【高中数学】任意角与弧度制课件-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

5.1.1任意角地球自转地球公转弹簧振子做简谐运动圆周运动是一种常见的周期性变化现象。圆上的点P以A为起点做逆时针方向的旋转．如何刻画点P的位置变化呢？问题？旋转的角度定义：有公共顶点的两条射线组成的图形。范围：0~360°现实生活中随处可见超出0~360°范围的角体操中有“前空翻转体540度”“后空翻转体720度”不仅有超出0~360°范围的角，而且旋转的方向也不相同初中学习的角：定义：有公共顶点的两条射线组成的图形。范围：0~360°现实生活中随处可见超出0~360°范围的角初中学习的角：任意角的概念

1．角的概念：角可以看成平面内

绕着它的

旋转所成的图形．2．角的表示：如图所示：(1)始边：射线的

位置OA.(2)终边：射线的

位置OB.一条射线端点起始终止(3)顶点：射线的端点O.(4)记法：图中的角α可记为“角α”或“∠α”或“

”．“角α”或“∠α”可简记为“α”．∠AOB概念学习3.角的分类：名称定义图示正角一条射线绕其端点按________方向旋转形成的角负角一条射线绕其端点按________方向旋转形成的角零角一条射线_______做任何旋转形成的角逆时针顺时针没有正角>零角>负角正角大小：旋转量大的角大负角大小：旋转量大的角小两个角相等：如果一个角的旋转方向和旋转量与另一个角的旋转方向和旋转量都一样，就称这两个角相等（α＝β）。角能实数那样进行加减运算吗？一、任意角角的大小关系第一象限角第三象限角锐角是第一象限角，第一象限角不一定是锐角二、象限角象限角的定义：为了方便，使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合。那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角。如果角的终边在坐标轴上，那么就认为这个角不属于任何一个象限锐角是第几象限角？第一象限角一定是锐角吗？问题①钝角是第几象限角？该象限角一定是钝角吗？②直角呢？讨论第一象限角第三象限角锐角是第一象限角，第一象限角不一定是锐角二、象限角象限角的定义：为了方便，使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合。那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角。如果角的终边在坐标轴上，那么就认为这个角不属于任何一个象限锐角是第几象限角？第一象限角一定是锐角吗？问题①钝角是第几象限角？该象限角一定是钝角吗？②直角呢？讨论将角按照上述方法放在直角坐标系中后，给定一个角，就有唯一的一条终边与之对应．反之，对于直角坐标系内任意一条射线OB，以它为终边的角是否唯一？如果不唯一，那么终边相同的角有什么关系？那么328°，－392°，…角的终边都是OB，并且与－32°角终边相同的这些角都可以表示成－32°的角与k个（k∈Z）周角的和，如

328°＝－32°＋360°（这里k＝1），－392°＝－32°－360°（这里k＝-1）.二、象限角终边相同的角一般地，我们有：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝｛β｜β＝α＋k·360°，k∈Z｝，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角和．一、象限角终边相同的角

若手表时针走过4小时，则时针转过的角度为A.120° B.－120°C.－60° D.60°√由于时针是顺时针旋转，故时针转过的角度为负数，例1(多选)在①160°；②480°；③－960°；④1530°下列四个角中，属于第二象限角的是A.160° B.480°

C.－960° D.1530°例2√√√A中，160°很显然是第二象限角；B中，480°＝120°＋360°是第二象限角；C中，－960°＝－3×360°＋120°是第二象限角；D中，1530°＝4×360°＋90°不是第二象限角.(多选)下列叙述不正确的是A.三角形的内角是第一象限角或第二象限角B.钝角是第二象限角C.第二象限角比第一象限角大D.小于180°的角是钝角、直角或锐角跟踪训练2√√√

已知α＝－1845°，在与α终边相同的角中，求满足下列条件的角.(1)最小的正角；例3因为－1845°＝－45°＋(－5)×360°，即－1845°角与－45°角的终边相同，所以与角α终边相同的角的集合是{β|β＝－45°＋k·360°，k∈Z}，最小的正角为315°.(2)最大的负角；最大的负角为－45°.(3)－360°～720°之间的角.－360°～720°之间的角分别是－45°，315°，675°.

已知角α的终边在图中阴影部分内，试指出角α的取值范围.例4终边在30°角的终边所在直线上的角的集合为S1＝{α|α＝30°＋k·180°，k∈Z}，终边在180°－75°＝105°角的终边所在直线上的角的集合为S2＝{α|α＝105°＋k·180°，k∈Z}，因此，终边在图中阴影部分内的角α的取值范围为{α|30°＋k·180°≤α<105°＋k·180°，k∈Z}.5.1.2弧度制探究新知问：身高为180cm？

问：弧长公式是什么探究新知1.弧度制（2）1弧度的角：___________________________________；（3）记法：弧度的单位符号是rad，读作弧度长度等于半径长的圆弧所对的圆心角（1）定义：以弧度为单位来度量角的单位制；注：弧度单位可省略，角度单位不能省略.（4）单位圆：_________________；

∠AOB即为1弧度的角半径为1的圆探究新知问：为什么要加绝对值？1、弧长半径永远是正的，也是正的2、角度有正负号，正负由旋转方向决定。（4）弧度的计算：在半径为r的圆中，弧长为l的弧所对的圆心角为αrad，那么角的弧度数的绝对值是：_____；

式子进行变形方程思想探究新知（5）一般地，正角的弧度数是一个______，负角的弧度数是一个______，零角的弧度数是______.正数负数0角的集合与实数集之间建立了一一对应关系.

18世纪，瑞士数学家欧拉，在他的名著《无穷小分析引论》中首先倡导使用弧度制，统一了角与长度的单位，使得对三角函数的研究大为简化.

下列各命题中，真命题是A.1弧度就是1°的圆心角所对的弧B.1弧度是长度等于半径的弧C.1弧度是1°的弧与1°的角之和D.1弧度是长度等于半径的弧所对的圆心角的大小√根据弧度制和角度制的规定可知A，B，C均错误，D正确.例1

下列说法正确的是A.1弧度的圆心角所对的弧长等于半径B.大圆中1弧度的圆心角比小圆中1弧度的圆心角大C.所有圆心角为1弧度的角所对的弧长都相等D.用弧度表示的角都是正角跟踪训练1√探究新知2.角度制与弧度制的换算（1）换算公式：探究新知1.一般地，“弧度”与“rad“通常略去不写，而只写这个角所对应的弧度数.2.角度制与弧度制互化时要抓住弧度这个关键．3.在同一个代数式中，角度制与弧度制不能混用.

注意例1把下列角度化成弧度.例2把下列弧度化成角度.有“分”“秒”，都先转换成“度”表示探究新知（2）特殊角的弧度数与角度数对应表：探究新知（1）用角度表示（2）用弧度表示与

终边相同的角可以表示为：

它们构成一个集合：

与

终边相同的角可以表示为：

它们构成一个集合：

例3终边相同的角的角度表示与弧度表示

将－1125°写成α＋2kπ(k∈Z)的形式，其中0≤α<2π，并判断它是第几象限角？例2所以－1125°是第四象限角