高中数学《排列及排列数》考点讲解与训练

《6.2.1排列及排列数》考点讲解

【思维导图】

一般地，从n个不同元素中取出m(mWn)个元素，按照一定的顺序排

【常见考点】

考点一排列的概念

［例1］下列问题是排列问题的是()

A.从10名同学中选取2名去参加知识竞赛，共有多少种不同的选取方法？

B.10个人互相通信一次，共写了多少封信？

C.平面上有5个点，任意三点不共线，这5个点最多可确定多少条直线？

D.从1,2,3,4四个数字中，任选两个相加，其结果共有多少种？

(2)从3个不同的数字中取出2个：①相加；②相减；③相乘；④相除：⑤一个为被开方

数，一个为根指数.则上述问题为排列问题的个数为()

A.2B.3C.4D.5

【一隅三反】

1.判断下列问题是否为排列问题.

(D会场有50个座位，要求选出3个座位有多少种方法？若选出3个座位安排三位客人，

又有多少种方法？

(2)从集合M={1,2,…，9}中，任取两个元素作为a,b,可以得到多少个焦点在x轴上的

2222

椭圆方程与+£=1?可以得到多少个焦点在X轴上的双曲线方程占一£=1?

abab

(3)从1,3,5,7,9中任取3个数字，有多少种方法？若这3个数字组成没有重复的三位数，

又有多少种方法？

2.下列问题是排列问题的是()

A.从8名同学中选取2名去参加知识竞赛，共有多少种不同的选取方法？

B.10个人互相通信一次，共写了多少封信？

C.平面上有5个点，任意三点不共线，这5个点最多可确定多少条直线？

D.从1,2,3,4四个数字中，任选两个相乘，其结果共有多少种？

考点二排列数

【例2】⑴若片=20,则"?=()

A.5B.6C.7D.8

(2)若用,=2%,则m的值为()

A.5B.3C.6D.7

(3)不等式A；」—〃<7的解集为()

A.{n|-l<n<5}B.{1,2,3,4}C.{3,4}D.{4}

【一隅三反】

1.对于满足〃213的正整数n,(〃—5)("-6)…5—12)=()

A.<12B.ALC.<5D.心

2.已知3&T=4围一2,则〃=()

A.5B.7C.10D.14

3.给出下列四个关系式：

n\m-l_-D!

1③4"④

①6誓②…二(n-nt)!""(m-n)!

其中正确的个数为()

A.1个B.2个C.3个D.4个

4.(1)解不等式A；＜6A/；⑵证明：A：、—A：=，〃A；i.

考点三排队问题

【例3】有3名男生、4名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方法总数.

(1)选5人排成一排；

⑵排成前后两排，前排3人，后排4人；

(3)全体排成一排，女生必须站在一起；

(4)全体排成一排，男生互不相邻；

(5)全体排成一排，其中甲不站最左边，也不站最右边；

（6）全体排成一排，其中甲不站最左边，乙不站最右边.

【一隅三反】

1.甲、乙、丙、丁四名同学和一名老师站成一排合影留念.若老师站在正中间，则不同站

法的种数有（）

A.12种B.18种C.24种D.60种

2.参加完某项活动的6名成员合影留念，前排和后排各3人，不同排法的种数为（）

A.360B.720C.2160D.4320

3.某单位有8个连在一起的车位，现有4辆不同型号的车需要停放，如果要求剩余的4个

车位中恰好有3个连在一起，则不同的停放方法的种数为（）

A.240B.360C.480D.720

考点四数字问题

【例4】现有0、1、2、3、4、5、6、7、8、9共十个数字.

（1）可以组成多少个无重复数字的三位数？

（2）组成无重复数字的三位数中，315是从小到大排列的第几个数？

（3）可以组成多少个无重复数字的四位偶数？

【一隅三反】

1.由0,1,2,3,4,5共6个不同数字组成的6位数，要求0不能在个位数，奇数恰好

有2个相邻，则组成这样不同的6位数的个数是（）

A.144B.216C.288D.432

2.用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中比40000大的偶数共有

A.144个B.120个C.96个D.72个

3.用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的四位数.

（1）可组成多少个不同的四位数？

（2）可组成多少个不同的四位偶数？

答案解析

考点一排列的概念

【例1】（1）下列问题是排列问题的是（）

A.从10名同学中选取2名去参加知识竞赛，共有多少种不同的选取方法？

B.10个人互相通信一次，共写了多少封信？

C.平面上有5个点，任意三点不共线，这5个点最多可确定多少条直线？

D.从1,2,3,4四个数字中，任选两个相加，其结果共有多少种？

(2)从3个不同的数字中取出2个：①相加；②相减；③相乘；④相除；⑤一个为被开方

数，一个为根指数.则上述问题为排列问题的个数为()

A.2B.3C.4D.5

【答案】(1)B(2)B

【解析】(1)排列问题是与顺序有关的问题，四个选项中只有B中的问题是与顺序相关

的，其他问题都与顺序无关，所以选B.

(2)排列与顺序有关，故②④⑤是排列.

【一隅三反】

1.判断下列问题是否为排列问题.

(1)会场有50个座位，要求选出3个座位有多少种方法？若选出3个座位安排三位客人，

又有多少种方法？

(2)从集合M={1,2,…，9}中，任取两个元素作为a,b,可以得到多少个焦点在x轴上的

X2V2X2V2

椭圆方程F+%=1?可以得到多少个焦点在X轴上的双曲线方程F-9=1?

abab

(3)从1,3,5,7,9中任取3个数字，有多少种方法？若这3个数字组成没有重复的三位数，

又有多少种方法？

【答案】见解析

【解析】(1)第一问不是排列问题，第二问是排列问题.“入座”问题同“排队”问题与顺

序有关，故选3个座位安排三位客人是排列问题.

22

⑵第一问不是排列问题，第二问是排列问题.若方程当+3=1表示焦点在x轴上的椭

ab

x2Y2

圆，则必有a〉b,a,b的大小关系一定；在双曲线F—?=1中，不管a>b还是a〈b,方程

ab

22

与一改=1均表示焦点在X轴上的双曲线，且是不同的双曲线，故是排列问题.

ab

(3)第一问不是排列问题，第二问是排列问题.从5个数中取3个数，与顺序无关；若这3

个数组成不同的三位数，则与顺序有关.

2.下列问题是排列问题的是()

A.从8名同学中选取2名去参加知识竞赛，共有多少种不同的选取方法？

B.10个人互相通信一次，共写了多少封信？

C.平面上有5个点，任意三点不共线，这5个点最多可确定多少条直线？

D.从1,2,3,4四个数字中，任选两个相乘，其结果共有多少种？

【答案】B

【解析】排列问题是与顺序有关的问题，四个选项中只有B中的问题是与顺序有关的,

其他问题都与顺序无关.故选B.

考点二排列数

【例2】(1)若短=2(),则m=()

A.5B.6C.7D.8

(2)若聋,=2£,则m的值为()

A.5B.3C.6D.7

(3)不等式#—一〃<7的解集为()

A.B.{1,2,3,4}

C.{3,4}D.{4}

【答案】(1)A(2)A(2)C

【解析】(D4：=皿加-1)=20,化解得病一加一20=0解得：m=Y(舍)或m=5故

选：A

(2)根据题意，若A：=2A：,则有m(m-1)(m-2)(m-3)(m-4)=2Xm(m-1)(m

-2),

即(m-3)(m-4)=2,解可得：m=5故答案为A

(3)由A>-〃<7,得：-2)一〃<7,整理得〃2一4〃一5<0,解得：

-l<n<5,

由题可知，〃一122且“GN*，则〃=3或〃=4,即原不等式的解集为：{3,4}.故选：

C.

［【方法总结】

要注意然中隐含了3个条件：①〃?，“eN*；②加W〃；③A：的运算结果为正整

；2.形然=〃娟〃A：=A：：；-A；〃-〃!=(〃+1)!-〃！然+用，=心

I______________________________________________________

【一隅三反】

1.对于满足〃213的正整数n,(〃-5)("-6)…(n-12)=()

A.ATB.桨5C.An_5D.A^5

【答案】C

【解析】根据排列数定义，要确定元素总数和选取个数，元素总数为〃-5,

选取个数为(〃-5)-(〃-12)+1=8,(〃-5)(〃-6)…(〃-12)=©.故选:C.

2.已知3Ai=4禺则〃=()

A.5B.7C.10D.14

【答案】B

【解析】34T=4故2,可得3x8x7x…x(8-〃+2)=4x9x8x7x…x(9-n+3),

即3(11-n)(10-”)=36,解得〃=7.故选：B.

3.给出下列四个关系式:

①小喘②仆叫③父=己④明("1)!

(771-71)!

其中正确的个数为()

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】C

【解析】①因为(〃+1)!=(〃+1)”(〃-1>-21〃!=〃・("一1)("一27-2」，故正确.

②耳"=故正确.

(n-m)C1]

n\

③然正确.

(n-m)!

n\

④因为A"=所以娼=:〃一?；,故不正确.

(〃一〃?)！

故选：C

4.(1)解不等式A；<6A/；(2)证明：A；；'+1-A；=mA'；：-'.

【答案】(1)x=8；(2)详见解析.

,8!48!

【解析】⑴由&<6A>,得曰不<6*的11P

化简得一一19叶84<0,解之得7<x<12,①

又｛S>cxc，；.2<xW8,②由①②及xwN*得-8.

x-2>0

(2

5+1)!n\n\(n+lnlm_利〃！

(»-/«)!\/?+1-/H)(H-/n)!(n+l-/«)(/?4H-W)!

,，A；3-A：=^A：T

考点三排队问题

【例3】有3名男生、4名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方法总数.

(1)选5人排成一排；

(2)排成前后两排,前排3人，后排4人;

(3)全体排成一排,女生必须站在一起;

(4)全体排成一排,男生互不相邻:

(5)全体排成一排,其中甲不站最左边，也不站最右边;

(6)全体排成一排,其中甲不站最左边，乙不站最右边.

【答案】(1)2520；(2)5040；(3)576；(4)1440；(5)3600；(6)3720.

【解析】(1)从7人中选5人排列，共有用=7x6x5x4x3=2520(种).

(2)分两步完成，先选3人站前排，有A；种方法，余下4人站后排，有用种方法，按照

分步乘法计数原理计算可得一共有用-A：=7x6x5x4x3x2xl=5040(种).

(3)捆绑法，将女生看成一个整体，进行全排列，有用种，再与3名男生进行全排列有

A：种，共有川、蜀=576(种).

(4)插空法，先排女生，再在空位中插入男生，故有MX&=1440(种).

(5)先排甲，有5种方法，其余6人有人种排列方法，共有5x8=3600(种).

(6)7名学生全排列，有用种方法，其中甲在最左边时，有父种方法，乙在最右边

时，有父种方法，其中都包含了甲在最左边且乙在最右边的情形，有用种方法，故共有

用-2x4+6=3720（种）.

【一隅三反】

1.甲、乙、丙、丁四名同学和一名老师站成一排合影留念.若老师站在正中间，则不同站

法的种数有（）

A.12种B.18种C.24种D.60种

【答案】C

【解析】根据题意，若老师站在正中间，则站法只有1种，将甲、乙、丙、丁全排列，安

排在两边4个位置，有阁=24种情况，由分步乘法计数原理知共有1x24=24种，故选：

C.

2.参加完某项活动的6名成员合影留念，前排和后排各3人，不同排法的种数为（）

A.360B.720C.2160D.4320

【答案】B

【解析】分两步完成：

第一步：从6人中选3人排前排：4=120种不同排法；

第二步：剩下的3人排后排：父=6种不同排法，

再按照分步乘法计数原理：120x6=720种不同排法，

故选：B.

3.某单位有8个连在一起的车位，现有4辆不同型号的车需要停放，如果要求剩余的4个

车位中恰好有3个连在一起，则不同的停放方法的种数为（）

A.240B.360C.480D.720

【答案】C

【解析】解法一：给8个车位编号：1,2,3,4,5,6,7,8,

当1,2,3号车位停放3辆车时，有4x4：种停放方法：

当2,3,4号车位停放3辆车时，有3x4：种停放方法；

当3,4,5号车位停放3辆车时，有3x4：种停放方法；

当4,5,6号车位停放3辆车时，有3x4：种停放方法；

当5,6,7号车位停放3辆车时，有3xA：种停放方法：

当6,7,8号车位停放3辆车时，有4xA：种停放方法；

所以不同的停放方法的种数为

4A：+3A：+34：+3+3父+4A：=204：=20x24=480种.

解法二：先定四个车位，其中三个车位连在一起捆绑，

三个车位和另一个被四个空车位间隔开，四个空车位就1种排法，

造成5个空格，排入三个捆绑车位和一个车位有4=20种方法，

再把4辆车停入四个车位有A：=24种方法，

根据乘法原理共有20x24=480种停车方法.

故选：C.

考点四数字问题

【例4】现有0、1、2、3、4、5、6、7、8、9共十个数字.

（1）可以组成多少个无重复数字的三位数？

（2）组成无重复数字的三位数中，315是从小到大排列的第几个数？

（3）可以组成多少个无重复数字的四位偶数？

【答案】（1）648；（2）156；（3）2296；

【解析】（1）由题意，无重复的三位数共有=9x72=648个；

（2）当百位为1时，共有蜀=9x8=72个数；

当百位为2时，共有蜀=9x8=72个数；

当百位为3时，共有4+4=12个数，

所以315是第72+72+12=156个数；

（3）无重复的四位偶数，所以个位必须为0,2,4,6,8,千位上不能为0,

当个位上为0时，共有阀=504个数；

当个位上是2,4,6,8中的一个时，共有A：=1792个数，

所以无重复的四位偶数共有504+1792=2296个数;

【一隅三反】

1.由0,1,2,3,4,5共6个不同数字组成的6位数，要求。不能在个位数，奇数恰好

有2个相邻，则组成这样不同的6位数的个数是()

A.144B.216C.288D.432

【答案】B

【解析】先从3个奇数中选出2个捆绑内部全排共有8=6种排法，

再把捆绑的2个奇数看成一个整体，

因为这个整体与剩下的一个奇数不相邻，将2个非0偶数全排有国=2种选法，

奇数插空全排有8=6种选法，

最后把0插空，0不能在两端，有3种排法，

可组成这样不同的6位的个数为6x2x6x3=216种排法，

故选：B

2.用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中比40000大的偶数共有

A.144个B.120个C.96个D.72个

【答案】B

【解析】根据题意，符合条件的五位数首位数字必须是4、5其中1个，末位数字为0、

2、4中其中1个；

分两种情况讨论：

①首位数字为5时，末位数字有3种情况，在剩余的4个数中任取3个，放在剩余的3个

位置上，有A；=24种情况，此时有3X24=72个，

②首位数字为4时，末位数字有2种情况，在剩余的4个数中任取3个，放在剩余的3个

位置上，有A；=24种情况，此时有2X24=48个，

共有72+48=120个.

故选B

3.用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的四位数.

(1)可组成多少个不同的四位数？

(2)可组成多少个不同的四位偶数？

【答案】(1)300；(2)156.

【解析】(1)根据题意分步完成任务：

第一步：排千位数字，从1,2,3,4,5这5个数字中选1个来排，有《=5种不同排

法；

第二步：排百位、十位、个位数字，从排了千位数字后剩下的5个数字中选3个来排列，

有用=5x4x3=60种不同排法；

所以组成不同的四位数有5x60=300种，

（2）根据题意分类完成任务：

第一类：个位数字为0,则从1,2,3,4,5这5个数字中选3个来排在千位、百位、十

位，有父=5x4x3=60种不同排法；

第二类：个位数字为2或4,则0不能排在千位，有记4尺=2*4、4、3=96种不同排

法；

所以组成不同的四位偶数有60+96=156种.

《6.2.1排列及排列数》考点训练

【题组一排列数】

L已知A；=132,则〃=()

A.11B.12C.13D.14

2.设mWN*,且mV25,则(20-m)(21-m)…(26-m)等于()

A.B.

3.（多选）由0,1,2,3,4,5,6,7,8,9这10个数字组成无重复数字的五位数，其

中偶数的个数是（)

A.蜀+A：・&♦阀B.工+4（禺一可）

C.A：o-/+A；（父-心D.端一蜀一闻（蜀-硝

4.下列等式中，错误的是（)

n\

A.(〃+1)隹=播B，n(n-l)=(n-2)!

c.C"'=—D.」一A；T=4"

nn\n-m

5.若6=2£,则加的值为（）

A.5B.6C.7D.8

6.设aeN*,a<28,则等式（28—a）（29—a）…（35—a）=襟_"中m=-

7.己知A；=7A",那么〃=.

8.已知A；=11X10X9X…x5,则为.

9.己知则0!+A；=133,贝ij〃=_____；计算&：：3+A：=

12.（1）解不等式A：<6A；2；

（2）解方程A&=140A：.

【题组二排队问题】

1.5人随机排成一排，其中甲、乙不相邻的概率为（）

1234

A.—B.—C.—D.一

5555

2.5名同学合影，其中3位男生，2位女生，站成了一排，要求3位男生不相邻的排法有

（）

A.12种B.10种C.15种D.9种

3.三名男生和三名女生站成一排照相，男生甲与男生乙相邻，且三名女生中恰好有两名女

生相邻，则不同的站法共有（）

A.72种B.108种C.36种D.144种

4.某记者要去武汉4个学校采访，则不同的采访顺序有（）

A.4种B.12种C.18种D.24种

5.某县政府为了加大对一贫困村的扶贫力度，研究决定将6名优秀干部安排到该村进行督

导巡视，周一至周四这四天各安排1名，周五安排2名，则不同的安排方法共有（）

A.320种B.360种C.370种D.390种

6.6月，也称毕业月，高三的同学们都要与相处了三年的同窗进行合影留念.现有4名男

生、2名女生照相合影，若女生必须相邻，则有()种排法.

A.24B.120C.240D.140

7.某校迎新晚会上有6个节目，考虑整体效果，对节目演出顺序有如下要求：节目甲必须

排在前三位，且节目丙、丁必须排在一起.则该校迎新晚会节目演出顺序的编排方案共有

()

A.120种B.156种C.188种D.240种

8.3名男生、3名女生排成一排，男生必须相邻，女生也必须相邻的排法种数为()

A.2B.9C.72D.36

9.有3名大学毕业生，到5家招聘员工的公司应聘，若每家公司至多招聘一名新员工，且

3名大学毕业生全部被聘用，若不允许兼职，则共有种不同的招聘方案.(用数字

作答)

10.某年级举办线上小型音乐会，由6个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须排在

前两位，节目丙必须排在节目乙的下一个，则该小型音乐会节目演出顺序的编排方案共有

种.(用数字作答)

11.已知4名学生和2名教师站在一排照相，求：

(1)两名教师必须排中间，有多少种排法？

(2)两名教师必须相邻且不能排在两端，有多少种排法？

12.5个男同学和4个女同学站成一排

(1)4个女同学必须站在一起，有多少种不同的排法？

(2)任何两个女同学彼此不相邻，有多少种不同的排法？

(3)其中甲、乙两同学之间必须有3人，有多少种不同的排法？

(4)男生和女生相间排列方法有多少种？

13.一场小型晚会有3个唱歌节目和2个相声节目，要求排出一个节目单.

(1)2个相声节目要排在一起，有多少种排法？

(2)第一个节目和最后一个节目都是唱歌节目，有多少种排法？

(3)前3个节目中要有相声节目，有多少种排法？

（要求：每小题都要有过程，且计算结果都用数字表示）

14.3男3女共6个同学排成一行.

（1）女生都排在一起，有多少种排法？

（2）任何两个男生都不相邻，有多少种排法？

（3）男生甲与男生乙中间必须排而且只能排2名女生，女生又不能排在队伍的两端，有多

少种排法？

【题组三数字问题】

1.由1,2,3,4,5,6组成没有重复数字且1,3不相邻的六位数的个数是（）

A.36B.72C.600D.480

2.用1,2,3,4,5组成一个没有重复数字的五位数，三个奇数中仅有两个相邻的五位数

有________•

3.由0,1,2,3组成的没有重复数字的四位数有个；

4.由1、2、3、4、5、6组成没有重复数字且1、3都不与5相邻的六位偶数的个数是一

5.用数字L2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为—.

6.用0,1,2,3这4个数字组成是偶数的四位数，这样的数共有个.

7.把1、2、3、4、5这五个数字组成无重复数字的五位数，并把它们按由小到大的顺序排成一

个数列.

（1）45312是这个数列的第几项?

（2）这个数列的第71项是多少？

（3）求这个数列的各项和.

8.用0、1、2、3、4这五个数字组成无重复数字的自然数.

（1）在组成的三位数中，求所有偶数的个数；

（2）在组成的三位数中，如果十位上的数字比百位上的数字和个位上的数字都小，则称这

个数为“凹数”，如301、423等都是“凹数”,试求“凹数”的个数.

答案解析

【题组一排列数】

1.已知A；=132,则〃=（）

A.11B.12C.13D.14

【答案】B

【解析】：4：=132,1）=132,整理，得，〃2一〃一132=0；

解得〃=12,或〃=—11（不合题意，舍去）；的值为12.

故选：B.

2.设mCN*,且m<25,则（20-m）（21-m）…（26-m）等于（）

A.A26-JB.6TC-

【答案】A

（26-m）!

3.（多选）由0,1,2,3,4,5,6,7,8,9这10个数字组成无重复数字的五位数，其

中偶数的个数是（）

A.+B.阀+（月-覆）

C.凰-/+A：（用-&）D.耳）-蜀-砥蜀-4，）

【答案】ABD

【解析】对于A,如果个位是0,则有用个无重复数字的偶数；如果个位不是0,则有

4卜4•蜀个无重复数字的偶数，所以共有4+4卜可•羯个无重复数字的偶数，故A正

确；

对于B,由于&"=父一蜀，所以蜀+心心4=禺+4（国一国），故B正确；

对于C,由于端一用工用，所以用+A；（印一6）二簿一4+A：（禺—反），故C错

误；

对于D,由于其「用一4（4一项=418=禺+心&•看，故D正确.

故选：ABD.

4.下列等式中，错误的是（）

nI

A-5+DA”孀B.许=(—)!

【答案】c

【解析】通过计算得到选项A,B,D的左右两边都是相等的.对于选项C,C：=~,所以选

m\

项C是错误的.故答案为C.

5.若g=2片，则加的值为()

A.5B.6C.7D.8

【答案】A

【解析】由6,=26，W-l)(m-2)(m-3)(/n-4)=2m(m-l)(w-2),且加25

所以(m-3)(m-4)=2即加2-7帆+10=(),.•.m=5或m=2(m25舍去).

故选：A

6.设aeN*,a<28,则等式(28—a)(29—a)…(35—a)=中m.

【答案】8

【解析】•.•缘a=(35-，)(34—。)(33-a)…(36—，一”)，.♦.28-a=36-a—m,解

得：m=S.

故答案为：8.

7.已知A；=7A；_4,那么〃=.

【答案】7

【解析】VA"=7<4>«(«-l)=7x(rt-4)(n-5),n>5,

化为：(3〃—10)(〃-7)=0,解得〃=7,故答案为：7.

8.己知A"1=Hxl0x9x...x5,则mn为.

【答案】77

【解析】=«x(n-l)x(n-2)...x(n-zn+l)=llxl0x9...,x5,：.n-\\,

"一机+1=5,/.m—1,

贝|J"；〃=77.故答案为：77.

9.已知则（）!+#=133,贝；计算修；3+4，=

【答案】12726

【解析】(1)0!+#=1+〃(〃-1)=133,(〃之2),即

n2-n-132=(n-12)(n+11)=0,所以〃=12；

n+3<2nf^>3、

(2)由题可知，<=><=〃=3,

n<3<3

所以图;3+A《=£+&=6x5x4x3x2x1+3x2x1=726

故答案为：(1).12(2).726

12.(1)解不等式A；<6A「；

(2)解方程A&=14()A：.

【答案】⑴8（2）3

,8!/8!

【解析】（1）由A；<6A;，得3<6乂叵二斤，

化简得x?—19x+84<0,解之得7<x<12,①

」8次，—-

又・・・2<xW8,②

lx-2>0.

由①②及x£N*得x=8.

2x+l>4,

（2）因为<所以x23,xcN'，

x>3,

由人。+]=1404；得(2乂+1)2*(2*—1)(2*—2)=14(^6-1)&-2).

23

化简得，4x2-35x+69=0,解得Xi=3,x=—(舍去).

2-4

所以方程的解为x=3.

【题组二排队问题】

1.5人随机排成一排，其中甲、乙不相邻的概率为（）

【答案】C

【解析】将5人随机排成一列，共有8=120种排列方法；

当甲、乙不相邻时，先将5人中除甲、乙之外的3人排成一列，然后将甲、乙插入，

故共有=6x12=72种排列方法，

723

则5人随机排成一排，其中甲、乙不相邻的概率为2=而=

故选：C.

2.5名同学合影，其中3位男生，2位女生，站成了一排，要求3位男生不相邻的排法有

（）

A.12种B.10种C.15种D.9种

【答案】A

【解析】首先排女生，再排男生，然后再根据插空法可得：

=2x1x3x2x1=12.

故选：A

3.三名男生和三名女生站成一排照相，男生甲与男生乙相邻，且三名女生中恰好有两名女

生相邻，则不同的站法共有（）

A.72种B.108种C.36种D.144种

【答案】D

【解析】：先将男生甲与男生乙“捆绑”，有种方法，

再与另一个男生排列，则有用种方法，

三名女生任选两名“捆绑”，有A；种方法，

再将两组女生插空，插入男生3个空位中，则有8种方法，

利用分步乘法原理，共有种.

故选：D.

4.某记者要去武汉4个学校采访，则不同的采访顺序有（)

A.4种B.12种C.18种D.24种

【答案】D

【解析】由题意可得不同的采访顺序有用=24种，故选：D.

5.某县政府为了加大对一贫困村的扶贫力度，研究决定将6名优秀干部安排到该村进行督

导巡视，周一至周四这四天各安排1名，周五安排2名，则不同的安排方法共有()

A.320种B.360种C.370种D.390种

【答案】B

【解析】由题意分步进行安排：

第一步：从6名优秀干部中任选4人，并排序到周一至周四这四天，有星种排法；

第二步：剩余两名干部排在周五，只有1种排法.

故不同的安排方法共有4xl=6x5x4x3=360种.

故选：B.

6.6月，也称毕业月，高三的同学们都要与相处了三年的同窗进行合影留念.现有4名男

生、2名女生照相合影，若女生必须相邻，则有()种排法.

A.24B.120C.240D.140

【答案】C

【解析】将2名女生捆绑在一起，当作1个元素，与另4名男生一起作全排列，有

国=12()种排法，而2个女生可以交换位置，所以共有£•8=120x2=240排法，故

选：C.

7.某校迎新晚会上有6个节目，考虑整体效果，对节目演出顺序有如下要求：节目甲必须

排在前三位，且节目丙、丁必须排在一起.则该校迎新晚会节目演出顺序的编排方案共有

()

A.120种B.156种C.188种D.240种

【答案】A

【解析】先考虑将丙、丁排在一起的排法种数，

将丙、丁捆绑在一起，与其他四人形成五个元素，排法种数为用父=2x120=240,

利用对称性思想，节目甲放在前三位或后三位的排法种数是一样的,

因此，该校迎新晚会节目演出顺序的编排方案共有一「=120种，故选A.

8.3名男生、3名女生排成一排，男生必须相邻，女生也必须相邻的排法种数为（）

A.2B.9C.72D.36

【答案】C

【解析】根据题意男生一起有6排法，女生一起有A；=6排法，一共有2&用=72

种排法，

故选：C..

9.有3名大学毕业生，到5家招聘员工的公司应聘，若每家公司至多招聘一名新员工，且

3名大学毕业生全部被聘用，若不允许兼职，则共有种不同的招聘方案.（用数字

作答）

【答案】60

【解析】将5家招聘员工的公司看作5个不同的位置，从中任选3个位置给3名大学毕业

生，则本题即为从5个不同元素中任取3个元素的排列问题.所以不同的招聘方案共有父

=5X4X3=60（种）.

10.某年级举办线上小型音乐会，由6个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须排在

前两位，节目丙必须排在节目乙的下一个，则该小型音乐会节目演出顺序的编排方案共有

种.（用数字作答）

【答案】42

【解析】由题意知，甲的位置影响乙的排列，

•••①甲排在第一位共有记=24种，

②甲排在第二位共有=18种，

.•.故编排方案共有24+18=42种.

故答案为：42.

11.已知4名学生和2名教师站在一排照相，求：

（1）两名教师必须排中间，有多少种排法？

（2）两名教师必须相邻且不能排在两端，有多少种排法？

【答案】（1）48种：（2）144种.

【解析】解：(1)先排教师有A；种方法，再排学生有4种方法，

则心父=2x24=48,

答：两名教师必须排中间，共有48种排法.

(2)3X£・A：=6X24=144,

答：两名教师必须相邻且不能排在两端，共有144种排法.

12.5个男同学和4个女同学站成一排

(1)4个女同学必须站在一起，有多少种不同的排法？

(2)任何两个女同学彼此不相邻，有多少种不同的排法？

(3)其中甲、乙两同学之间必须有3人，有多少种不同的排法？

(4)男生和女生相间排列方法有多少种？

【答案】(D17280；(2)43200；(3)302400；(4)2880.

【解析】(1)4个女同学必须站在一起，则视4位女生为以整体，

可得排法为用=1728()；

(2)先排5个男同学，再插入女同学即可，所以排法为：

=43200：

(3)根据题意可得排法为：国父=30240()；

(4)5个男生中间有4个空，插入女生即可，

故有排法用父=2880.

13.一场小型晚会有3个唱歌节目和2个相声节目，要求排出一个节目单.

(1)2个相声节目要排在一起，有多少种排法？

(2)第一个节目和最后一个节目都是唱歌节目，有多少种排法？

(3)前3个节目中要有相声节目，有多少种排法？

(要求：每小题都要有过程，且计算结果都用数字表示)

【答案】(1)48；(2)36；(3)108.

【解析】(1)把两个相声节目捆绑在一起作为一个节目与其他节目排列共有排法

A：8=48；

(2)选两个唱歌节目排在首尾，剩下的3个节目在中间排列，排法为4；A；=36；

（3）5个节目全排列减去后两个都是相声的排法，共有6-父盾=120-12=108.

14.3男3女共6个同学排成一行.

（1）女生都排在一起，有多少种排法？

（2）任何两个男生都不相邻，有多少种排法？

（3）男生甲与男生乙中间必须排而且只能排2名女生，女生又不能排在队伍的两端，有多

少种排法？

【答案】（1）144；（2）144；（3）24

【解析】（1）将3名女生看成一个整体，就是4个元素的全排列，有A：种排法，

又3名女生内部有国种排法，所以共有A；=144种排法.

（2）女生先排，女生之间以及首尾共有4个空隙，

任取其中3个安插男生即可，

所以任何两个男生都不相邻的排法共有A；.&=144种排法.

（3）先选2个女生排在男生甲、乙之间，有百种排法，

又甲、乙有8种排法，这样就有4•种排法，

然后把他们4人看成一个整体（相当于一个男生），

这一元素以及另1名男生排在首尾，有用种排法，

最后将余下的女生排在中间，有1种排法，

故总排法为A；•&•用=24种排法，

【题组三数字问题】

1.由1,2,3,4,5,6组成没有重复数字且1,3不相邻的六位数的个数是（）

A.36B.72C.600D.480

【答案】D

【解析】根据题意将2,4,5,6进行全排列，再将1,3插空得到=48（）个.故选：D.

2.用1,2,3,