画法几何及土木工程制图课件

直线1

§2-1直线的投影

确定一直线只需要两个点，故画一直线的投影，只需知道直线上两点的投影，即可连成直线的投影。2

直线的投影一般情形下仍为直线。点击2次§2-2直线上的点

一、直线上的点

从属性：直线上的点其投影必在直线的同面投影上。定比性：直线线段上一点把线段分成两段，其长度之比，等于这两段在同一投影面上的投影长度之比。

ac∶cb=a'c'∶c'b'=a"c"∶c"b"=AC∶CB

3

点击2次§2-2直线上的点

例2-1

已知线段EF的两投影，试在其上取一点K,使EK∶KF=3∶4。

解：

4动画§2-2直线上的点

二、直线的迹点

直线与投影面的交点称为直线的迹点。直线与H面的交点叫水平迹点，记作M;它与V面的交点叫正面迹点，记作N;它与W面的交点叫侧面迹点，记作S。根据直线与投影面的倾斜状态的不同，它可能有一个、两个、三个迹点。5§2-2直线上的点

迹点投影的两个特征：（1）迹点在所属投影面上的投影就是迹点本身；（2）迹点的其他投影必在直线的相应投影与投影轴的相交处。6

直线经过迹点到了投影面的另一侧，进到了另一分角或卦角。点击1次§2-2直线上的点

直线在其两相邻迹点之间的部分，必处在同一分角或卦角内，这部分直线段上所有点的同名坐标值的正、负号相同。7§2-3直线的倾角和直线段的实长

一、倾角和实长

空间直线与某投影面的夹角，称为直线对该投影面的倾角，分别用α

、β、γ表示

。8

直线段的真实长度称为实长，标为TL

。

直线的各投影与投影轴的夹角一般都不反映直线的倾角，各投影也不反映线段的实长。点击2次§2-3直线的倾角和直线段的实长

二、直角三角形法

求任意倾斜直线段的实长和倾角的基本方法是直角三角形法。下图表示它的原理和作图过程。9点击2次§2-3直线的倾角和直线段的实长

例2-2

已知直线CD

的正面投影c'd'和点C

的水平投影c，且知直线CD

对H面的倾角α=30°，求作线段CD

的H

面投影。

解：

10点击后自动演播§2-4各种位置直线的投影

一、直线与投影面的相对位置

这里的“位置”是指直线在投影面体系中对于投影面的放置状态，并非指直线对投影面的远近、高低等线性度量关系。11投影面平行线

投影面垂直线

一般位置直线（任意倾斜直线）铅垂线正垂线侧垂线

水平线正平线侧平线

点击3次§2-4各种位置直线的投影

投影面垂直线和投影平行线，统称为特殊位置直线。

12

投影面垂直线的投影特征:

在所垂直的投影面上积聚成一点，其他两个投影垂直于相应的投影轴，并且反映线段的实长。

二、各种类型直线的投影特征§2-4各种位置直线的投影13

α=90°

M

有倾角

β=0°

迹点

N

无

γ=0°

S

无铅垂线（⊥H）点击1次

§2-4各种位置直线的投影14正垂线（⊥V）

α=0°M

无倾角

β=90°迹点

N

有

γ=0°S

无点击1次§2-4各种位置直线的投影15

α=0°M

无倾角

β=0°迹点

N

无

γ=90°S

有侧垂线（⊥W）点击1次§2-4各种位置直线的投影

在所平行的投影面上反映实长，并且反映与其他两个投影面的真实倾角，其他两个投影平行于相应的投影轴（同时垂直于第三条投影轴）。16投影面平行线的投影特征：点击2次

§2-4各种位置直线的投影17a'b'∥OX轴，长度缩短ab倾斜，反映实长、β和γ角a"b"∥OYW轴，长度缩短投影特征水平线

（∥H）

α=0°M

无倾角β有迹点

N

有

γ有

S

有点击1次

18投影特征

α有M

有倾角β=0°

迹点N

无

γ有S

有正平线

（∥V）a'b'

倾斜，反映实长、α和γ角ab

∥OX轴，长度缩短a"b"∥OZ轴，长度缩短§2-4各种位置直线的投影点击1次§2-4各种位置直线的投影19a'b'∥OZ轴，长度缩短ab∥OYH轴，长度缩短a"b"

倾斜，反映实长、α和β角投影特征侧平线

（∥W）

α有M

有倾角β=0°

迹点

N

有

γ有

S

无点击1次§2-4各种位置直线的投影

三个投影都是缩短了的倾斜线段。20任意倾斜直线的投影特征：§2-5两直线的相对位置

直线的相对位置关系有三种情况：平行、相交、交错（交叉）。

21点击3次平行相交交错§2-5两直线的相对位置

空间平行的两直线，其所有的同面投影都各自保持平行关系。22

反之，若三面体系中两直线的所有同面投影都各自保持平行关系，则空间两直线平行。

一、两直线平行点击1次§2-5两直线的相对位置

只要有一组同面投影不平行，空间两直线就不平行。

23

注意：一般情况下，只要检查两组同面投影就能判断出两直线是否平行。对于平行于同一投影面的两直线，则需要求出它们在该投影面上的投影，或根据两直线共面、定比等关系才能进行判断。§2-5两直线的相对位置

两直线相交，有一个共有点，即交点。所以各投影应相交，且交点是同一点的投影,故应符合点的投影规律。24二、两直线相交

各投影都相交，投影的交点符合点的投影规律，所以AB与CD相交。虽然投影也相交，但投影的交点不符合点的投影规律，故EF和GH不相交。点击2次§2-5两直线的相对位置例2-3试判断两直线AB和CD是否相交。解：

25

各投影的交点不符合点的投影规律，所以两直线不相交。点击1次§2-5两直线的相对位置

例2-4已知平行两直线AB、CD，试作一直线KL与AB、CD都相交，且该直线距H面为10。

解：

26点击后自动演播§2-5两直线的相对位置

若两直线既不平行也不相交，那必然是交错两直线，也称交叉两直线，即异面直线。下面这些都是交错直线。27

交错直线同面投影的交点是两直线上一对重影点的投影，对此重影需进行可见性判断。三、两直线交错§2-5两直线的相对位置

例2-5试判断交错两直线AB、CD之重影的可见性。

解：

28已知点击后自动演播yⅡ＞yⅠ，所以2'可见，1'不可见。zⅣ>zⅢ，所以4可见，3不可见。§2-6一边平行于投影面的直角的投影

当相交两直线平行于同一投影面时，则它们在该投影面上的投影，反映两直线夹角的真实大小。而当它们都是任意倾斜状态时，两直线间的夹角通常情况下不能在其投影上如实反映出来。

29§2-6一边平行于投影面的直角的投影

对于互相垂直的二直线，只要其中之一平行于某个投影面，那么，它们在那个投影面上的投影就反映垂直关系。逆定理也成立。

30

直角投影法则:点击1次31§2-6一边平行于投影面的直角的投影证明：AB∥H，∴

AB⊥Bb

又

AB⊥BC，∴

AB⊥BbcC又

ab∥AB，∴ab⊥BbcC,∴ab⊥bc即

∠abc=90°§2-6一边平行于投影面的直角的投影

直角投影法则不仅适用于相交垂直的两直线，也适用于交错垂直的两直线。下面都是符合直角投影法则的投影图。32§2-6一边平行于投影面的直角的投影

例2-6试补全矩形ABCD的两面投影图。

解：33动画已知求解过程看动画§2-6一边平行于投影面的直角的投影

例2-7已知点A和水平线BC的投影，试求点A至直线BC的距离。

解：34动画ΔΔ§2-7直线的辅助投影

作辅助投影的目的：辅助投影或者它能表明形体的真实形状、大小，或者它能简化某些空间几何问题的求解。

35

为求直线的辅助投影，只需求出直线上两个点的辅助投影，将它们连接起来就得到了直线的辅助投影。

点击2次36

在第一章里已经解决了点的辅助投影的求法，本章需要解决的问题是如何设置辅助投影面。设置辅助投影面的原则是：辅助投影面一定要垂直于原有两面体系中的一个投影面，且使辅助投影有利于解决预定的问题。辅助投影面的设置在投影图上表现为如何选择辅助投影轴。如何选择辅助投影轴才能使辅助投影满足解决问题的需要？下面就围绕这个目标举出一些例子。§2-7直线的辅助投影§2-7

直线的辅助投影

例2-8求任意倾斜线段AB

的实长及水平倾角α。

37

解：AB平行于V时其正面投影才能反映线段的实长和对H投影面的倾角，所以需要建立V1辅助投影面垂直于H并平行于AB，于是在投影图上就应为O1X1与ab平行。点击后自动演播TL§2-7直线的辅助投影

例2-9求点C到正平线AB的距离。

38

解：当AB的投影积聚成一点时，C到AB的距离可在投影图上直接量出。为此，应建立H1投影面使垂直于V和AB，投影图上就表现为作O1X1垂直于a'b'。下页作图§2-7直线的辅助投影39点击3次§2-7直线的辅助投影

例2-10求点C

到任意倾斜直线AB的距离。40二、直线的复辅助投影§2-7直线的辅助投影

解：任意倾斜直线不能一次作出积聚成点的辅助投影，根据上例，应先建立辅助投影面使AB在新投影面体系中成为投影面平行线，然后再第二次建立辅助投影面，使AB成为第二个新投影面体系中的投影面垂直线，这时点C到AB的距离即可直接反映出来。41

平面42

§3-1平面的投影表示法

在投影图上表示平面有两种方法：

（1）用平面上几何元素（如点、线、图形）的投影来表示；

（2）用平面与投影面的交线（称为迹线）来表示。43§3-1平面的投影表示法44

一、平面的几何元素表示法

§3-1平面的投影表示法45

二、平面的迹线表示法

平面与投影面的交线称为迹线，不平行于任一投影面的平面有三条迹线，它们分别叫水平迹线（PH）、正面迹线（PV）、侧面迹线（PW）。

§3-2各种位置平面的投影46

点击2次

这里说的“位置”其实是指平面在投影面体系中对于投影面的放置状态，并非指平面对投影面的远近、高低等线性度量关系。

一、平面的倾角

两平面间的夹角由平面角来度量。§3-2各种位置平面的投影47

平面对投影面的夹角特称倾角。对H、V、W的倾角用α、β、γ表示。§3-2各种位置平面的投影

48

二、按平面对投影面的倾斜状态划分平面类型

1.投影面平行面2.投影面垂直面3.任意倾斜平面§3-2各种位置平面的投影

三、各类平面的投影特征

1.投影面平行面

49

水平面（∥H）正平面（∥V）侧平面（∥W）点击1次§3-2各种位置平面的投影

平面平行于哪个投影面，它与该投影面的倾角即为0，它在该投影面上无迹线，投影反映该面上平面图形的实形；平面与另两个投影面必垂直，其投影与迹线重合，方向平行于相应的投影轴，且有积聚性。50§3-2各种位置平面的投影

三种投影面平行面的投影图如下：51迹线平面平面图形

水平面

正平面

侧平面点击3次§3-2各种位置平面的投影

2.投影面垂直面

铅垂面（⊥H）正垂面（⊥V）侧垂面（⊥W）

52§3-2各种位置平面的投影

垂直于某个投影面的平面，在该投影面上的投影积聚为斜的直线，且与投影轴的夹角反映出平面与另两个投影面的倾角；平面以平面图形表示时，它的另两个投影为相仿形。53积聚相仿相仿点击后自动演播§3-2各种位置平面的投影54

平面图形非退化的平行投影，是原图形的相仿形，所以相仿形是平行投影的产物，它保持了图形中的平行性、定比性、边数相同、凸凹性不变等重要特征。§3-2各种位置平面的投影55

三种投影面垂直面的投影图如下：迹线平面平面图形

侧垂面正垂面

铅垂面点击3次§3-2各种位置平面的投影56

3.任意倾斜平面

任意倾斜平面对三个投影面都倾斜，在各投影面上的投影都不积聚，也不反映平面图形的实形，而成为原图形的相仿形。相仿形点击1次§3-3平面上的直线和点57

一、平面上的直线和点

1.面内（上）的直线

过面内两点的直线属于已知平面（如直线ⅠⅡ）；

过面内一点且平行于面内另一直线的直线属于该平面（如直线ⅠⅢ）。点击2次§3-3平面上的直线和点58

2.面内（上）的点

点在平面的一条直线上，则点属于该平面。Ⅰ点在AB上，Ⅱ点在AC上，所以它们都属于ABC；连接ⅠⅡ，则直线ⅠⅡ属于ABC；

K点在ⅠⅡ直线上，所以它属于ABC。但L点在不在平面上？点击后自动演播§3-3平面上的直线和点59

3.判别点是否在平面上

对于特殊类型的平面，只要点的一个投影与面的同面积聚投影相重合，点一定属于平面。点击1次§3-3平面上的直线和点60L点没有与平面上的直线相联系，故不能认定是否在平面上。点击1次

3.判别点是否在平面上

而对于任意倾斜平面，则需要利用面内的辅助线进行检查，符合点属于线、线属于面的规律，才能确定点属于面。§3-3平面上的直线和点614.在面内作点

一般需要在面内作辅助直线。

例3-1

K属于ABC平面，已知k，求k'。

解：过点在面内作辅助直线AK，k'在AK的正面投影上。动画§3-3平面上的直线和点62

例3-2

已知五边形ABCDE上A、D、E三点的两投影及另两点B、C的正面投影，要求补全五边形的水平投影。

下页解答§3-3平面上的直线和点

解：问题的实质是面内作点。A、D、E确定了五边形所在的平面，B、C是该面内的点，利用面内辅助直线可求出其水平投影。最后连成五边形的水平投影。63点击后自动演播§3-3平面上的直线和点

例3-3

在ABC平面上作出距H面为3个单位的水平线。

64

解：先作出高度为3单位的水平线KL的正面投影k'l'，根据面内直线应通过面内的点，再求出水平线的水平投影kl。动画点击1次§3-3平面上的直线和点65

例3-4

AB∥CD，点E是该面上的点，已知其水平投影e，试过点E作直线KL，使其平行于AB和CD。

解：先求出点E的正面投影e'，过e和e'按平行直线的投影特性作出kl和k'l'。点击后自动演播§3-3平面上的直线和点66

二、平面上的投影面平行线

(1)各种类型的平面内都存在有三个投影面的平行线；

(2)投影面平行面上的任何直线都是投影面平行线；

(3)任意倾斜平面和投影面垂直面上同一投影面的平行线是同面迹线的平行线，且彼此间互相平行，它们的同面投影保持平行。

§3-3平面上的直线和点67

在非迹线表示的平面上作投影面平行线，可先画它的平行于投影轴的投影，然后按面内直线的作图要求画出它的其余投影。

作面内水平线时先画正面投影

作面内正平线时先画水平投影点击后自动演播§3-3平面上的直线和点68

三、平面的最大斜度线

小球从P面上自由滚下，其路径AK是面上倾角最大的直线，其方向垂直于水平迹线。画法几何中把面上垂直于迹线的直线叫最大斜度线。对H面的最大斜度线特称最大坡度线。

动画§3-3平面上的直线和点69

平面上对某个投影面的最大斜度线，其相应的倾角反映了平面对该投影面的倾角。所以可通过求最大斜度线相应倾角的办法求出平面的倾角。点击后自动演播§3-4平面的辅助投影70

一、平面的辅助投影

作出确定平面的几何要素的辅助投影，就求出了平面的辅助投影。本节需要解决的问题仍是如何选择辅助投影面，即在投影图上怎样摆放辅助投影轴。

§3-4平面的辅助投影71点击后自动演播

例3-5

△ABC

位于铅垂面内，求作其实形。

解：建立平行于△ABC的V1辅助投影面，作出三角形在它上面的新投影，即得所求。去35页§3-4平面的辅助投影

例3-6

求平面ABC的水平倾角。

72

解：在面内作对H面的最大坡度线，求出它的水平倾角即得到平面的水平倾角。这里改变一条思路：如果平面是正垂面，则平面的正面投影将积聚成直线，且直接反映出水平倾角。现在ABC不是正垂面，但通过建立辅助投影面可以使它在新投影面体系中成为正垂面。去35页下页演示作图过程§3-4平面的辅助投影73点击后自动演播去35页

在面内作水平线AD，建立V1投影面垂直于AD,则V1能与H组成新的二投影面体系，这时ABC是新体系中的正垂面，作出ABC在V1面上的投影，则可直接获得水平倾角。§3-4平面的辅助投影

二、平面的复辅助投影

例3-7

求任意倾斜平面△ABC的实形。

74

解：新投影面若平行于ABC，则新投影能反映实形。但与ABC平行的平面也是一般斜平面，它不能与原有的投影面组成新的投影面体系。所以这个问题可分两步进行：下页演播作图过程§3-4平面的辅助投影75

（1）仿照例3-6的办法设置辅助投影面使ABC成为新的投影面垂直面；

（2）仿照例3-5的办法设置辅助投影面使ABC成为新的投影面平行面。点击后自动演播76直线与平面、平面与平面的相对位置§4-1直线与平面、平面与平面平行

一、直线与平面平行

如果平面外一直线平行于平面上的任一直线，则该直线平行于该平面，如下图。77§4-1直线与平面、平面与平面平行

在投影图上，对于投影面垂直面，只要空间直线的一个投影与平面的相应积聚投影平行，则直线与平面就彼此平行，如图。

78§4-1直线与平面、平面与平面平行

79

二、平面与平面平行

如果某一平面上的相交两直线，分别平行于另一平面上的相交两直线，则这两个平面互相平行。§4-1直线与平面、平面与平面平行80

例4-1

试检验图示的平面△ABC和□DEFG是否平行。

解：

检查作图结果，符合两面平行的条件点击后自动演播§4-1直线与平面、平面与平面平行81

如果被检验的两平面，是同一投影面的垂直面，则只需视其积聚投影是否平行即可。

同面积聚投影平行，两铅垂面平行同面积聚投影不平行，两铅垂面不平行点击2次§4-1直线与平面、平面与平面相交82

直线与平面不平行，则一定相交于一点。

平面与平面不平行，则一定交于一直线。

点击2次§4-2直线与平面、平面与平面相交

直线与平面相交—求交点平面与平面相交—求交线

交点和交线是相交双方的共有元素，所以相交的问题首先是求共有元素。

另外，在画法几何中平面图形通常被当作是不透明的，所以在投影图中还要表明直线被平面遮挡以及平面与平面互相遮挡的情况，即判断其投影的可见性。

求共有元素和判断可见性的方法，与相交元素相对于投影面的倾斜状态有关。83

§4-2直线与平面、平面与平面相交84

一、参与相交的元素中有积聚投影的情况

直线与平面或平面与平面相交的投影图中有积聚投影时，交点或交线的一个投影一定包含在该积聚投影中。根据交点或交线是相交元素所共有这一条件，便能直接从积聚投影中得出交点或交线的一个投影，而另一投影则可由此求得。可见性也可根据积聚投影直接加以判断。§4-2直线与平面、平面与平面相交85

例4-2

试求直线MN

和△ABC

的交点K，并判断直线投影的可见性。

解：△ABC

是铅垂面，水平投影有积聚性，…点击后自动演播§4-2直线与平面、平面与平面相交

同一投影面的两垂直面相交，两平面积聚投影的交点，就是它们的交线的积聚投影。该交线垂直于两已知平面所垂直的投影面。右图中交线KL为铅垂线，平面各部分的可见性可通过观察两平面的积聚投影的相对位置予以判断。86

动画§4-2直线与平面、平面与平面相交

任意倾斜平面与投影面垂直面相交，交线KL的水平投影kl是铅垂面的具有积聚性的水平投影的一部分。

从水平投影中可以看出：△abc位于交线投影kl右前方的部分，在正面投影中是可见的。87

动画点击1次§4-2直线与平面、平面与平面相交

当铅垂面用迹线PH表示时，因迹线平面没有明确的范围，所以也可模糊区分可见性。88

§4-2直线与平面、平面与平面相交

二、参与相交的元素中均无积聚投影的情况

任意倾斜的直线与平面或平面与平面相交时，因各投影都没有积聚性，所以它们的共有元素(交点或交线)不能从投影图中直接确定。此时常用的解决办法，是引入一个能产生积聚投影的辅助平面（投影面垂直面或投影面平行面）作为媒介，从而作出所求的共有元素。这种方法可称为辅助平面法。可见性问题，也因原投影图中没有积聚投影可以利用，通常要借助交错直线的重影点来解决。89

§4-2直线与平面、平面与平面相交

1.任意倾斜直线与任意倾斜平面相交

90

利用辅助平面求交点的方法：包含已知直线MN作辅助铅垂面P，则P与△ABC就构成右图所示的情况，可直接作出它们的交线ⅠⅡ，此交线与同属辅助平面P的已知直线MN相交于一点K，点K就是已知直线与平面的交点。动画§4-2直线与平面、平面与平面相交91

点击3次

（1）包含已知直线MN作辅助铅垂面P

；

求任意倾斜直线MN与任意倾斜平面△ABC交点K的作图三步骤：

（2）求辅助平面P与已知平面

△ABC的交线DE（de，d'e'）；

（3）直线MN与交线DE的交点K（k，k′）即为所求的交点；动画§4-2直线与平面、平面与平面相交92

点击后自动演播

上例，利用交错直线的重影点判断直线各段的可见性:§4-2直线与平面、平面与平面相交93

上例，利用交错直线的重影点判断直线各段的可见性:点击后自动演播§4-2直线与平面、平面与平面相交

2.两任意倾斜平面相交

在相交两平面都是任意倾斜的情况下，不能直接确定其交线，也要借助于辅助平面。两平面的交线是一条直线，只要求得直线上的两点即可确定该交线，而这些点可以看作是一个平面上的直线与另一平面的交点。这样便把求平面与平面的交线问题，转化为求直线与平面的交点问题。

94

§4-2直线与平面、平面与平面相交

下图表示求两任意倾斜平面△ABC与△DEF的交线KL的作图过程以及判断可见性的方法。

95

已知求DF与ABC的交点K求DE与ABC的交点L，并连KL点击2次§4-2直线与平面、平面与平面相交96

动画判别可见性判别可见性整理成图点击3次§4-2直线与平面、平面与平面相交

由以上作图可知：在求直线与平面的交点时所选择的两条直线，位于同一平面上还是分别在两个平面上，对最后结果没有影响；判断各投影的可见性，需分别进行，各投影中皆以交线投影为可见与不可见的分界线，在分界线的任何一侧只需选一重影即可。另外，由于作图线较多，为避免差错，对作图过程中的各点最好加以标记。97

§4-2直线与平面、平面与平面相交

求相交两平面的共有点，除利用直线与平面的交点外，还可利用三面共点的原理来作出属于两平面的共有点。

98

作辅助平面P，此平面与两已知平面交出直线AB和CD，它们的交点K就是两已知平面的共有点。同法可作出另一共有点L。直线KL就是两已知平面的交线。§4-2直线与平面、平面与平面相交

通常以水平面或正平面作为辅助平面。下图无需判断可见性。99

动画§4-3直线与平面、平面与平面垂直

直线与平面垂直、平面与平面垂直，是相交的特殊情况。

100

一、直线与平面垂直

一直线如果同时垂直（含相交垂直和交错垂直）于平面上的相交两直线，则该直线与平面垂直。

MN垂直于平面P

MN垂直于平面P

MN不垂直于平面P

点击3次§4-3直线与平面、平面与平面垂直

反之，若直线垂直于平面，则该直线垂直于平面上的所有直线，当然也包括于平面上的投影面平行线。图中直线AK垂直于平面P，垂足是点K

。过垂足K在平面P上作水平线BC和正平线DE。则，直线AK垂直于BC和DE。101

§4-3直线与平面、平面与平面垂直

但根据直角投影法则，在水平投影中ak应垂直于bc或PH；在正面投影中a'k'应垂直于d'e'或PV。结论：垂直于一平面的直线，其投影垂直于该平面上投影面平行线的相应投影，因而也垂直于该平面的同面迹线。

102

§4-3直线与平面、平面与平面垂直

例4-3

过△ABC外一点M，作直线MN垂直于该平面。

解：作平面内的水平线AD和正平线CE，则mn应垂直于ad，m'n'应垂直于c'e'。103

动画点击后自动演播§4-3直线与平面、平面与平面垂直

例4-3

过△ABC外一点M，作直线MN垂直于该平面。

解：作平面内的水平线AD和正平线CE，则mn应垂直于ad，m'n'应垂直于c'e'。104

动画点击后自动演播§4-3直线与平面、平面与平面垂直

如果已知平面是特殊位置平面，则过已知点所作的垂线也必定是特殊位置直线。例如：105

铅垂面的垂线是水平线正垂面的垂线是正平线正平面的垂线是正垂线§4-3直线与平面、平面与平面垂直

例4-4

已知直线MN及直线外一点A，试过点A作一平面，使该平面与已知直线MN相垂直，并求出垂足K。

106

点击2次§4-3直线与平面、平面与平面垂直107

例4-4

已知直线MN及直线外一点A，试过点A作一平面，使该平面与已知直线MN相垂直，并求出垂足K。

解：

动画点击后自动演播§4-3直线与平面、平面与平面垂直108

例4-4

已知直线MN及直线外一点A，试过点A作一平面，使该平面与已知直线MN相垂直，并求出垂足K。

解：

动画点击后自动演播§4-3直线与平面、平面与平面垂直

二、平面与平面垂直

如果某平面包含一条垂直于另一平面的直线，则该两平面互相垂直。

109

直线KL⊥平面Q，则包含KL直线的所有平面如P1、P2、P3等，都垂直于平面Q。反之，与平面Q垂直的任何平面，如P1，一定包含有与平面Q垂直的直线，如KL。§4-3直线与平面、平面与平面垂直

例4-5

试过点M作平面垂直于△ABC平面。

110

2.包含此直线任作一平面，则所作平面必与已知平面垂直。包含直线MN的平面MND、MNE、MNF都垂直于已知平面△ABC。

解：

1.过点M作一直线垂直于已知平面（MN⊥△ABC

）。点击2次

111多面体

§5-1棱柱和棱锥

由若干平面所围成的立体称为多面体，多面体的每个表面都是平面多边形。最常见的多面体是棱柱、棱锥和棱台。112点击1次

一、棱柱

在一个多面体中，如果有两个面相互平行，而其余每相邻两个面的交线都相互平行，这样的多面体称为棱柱。两互相平行的面叫底面，其余的面叫棱面，相邻两棱面的交线叫棱线。棱线垂直于底面的棱柱称为直棱柱，棱线与底面斜交的称为斜棱柱。底面是正多边形的直棱柱称为正棱柱。

§5-1棱柱和棱锥113

下图是正五棱柱在三个投影面上的投影。图中五棱柱的底面平行于H面，后面的棱面平行于V面。§5-1棱柱和棱锥

下图是斜三棱柱及其在两投影面上的投影，该棱柱的底面为水平面，棱柱向上、向右、向前倾斜。

114§5-1棱柱和棱锥

二、棱锥

如果多面体有一个面是多边形，其余各面是具有一个公共顶点的三角形，这样的多面体称为棱锥。这个多边形是棱锥的底面，各个三角形就是棱锥的棱面。如果棱锥的底面是一个正多边形，而且顶点与正多边形底面的中心的连线垂直于该底面，这样的棱锥就称为正棱锥。

115§5-1棱柱和棱锥

下图是正三棱锥及其三面投影图。图中三棱锥的底面平行于H面，其后面的棱面垂直于W面。116§5-1棱柱和棱锥

三、棱台

棱锥被平行于其底面的平面截割，截面与底面间的部分为棱台。所以，棱台的两个底面彼此平行且相似，所有的棱线延长后相交于一点。

右图是以矩形为底面的四棱台的水平投影和正面投影。

117§5-1棱柱和棱锥118

这里展示出根据已知棱台的两投影作出其侧面投影的情况。

点击后自动演播§5-1棱柱和棱锥119

这里展示出根据已知棱台的两投影作出其侧面投影的情况。

点击后自动演播§5-2多面体表面上的点

根据立体表面上点的一个投影，利用面内定点的方法，可以作出它的其他投影。凡是在投影图中位于立体可见面上的点都是可见的，否则是不可见的。120

例5-1

已知三棱柱ABC表面上点D的水平投影和点E的正面投影，求作它们的其余两投影。

解：点击后自动演播§5-2多面体表面上的点

根据立体表面上点的一个投影，利用面内定点的方法，可以作出它的其他投影。凡是在投影图中位于立体可见面上的点都是可见的，否则是不可见的。121

例5-1

已知三棱柱ABC表面上点D的水平投影和点E的正面投影，求作它们的其余两投影。

解：点击后自动演播§5-2多面体表面上的点

例5-2

已知三棱锥SABC的两投影sabc和s'a'b'c'，以及该立体表面上的点D的正面投影d'，试作出该三棱锥的侧面投影和点D的其余两投影。122点击后自动演播§5-2多面体表面上的点

例5-2

已知三棱锥SABC的两投影sabc和s'a'b'c'，以及该立体表面上的点D的正面投影d'，试作出该三棱锥的侧面投影和点D的其余两投影。

解：123点击后自动演播§5-2多面体表面上的点

例5-3

已知斜四棱柱ABCD的两投影及其表面上线段EFG的水平投影efg，求作该线段的正面投影e'f'g'。

解：124点击后自动演播§5-2多面体表面上的点

例5-3

已知斜四棱柱ABCD的两投影及其表面上线段EFG的水平投影efg，求作该线段的正面投影e'f'g'。

解：125点击后自动演播§5-3平面与多面体表面相交截平面、截交线、截断面:

平面与立体相交，在立体表面上产生交线。与立体相交的平面称为截平面，所产生的交线就叫截交线。截平面截切立体所得的由截交线围成的图形则称为截断面或断面。

126

截交线是封闭的多边形。多边形的各边是截平面与多面体棱面及底面的交线，多边形的各顶点则是截平面与多面体棱线和底边的交点。求作平面与多面体截交线的问题可归结为求多面体棱线及底边与截平面的交点问题，或求多面体棱面及底面与截平面的交线问题。动画点击1次§5-3平面与多面体表面相交

一、特殊位置截平面与多面体相交

当截平面处于特殊位置时，截平面的具有积聚性的投影必与截交线在该投影面上的投影重合。这相当于知道了截交线的一个投影，其余的投影可用表面定点的方法作出。127

例5-4

已知五棱柱和垂直于V面的截平面P，求作被截后棱柱的三面投影和截断面的实形。

解：看动画动画§5-3平面与多面体表面相交128

注意:棱柱被截后，侧面投影中b"5"和b"1"这两段图线应予除去；棱线投影a"4"应画成虚线。

提示:求截断面实形时，是以截断面投影的边线23和截断面实形的边线2131作为基准线进行作图的。

§5-3平面与多面体表面相交

例5-5

已知正三棱锥SABC和水平面P、正垂面Q，求作此三棱锥被P、Q两平面截割后的三面投影图。

解：

129动画点击后自动演播§5-3平面与多面体表面相交

例5-5

已知正三棱锥SABC和水平面P、正垂面Q，求作此三棱锥被P、Q两平面截割后的三面投影图。

解：

130点击后自动演播§5-3平面与多面体表面相交

二、任意倾斜截平面与多面体相交

当截平面处于任意倾斜状态时，通常可作出多面体各棱线和底边与截平面的交点，然后连成截交线。131

例5-6

求作一般位置截平面△DEF与三棱锥SABC的交线。§5-3平面与多面体表面相交132

提示:可作出辅助投影使截平面的辅助投影积聚成直线。求出棱锥棱线及底边与截平面的交点，即可连成截交线。最后，要分清投影中各线段的可见性。

§5-4直线与多面体表面相交

直线与多面体表面相交，产生交点，称为贯穿点。对于凸多面体来说，有两个贯穿点。

一、直线或多面体表面的投影具有积聚性的情况

当直线与多面体表面相交而多面体表面的投影具有积聚性时，则在具有积聚性的那个投影上，可直接定出贯穿点的一个投影。

133

例5-7

作出直线AB与四棱柱CDEF的贯穿点。

解：看动画

动画§5-4直线与多面体表面相交134

例5-8

已知三棱锥SABC和正垂线DE的三投影，求作贯穿点。

解：贯穿点K、M的V投影与直线的V投影重合，利用表面定点可作出它们的其余投影。§5-4直线与多面体表面相交

二、直线和多面体表面的投影均无积聚性的情况

在直线和多面体表面的投影均无积聚性的情况下，解决问题的思路跟求直线与平面的交点问题时一样，要过已知直线作辅助平面，作出辅助平面与多面体表面的截交线，已知直线与截交线的交点就是所求的贯穿点。可以用投影面垂直面作为辅助平面。135

例5-9

作出直线DE与三棱柱ABC的贯穿点。§5-4直线与多面体表面相交

提示:本例选用过直线DE作的正垂面

R为辅助面。

136动画

例5-9

作出直线DE与三棱柱ABC的贯穿点。

解：看动画§5-5两多面体表面相交

一、概述

两立体表面相交，产生交线，称为相贯线。立体相交的问题主要就是作出它们的相贯线。全贯:

一个立体全部贯穿另一个立体互贯:

两个立体互相贯穿137点击1次§5-5两多面体表面相交

两个凸多面体相贯，在一般情况下，相贯线是封闭的空间折线，也可能是平面多边形。全贯时，通常有两条相贯线；互贯时，则有一条相贯线。特殊情况下相贯线可能是不封闭的。求两多面体相贯线的问题可归结为求直线与平面的交点和求两平面交线的问题。

注意:两立体相贯后应把它们视为一个整体，因而一立体位于另一立体内的部分是不存在的，不应画出。138相贯线不封闭

§5-5两多面体表面相交

二、作图举例

例5-10

已知三棱锥SABC和三棱柱DEF的三投影，求作它们的相贯线。

（解题过程请翻页看动画）139§5-5两多面体表面相交140动画§5-5两多面体表面相交

例5-11

作出三棱锥SEFG与四棱柱ABCD的相贯线。141动画

解：看动画§5-5两多面体表面相交

利用图解展开图进行连点和区分相贯线各段可见性的方法:

将棱柱各棱面的展开示意图竖直地画出，该图是假定沿棱柱的B棱剖开后画出的，所以图中B棱出现两次；将棱锥的展开示意图横着叠画在棱柱的展开图上。然后把求得的点画到这个图的棱线和对应的棱面上。连点时只有位于同一四边形格子内的点才能相连。利用该图还能判别可见性。142动画§5-6同坡屋顶画法

在坡屋顶中，如果每个屋面对水平面的倾角相同，而且房屋四周的屋檐同高，那么，由这种屋面所构成的屋顶称为同坡屋顶。

143§5-6同坡屋顶画法同坡屋顶具有下列一些特点：(1)如屋檐平行的两屋面相交，它们一定相交于水平的屋脊，其水平投影与两屋檐的水平投影等距。(2)凡是屋檐相交的两屋面必相交于倾斜的屋脊或天沟，其水平投影应通过两屋檐水平投影的交点而且是它们的角平分线。如果两屋檐正交，则在水平投影中斜脊或天沟成为与屋檐成45°角的直线。(3)当屋顶上有两条交线时，表明这是由三个平面相交而得出的，而三相交平面的三条交线必共点，所以过两交线的交点一定有第三条直线存在。当相邻两屋檐相交成直角时，连续三条屋檐中必有两条屋檐相互平行，所以在一般情况下，上述三条交线中一定有一条是水平的屋脊，另两条为倾斜的斜脊或天沟。144§5-6同坡屋顶画法

例5-12

已知同坡屋顶四周屋檐的水平投影及各屋面的水平倾角α，试作出该同坡屋顶的水平投影和正面投影。

解：看动画145动画点击2次§5-6同坡屋顶画法146错误画法

147点

§1-1点在两投影面体系中的投影

一、点的投影

空间点在投影面上的投影仍是点。在正投影中只有点的一个投影不能确定该点在空间的位置。148

规定：表示空间的点用大写字母标记，如A；表示点的投影用相应的小写字母标记，如a

。动画

从本章起，如不特别声明，讲到“投影”，一律是指正投影。点击1次§1-1点在两投影面体系中的投影

多面正投影法中，至少要用两个互相垂直的投影面，构建两投影面体系，作出点的两个投影，来确定该点在空间的位置。149点击1次

二、两投影面体系及空间直角坐标系§1-1点在两投影面体系中的投影

150

水平放置的投影面称为水平投影面，常标以“H”。

竖直放置的与H

面垂直的投影面称为正立投影面，常标以“V”。

点击2次

二、两投影面体系及空间直角坐标系§1-1点在两投影面体系中的投影

二、两投影面体系及空间直角坐标系

151

H面和V面构成两投影面体系（简称两面体系），它包含了确定空间点所必须的三个向度，即左右、前后、上下三个方向上的尺度。

在两投影面体系中建立空间直角坐标系,空间点的位置用三个坐标（x，y，z）表示。

点击1次§1-1点在两投影面体系中的投影

152

投影面是可以无限扩展的，若把H面向后、V面向下扩展出H0

和V0

，整个空间便被分成了四部分，每一部分称为一个分角，依次编为第Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ分角。点击1次

二、两投影面体系及空间直角坐标系§1-1点在两投影面体系中的投影

三、点的两面投影及其投影图画法

153

将点A

放在第Ⅰ分角中进行投射，向H面投射得a，称为点A

的水平投影或H

面投影。将点A向V

面投射得a′，称为点A

的正面投影或V

面投影。

动画§1-1点在两投影面体系中的投影

三、点的两面投影及其投影图画法

154

画法几何中规定：标记V

面投影，要在小写字母的右上角加一撇，如a′；H面投影则不加一撇，如a

。

点A在空间的位置被其两个投影a和a′唯一确定，因为两个投影反映了三个方向的坐标(xA，yA，zA)。点A可表述为A(a，a′)。

§1-1点在两投影面体系中的投影

三、点的两面投影及其投影图画法

155

画投影图时，需要把互相垂直的两个投影面展开成一个平面。画法几何规定两面体系的展开方法是：V

面不动，H

面绕OX

轴向下旋转90°角。动画§1-1点在两投影面体系中的投影

156

由于投影面是无限大的，在投影图中毋须画出其边界线。

投影面展开后，点A的两投影a和a′处于同一条垂直于OX

轴的直线上，此线称为投影连线，即

a

a′⊥OX。

点击3次§1-1点在两投影面体系中的投影

点的两面投影规律：

157

(1)两投影的连线垂直于投影轴，即aa′⊥OX

。

(2)空间点的某一投影到投影轴的距离，等于该点到另一投影面的距离,即

aaX=Aa′=yA，a′aX=Aa=zA

。点击3次§1-1点在两投影面体系中的投影

158

例1-1

点A

的坐标xA、yA、zA

分别为5、3、4个单位，试画出点A的两面投影图。分时点击3次

解：§1-1点在两投影面体系中的投影

例1-2

159

试画出例1-1中点A

的立体示意图。

点击1次§1-2点在三投影面体系中的投影

确定点在空间的位置，如前所述，有两个投影就够了。但对于一些较复杂的形体，只有两个投影往往不能确定其形状。解决的办法是设置第三个投影面，构建三投影面体系，作出形体的第三个投影。160§1-2点在三投影面体系中的投影

一、三投影面体系的建立

在两面体系的基础上，包含OY

轴和OZ

轴作出第三个投影面—侧立投影面（简称侧面），又称W

面。W

面与H、V

面相互垂直并一起构成三投影面体系，简称三面体系。W

面能反映前后、上下两个方向的尺度。

161§1-2点在三投影面体系中的投影

二、八个卦角

在扩展H、V

面的基础上，再扩展W

面，得到V

面后的W

面的扩展部分W0，从而把空间分成八个卦角（也称卦限）。W、W0

面的左方为第Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ

卦角，右方为第Ⅴ、Ⅵ、Ⅶ、Ⅷ卦角，投影轴的指向即坐标轴的正方向。

162点击1次§1-2点在三投影面体系中的投影

三、点的三面投影

把点A放在第Ⅰ卦角中进行投射。在H、V

面上得到了a、a′，又从左向右投射，在W

面上得到点A的第三投影a″，称为侧面投影或W

面投影。a″反映了点A的y和z坐标，即a″（yA，zA）。163动画§1-2点在三投影面体系中的投影

三、点的三面投影

a′aZ=aaY=Aa″=xA，反映点A到W

面的距离；

a″aZ=aaX=Aa′=yA，反映点A到V

面的距离；

a″aY=a′aX=Aa=zA，反映点A到H

面的距离。

用三个投影表达点A

的位置时，可写成A（a，a′，a″）。164点击4次§1-2点在三投影面体系中的投影

三、点的三面投影

与两面体系一样，实际画投影图时需要把三个投影面展开成一个平面。V

面不动，H

面绕OX

轴向下旋转90°角，W

面绕OZ

轴向右旋转90°角。此时OY

轴被“一分为二”，随H

面的轴记为OYH，随

W

面的轴记为OYW

。

165点击1次§1-2点在三投影面体系中的投影

三、点的三面投影

给出空间点的三个坐标，就可按前述点的投影规律画出点的三面投影图；反之，由点的三面投影图应能想象出点的空间的位置。点在三投影面体系中的位置有：在各卦角间、在各投影面内和在各投影轴上等情况，它们都遵守相同的投影规律。

166点击2次§1-2点在三投影面体系中的投影

四、由点的两个投影求作第三投影

167

分析点A的三个投影a(xA,yA)、a'(xA,zA)、a"(yA,zA)可知，三个投影中的任意两个，都包含有确定该点空间位置所必需的x、y、z

三个坐标，因此，由点的两个投影可以作出第三投影。点击1次§1-2点在三投影面体系中的投影例1-3

如图所示，已知点A的两个投影a及a′，求作a″。

168已知点击2次求解—利用分规量距离求解—利用圆规画弧§1-2点在三投影面体系中的投影例1-3

如图所示，已知点A的两个投影a及a′，求作a″。

169求解—利用45°分角线或45°上斜线作图点击后自动演播§1-3两点的相对位置和无轴投影图

一、两点的相对位置

通常判别两个点在空间的相对位置，是将其中一点作为基准点，判断另一点（即比较点）在基准点之左（或右）、之前（或后）、之上（或下）多少距离。反映在投影图中，是在确定了基准点的前提下，找出两点在同一投影面上投影的同名坐标值的代数差Δx、Δy、Δz。

170§1-3两点的相对位置和无轴投影图例1-4已知两点的投影，试判断两点的相对位置。

解：

选定A(a,a′,a″)为基准点，B

为比较点，则有：Δx为正值，点B

在点A

之左；Δy为负值，点B

在点A

之后；Δz为正值，点B

在点A

之上。

171一、两点的相对位置点击2次§1-3两点的相对位置和无轴投影图二、点的重影及其可见性判断

172

当空间两点处在对某一投影面的同一条投射线上时，它们在该投影面上的投影便重合在一起。空间的这些点，称为对该投影面的重影点，重合在一起的投影称为重影。右图中，点A、B

是对H

面的重影点，a、b

则是它们的重影。点击1次§1-3两点的相对位置和无轴投影图二、点的重影及其可见性判断

173

在投影图中需要判断并标明重影的可见性，即标明沿投射方向“看”去，哪个点的投影是可见的，哪个点的投影是被遮挡而不可见的。重影a、b的可见性是从V面（或W

面）上的投影判断出来的：a'高于b'，所以a

可见，b不可见。通常在不可见的投影标记上加上括号。

点击1次§1-3两点的相对位置和无轴投影图

三、无轴投影图

174

在辨认两点的相对位置时，起重要作用的是两点同面投影的坐标差，而与投影轴的位置无关。因此，对于不涉及点到投影面距离的作图问题，便可不画出投影轴。这种图就称为无轴投影图。点击1次§1-3两点的相对位置和无轴投影图

例1-5已知点A

的三个投影，如图所示，有一点B

在其右3、其前3、其下2个单位处，试画出点B

的三个投影。

解：Δx=-3,Δy=3,Δz=-2,…175点击1次§1-4点的辅助投影176

对于复杂的形体常需设置侧立投影面W，画出形体在W

面上的投影，以便更充分、准确地表明形体的形状。

用H、V

和W

各面投影仍不足以准确表明形体的形状时，可以设置只与已知两投影面体系中的一个投影面相垂直的辅助投影面，作出形体在辅助投影面上的投影，称之为辅助投影。点击1次辅助投影面§1-4点的辅助投影

一、点的辅助投影

177

在基本的

两投影面体系V/H中，有一个点A(a,a')

。设置一个与H投影面垂直的辅助投影面

V1。V1面与H面交于O1X1。O1X1

称为辅助投影轴。V1面和H面也构成一个两投影面体系。将A点向V1

面作正投影，得V1面上的投影a'1，a'1

是A点的辅助投影。动画点击1次§1-4点的辅助投影

一、点的辅助投影

178

有两个两投影面体系，一个是原有的体系(V/H

)，其投影轴是OX;另一个是新设置的体系(V1/H),

其投影轴是辅助投影轴O1X1，它们共有投影面H。

O1X1的位置视辅助投影面V1的位置而定。辅助投影图上有：aa'1⊥O1X1,ax1a'1=axa'。

点击1次§1-4点的辅助投影

根据点的原有投影作出其辅助投影的方法，可以表述如下：

179

自辅助投影面所垂直的原投影面上的投影，向辅助投影轴作垂线，与辅助投影轴交于一点，自交点起在垂线上截量一段距离，使等于原有的另一投影到原有投影轴的距离，即得点的辅助投影。这个关系习惯上简单说成是新投影到新轴的距离等于老投影到老轴的距离。点击后自动演播a1'§1-4点的辅助投影

如果设置辅助投影面H1

垂直于V

面，则辅助投影面H1与V面构成新的两投影面体系(V/H1)，新旧两体系共有投影面V。这时作点的辅助投影，仍要遵循前面所表述的作图规律。180

§1-4点的辅助投影

二、点的复辅助投影

181

在基本的(V/H)体系中设置辅助投影面V1后，再在(V1/H)体系中设置第二个辅助投影面H2

垂直于V1

，H2

称之为复辅助投影面。点击1次§1-4点的辅助投影182

把A点正投射到H2面上，就得到了A点的复辅助投影a2。在(V1/H2)体系中根据(a,a'1)作a2

时仍然要遵循前面所表述的作辅助投影的规律。

§1-4点的辅助投影183

当然也可以先设置辅助投影面H1垂直于V，构成投影面体系(V/H1)，然后设置复辅助投影面V2⊥H1，求复辅助投影的方法与前述类似。直线由两个点确定，平面由不在一直线上的三个点确定，求直线、平面的辅助投影和复辅助投影都可以归结为求点的辅助投影或复辅助投影。因此应透彻理解求点的辅助投影和复辅助投影的原理和熟练掌握其作图方法。点击1次

曲线和曲面184

§6-1曲线

一、曲线的形成和分类

曲线可以看作是由以下三种方式形成的：

(1)不断改变方向的点连续运动的轨迹。

(2)曲面与曲面或曲面与平面相交的交线。

(3)直线族或曲线族的包络。

185点的运动轨迹曲表面的交线包络曲线点击3次§6-1曲线

曲线的分类：曲线可分为规则曲线与不规则曲线，例如圆是规则曲线，地面等高线是不规则曲线；曲线又可分为平面曲线和空间曲线，曲线上所有的点都位于一个平面上，这样的曲线叫平面曲线；连续四个点不在同一平面上的曲线叫空间曲线。圆柱螺旋线就是空间曲线的例子。186§6-1曲线

二、曲线的投影187

画出曲线上一系列点的投影，可得到曲线的投影。为了准确地表示曲线，一般应画出曲线上特殊点的投影，以便控制好曲线的形状。

曲线的投影性质：

(1)曲线的投影一般仍为曲线，特殊情形下平面曲线的投影可能退化成直线。

点击1次§6-1曲线188

(2)曲线的切线在某投影面上的投影仍与曲线在该投影面上的投影相切，而且切点的投影仍为切点。

(3)二次曲线的投影一般仍为二次曲线，例如圆的投影一般为椭圆。§6-1曲线

189

平面曲线的投影，其形状视平面与投影面的倾斜状态而定。当平面平行于投影面时，曲线的投影反映曲线的实形；当平面垂直于投影面时，曲线的投影重合为直线；当平面倾斜于投影面时，曲线的投影为变了形的曲线。反映实形重合成直线变了形的曲线点击1次§6-1曲线

三、圆的投影

190

1.投影面垂直面上的圆

圆在所垂直的那个投影面上的投影为直线段，线段的长度等于圆的直径，圆的另外两投影为椭圆，椭圆的长轴长度等于圆的直径。§6-1曲线

例6-1

已知直径为d

的圆位于铅垂面内，并知圆心O和PH的位置，试作出其投影。

191

解：圆的水平投影为线段，长度等于d，重合在PH上；正面投影和侧面投影为椭圆，长轴竖直，长度等于d，短轴水平，长度根据水平投影作出。利用圆的辅助投影可作出椭圆上的一些中间点。翻页看作图演播§6-1曲线192作图过程演播点击后自动演播§6-1曲线193作图过程演播点击后自动演播§6-1曲线

194

2.一般斜平面上的圆

圆所在的平面倾斜于三个投影面时，圆的任一投影都是椭圆，椭圆长轴的长度总是等于圆的直径d。§6-1曲线

例6-2

半径为r的圆位于一般倾斜平面□ABCD上，并知圆心O的位置，试作出其投影。

195

解：首先，在水平投影中作椭圆的长短轴：长轴的方向为面内水平线的水平投影的方向，长度等于圆的直径2r。短轴垂直于长轴，长度利用直角三角形法求出。点击6次§6-1曲线

其次，求出水平投影中长短轴在正面投影中的投影，它们是一对共轭直径1'2'、3'4'。根据共轭直径可求出椭圆上的其余四个点5'、6'、7'、8'，用八点法画出正面投影椭圆。196§6-1曲线

最后，利用平面上定点的方法求出水平投影中的5、6、7、8四点，从而画出水平投影椭圆。197§6-1曲线

四、螺旋线的投影

198

1.圆柱螺旋线的形成

点P沿圆柱面上的一条直母线作等速移动，该母线又绕柱轴作等速转动，点P的轨迹为圆柱螺旋线。

动画§6-1曲线

2.螺旋线的投影

199

螺旋线轴线为铅垂线时，螺旋线的水平投影为圆。把圆周等分（例如12等分），分点按旋