画法几何学课件

第1章绪论1.2投影法1.1画法几何学的任务12本课程的学习目的和任务3

本课程的学习方法1本学科的研究对象11.1画法几何学的任务1本学科的研究对象

工程图样是工程技术界中表达和交流技术思想的一项重要工具，是工业生产中的重要技术文件。设计部门用它来表达设计意图，制造部门就根据它来加工生产。因此，把“图样”比喻为工程界的“技术语言”----工程界的共同语言。

本学科是一门研究图示法和图解法以及根据工程技术的规定和知识（包括计算机绘图知识）来绘制和阅读工程图样的科学。4

在工程技术中，按一定的投影方法和有关规定，把物体的形状、大小、材料及有关技术说明，用数字、文字和符号表达在图纸上或存贮在磁盘等介质上的图，称为工程图样。工程图样

本课程是研究如何根据投影理论和国标及各种绘图方式的有关规定，绘制并阅读工程图样的一门课程。是高等工业院校的一门必修的重要技术基础课。2本课程的学习目的和任务

本课程是高等工科院校中一门既有理论，又有实践的重要技术基础课。其目的是培养学生具有绘图、看图和空间想象能力。其主要任务是：（1）学习投影法（主要是正投影法）的基础理论及其应用；（2）培养空间形体的图示表达能力；（3）培养绘制和阅读工程图样（主要是机械图样）的基本能力；（4）培养空间几何问题的图解能力；（5）培养空间形象思维能力和空间分析能力；（6）培养计算机绘图的初步能力*。3本课程的学习方法1.理论联系实际，更多地注意如何在具体操作时运用这些理论和原则。2.注意空间形体与其投影之间的相互联系，“由物到图，再从图到物”进行反复研究和思考。3.认真听课，及时复习，独立完成业。4.勤于练习，多看、多画、多想。5.绘图过程中，要耐心细致、一丝不苟。1.2投影法1.2.1中心投影法1.2.2平行投影法1.2.3投影规律投影法投影中心投影面投影线空间点投影SBAba投射线通过物体，向选定的平面进行投射，并在该面上得到图形的方法——投影法。1.2.1中心投影法abcdABCDS特点：投影光线交于一点。

投射中心、物体、投影面三者之间的相对距离对投影的大小有影响。度量性较差。投影特性物体位置改变，投影大小也改变。投射线物体投影面投影投射中心1.2.2平行投影法斜投影法ABCDcabd特点：投影光线相互平行。1.2.2平行投影法正投影法ABCDabcd特点：投影光线相互平行且垂直投影面。投影特性投影：大小与物体和投影面之间的距离无关度量性较好。工程图样多数采用正投影法绘制。斜投影法正投影法投影法中心投影法平行投影法正投影法斜投影法画透视图画斜轴测图画工程图样及正轴测图从属性ⅠⅡ1.2.3投影规律平行性积聚性真实性类似性1.2.4常用的工程图1.多面正投影图

典型的多面视图的示例--三视图。真实地表达了零件的内外部结构和形状，配以尺寸标注和其它技术要求后，完全满足了机械加工的要求。2.轴测图

它的优点是直观性较好，但度量性差，作图较繁。因此，在工程上常用作插图，以弥补多面正投影图直观性差的缺点。日期日期153.437.384.50.0220H7h620H7h620H7h620H7h61230.0245H7r745H7r71109165G3/816H7k6AAA-A123456789101112131415技术要求

1.齿轮安装后用手转动传动齿轮轴时,应灵活。

2.两齿轮轮齿的啮合面应占齿长的

3/4以上。数量审核姓名73序号21654名称11109812重量比例（图号）合肥工业大学材料m=2.5,Z=20齿轮油泵01-06GB/T6701-0201-0101-03GB/T119Q235Q235Q235传动齿轮轴销A5

18左端盖齿轮轴泵体垫片44511451纸12m=3,Z=9m=3,Z=9δ=1轴套压紧螺母右端盖密封圈01-0701-0901-1011Q235橡胶11354501-11GB/T93GB/T6170GB/T70.1GB/T1096螺母M12

1.5垫圈12传动齿轮65Mn1145135螺钉M6

16键

4

10135451213141501-08代号备注齿轮油泵装配图齿轮油泵3.标高投影图

曲面的标高投影曲面的标高投影图4.透视图

透视图是根据中心投影法绘制的，它和人的眼睛实际上看的形象一样，所以图立体感较强。但由于不能真实地度量出物体的大小且作图繁琐，目前多在建筑工程上使用。28第2章点的投影2.1点在一个投影面上的投影2.2点在两投影面体系中的投影2.3点在三投影面体系中的投影2.4点的三面投影与直角坐标的关系2.5特殊位置的点2.6两点的相对位置及重影点Pb

●●AP

过空间点A的投射线与投影面P的交点即为点A在P面上的投影。B3●B2●B1●

点在一个投影面上的投影不能确定点的空间位置。2.1点在一个投影面上的投影a

●物体的单面投影图影投方向结论：利用单面投影图无法确定物体的空间形状2.2点在两投影面体系中的投影

投影面正面投影面（简称正面或V面）水平投影面（简称水平面或H面）投影轴

ox轴

V面与H面的交线（简称x轴）HVOX两个投影面互相垂直1.两投影面体系的建立2.空间点A在两个投影面上的投影a点A的水平投影a

点A的正面投影●●●XOVHAaa

xa注意：

空间点用大写字母表示，点的投影用小写字母表示。VH●●●XOVHAaa

4.点的投影规律:（1）a

a⊥OX轴（2）aax

a

axxa=Aa

（A到V面的距离）=Aa（A到H面的距离）a

a●●aX3.投影面展开省略不画绕X轴下旋转90º不动5.其他分角内点的投影HXVOOX分角ⅠⅡⅢⅣ点的正面投影OX的上方OX的上方OX的下方OX的下方点的水平投影OX的下方OX的上方OX的上方OX的下方

注意：位于各分角内点的两面投影其连线总是垂直OX轴，且投影点到OX轴之间的距离分别反映空间点到对应投影面的距离。

HWV2.3点在三投影面体系中的投影1.三面投影体系的建立正面投影面--V面水平投影面--H面侧面投影面--W面2.投影轴OXZOX轴

V面与H面的交线OZ轴

V面与W面的交线OY轴

H面与W面的交线三个投影面互相垂直Y三面投影体系将空间分为八个分角。3.空间点A在三面投影体系中的投影a点A的水平投影a'点A的正面投影a

点A的侧面投影●●●●XZOVHWAaa

a

xaazayY如：空间点AHWV●●●●XYZOVHWAaa

a

xaazay绕Z轴向右旋转90º绕X轴向下旋转90º不动4.投影面展开aa●x●●azZaa

yayaXYH

YWO

省略不画●●●●XYZOVHWAaa

a

5.点的投影规律:（1）a

a⊥OX轴（2）aax=

a

ax=xaazay●●YWZaza

XYHayWOaaxayHa

●

a

a

⊥OZ轴=y=Aa

（A到V面的距离）a

az=x=Aa

（A到W面的距离）a

ay=z=Aa

（A到H面的距离）a

aza

ay=例：已知点A的两个投影a,a

,求第三●a

●●a

aaxaz解法一:通过作45°线使a

az=aax解法二:用圆规直接量取a

az=aaxZOXYWYHYHYW投影a"。aza

●●●a

aaxZOXYHYW2.4点的三面投影与直角坐标的关系Aa′a″aaxayazVHWOXYZXa′a″aOaxayazZayYHYWHWxyzxyzy例：求点A(40,20,30)的三面投影XOaxazZYHYWayHayW40203020已知点A:X坐标=40毫米；

Y坐标=20毫米；

Z坐标=30毫米。a″a′a空间点的重建法(a)坐标法(b)逆投影线法已知点A的坐标或投影，在大脑中进行……2.5特殊位置的点OXb

bc

cC=c

ca

ba

aXOVHA=aB=b

2.6两点的相对位置及重影点

两点的相对位置指两点在空间的上下、前后、左右位置关系。判断方法：x坐标大的在左

y坐标大的在前z坐标大的在上A点在B点之前、之右、之上。b

aa

a

b

b●●●●●●XYHYWZo1.两点的相对位置O比较A、B两点的相对坐标△x△xz△z△y△△yA点在B点之右A点在B点之后A点在B点之上()a

cc

2.重影点

空间两点在某一投影面上的投影重合为一点时，则称此两点为该投影面的重影点。●●●a

a

c

被挡住的投影加()A、C为哪个投影面的重影点呢？A、C为H面的重影点ZXYWOYH●●()a

bA、B为水平投影面的重影点●●●XYZOVHWAaa

a

xaazay●●●b

Bb

(b)●b

●●●a

a

b

ZXYWOYH●●d

(c

)cdCDa(b)a

b

ABa

b

a(b)d

(c

)cdA、B为水平投影面的重影点C、D为正面投影面的重影点a[例题1]

已知点A的正面与侧面投影，求点A的水平投影。[例题2]

已知点A在点B之前5毫米，之上9毫米，之右8毫米，求点A的投影。a

a

a985本章结束第5章直线与平面及两平面的相对位置5.1平行问题

5.2相交问题5.3垂直问题5.4综合问题分析及解法基本要求（一）平行问题

1．熟悉线、面平行，面、面平行的几何条件；

2．熟练掌握线、面平行，面、面平行的投影特性及作图方法。（二）相交问题

1．熟练掌握特殊位置线、面相交（其中直线或平面的投影具有积聚性）交点的求法和作两个面的交线（其中一平面的投影具有积聚性）。

2．熟练掌握一般位置线、面相交求交点的方法；掌握一般位置面、面相交求交线的作图方法。

3．掌握利用重影点判别投影可见性的方法。（三）垂直问题

掌握线面垂直、面面垂直的投影特性及作图方法。（四）点、线、面综合题

1．熟练掌握点、线、面的基本作图方法；

2．能对一般画法几何综合题进行空间分析，了解综合题的一般解题步骤和方法。

直线与平面平行

两平面平行5.1平行问题⒈

直线与平面平行DBCAP若：AB∥CD则：AB∥P

若平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，则该直线与该平面平行。这是解决直线与平面平行作图问题的依据。几何条件：有关线、面平行的作图问题有：判别已知线面是否平行；作直线与已知平面平行；包含已知直线作平面与另一已知直线平行。fg

f

g结论：直线AB不平行于定平面[例1]

试判断直线AB是否平行于定平面n

●●a

c

b

m

abcmn[例2]过M点作直线MN平行于平面ABC。有无数解d

dX正平线[例3]过M点作直线MN平行于V面和平面ABC。唯一解c

●●b

a

m

abcmnn

d

dXb

a

af

fb[例4]

试过点K作水平线AB平行于ΔCDE平面直线与特殊位置平面平行

当平面为投影面的垂直面时，只要平面有积聚性的投影和直线的同面投影平行，或直线也为该投影面的垂线，则直线与平面必定平行。⒉

两平面平行

若一个平面内的相交二直线与另一个平面内的相交二直线对应平行，则此两平面平行。这是两平面平行的作图依据。

判别两已知平面是否相互平行；过一点作一平面与已知平面平行；已知两平面平行，完成其中一平面的所缺投影。几何条件：

两平面平行的作图问题有：两平面平行①若一平面上的两相交直线分别平行于另一平面上的两相交直线，则这两平面相互平行。ⅠⅡⅢAB∥ⅠⅡ；AC∥ⅠⅢ；

则：P∥Q②若两投影面垂直面相互平行，则它们具有积聚性的那组投影必相互平行。两特殊位置平面平行c

f

b

d

e

a

abcdefXf

g

abcdefga

b

c

d

e

X两特殊位置平面平行两一般位置平面平行acebb

a

d

dfc

f

e

khk

h

OXm

m由于ek不平行于ac,故两平面不平行。[例1]

判断平面ABDC与平面EFHM是否平行，

已知AB∥CD∥EF∥MH[例2]

试判断两平面是否平行m

n

mnr

rss

结论：两平面平行em

n

mnf

e

fsr

s

rk

k[例3]

已知定平面由平行两直线AB和CD给定。试过点K作一平面平行于已知平面。[例4]

试判断两平面是否平行。结论：因为PH平行SH，所以两平面平行

直线与平面相交

两平面相交5.2相交问题

直线与平面相交，其交点是直线与平面的共有点。1.

直线与平面相交要讨论的问题：(1)求直线与平面的交点。

(2)判别两者之间的相互遮挡关系，即判别可见性。

我们将分别讨论一般位置的直线与平面或至少有一个处于特殊位置的情况。●●2.

两平面相交

两平面相交其交线为直线，交线是两平面的共有线，同时交线上的点都是两平面的共有点。要讨论的问题：①

求两平面的交线方法：⑴确定两平面的两个共有点。⑵确定一个共有点及交线的方向。

②

判别两平面之间的相互遮挡关系，即：

判别可见性。5.2.1特殊位置线面相交直线与特殊位置平面相交判断直线的可见性特殊位置直线与一般位置平面相交1.直线与特殊位置平面相交由于特殊位置平面的某个投影有积聚性，交点可直接求出。b

ba

acc

m

mnn

k

k2.判断直线的可见性特殊位置线面相交，根据平面的积聚性投影，能直接判别直线的可见性。kb

ba

acc

m

mn

nk

例1求直线MN与平面ABC的交点K并判别可见性。空间及投影分析:

平面ABC是一铅垂面，其水平投影积聚成一条直线，该直线与mn的交点即为K点的水平投影。①

求交点②

判别可见性

由水平投影可知，KN段在平面前，故正面投影上k

n

为可见。

还可通过重影点判别可见性。⑴

平面为特殊位置abcmnc

n

b

a

m

k

●k●1

(2

)2●1●●Xkm(n)b●m

n

c

b

a

ac⑵

直线为特殊位置空间及投影分析:

直线MN为铅垂线，其水平投影积聚成一个点，故交点K的水平投影也积聚在该点上。①

求交点②

判别可见性

点Ⅰ位于平面上，在前，点Ⅱ位于MN上，在后，故k

1

为不可见。k

●2●1●●1

(2

)X()k21k'2'1'例2求铅垂线EF与一般位置平面△ABC的交点并判别

其可见性。5.2.2一般位置平面与特殊位置

平面相交

求两平面交线的问题可以看作是求两个共有点的问题，由于特殊位置平面的某个投影有积聚性，交线可直接求出。

1.求交线

2.判断平面的可见性1.求交线MmnlacbPPHABCFKNLkfnlmm

l

n

bacc

a

b

fkf

k

2.判断平面的可见性2.判断平面的可见性abcdefc

f

d

b

e

a

m

(n

)●例3求两平面的交线

MN并判别可见性。⑴空间及投影分析：①

求交线②

判别可见性

从正面投影上可看出，在交线左侧，平面ABC在上，其水平投影可见。m●n●

平面ABC与DEF都为正垂面，它们的交线为一条正垂线，两平面正面投影的交点即为交线的正面投影，交线的水平投影垂直于OX轴。

还可通过重影点判别可见性a′abd(e)e′b′d′h(f)cf′c′h′⑵m●n●空间及投影分析：

平面DEFH是一铅垂面，它的水平投影有积聚性，其与ac、bc的交点m、n即为两个共有点的水平投影，故mn即为交线MN的水平投影。①

求交线②

判别可见性

点Ⅰ在MC上，点Ⅱ在FH上，点Ⅰ在前，点Ⅱ在后，故m

c

可见。作图X211'(2')m′●●●n′●●bc

d

e

f

a

b

acdef⑶投影分析

N点的水平投影n位于Δdef

的外面，说明点N位于ΔDEF所确定的平面内，但不位于ΔDEF这个图形内。

所以ΔABC和ΔDEF的交线应为MK。m●k●k

●nn'●①

求交线②

判别可见性作图●m

●ΔDEF的正面投影积聚5.2.3直线与一般位置平面相交以正垂面为辅助平面求线面交点

示意图以铅垂面为辅助平面求线面交点

示意图判别可见性

示意图1

2

QV21kk

步骤：1．过EF作正垂平面Q。2．求Q平面与ΔABC的交线ⅠⅡ。3．求交线ⅠⅡ与EF的交点K。示意图以正垂面为辅助平面求直线EF与ΔABC平面的交点ABCQ过EF作正垂面QEF以正垂面为辅助平面求线面交点示意图ⅠⅡ2PH1

步骤：1．过EF作铅垂平面P。2．求P平面与ΔABC的交线ⅠⅡ。3．求交线ⅠⅡ与EF的交点K。k

k2

示意图以铅垂面为辅助平面求直线EF与ΔABC平面的交点1过EF作铅垂面P以铅垂面为辅助平面求线面交点示意图FCABPEFKEⅠⅡf

e

e直线EF与平面

ABC相交，判别可见性。利用重影点判别可见性124

3

（

）kk

(3)4示意图(

)2

1

3

ⅠⅡⅢ1

(2

)(4)3利用重影点判别可见性Ⅳ直线EF与平面

ABC相交，判别可见性。示意图5.2.4两一般位置平面相交

求两平面交线的问题可以看作是求两个共有点的问题,因而可利用求一般位置线面交点的方法找出交线上的两个点，将其连线即为两平面的交线。两一般位置平面相交求交线判别可见性两一般位置平面相交，求交线步骤：1．用求直线与平面交点的方法，作出两平面的两个共有点K、E。ll

nmm

n

PVQV1

2

21k

kee2．连接两个共有点，画出交线KE。示意图例4求两平面的交线两一般位置平面相交求交线的方法示意图

利用求一般位置线面交点的方法找出交线上的两个点，将其连线即为两平面的交线。MBCAFKNL利用重影点判别可见性两平面相交，判别可见性3

4

()34

21()1

2

5.2.5综合性问题解法试过K点作一直线平行于已知平面ΔABC，并与直线EF相交。综合性问题解法

综合性问题解法

综合性问题解法

例5

过已知点K作平面P平行于

ABC；直线EF与平面P交于H；连接KH，KH即为所求。FPEKH分析m

n

h

hnmPV1

12

21．过点K作平面KMN//

ABC平面。2．求直线EF与平面KMN的交点H。3．连接KH，KH即为所求。作图

直线与平面垂直

两平面互相垂直5.3垂直问题5.3.1直线与平面垂直VHPAKLDCBE几何条件：若一直线垂直于一平面，则必垂直于属于该平面的一切直线。定理1：若一直线垂直于一平面、则直线的水平投影必垂直于属于该平面的水平线的水平投影；直线的正面投影必垂直于属于该平面的正平线的正面投影。VPAKLDCBEHa

ad

c

b

dcbe

eknk

n

XO定理2：若一直线垂直于属于平面的水平线的水平投影；直线（逆）的正面投影垂直于属于平面的正平线的正面投影、则直线必垂直于该平面。a

cac

n

nkf

d

b

dbfk

VPAKLDCBEHXOa

cac

nn

mf

d

b

dbfm

例6

平面由

BDF给定，试过定点M作平面的垂线。h

hh

hh

hkk

SVk

kPVk

kQH例7

试过定点K作特殊位置平面的法线。e

f

em

nmn

c

a

ad

b

cdbfXO例8

平面由两平行线AB、CD给定，试判断直线MN

是否垂直于定平面。例9

试过点N作一平面，使该平面与V面的夹角为60°，与H面的夹角为45°。n

nXO平面的法线与平面的最大斜度线对同一投影面的夹角互为补角。HPAKFDCBEf

分析

直径任取NM|yM-yN||zM-zN|m

h

mnmk|zM-zN||yM-yN|30°45°mnm

n

k

hn

nXO作图过程几何条件：若一直线垂直于一定平面，则包含这条直线的所有平面都垂直于该平面。PAB5.3.2两平面垂直

反之，两平面相互垂直，则由属于第一个平面的任意一点向第二个平面作的垂线必属于第一个平面。ABⅠⅡ两平面垂直两平面不垂直ⅡⅠABg

ha

cac

h

kk

f

d

b

dbfgXO例10

平面由

BDF给定，试过定点K作已知平面的垂面g

h

a

chac

kk

b

bgf

fd

d结论：两平面不平行XO例11

试判断

ABC与相交两直线KG和KH所给定的平面

是否垂直。

5.4.1空间几何元素定位问题

5.4.2空间几何元素度量问题5.4综合问题分析及解法

5.4.3综合问题解题举例求解综合问题主要包括：

平行、相交、及垂直等问题侧重于探求每一个单个问题的投影特性、作图原理与方法。而实际问题是综合性的，涉及多项内容，需要多种作图方法才能解决。综合问题解题的一般步骤：

1.分析题意

2.明确所求结果，找出解题方法

3.拟定解题步骤空间几何元素的定位问题（交点、交线）空间几何元素的度量问题（如距离、角度）。5.4.1空间几何元素定位问题c

g

h

e

f

d

cefghdXO例12

已知三条直线CD、EF和GH，求作一直线AB与

CD平行，并且与EF、GH均相交。分析

所求得直线AB一定在平行于CD的平面上，并且与交叉直线EF、GH相交。ABCDHGEF作图过程k

kc

g

h

e

f

d

cefghdXOPV11

2

2aa

bb

例13

试过定点A作直线与已知直线EF正交。EQ分析FAK

过已知点A作平面垂直于已知直线EF，并交于点K，连接AK，AK即为所求。作图2

11

22

1a

efaf

e

1

2PVk

k5.4.2空间几何元素度量问题度量问题—是解决距离和角度的度量问题，主要基础是根据直角投影定理作平面的垂线或直线的垂面，并求其实长或实形。

1.距离的度量点到点之间的距离.

求二点之间线段的实长（直角三角形法）。

点到直线之间的距离.过点作平面垂直于直线，求出垂足，再求出点与垂足之间的线段实长。

点到平面之间的距离.过点作平面的垂线，求出垂足，

..再求出点与垂足之间的线段实长。

直线与直线平行之间的距离直线与交叉直线之间的距离直线与平面平行之间的距离平面与平面平行之间的距离过一直线上任一点作另一直线的垂线，余下方法同点到直线的距离。包含一直线作一平面平行于另一直线，在另一直线上任取一点，过点作平面的垂线，求出垂足，再求出点与垂足之间的线段实长。过直线上任一点作平面的垂线。方法同点到平面的距离。过一平面上任一点作另一平面的垂线。余下方法同点到平面的距离。PQPPDBPPBPKAKALCKLLABKLABKCDELF例14

求点C到直线AB的距离。c

a

b

cabXO分析PABCK

过C点作直线AB的垂线CK一定在过C点并且与AB垂直的平面P内，过C点作一平面与直线AB垂直，求出该平面与AB的交点K，最后求出垂线CK的实长即为所求。作图过程c

a

b

cabXOe

d

ed1

2

12kk

所求距离PV例15

求两平行直线AB和CD的距离。c

a

b

cabXOe

d

ed1

2

12kk

所求距离PVd

d例16

求Ｍ点到△ABC平面的距离。

作出垂线后，用辅助平面法求出垂线与△ＡＢＣ平面的交点（即垂足），再用直角三角形法求出线段的实长即可。hfe

bm

b

a

c

ach

所求距离

MK实长k

kXOef

mcc

a

b

abXOdd

例17

求交叉两直线AB和CD的公垂线。分析LKABDCGHEFP

过一条直线CD作平面P平行于另一条直线AB，在过点A作平面P的垂线AH，求出垂足点E；在平面P上过点E作直线EF∥AB与直线CD交于点K；过点K作直线KL∥AH交AB于L点，KL即为所求的公垂线。作图过程gg1

122

h343

4

eefkklflcc

a

b

abXOdd

hPH2.角度的度量两相交直线间的夹角直线与平面的夹角两平面间的夹角PABCEF任作一直线分别与两相交直线相交，构成三角形，求三角形的实形（分别求出三边的实长），夹角即可求得。两相交直线间的夹角

PCAB直线和它在平面上的投影所夹的锐角，称为直线与面的夹角。过直线上任一点角度作平面的垂线，求出直线与垂线的夹角（方法同两相交直线的夹角）的余角，余角即为所求。此法又称余角法。直线与平面的夹角Ø

PQ两平面间的夹角两平面间的夹角就是两平面二面角的平面角。在空间任取一点，分别作二平面的垂线，求出二垂线间的夹角(方法同两相交直线间的夹角)的补角，补角即为所求。此法又称补角法。Ø

BCA例18

求直线ＤＥ与△ＡＢＣ平面的夹角θ作∠ＥＤＦ的余角θ，即为所求直线ＤＥ与△ＡＢＣ平面的夹角。ＥＦf

XObee

b

a

c

acd

dＤＦＦＤＥ

Øfdfef本章结束第六章投影变换§6-1概述§6-2换面法基本要求

基本要求（1）掌握换面法的基本原理和换面法作图的投影变换规律。（2）掌握用换面法求线段实长、平面图形实形及其对投影面的倾角基本作图方法。（3）掌握用换面法解决一般空间几何元素间的定位和度量问题。6.1概述

当直线或平面相对于投影面处于特殊位置（平行或垂直）时，它们的投影反映线段的实长、平面的实形及其与投影面的倾角，当它们处于垂直位置时，其中有一投影具有积聚性。当直线或平面和投影面处于一般位置时，则它们的投影就不具备上述的特性。投影变换就是将直线或平面从一般位置变换为和投影面平行或垂直的位置，以简便地解决它们的定位和度量问题。a

abb

两点之间距离a

abb

c

c三角形实形a

abb

c

cdd

直线与平面的交点a

b

c

d

abcd

两平面夹角6.2换面法6.2.1换面法的基本概念6.2.2点的投影变换规律6.2.3直线的换面6.2.4平面的换面

换面法—空间几何元素的位置保持不动，用新的投影面来代替旧的投影面，使对新投影面的相对位置变成有利解题的位置，然后找出其在新投影面上的投影。6.2.1换面法的基本概念a1

c1

b1

V1X1X1V/H

体系变为V1/H

体系c1

b1

a1

bcab

a

c

X1.新投影体系的建立V1/H

体系称为新投影体系；V/H

体系为旧投影体系。V1称为新投影面；V称为旧投影面；H称为不变投影面。X1称为新投影轴；X称为旧投影轴。新投影面的选择必须符合以下两个基本条件：(1)新投影面必须和空间几何元素处于有利解题的位置。(2)新投影面必须垂直于于原投影体系中的一个不变投影面。2.新投影面的选择原则V1HV1∥ABC1.点的一次变换X1V1a1

6.2.2点的投影变换规律V/H

V1/H

a1

a

XVHaVHXX1V1a1

X1HV1a

Aa变换V面时点的投影作图V1a1

（1）点的新投影和不变投影的连线，必垂直于新投影轴。（2）点的新投影到新投影轴的距离等于点的旧投影到旧投影轴的距离。2.点的投影变换规律H1X1点在V/H1体系中的投影X1H1Va1a1V/H

体系变为V/H1

体系V/H1

体系称为新投影体系；V/H

体系为旧投影体系。X1称为新投影轴；X称为旧投影轴。H1称为新投影面；H称为旧投影面；V称为不变投影面。a23.点的两次变换X2H2V12X2a2V/H

V1/H

V1/H2

新投影不变投影旧投影新轴旧轴第一次变换时的旧、不变、新投影值得提醒的是:在多次变换中，必须遵照交替换面的原则。V/H

V1/H

V1/H2

V3/H2

V/H

V/H1

V2/H1

V2/H3

如:V1X11.将一般位置直线变换为投影面的平行线

a1

b1

a1

b1

X1V1H6.2.3直线的换面将一般位置直线变换为V1面的平行线一次换面即可[例题1]

将一般位置直线变换为H1面的平行线X1H1Va1b1

X1H1Va1b12.将投影面平行线变换为投影面的垂直线

b

b1X1a1b1一次换面即可3.将一般位置直线变换为投影面的垂直线V1X1a1

b1

2a2b2需要二次换面X2一般位置直线变换为投影面垂直线的作图X2H2V1a2b2X1HV1a1

b1

[例题2]

求点C到直线AB的距离空间分析c'2作图c1b1a1X2H1V2H1X1Vkk'k1b'2a'2距离k'2c1k1∥

X2[例题3]求两平行直线AB与CD间的距离X2H2V1a

aXVHb

ba2b2X1HV1a1

b1

提示a

aXb

bcdc

d

VHX2H2V1a

aXVHb

ba2b2X1HV1a1

b1

作图cdc

d

c2d2d1

c1

距离2

1

1'12'11222X2H2V1X1HV1a2b2d2c2b'1a'1d'1c'121b

[例题4]

求交叉两直线AB与CD的公垂线ABH2Ⅱ∥H2ⅠⅠⅡABⅡCDⅠH2ABⅡDCⅠ1222c2d21222c2d2a

c

XVHb

bac1.将一般位置平面变换为

投影面的垂直面

cdd

DX1H1a1c1b1d1

d

X1H1Vd

b1a1c1d16.2.4平面的换面一次换面即可k1X1H1Vb1a1c1d1s1[例题5]

求点S到平面ABC的距离距离Nd

dX1VH1k1e1b1a1c1d1有两解e

e

[例题6]已知E到平面ABC的距离为N，求E点的正面投影e

。HACXVc

b

a

B2.将投影面垂直面变换为投影面的平行面V1c1

b1

a1

X1X1V1c1

a1

b1

一次换面即可aba1

c1

b1

X1d

db1a1c1d1X1H1Va2

c2

b2

d2

X2V2H13.将一般位置平面变换为投影面的平行面

实形需要二次换面[例题7]

已知E点在平面ABC上，距离A、B为15，求点E的投影。d

db1a1c1d1X1H1Va2

c2

b2

d2

X2V2H11515ee

e1e2

有两解本章结束172第7章常见曲线曲面的画法7.3

单叶双曲回转面7.1螺旋线7.2螺旋面7.4柱状面7.5锥状面7.6双曲抛物面1737.1螺旋线

当一个动点沿着一直线等速移动，而该直线同时绕与它平行的一轴线等速旋转时，动点的轨迹就是一根圆柱螺旋线。1.圆柱螺旋线的形成1742.螺旋线的画法1757.2正螺旋柱状面1.正螺旋柱状面的形成

正螺旋柱状面的两条曲导线皆为圆柱螺旋线，连续运动的直母线始终垂直于圆柱轴线。2.

正螺旋柱状面的画法（1）画出两条曲导线（圆柱螺旋线）；（2）作出直母线的两面投影；（3）作出该曲面上各素线的投影。3.

正螺旋柱状面的应用的例子1761．正螺旋柱状面的形成177

2.正螺旋柱状面的画法1783.正螺旋柱状面应用的例子螺旋扶手螺旋楼梯1797.3单叶双曲回转面1.单叶双曲回转面的形成

单叶双曲回转面是由直母线绕与它交叉的轴线旋转而形成。2.单叶双曲回转面的画法（1）画出回转轴及直导线的两面投影；（2）作出轮廓线顶圆和底圆的两面投影：（3）作出若干素线及外视转向线的投影。180

2.单叶双曲回转面的画法

1817.4柱状面1.柱状面的形成

一直母线沿两条曲导线连续运动，同时始终平行于一导平面，这样形成的曲面称为柱状面2.柱状面的画法（1）画出两条曲导线的两面投影；（2）作出直母线的两面投影：（3）作出该曲面上各素线的投影。182P1．柱状面的形成导平面曲导线曲导线1832.柱状面的画法1847.5锥状面1.锥状面的形成

一直母线沿一直导线和曲导线连续运动，同时始终平行于一导平面，这样形成的曲面称为锥状面。2.锥状面的画法（1）画出一直导线和曲导线的两面投影；（2）作出直母线的两面投影：（3）作出该曲面上各素线的投影。1851．锥状面的形成P导平面曲导线直导线1862.锥状面的画法1877.6双曲抛物面1.双曲抛物面的形成

一直母线沿两交叉直导线连续运动，同时始终平行于一导平面，其运动轨迹称为双曲抛物面。2.双曲抛物面的画法（1）画出两条直导线的两面投影；（2）作出直母线的两面投影：（3）作出该曲面上各素线的投影。3.双曲抛物面的截交线1881.双曲抛物面的形成P导平面直导线直导线直母线1892.双曲抛物面的画法1903.双曲抛物面的截交线本章结束8.2平面立体8.3回转体

第8章立体的投影8.1立体的三面投影

常见的基本立体平面立体曲面立体棱柱棱锥圆柱圆锥圆球圆环

8.1立体的三面投影8.1.1立体的投影8.1.2三面投影与三视图8.1.3三视图之间的对应关系VWH8.1.1立体的投影

立体的投影，实质上是构成该立体的所有表面的投影总和。

用正投影法绘制的物体的投影图称为视图。8.1.2三面投影与三视图(1)视图的概念主视图—立体的正面投影俯视图—立体的水平投影左视图—立体的侧面投影(2）三视图的投影规律三等关系主俯视图长对正主左视图高平齐俯左视图宽相等长高宽宽长对正宽相等高平齐

---无轴投影图8.1.3三视图之间的方位对应关系主视图反映：上、下、左、右俯视图反映：前、后、左、右左视图反映：上、下、前、后上下左右后前上下前后左右上下左右前后8.2平面立体8.2.1

棱柱8.2.2

棱锥平面立体侧表面的交线称为棱线若平面立体所有棱线互相平行，称为棱柱若平面立体所有棱线交于一点，称为棱锥棱锥体平面立体：是由若干个平面图形所围成的几何体，如棱柱体、棱锥体等。

棱柱体

是平面立体各表面投影的集合----由直线段组成的封闭图形。

平面立体的投影200

由两个底面和六个侧棱面组成。侧棱面与侧棱面的交线叫侧棱线，侧棱线相互平行。1.六棱柱8.2.1棱柱（1）六棱柱的投影视图---无轴投影图202(2)棱柱表面上取点a

a(a

)(b

)bb

点的可见性判别：

若点所在的平面的投影可见，点的投影也可见；若平面的投影积聚成直线，点的投影也可见。c

c

c（1）三棱柱的视图

由两个底面和三个侧棱面组成。侧棱面与侧棱面的交线叫侧棱线，侧棱线相互平行。2.三棱柱

三棱柱的两底面为水平面，在俯视图中反映实形。其余三个侧棱面都是铅垂面，水平投影积聚，与三角形的边重合。

点的可见性判别：

若点所在的平面的投影可见，点的投影也可见；若平面的投影积聚成直线，点的投影也可见。

由于三棱柱的表面都是平面，所以在三棱柱的表面上取点与在平面上取点的方法相同。

mk

k

km

用相对坐标，量取坐标差的方法在表面取点。m

（2）三棱柱表面的点3.五棱柱的视图8.2.2棱锥1.棱锥的组成

由一个底面和若干侧棱面组成。侧棱线交于有限远的一点——锥顶。s

Basa’cs

bCASb”(c”)a”c’b’

棱锥处于图示位置时,其底面ABC是水平面，在俯视图上反映实形。侧棱面SAC为侧垂面，另两个侧棱面为一般位置平面。2.棱锥的投影三视图s(c

)s

a

ac

b

b

cs

ba

3.棱锥表面上取点2

2

23(3

)3

ⅡBCASmm

N1ⅠM1

n

n1

8.3.1圆柱8.3.2圆锥8.3.3圆球8.3.4圆环8.3回转体工程中常见的曲面立体,是回转体。

直母线生成的回转曲面称为直线回转面如:圆柱面、圆锥面等。

回转曲面是由母线(直线或曲线)绕定轴线作回转运动生成的。

曲母线生成的回转曲面称为曲线回转面如:圆球面、圆环面等。回转体的表面主要由回转曲面构成。表面由曲面或曲面和平面构成的立体称为曲面立体。回转体（面）的形成回转面的术语OO顶圆素线赤道圆喉圆纬圆底圆母线轴线8.3.1圆柱圆柱的形成

圆柱面上与轴线平行的任一直线称为圆柱面的素线。1.圆柱体的组成

由圆柱面和上下两底圆组成。

圆柱面是由直母线AA1绕与之平行的轴线旋转而成。2.圆柱的投影

圆柱面的俯视图积聚成一个圆，在另两个视图上分别以两个方向的外形轮廓线的投影表示。其上下底圆为水平面,在俯视图上反映实形，在另两个视图上分别积聚成为一直线。（1）分析圆柱轮廓线的投影一（1）分析圆柱轮廓线的投影二（2）圆柱投影对V面可见性的判别前半面可见后半面不可见曲面的可见性的判断轮廓线的投影是判断曲面可见性的依据（3）圆柱投影对W面可见性的判别左半面可见右半面不可见曲面的可见性的判断3.圆柱表面上取点()A(D)Cc”

轮廓线的投影是判断曲面可见性的依据()B利用积聚性先求出水平投影a’c’4.圆柱面上的曲线曲线投影的求法是先求出线段上一系列点的投影；然后，再将这些点的投影依次光滑地连接起来。

利用积聚性先求出侧面投影注意求出特殊位置的点（A、C）

----特殊点圆锥的形成8.3.2圆锥圆锥面是由直母线SA绕与它相交的轴线OO1旋转而成。1.圆锥体的组成由圆锥面和底圆组成。

S称为锥顶，圆锥面上过锥顶的任一直线称为圆锥面的素线。SAOO12.圆锥的投影

如图示位置，俯视图为一圆。另两个视图为等腰三角形，三角形的底边为圆锥底圆的投影，两腰分别为圆锥面不同方向的两条轮廓素线的投影。(1)圆锥的投影特点轮廓线的投影底圆的投影(2)圆锥可见性的判别—V面前半面可见后半面不可见曲面的可见性的判断。注意：轮廓线的投影与曲面的可见性的判断(3)圆锥可见性的判别—W面左半面可见右半面不可见曲面的可见性的判断。3.圆锥表面上取点辅助素线法辅助圆法Aaa

如何取圆的半径？圆锥表面上特殊位置的取点例：a

a

b

ba

b

4.圆锥面上的曲线

求曲线上一系列点的投影；注意：特殊点然后，再将这些点的投影依次光滑地连接起来。

圆球的形成8.3.3圆球1.圆球的形成

球是由球面围成的。球面可看作圆绕其直径为轴线旋转而成。2.圆球的投影三个视图均为与圆球的直径相等的圆，它们分别是圆球三个方向轮廓素线的投影。（1）圆球的投影特点圆球的轮廓线的投影（2）圆球可见性的判别3.圆球表面上取点采用辅助圆法求圆球面上的点圆的半径？(c

)(b)bb

a

a圆球面上特殊点的求法A为一般点；例：

c

a

(c)B、C为特殊点。4.圆球面上的曲线采用辅助圆法求圆球面上的线注意：特殊点注意：特殊点采用辅助圆法求圆球面上的线4.圆球面上的曲线

一圆母线绕其所在平面内的一条轴线作回转而成。8.3.4圆环

点击图片播放动画1.圆环的画法2.圆环的投影特点

主视图是极限位置素线和内、外环分圆的投影；俯视图是上、下环面的投影；左视图与主视图相同。3.圆环投影可见性的判别由前向后看，此部分可见由上向下看，此部分可见圆环面上的辅助圆m1'24.圆环表面上取点m'（n'）12'

采用辅助圆法求圆环面上的点或线本章结束9.1

平面与平面立体相交9.2

平面与曲面立体相交——求截交线第9章平面与立体相交9.3

平面与组合体相交9.1平面与平面立体相交截平面断面断面的边界线是：截平面与立体表面的交线——截交线。一、平面立体的截交线平面立体的截交线是截平面与平面立体表面的交线。二、平面立体截交线的性质三、平面立体截交线的求法1.棱柱上截交线的求法作图方法:1求棱线与截平面的共有点2连线3根据可见性处理轮廓线1״2״1׳2׳2׳2׳2׳7׳7״5׳6׳5״6״12345673׳4׳3״4״求截交线的实质是求两平面的交线[例题1]求六棱柱被截切后的水平投影和侧面投影[例题2]求立体截割后的投影[例题3]

求立体截割后的投影7"11"8"87111"2"10"5"6"9"4"3"961（3）2（4）105ⅠⅪⅡⅨⅩⅣⅢ1'（2'）8'3'（4'）10'（5'）9'11'（6'）（7'）2．棱锥上截交线的求法[例题4]求如图所示三棱锥被正垂面所截切，求作截交线的水平投影和侧面投影。

s’a’b’c’c”a”b”sPvs”abc[例题4]求如图所示三棱锥被正垂面所截切，求作截交线的水平投影和侧面投影。

s’a’b’c’c”a”b”sPvs”(1)求Pv与s’a’、s’b’、s’c’的交点1’、2’、3’为截平面与各棱线的交点Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的正面投影。1’2’3’(2)根据线上取点的方法，求出1、2、3和1”、2”、3”。11”2”23(3)连接各点的同面投影即等截交线的三个投影。(4)补全棱线的投影。3”具体步骤如下：abc1’2’3’(4’)1”3”4”1243[例题5]求三棱锥被截切后的水平投影和侧面投影yy[例题6]

求立体切割后的投影23541

11

6

6

5

4

3

2

6ⅠⅤⅣⅢⅡⅥ4

（5

）2

（3

）[例题7]求三棱锥被截切后的水平投影和侧面投影截交线截平面截交线截平面9.2平面与曲面立体相交一、截交线的性质：

截交线的形状取决于曲面立体表面的形状及截平面与曲面立体轴线的相对位置。

截交线都是封闭的平面图形。

截交线是截平面与曲面立体表面的共有线。二、求平面与曲面立体截交线的一般步骤

⒈空间及投影分析☆分析回转体的形状以及截平面与回转体轴线的相对位置，以便确定截交线的形状。☆分析截平面与投影面的相对位置，明确截交

线的投影特性，如积聚性、类似性等。找出截交线的已知投影，予见未知投影。⒉画出截交线的投影当截交线的投影为非圆曲线时，其作图步骤为：☆将各点光滑地连接起来，并判断截交线的可见性。☆先找特殊点，补充中间点。三、具体的作图步骤四、截交线上的特殊点极限点转向点特征点结合点矩形椭圆圆9.2.1平面与圆柱相交

截平面垂直于圆柱轴线，截交线为垂直于轴线的圆

截平面平行于圆柱轴线，截交线为平行于轴线的两条直线

截平面倾斜于圆柱轴线，截交线为椭圆9.2.1平面与圆柱相交[例1]求圆柱被截切后的侧面投影分析：截平面与圆柱轴线斜交，截交线为椭圆。作图方法:1.求特殊点1’1”12’2”23”4”342.适当求一般点3’4’3.连线4.处理轮廓线作图方法:表面取点法注意:当截平面与圆柱轴线交线交角为45°时，截交线投影为圆。[例2]

求圆柱截交线11'1"5"4"8'8"83254ⅥⅦⅢⅡⅣⅤⅠⅧ4'5'2'3'2"3"解题步骤1．分析截平面为正垂面，截交线的侧面投影为圆，水平投影为椭圆；2．求出截交线上的特殊点Ⅰ、Ⅳ、Ⅴ、Ⅷ；3．求出若干个一般点Ⅱ、Ⅲ、Ⅵ、Ⅶ；4．光滑且顺次地连接各点，作出截交线，并且判别可见性；5．整理轮廓线。766'7'6"7"[例3]

求圆柱截交线解题步骤1．分析侧面投影为圆的一部分，截交线的水平投影为椭圆的一部分；2．求出截交线上的特殊点Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ

；3．求出若干个一般点Ⅳ、Ⅴ

；4．光滑且顺次地连接各点，作出截交线，并且判别可见性；5整理轮廓线。3453'3"4'5'5'4'1'2'2"1"12[例4]求圆柱被截切后的水平投影和侧面投影

该圆柱被侧平面截切后,侧面投影为矩形;被水平面截切后，水平投影为圆。轮廓线要不要？分析:[例5]求切口圆柱的水平投影和侧面投影解题步骤1分析截交线的水平投影为椭圆，侧面投影为圆；2求出截交线上的特殊点Ⅰ、Ⅳ、Ⅴ、Ⅷ；3求出若干个一般点Ⅱ、Ⅲ、Ⅵ、Ⅶ；4光滑且顺次地连接各点，作出截交线，并且判别可见性；5整理轮廓线。[例6]

求截切圆柱的水平投影和侧面投影解题步骤1分析截交线的水平投影为圆的一部分，侧面投影为矩形；2求出截交线上的特殊点Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ；3顺次地连接各点，作出截交线并判别可见性；4整理轮廓线。ⅠⅡⅢⅣ[例7]

求圆柱截交线解题步骤1．分析截交线为矩形、椭圆及圆和直线的组合；截交线的水平投影为已知，侧面投影为矩形、椭圆和直线的组合；2．求出截交线上的特殊点Ⅰ、Ⅱ

、

Ⅲ

、Ⅳ；3．求一般点Ⅴ；4．顺次地连接各点，作出截交线，并且判别可见性；5．整理轮廓线。3'31'122'4'455'3"2"5"1"4"yyyyyy[例8]

想象出物体及其侧面投影的形状作图步骤如下：（1）先作出完整基本形体的三面投影图。平面与圆柱相交（2）然后作出槽口三面投影图。(3)作出穿孔的三面投影图。QP[例9]补画侧面投影★空间及投影分析★求截交线★分析圆柱体轮廓素线的投影截平面与体的相对位置截平面与投影面的相对位置●●解题步骤：

同一立体被多个平面截切，要逐个截平面进行截交线的分析和作图。●●●●●●[例10]补画侧面投影[例11]补画侧面投影虚实分界点[例12]补画正面投影9.2.2平面与圆锥相交圆椭圆三角形双曲线加直线段抛物线加直线段

截平面垂直于圆锥轴线，截交线为垂直于轴线的圆。截平面平行于圆锥轴线，或截平面倾斜于截平面过锥顶，截交线为两相交直线。平面截圆锥（一）截平面平行于圆锥轴线，或截平面倾斜于圆锥轴线，且b<f

，截交线为双曲线。截平面倾斜于圆锥轴线，且b>f，截交线为椭圆。截平面倾斜于圆锥轴线，且b=f，截交线为抛物线。平面截圆锥（二）求圆锥截交线上点的方法素线法纬圆法分析：截平面过锥顶,截交线为三角形。[例题1]求圆锥被截切后的水平投影和侧面投影作图：[例题2]

求圆锥截交线解题步骤1．分析截平面为正平面，截交线为双曲线；截交线的水平投影和侧面投影已知，正面投影为双曲线并反映实形；2．求出截交线上的特殊点A、B

；3．求出一般点C

；4．光滑且顺次地连接各点，作出截交线，并且判别可见性；5．整理轮廓线。a"a'acbb"b'c"c'最低点B最低点B最高点A一般点C[例题3]

求圆锥截交线解题步骤1．分析截平面为正垂面，截交线为椭圆；截交线的水平投影和侧面投影均为椭圆；2．求出截交线上的特殊点Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ；3．求出一般点Ⅴ；4．光滑且顺次地连接各点，作出截交线，并且判别可见性；5．整理轮廓线。3'33[例题4]

求圆锥截交线a2314"5"1"1'a'2"3"2'3'544'5'解题步骤1．分析截平面为正垂面侧平面，截交线为部分椭圆和梯形的组合；其水平投影为部分椭圆和直线的组合，侧面投影为部分椭圆和梯形的组合；2．求出截交线上的特殊点Ⅰ、

Ⅱ、Ⅲ

；3．出一般点Ⅳ、Ⅴ

；4．光滑且顺次地连接各点，作出截交线，并且判别可见性；5．整理轮廓线。[例题5]

分析圆锥切割后截交线投影的形式[例题6]

分析并想象出圆锥穿孔后的投影1’(2)’(4)’3’(6)’5’(8)’7’9’(10)’2”1”433”4”655”6”(12)’11’11”12”787”8”91010”9”1112[例题7]已知立体的正面投影，试完成H、W两面投影分析：

截交线有五段组成。作图:

1.求特殊点；2.求一般点；（略）3.连线，整理轮廓线。圆9.2.3平面与圆球相交截平面截圆球，截交线为圆。平面截圆球纬圆法在圆球表面上取若干个纬圆，并求出这些纬圆与截平面的交点。求圆球截交线上点的方法分析:

球面被侧平面截切，侧面投影为圆；球面被水平面截切，水平面投影为圆。轮廓线要不要?轮廓线怎样处理?[例1]

求圆球被截切后的水平投影和侧面投影[例2]求圆球截交线解题步骤1．分析截平面为正垂面，截交线为圆；截交线的水平投影和侧面投影均为椭圆；2．求出截交线上的特殊点Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ、Ⅴ、Ⅵ、Ⅶ、Ⅷ；3．求出若干个一般点A、B、C、D；4．光滑且顺次地连接各点，作出截交线，并且判别可见性；5．整理轮廓线。1"2"123"4"34565"6"787"8"a"b"c"d"bacd2'1'3'4'5'6'7'8'a'bc'd'22"1[例3]求圆球截交线解题步骤1．分析截平面为两个侧平面和一个水平面，截交线为圆弧和直线的组合；截交线的水平投影和侧面投影均为圆弧和直线的组合；2．求出截交线上的特殊点Ⅰ、

Ⅱ；3．求出各段圆弧；4．判别可见性，整理轮廓线。33'3"1'2'

水平面截圆球的截交线的投影，在俯视图上为部分圆弧，在侧视图上积聚为直线。

两个侧平面截圆球的截交线的投影，在侧视图上为部分圆弧，在俯视图上积聚为直线。[例4]求圆球截交线[例4]求圆球截交线[例5]求圆球截交线[例6]分析并想象出圆球穿孔后的投影9.3平面与组合体相交[例题1]

分析并想象出物体的投影[例题2]