQ=90。,根据垂直的定义即可证得MN_LEF；对于小亮的说法,先推出NEQM=NEFG,ZEQM=NMNP,

然后得到NEFG=NMNP,然后利用“角角边"证明△EFG叁△MNP,根据全等三角形对应边相等可得EF=MN.如图，

过点E作EG_LBC于点G,过点M作MPJ_CD于点P,设EF与MN相交于点0,MP与EF相交于点Q,

•••四边形ABCD是正方形,

EG=MP,

对于小明的说法：

在RtAEFG和RtAMNP中,

MN=EF

EG=MP

：.RtAEFG合RtAMNP(HL),

ZMNP=ZEFG,

•••MP_LCD,ZC=90",

MPIIBC,

ZEQM=NEFG=ZMNP,

又「ZMNP+ZNMP=90°,

ZEQM+NNMP=90°,

在4MOQ中，ZMOQ=180°-(ZEQM+ZNMP)=180o-90°=90°,

MNJ_EF,

故甲正确.

对小亮的说法：

VMP±CD,ZC=90°,

MPIIBC,

ZEQM=NEFG,

•••MNJ_EF,

ZNMP+ZEQM=90°,

又;MP±CD,

ZNMP+ZMNP=90",

ZEQM=NMNP,

ZEFG=ZMNP,

在4EFG和4MNP中，

.NEFG=NMNP

<ZEGF=ZMPN=90°,

EG=MP

：.△EFG"△MNP(AAS),

.­.MN=EF,故小亮的说法正确，

综上所述，两个人的说法都正确.

故选C.

【点睛】

本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、同角的余角相等的性质，作出辅助线，构造出全等三角形

是解题的关键，通常情况下，求两边相等，或已知两边相等，都是想法把这两条线段转化为全等三角形的对应边

进行求解.

8.如图，在菱形ABCD中，E,F分别在AB,CD上，且BE=DF,EF与BD相交于点O,连结A0.若NCBD=35°,

则/DAO的度数为()

g

BC

A.35°B.55°C.65°D.75°

【答案】B

【解析】

由菱形的性质以及已知条件可证明△BOE合△DOF,所以可得BO=D。，即。为BD的中点，进而可得AOJ_BD,再

由NCBD=35°,则可以求出NDAO的度数.解：：四边形ABCD是菱形，

/.ABHCD,

/.ZOEB=ZOFD,ZEBO=ZODF,

BE=DF,

20EB=NOFD

，在△BOE和△DOF中｛BE=OF,

LEBO=AODF

：.△BOE合△DOF,

BO=OD,

AO±BD,

ZAOD=90°,

ZCBD=35°,

ZADO=35°,

/.ZDAO=55°,

故选：B.

【点睛】

本题考查了菱形的性质、全等三角形的判定和性质，证明出AO_LBD是解题的关键.

9.如图，在菱形ABCD中，ZA=60°,E,F分别是AB,AD的中点，DE,BF相交于点G,连接BD,CG,有下列

结论：①NBGD=120。；②BG+DG=CG；③△BDFV△CGB；=—/4B2.其中正确的结论有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】C

【解析】

试题解析：①由菱形的性质可得△ABD、BDC是等边三角形，NDGB=NGBE+NGEB=30°+90°=：120°,故①正确；

②；NDCG=NBCG=30。，DE_LAB,.,.可得DG=CG（30。角所对直角边等于斜边一半）、BG=—CG,故可得出

22

BG+DG=CG,即②也正确；

③首先可得对应边BGWFD,因为BG=DG,DG>FD,故可得△BDF不全等△CGB,即③错误；

]11nn

④SAABD=-AB・DE=—AB•的BE=—AB・4AB=4AB2,即④正确.

22224

综上可得①②④正确，共3个.

故选C.

10.如图，在矩形ABCD中，E是AB边的中点，沿EC对折矩形ABCD,使B点落在点P处，折痕为EC,连结AP

并延长AP交CD于F点，连结CP并延长CP交AD于Q点.给出以下结论：

①四边形AECF为平行四边形；

②NPBA=ZAPQ；

FPC为等腰三角形；

（£）△APB2△EPC；

其中正确结论的个数为（)

A.1B.2C.3D.4

【答案】B分析：①根据三角形内角和为180。易证NPAB+NPBA=90。，易证四边形AECF是平行四边形，即可解

题；

②根据平角定义得：NAPQ+NBPC=90。，由正方形可知每个内角都是直角，再由同角的余角相等，即可解题；

③根据平行线和翻折的性质得：ZFPC=ZPCE=ZBCE,NFPCHNFCP,且NPFC是钝角，△FPC不一定为等腰三角

形；

④当BP=AD或△BPC是等边三角形时，AAPB些AFDA,即可解题.

详解：①如图，EC,BP交于点G；

；点P是点B关于直线EC的对称点,

•••EC垂直平分BP,

EP=EB,

ZEBP=ZEPB,

•.•点E为AB中点,

AE=EB,

AE=EP,

ZPAB=ZPBA,

,/ZPAB+ZPBA+ZAPB=180°,即NPAB+ZPBA+ZAPE+ZBPE=2(ZPAB+ZPBA)=180°,

ZPAB+ZPBA=90°,

AP±BP,

AFIIEC；

•/AEIICF,

••・四边形AECF是平行四边形，

故①正确；

②:ZAPB=90°,

ZAPQ+ZBPC=90°,

由折叠得：BC=PC,

ZBPC=ZPBC,

•••四边形ABCD是正方形，

ZABC=ZABP+ZPBC=90",

ZABP=ZAPQ,

故②正确；

③・•,AFIIEC,

ZFPC=ZPCE=ZBCE,

•••ZPFC是钝角，

当4BPC是等边三角形，即NBCE=30°时，才有NFPC=ZFCP,

如右图，△PCF不一定是等腰三角形，

故③不正确；

④..,AF=EC,AD=BC=PC,ZADF=ZEPC=90°,

RtAEPC叁△FDA(HL),

ZADF=ZAPB=90°,NFAD=NABP,

当BP=AD或4BPC是等边三角形时，△APB2AFDA,

/.AAPB些AEPC,

故④不正确；

其中正确结论有①②，2个，

故选B.

点睛：本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质和判定，矩形的性质，翻折变换，平行四边形的

判定，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解木题的关键.

11.如图，在正方形ABCD和正方形DEFG中，点G在C。上，DE=2,将正方形DEFG绕点D顺时针旋转60。，得

到正方形DF产G,此时点G在AC上，连接CF,则CF+CG，=()

A.y/2+46B,石+1C.6+夜D.后+«

【答案】A试题解析：作G，/_LCO于/,GR_LBC于R,交8c的延长线于H.连接RF.则四边形RC/G是

正方形.

•••ZDG'F'=N/GR=90°,ZDG7=ZRG'F',在4G'lD和」G'RF中，；G'D=G'F,ZDG'/=NRG'F',G'l=G'R,

△G7DS△G'RF,ZG7D=ZG'R尸=90°,..,点尸在线段BC上，在RtAE'F'H中，:E'F'=2,ZE'F'H=30°,；.E'H=—

2

E'F'=1,F'H=y/3,易证△RG'F'W△HFE',：.RF'=E'H,RG'RC=F'H,：.CH=RF=E'H,：.CE'=72'RG=HF=^，:.CG'=

近RG'=76.CE'+CG'=应+折

故选A.

12.如图，在正方形ABCD中，AB=4,E为CD上一动点，AE交BD于F,过F作FHJ_AE于H,过H作GHJ_BD

于G,下列有四个结论：①AF=FH,②NHAE=45。，③BD=2FG,④△CEH的周长为定值，其中正确的结论有

()

A.①②③B.①②④C.①③④D.①②③④

【答案】D

【解析】

(1)如图1,连接FC,延长HF交AD于点L,

,/在正方形ABCD中，ZADF=ZCDF=45°,AD=CD,DF=DF,

/.△ADa△CDF,

/.FC=AF,ZECF=ZDAF,

,/ZALH+ZLAF=90°,

ZLHC+ZDAF=90°,

•「ZECF=ZDAF,

ZFHC=ZFCH,

「・FH=FC,

FH=AF；

(2)如图1,•/FH±AE,FH=AF,

.ZHAE=45°；

(3)如图2,连接AC交BD于点0,则由正方形的性质可得：BD=20A,

•「HF±AE,HG±BD,

ZAFO+ZGFH=ZGHF+ZGFH,

ZAFO=ZGHF.

•.AF=HF,ZAOF=ZFGH=90°,

/.△AOa△FGH.

/.OA=GF.

BD=2OA,

/.BD=2FG；

(4)延长AD至点M,使AD=DM,过点C作ClllHL,则：LI=HC,

/.ZIMC=ZECM=45°,

由已知条件可得：ZDEM=ZDEA=ZFHC=ZDIC,由此可得NMEC=ZCIM,

又MC=CM,

」.△MEC些△CIM,

CE=IM,

同理，可得：AL=HE,

HE+HC+EC=AL+LI+IM=AM=8.

△CEH的周长为8,为定值.

故(1)(2)(3)(4)结论都正确.

二、填空题

13.如图，己知矩形A5CD,AB=6,BC=4,点E在A£>上，连接EC,将四边形A6CE沿CE折叠,

得到四边形AB'CE,且A'"刚好经过点D,则MDE的面积为.

【答案】27-975

【解析】

可先在/^△8'CD中运用勾股定理求出87）,从而得到AO,然后在中运用勾股定理求出瓦），最

后即可得出△€!）£：的面积的面积.1•矩形ABC。，AB=6,BC=4,

DC=6,AT>=4,

由翻折的性质可知，BC=4>AB=6，AE=A'E，

在放△B'CD中，由勾股定理可得：B'D=4DC--B'C2=2y[5>

•••A'D=A'B'-B'D^6-275，

设=则AE=A'E=4—x,

在中，由勾股定理可得：x2=（4-X）2+（6-275）2,

解得：x=9-3下,

•••ED=9-35

：.S&CDE=|ED・CD=9(9-3君卜6=27—96

故答案为：27—9石.

【点睛】

本题考查矩形的翻折问题，理解矩形和翻折变换的基本性质，灵活运用勾股定理进行求解是解题关键.

14.如图，在菱形纸片ABCD中，AB=4,NA=60。，将菱形纸片翻折，使点A落在CD的中点E处，折痕为FG,

BF

点F、G分别在边AB、AD上，则——的值为

AF

【答案】-

7

【解析】

连接BE,BD,证明△BCD是等边三角形，证得NABE=ACEB=90。，由折叠可得4F=EF,由£尸=89+开2可求出答案.解:

如图，连接8E,BD,

四边形ABCD为菱形，Z4=60。,

/.AB=4=BC=CD,ZA=60°=NC,

..△BCD是等边三角形,

.E是CD中点,

二

DE=2=CE,BE±CDfZEBC=30°,

・..BE=AE=25

...CDIIAB,

ZABE=Z.C眸90°,

由折叠可得AF二EF,

222

•/EF=BE+BFt

“71

EF2=12+(4-EF)2,解得EF=—,BF=4—EF——,

22

BF1

----=—.

AF7

故答案为：一.

7

【点睛】

本题考查了折叠的性质，菱形的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，关键是添加恰当的辅助线构造直角

三角形，利用勾股定理求线段长度.

15.如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，以对角线AC为边作第二个正方形ACEF,再以对角线AE为边作

第三个正方形AEGH,如此进行下去......记正方形ABCD的边长为a1=l,按上述方法所作的正方形的边长依次为a2,

93,34,....32019,贝!J32019=

【答案】21009

【解析】

由题意依次可求得％,。2，。3，%，。5，。6”“的值，确定其变化规律，可知4019的值•解：由题意依次可求得

q=l,a2==2,%=2插,%=4,%=472……因此奇数项的规律为=2"/，偶数项的规律为

%=2'"〃=1,2,3……，所以439=4”“。t二合00'

故答案为：21009

【点睛】

本题考查了图形的规律问题，由少量的数据确定变化规律是解题的关键.

16.如图，AC是菱形ABCD的对角线，P是AC上的一个动点，过点P分别作AB和BC的垂线，垂足分别是点F

和E，若菱形的周长是12cm,面积是6cm2,则PE+PF的值是cm.

【答案】2

【解析】

连接BP,根据菱形的面积公式和三角形的面积公式得SAABC=SAABP+SABPC——S菱形48cD，SAABP+SABPC=_AB・PE

22

+JBC・PE把相应的值代入即可.解：连接BP,

四边形A8CD是菱形，且周长是12cm,面积是6cm2

1

AB=BC=—xl2=3(cm),

4

AC是菱形ABCD的对角线,

2

,"SAABCSAABPSABPC，菱形ABCQ=3(cm)，

e2

••ABP+SABPC=—AB*PEH-----BCPE—3(cm),

22

1,1

一x3xPEd-----x3xPF=3,

22

2

PE+PF=3x-=2(cm)，

3

故答案为：2.

【点睛】

此题考查菱形的性质，SAABP+SABPC=SAABC=菱形.CD是解题的关键.注意掌握辅助线的作法和数形结合思想

的应用.

17.如图，正方形ABC。的边长为3cm,点E为。。边上一点，NZM£=30。，点M为4E的中点，过点M

作直线分别与AT),8C相交于点尸，。.若PQ=AE,则AP长为cm.

【答案】1或2

【解析】

【解析】

根据题意画出图形，过P作PN_LBC,交BC于点N,由ABCD为正方形，得至IjAD=DC=PN,在直角三角形ADE中，

利用锐角三角函数定义求出DE的长，进而利用勾股定理求出AE的长，根据M为AE中点求出AM的长，利用

HL得到三角形ADE与三角形PQN全等，利用全等三角形对应边，对应角相等得到DE=NQ,NDAE=NNPQ=30°,

再由PN与DC平行，得到NPFA=NDEA=60。，进而得到PM垂直于AE,在直角三角形APM中，根据AM的长，

利用锐角三角函数定义求出AP的长,再利用对称性确定出AP，的长即可.根据题意画出图形，过点尸作PN工BC，

交8c于点N,交AE于点F,四边形ABCO为正方形，.•.4)=£)C=PN.

在火/AAOE中，ZDAE=30°,AD=3cm,

DE=6cm.

根据勾股定理得AE=cm.

•.•A7为4E的中点，...AM=，AE=g'cm,

2

AD=PN,

在MAAOE和放APNQ中，，

AE=PQ,

Rt^ADE=Rt\PNQ〈HL),

:.DE=NQ,NDAE=NNPQ=30。.

PN//DC,ZPFA=ZDEA=60°，

.-.ZPMF=90°,即对

-AP=4=2

在用AAMP中，NM4P=30°,一上<

T

由对称性得到AP=OP=AD-A尸=3—2=1cm,

综上，AP等于1cm或2cm.

故答案为：1或2.

【点睛】

此题考查了全等三角形的判定与性质，正方形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键.

18.如图，在矩形ABC。中，AB=8,点E是AO上的一点，A£=4，3E的垂直平分线交BC的延长线

于点尸，接EF交CD于点G,若点6是。。的中点，则BC的长是.

【答案】7

【解析】

【解析】

根据线段中点的定义可得CG=DG,然后利用"角边角"证明△DEG和仆CFG全等，根据全等三角形对应边相等可得

DE=CF,EG=FG,设DE=x,表示出BF,再利用勾股定理列式求EG,然后表示出EF,再根据线段垂直平分线上的

点到两端点的距离相等可得BF=EF,然后列出方程求出X的值,从而求出AD,再根据矩形的对边相等可得BC=AD./

矩形ABCD中，G是CD的中点，AB=8,

1

CG=DG=—x8=4,

2

在4DEG和4CFG中，

ZD=ZDCF=90°

<CG=DG,

NDGE=NCGF

△DEGS△CFG(ASA),

DE=CF,EG=FG,

设DE=x,

贝ljBF=BC+CF=AD+CF=4+x+x=4+2x,

在RSDEG中，EG=JDE?+DG?=4+16,

,,EF=2+16，

•••FH垂直平分BE,

「•BF=EF,

4+2x=2+16，

解得x=3,经检验x=3符合题意,

AD=AE+DE=4+3=7,

BC=AD=7.

故答案为：7.

【点睛】

本题考查了全等三角形的判定与性质，矩形的性质，线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等的性质，勾股定

理，熟记各性质并利用勾股定理列出方程是解题的关键

19.己知，如图，在矩形ABCD中，AB=8,BC=12,点E为线段AB上一动点（不与点A、点B重合），先

将矩形ABCD沿CE折叠，使点B落在点F处，CF交AD于点H,若折叠后，点B的对应点F落在矩形ABCD的对

称轴上，则AE的长是______.

【答案】24近-28或8-4有

【解析】

依据点B的对应点F落在矩形ABCD的对称轴上,分两种情况讨论：F在横对称轴上与F在竖对称轴上，分别求

出BF的长即可.解：分两种情况：

①当F在横对称轴MN上，如图所示，

A-------------------------1c

MFN

此时CN=，CD=4,CF=BC=12,

2

.-.FN=7CF2-CN2=8。

MF=12-8近，

由折叠得，EF=BE，EM=4—BE，

•.EM2+MF2=EF2>

即舟2

(4-BE)2+(12-8=BE,

，BE=36-24万

.♦.AE=24&-28；

②当F在竖对称轴MN上时，如图所示,

此时AB//MN//CD,

../BEC=4OE，

^BEC=^fFEC.

^FEC=^FOE,

.-.EF=OF,

由折叠的性质得，BE=EF，/EFC=/B=90°，

BN=CN,

OC=OE，

.•.FO=OE,

...△EFO是等边三角形，

.•.^FEC=60，

/BEC=60>

BE=—BC=4^，

3

AE=8-4G

综上所述，点B的对应F落在矩形ABCD的对称轴上，止匕时AE的长是240_28或8-43.

故答案为24立一28或8—4JL

【点睛】

本题考查了折叠问题，解题时常常设要求的线段长为X,然后根据折叠和轴对称的性质用含X的代数式表示其他

线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案.

20.如图，以RtAABC的斜边AB为一边在乙ABC同侧作正方形ABEF.点。为AE与BF的交点，连接CO.若CA=2,

C0=2币,那么CB的长为.

【答案】2c+2

【解析】

如图，在BC上截取BD=AC=2,连接OD,

•••四边形AFEB是正方形，

AO=BO,ZAOB=ZACB=90",

/.ZCAO=900-ZACH,ZDBO=90°-ZBHO,

•••ZACH=ZBHO,

ZCAO=ZDBO,

/.△ACOS△BDO,

DO=CO=2y/3，NAOC=ZBOD,

•••ZBOD+ZAOD=90°,

ZAOD+ZAOC=90°,即NCOD=90°,

•••CD=d(2后+(2舟=2限，

BC=BD+CD=2+2#.

故答案为：2+2卡.

点睛：本题的解题要点是，通过在BC上截取BD=AC,并结合已知条件证△ACS△BDO来证得△COD是等腰直

角三角形，这样即可求得CD的长，从而使问题得到解决.

21.如图所示，在菱形ABCD中，AB=4,ZBAD=120",△AEF为正三角形，点E、F分别在菱形的边BC、CD上滑

动，且E、F不与B、C、D重合.当点E、F在BC、CD上滑动时，则△CEF的面积最大值是____.

【答案】下)

【解析】

解:如图，连接AC,；四边形ABCD为菱形,NBAD=120°,Z1+ZEAC=60°,Z3+ZEAC=60°,：.Z1=Z3,'.'ZBAD=120°,

ZABC=60",△ABC和△ACD为等边三角形，N4=60°,AC=AB.

在AABE和AACF中，/Z1=Z3,AC=AC,ZABC=Z.4,ABE^AACF(ASA),:.S“BE=SAACF,S

4£CF=5A4£C+5AW=5AAEC+SAAB£=5AABC,是定值，作AH_LBC于H点，则BH=2,5网.彩AECF=SAABC=-8C・AH=-BC・

22

NAB?-BH2=A5由“垂线段最短”可知：当正三角形AEF的边AE与BC垂直时，边AE最短，，△AEF的面

积会随着的变化而变化，且当AE最短时，正三角形AEF的面积会最小，又SAC£F=S网加皿0-SA则此时

xx

△CEF的面积就会最大，，SACEF=SWUKAECF-SAAEF=4-y2不=-s/3.

故答案为：V3.

点睛：本题主要考查了菱形的性质、全等三角形判定与性质及三角形面积的计算，根据AABI△ACF，得出四边

形AECF的面积是定值是解题的关键.

22.如图，直线/经过正方形ABCO的顶点A，先分别过此正方形的顶点3、。作/于点E、DEL2于

点F.然后再以正方形对角线的交点。为端点，引两条相互垂直的射线分别与AD，CD交于G，”两点.若

EF=2&SMKE=2,则线段G"长度的最小值是—.

【答案】76

【解析】

根据正方形的性质可得A3=AZ),Nfi4£>=90。，然后利用同角的余角相等求出ZB4E=NADE，再利用“角

角边”证明ZVWE和△OAF全等，根据全等三角形对应边相等可得BE=AF，设AE=x,BE=y,然后列

出方程组求出x、y的值，再利用勾股定理列式求出正方形的边长AB，根据正方形的对角线平分一组对角可得

ZOAG=ZODH=45。，根据同角的余角相等求出ZAOG=ZDOH,然后利用"角边角"证明A4OG和如归全

等，根据全等三角形对应边相等可得OG=OH,判断出AOG"是等腰直角三角形，再根据垂线段最短和等腰

直角三角形的性质可得8时G”最短，然后求解即可.在正方形ABCO中，AB=AD，ZBAD=90°,

.♦.44E+ND4尸=90°,

■.■DFVI,

:.ZDAF+ZADF=90°,

：.ZBAE=ZADF，

在AABE和ADAF中,

NBAE=ZADF

<ZAFD=NBEA=90°,

AB=AD

：.^ABEM)AF(AAS),

:.BE=AF，

设AE=x,BE=y,

'：EF=2>/5>SMBE=2>

x+y-2>/5

I*

消掉y并整理得，/-2&+4=0，

解得王=石一1，%2=小+1，

当$=小-1,y,=A/5+1,

当％=不+1，%=小-、，

.二由勾股定理得，AB=J(6-1尸+(逐+1>=2。

在正方形ABCZ)中，NQ4G=NOD"=45。，OA=OD,ZAOZ)=90°,

/.ZAOG+ZDOG=90°,

・；OGLOH,

/.ZDOH+ZDOG=90°,

ZAOG=ZDOH,

在AAOG和ADO”中，

ZAOG=/DOH

<OA=OD,

ZOAG=ZODH

.\MOG^ADOH(ASA)f

;.OG=OH,

.•.△OG”是等腰直角三角形，

由垂线段最短可得，0〃，8时0月最短，G”也最短,

此时，G/7的最小值为&乂2叵=#.

2

故答案为：76.

【点睛】

考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定与性质，难点在于多次证明

三角形全等并判断出G4长度最小时的情况.三、解答题

23.在平行四边形ABCD中，点P是上一点（不与48重合），连接DP交对角线AC于点E,连接BE.

（1）如图1,若NEBC=NEPA,EC平分NDE8,证明：四边形ABCD为菱形.

（2）如图2,对角线AC与BD交于点O,当P是A8的中点时,请直接写出与△ADP面积相等的三角形（其中不

含以AD为边的三角形）.

【答案】（1）证明见解析；（2）.AOB3coD,ACOB,ABDP.

【解析】

（1）证明AOECGABEC,可得OC=BC,结合平行四边形可得结论;

（2）由平行四边形的两条对角线把平行四边形的面积四等分，再结合三角形的中线的性质可得答案.证明：（1）

7平行四边形A8CD,

/.AB//CD,

："CDP=ZAPD,

­.•ZEBC=NEPA,

：.ZCDE=ZCBE,

•;EC平分NDEB,

：.ZDEC=ZBEC,

•;CE=CE,

：.^DEC^BEC(AAS),

/.DC=BC,

・•・平行四边形ABC。是菱形.

(2)平行四边形48CD,对角线AC与8。交于点0,

=SJOB=SACOD~ScCOB=aABCD^

・・•尸为AB的中点，

.s=w一入一入

一_*4BDP-2JDB-4乙A8C£>，

A与AADP面积相等的三角形(其中不含以AD为边的三角形)有：

△AOB,ACOD,4coB,ABDP.

【点睛】

本题考查的是平行四边形的性质，菱形的判定，掌握菱形的判定方法是解题的关键.

24.菱形ABCO中，ZBA£>=60°,BO是对角线，点£、尸分别是边AB、AO上两个点，且满足AE=DF，

连接BE与。E相交于点G.

⑴如图1,求N8GO的度数；

(2)如图2,作C〃J_8G于〃点，求证：2GH=GB+DG；

⑶在满足(2)的条件下，且点H在菱形内部，若GB=6,CH=4小,求菱形ABC。的面积.

图1

【答案】⑴N8G£>=120。；⑵证明见解析；⑶右边陶於:26#.

【解析】

【解析】

(1)只要证明△DAE2△BDF,推出NADE=NDBF,由NEGB=NGDB+NGBD=NGDB+NADE=60°,推出

ZBGD=1800-ZBGE=120°；

(2)如图3中，延长GE至1JM,使得GM=GB,连接BD、CG.由4MBD2△GBC,推出DM=GC,ZM=ZCGB=60°,

由CH_LBG,推出NGCH=30°,推出CG=2GH,由CG=DM=DG+GM=DG+GB,即可i正明2GH=DG+GB；

(3)解直角三角形求出BC即可解决问题.(1)如图，

•.•四边形ABC。是菱形，

：.AD=AB,

•.♦4=60°,

.•.A/记。是等边三角形，

：.AB=DB，ZA=ZFDB=60°,

在S4E和产中，

AD=BD

«ZA=ZBDF,

AE=DF

:.ADAE与ABDF,

:.ZADE=ZDBF,

\ZEGB=ZGDB+ZGBD=ZGDB+ZADE=60°,

.•.ZBGD=180°-ZBGE=120°.

⑵如图，延长GE到“，使得GM=G3,连接CG.

立

・・NMG3=60。，GM=GB,

是等边三角形，

ZMBG=Z.DBC=60°,

:.AMBD=/GBC,

在AMBO和AGBC中，

MB=GB

<4MBD=4GBC,

BD=BC

:.AMBD=^GBC,

:.DM=GC,ZM=NCGB=60。，

.CH工BG,

/.ZGC7/=30°,

:.CG=2GH,

・；CG=DM=DG+GM=DG+GB,

.\2GH=DG+GB.

(3)如图1一2中，由(2)可知，在RtACGH中，CH=ABZGC7/=30°,

「H

/.tan30°=—,

:.GH=4,

•;BG=6,

在RlABCH中，BC=-JBH2+CH2=2小，

•■MBD,ABDC都是等边三角形,

S四边彩ABCO=2-S^CD=2x¥x(2yf\3y=26"-

【点睛】

本题考查菱形的性质、等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质，直角三角形30度角性质等知识,

解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题.

25.如图所示，四边形A8CD是矩形，已知P8=PC.

（1）若P是矩形外一点，求证：PA=PD；

⑵若P是矩形边AD（或BC）上的一点，则PAPD-,

⑶若点P在矩形4BCD内部，上述结论是否仍然成立？