高中数学选择性必修第一册课后练习26抛物线的简单几何性质

抛物线的简单几何性质

[4组基础巩固练]

一、选择题

1.若抛物线V=x上一点P到准线的距离等于它到顶点的距离，则点P的坐标为()

B[设点P的坐标为(片,。),依题意可知抛物线的准线方程为X=一则a2+|=^/o4+a2,

解得故点p的坐标为七，金%)]

2.抛物线V=2px过点A(2,4),尸是其焦点，又定点8(8,—8),那么|AQ：|8月=()

A.1：4B.1：2

C.2：5D.3：8

C[将点A(2,4)的坐标代入V=2px,得p=4,

抛物线方程为)2=8X,焦点尸(2,0),已知，8(8,-8),

.\AF]^/(2-2)2+(4-0)242

•,|^-^(8-2)2+(-8-0)2-10-5-1

3.过点(2,4)的直线与抛物线y2=8x只有一个公共点，这样的直线有()

A.1条B.2条

C.3条D.4条

B[点(2,4)在抛物线上，则过该点与抛物线相切的直线和过该点与x轴平行的

直线都与抛物线只有一个公共点，故选B.]

4.过点(1,0)作斜率为一2的直线，与抛物线方二版交于A,B两点,则弦43的长为

()

A.2yfl3B.2^15

C.2y[17D.2y/19

B[设A(M,yi),B(X2,闻・

由题意知AB的方程为y——2(x—1),

即)，=一2/+2.

得『一4%+1=0,

・・%]+兀2=4,xr^2=1.

\AB\=[(1+R)[(X1+X2)2—以阳]

=^/(l+4)(16-4)=^/5X12=2Vl5.J

5.若直线y=fcc—2与抛物线V=8x交于A，8两个不同的点，抛物线的焦点为F,且

\AF\A，成等差数列，则A=()

A.2或—1B.-1

C.2D.1±V5

y--2

\c消去，得Fx2—4(女+2)x+4=0,

{y=8x

4(k+2]

故/=16(&+2)2—16R=64(l+Z)>0,解得攵>—1,且不+犬2=-p-.

由|AF|=xi+g=xi+2,|BF|=X2+g=X2+2,且|AF|,4,山F|成等差数列，得汨+2+及

+2=8,得即+及=4,

4仅+2)

所以~~=4,解得k=-1或攵=2,又女>-1,故k=2.］

二、填空题

6.抛物线f=2py(p>0)的焦点为F,其准线与双曲线^•一■^•=1相交于A,B两点,若

△ABF为等边三角形,则°=.

?2

6［因为抛物线x1=2py的准线y=一今和双曲线^■一1相交交点横坐标为x=

,.•.由等边三角形得2d3+.X^=p,解得p=6.］

7.直线被抛物线丁=以截得的线段的中点坐标是.

(3,2)［将y=x—1代入尸=4］，整理，得x2—6x+l=0.由根与系数的关系，得见+检

X［+X2

=6,-2-=3,

.)'1+)'2为+m-26-2

,•-2-=2=2=2・

・••所求点的坐标为(3,2).］

8.抛物线y2=4x上的点到直线x—y+4=0的最小距离为.

［设与直线X—j+4=0平行且与抛物线y2=4x相切的直线方程为x—y+m=O.

元一y+〃?=0,

由彳9得f+（2坟-4）x+"P=o,

y=4x

则/=(2加一4)2—4加2=0,解得m=1,

即直线方程为工一)，+1=0,

4—13、历

直线无一y+4=0与直线x—y+1=0的距离为

即抛物线y2=4x上的点到直线x—y+4=0的最小距离为^

三、解答题

9.已知抛物线C：V=2px(p>0)过点A(2,-4).

(1)求抛物线C的方程，并求其准线方程；

(2)若点8(0,2),求过点B且与抛物线C有且仅有一个公共点的直线/的方程.

［解］(1)由抛物线C:尸=2*(。>0)过点A(2,-4),

可得16=4p,解得p=4.

所以抛物线C的方程为y2=8x,

其准线方程为尤=一2.

(2)①当直线/的斜率不存在时，x=0符合题意.

②当直线/的斜率为0时，y=2符合题意.

③当直线/的斜率存在且不为0时，

设直线/的方程为)：="+2.

［y=kx+2f

由彳、得份2—8)，+16=0.

由/=64—64k=0,得k=l,

故直线/的方程为y=x+2,即x—y+2=0.

综上直线/的方程为x=0或y=2或x—y+2=0.

10.已知抛物线C尸=以，过点(一1,0)的直线与抛物线。相切，设第一象限的切点为

P.

(1)求点P的坐标；

(2)若过点(2,0)的直线/与抛物线。相交于两点A,B,圆M是以线段A8为直径的圆过

点P,求直线/的方程.

[解](1)由题意知可设过点(一1,0)的直线方程为x=ty-\.

[x=ty—l

联立.得：y2-4)+4=0,

[y~=4x

又因为直线与抛物线相切，则/=0,即r=±l.

当1=1时，直线方程为y=;c+l,则联立得点P坐标为(1,2).

(2)设直线/的方程为：x=my+2fA(xi,yi),8(x2,72),

[x=my+2

联立彳0得：/-4,ny-8=0,则/>0恒成立，

[y—^x

川丁2=18,yi+y2=4〃7,

则-=6*=4,为+12=加(6+/2)+4=4机2+4.

由于圆M是以线段AB为直径的圆过点P,则%/8=0,

X|12-(xi+i2)+l+yD'2-2(yi+y2)+4=0,

］、3

4〃f+8m+3=0,则加=-1或m=—^.

则直线/的方程为y=—2x+4或)=—*+*

[8组素养提升练]

11.(多选题)经过抛物线VuZpxS>。)的焦点F的直线交抛物线于A,B两点,设A(X1，

%)，B(X2,V),则下列说法中正确的是()

A.当AB与x轴垂直时，|AB|最小

11_2

丽十丽

C.以弦48为直径的圆与直线》=一名相离

D.yiy2=~p2

ABD[过抛物线焦点的直线与抛物线相交，其主要结论有：当A8与x轴垂直时，

112

最小,；.A正确；的+丽=5，；.B正确；yi)，2=-p2,；.D正确；以AB为直径的圆与准

线x=一§相切，；.C错误，故选ABD.]

12.抛物线有如下光学性质：过焦点的光线经抛物线反射后平行于抛物线的对称轴；反

之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.已知抛物线)2=4X

的焦点为凡一条平行于x轴的光线从点M(3,l)射出，经过抛物线上的点A反射后，再经抛

物线上的另一点8射出，则直线A3的斜率为()

4c4

A.-3B.3

C.D.竽

A[将y=1代入)2=4X,得X=(,即1),由抛物线的光学性质可知，直线AB经

1—04

过焦点厂(1,0),所以直线AB的斜率为"j-=一彳，故选A.]

--1一

41

13.(一题两空)已知抛物线C的顶点在原点，焦点在x轴上，且抛物线上有一点P(4,

⑺到焦点的距离为6.则抛物线C的方程为；若抛物线C与直线y^kx-2相交于不

同的两点A,B,且AB中点横坐标为2,则k=.

)2=8工2［由题意设抛物线方程为)，2=2px,其准线方程为犬=一令根据定义可得4+

2=6,所以〃=4,所以抛物线。的方程为尸=8尤由，消去y,得匹――(4&+8)工

y=kx-2f

+4=0.

有ZW0,/=64(左+1)>0,

解得Q—1且％#0.

x\+x22k+4

又力—=-P-=2，

解得左=2或左=一1(舍去)，所以k的值为2.］

14.设抛物线尸=4犬的焦点为F,准线为/.已知点C在/上，以C为圆心的圆与y轴的

正半轴相切于点儿若NMC=120。，则圆的方程为.

(x+1)2+3—小尸=1［由V=4x可得点尸的坐标为(1,0),准线/的方程为x=-l.

F(l,0)“

由圆心C在/上，且圆C与y轴正半轴相切(如图)，可得点C的横坐标为一1,圆的半

径为1,NC4O=90°.又因为/EAC=120°,所以/OA尸=30°,所以|OA|=#,所以点C的

纵坐标为小.

所以圆的方程为(x+1)2+。一小)2=1.］

［C组思维提升练］

15.如图，己知点尸为抛物线氏)2=2pxS>0)的焦点，点A(2,，”)在抛物线E上，且

|AQ=3.

(1)求抛物线E的方程；

(2)已知点G(—1,0),延长AF交抛物线E于点B,证明：以点F为圆心且与直线GA相

切的圆，必与直线GB相切.

［解］(1)由抛物线的定义得|4尸|=2+§

由已知|AQ=3,得2+§=3,解得p=2.

所以抛物线E的方程为y1—4x.

(2)法一：如图，因为点4(2,⑼在抛物线E:V=4x上，所以m=±2吸，由抛物线的对

称性，不妨设A(2,2&).

由A(2,2g)，F(l,0)可得直线AF的方程为)，=2吸(》一1).

解得x=2或x=g,从而8&一小)

又G(-1,O),

诉力心2小一020―一―020

户即以*《GA/>z।\o，4G81o,

()'A(T)

所以hw+kGB=O,从而/AGF=N2GF,这表明点尸到直线GA,G8的距离相等，

故以尸为圆心且与直线GA相切的圆，必与直线GB相切.

法二：如图，设以点尸为圆心且与直线GA相切的圆的半径为r.

因为点A(2,,〃)在抛物线E:y2=*4x上，所以m=±2y［2,由抛物线的对称性，不妨设

71(2,2^2).

由A(2,2柩,F(1,O)可得直线AF的方程为y=2y/2(x-i).

0=2吸(I),

由V=4x,

得Zx2—5x+2=0,

解得x=2或x=£,

从而86，一地)

又G(—1,0),故直线GA的方程为26x—3y+2g=0,

|2二+2的4小

从而『师="

又直线GB的方程为2吸x+3y+2啦=0,

12^2+2^214^2

所以点F到直线GB的距离d=^8+9~yfTi~r'

这表明以点尸为圆心且与直线GA相切的圆，必与直线GB相切.

第三章3.33.3.2第1课时

课1检1二同双基

1.抛物线x2：%的焦点到准线的距离是(D)

A.1B.2

C.受D-

［解析］因为抛物线的方程为*=为，即2p=g,所以

因此焦点到准线的距离是点故选D.

2.已知F是抛物线丁=》的焦点，A,8是该抛物线上的两点，|AQ+山~=3,则线段

AB的中点到y轴的距离为(C)

A.总B.1

CfD*1

J4u,4

［解析|设Ag月)，B(X2,竺)，则由抛物线的定义得依用+|防=乃+；+及+：,

因为依回+旧/7^,所以阳+；+及+：=3,所以X1+X2=|,即线段AB的中点的横坐标

为京从而线段AB的中点到了轴的距离为/故选C.

3.已知抛物线y2=2*(p>0)上的点A到焦点F距离为4,若在y轴上存点仇0,2)使得

BABF^O,则该抛物线的方程为(A)

A.)2=8xB.y2=6x

C.V=4xD.y2—2x

［解析］由题意可得：/皮,0),%1+§=4,解得XA=4—5取yA="\J2P(4—^=7而—p1.

.'.A(4—2，，8p—p2).

,:启.后=0,：.^(4-^)-2(yj8p~p2-2)=0,

(y/8p—p2—4)2=0,解得p=4.经过检验满足条件.

•••该抛物线的方程为>2=8X.故选A.

4.抛物线的焦点到准线的距离等于0.5.

I解析］抛物线V=x中2P=1,...p=0.5,...抛物线f=x的焦点到准线的距离等于

0.5.

5.过抛物线V=8x的焦点作直线/,交抛物线于4、B两点,若线段48中点的横坐标

为3,则IABI的值为10.

［解析J由抛物线V=8x知，p=4.

设A(xi,%)、8(X2,竺)，根据抛物线定义知：

\AF］-x\+^,\BF］=x2+y

|4B|=|AF|+|BF|=%i+g+x2+?=xi+xi+p,

由条件知即;"2=3,则X|+X2=6,

又■p=4,.*.|AB|=10.

第三章3.33.3.2第1课时

素养作业•提技能

请同学们认真完成练案［28］

A组•素养自测

一、选择题

1.抛物线/=一8)，的通径为线段A8,则AB长是(D)

A.1B.2

C.4D.8

［解析］抛物线f=-8y,通径为|一8|=8,...选D.

2.抛物线V=9x与直线21一3y8=0交于A、B两点，则线段AB中点的坐标为(B)

(113_27>/H327\

A.一彳JB.yj

<_H3_27Af_11327A

C-I8'4；D-I8,4j

327

［解析］由2x—3y—8=0得，X=N，+4,代入产=9x中得V一5y—36=0,设A(xi,

%)，8(X2,>12),

AB的中点为(xo,泗)，则yo=，,”=%

xo=iiy^=!(|y,i+4+|)-2+4^=1(yi+y2)+4=|yo+4=-^,故选B.

3.已知抛物线C：)2=12X,过点P(2,0)且斜率为1的直线/与抛物线C相交于4、B两

点，则线段AB的中点到抛物线C的准线的距离为(C)

A.22B.14

C.11D.8

I解析］抛物线Cy2=12x,可得准线方程为：x=-3,过点尸(2,0)且斜率为1的直线

/：y=x—2,

fy2=12x

由题意可得：，可得f—i6x+4=0,

ly=x-2

直线/与抛物线C相交于A、B两点、,则线段AB的中点的横坐标为8,

则线段A8的中点到抛物线C的准线的距离为8+3=11.

4.已知A是抛物线)?=2px(p>0)上一点，/是抛物线的焦点，0为坐标原点，当|AF|

=4时，ZOM=120°,则抛物线的准线方程是(A)

A.x=—\B.x=~3

C,x=-1或x=-3D.y=-1

I解析I过A作准线的垂直AC,过尸作AC的垂线，垂足分别为C,B.

由题意/8以=NQR4—90。=30。，

A点到准线的距离为：d=\AB\+\BC\=p+2=4,

解得p=2,

则抛物线的准线方程是x=-1.

故选A.

5.已知A,3是抛物线y2=2px(p>0)上的两点，。为原点，^\OA\=\OB\,且抛物线的

焦点恰好为△AO8的垂心，则直线A3的方程是(C)

3

A.x=pB.x=2P

5nr

C.x=］PD.x=3p

［解析］-：\6A\=\OB\,

B关于x轴对称.

设A(xo,、2pxo),B(xo,—\j2pxo).

xo-

直线AB的方程是x=|p.

二、填空题

6.顶点在原点，对称轴是x轴，并且顶点与焦点的距离等于6的抛物线方程是

24x或F=-24x_.

［解析］:旗与焦点距离为6,

即§=6,二2P=24,

又：对称轴为x轴，

二抛物线方程为y2=24.r或y2=-24x.

7.设抛物线V=4x的焦点为F,准线为I,则以F为圆心，且与I相切的圆的方程为

(x-lF+y2=4.

［解析］V抛物线V二叔的焦点尸的坐标为(1Q),准线/为直线》=-1,

圆的圆心坐标为(1,0).

又：圆与/相切，

二圆心到/的距离为圆的半径，

r=2.

圆的方程为(x—1)2+9=4.

8.一个正三角形的两个顶点在抛物线以上，另一个顶点是坐标原点，如果这个三

角形的面积为36小，则a=±2小.

［解析I设正三角形边长为X.

36小=ysin60。，.,.x=12.

当”>0时，将(66,6)代入丁="得”=2小，

当aVO时，将(一6小，6)代入？2=以得。=-2限，

故°=±2小.

三、解答题

9.已知抛物线的焦点尸在x轴上，直线/过尸且垂直于无轴，/与抛物线交于A、B两

点，坐标原点。为抛物线的顶点，若△OAB的面积等于4,求此抛物线的标准方程.

［解析］由题意，设抛物线的方程为y2=2px(p#O),

焦点造，0),直线/：x=2.

'.A,B两点的坐标分别为他p),像一p),

A\AB\=2\p\...,△OAB的面积为4,

二］，2|p|=4.p=-2,y［2,.

.•.抛物线的方程为/=±4-V2x.

10.已知直线/经过抛物线V=6x的焦点尸，且与抛物线交于A,B两点.

(1)若直线/的倾斜角为60。，求凶口的值；

(2)若|A8|=9,求线段AB的中点M到准线的距离.

［解析】(1)因为抛物线方程为V=6x,所以准线方程为》=一看咯，0),又因为直线

/的倾斜角为60。，所以直线/的斜率为&=tan6(T=小，所以直线/的方程为尸@L|),

设A(XI,yi),8(X2,>2),

yz=6x,

联立｛r(3、，

卜=小卜一方

Q

消去y得x2—5x+1=0,

则Xl+X2=5,

而|AB|=|AF|+由F|=XI+§+x2+g=xi+及+2，

所以|AB|=5+3=8.

(2)由抛物线的定义，知|A用=依用+|8月=为+》2+3=9,所以制+m=6,

于是线段AB的中点M的横坐标是3.

又准线方程是尸一3会所以中点M到准线的距离为3+；3老9.

B组•素养提升

一、选择题

1.设抛物线V=2x的焦点为F,互相垂直的两条直线过F,与抛物线相交所得的弦分

别为AB,CD,贝IJIABHC。的最小值为(A)

A.16B.8

C.4D.2

22

I解析］设AB倾斜角为％则依阴=方工，因为AB,C。垂直，所以|。9|=；^忑，因此

oil1CALUb€A

416

四心尸赤高=而笈力6,选A.

2.如果抛物线V=4x的焦点为F,点M为该抛物线上的动点，又点4一1,0）,那么繇（

的最大值是（D）

A.|B.半

C.坐D.1

|解析】由抛物线的方程可得，焦点尸（1,0）,准线方程为：犬=-1，4—1,0）点在准线上，

作MVJ_准线交于N,由抛物线的性质可得|MF|=|MN|,

因且=幽

MN

在三角形AA/N中，~^=cosZMAF,

所以扇的最大值时，/胡加最小，

当A,M,/三点共线时，最小,

所以这时制的最大值为1,故选D.

,4i-idO

3.（多选题）若抛物线V=x上一点P到准线的距离等于它到顶点的距离，则点P的坐

标为（BD）

A-一阴B.七,省

CQ，坐）D.七,坐）

I解析］设焦点为F,原点为。，尸（沏，州），由条件及抛物线的定义知，|「网=|「。|,又

fQ,（^,Z.xo=1,

.,.）3=/,二又）=±乎，故选BD.

4.（多选题）已知过抛物线y2=6x焦点的弦长为12,则该弦所在直线的倾斜角可以是

（BD）

TC门兀

A-6B-4

—兀-3

C,1D.平

a

［解析］方法1：:抛物线尸=6羽，2P=6,域=2，

即焦点坐标《I，0）.

当直线倾斜角为T时，即直线为X=|,此时弦长为2p=6/12,故直线斜率存在.

设所求直线方程为y=（r-|）,

-9

与抛物线V=6x消去y,得Fx2—(3乒+6)%+不?=0.

设直线交抛物线于A。］,yi),B(X2,>2),

.,3F+6

..x\-r-X2=-飞~.

•・,直线过抛物线焦点，弦长为12,

.,./i+忿+3=12,.*.XI+X2=9,

加3F+6—

即一^一=9，解得炉9=1，

%=lancc=±l,V«e［0,兀)，••・a=彳或手.

方法2：弦长|AB|=M篝(a为直线A8的倾斜角)，

.6.._1._,y［2

♦・12—-),••sin2a—sinot—士。，

sina22

.・ur八\•冗—lx37r

.a^［0,兀)，・・。=4或1=彳.

二、填空题

5.已知抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点为凡M为抛物线的准线上一点，

且M的纵坐标为3小，N是直线与抛物线的一个交点，若疝=2标,则v=3.

［解析］抛物线C：V=2px(p>0)的焦点为F,M为抛物线的准线上一点，且M的纵坐

标为3小，N是直线与抛物线的一个交点，若加=2标，

设N(x,>■),M(甘,3小),造,0)

.\NM=(x+y厂35)，称=(g-

x，一刃，

尤+刍=2|A,

,可得燃,小),代入抛物线方程可得：3=2XPx1,解得p=3.故

、厂3小=2(-y)

答案为3.

6.己知A(2,0),8为抛物线丁=彳上一点，则|AB|的最小值为—乎

［解析］设点3(x,y)9则工=产20，所以

+£

所以当X=?时，|A8|取得最小值，且网min=*.

7.已知抛物线C：V=4x的焦点为F,则一的坐标为(1。)：过点下的直线交抛物

线C于A,B两点，若|AF|=4,则AAOB的面积为_邛_.

［解析］由抛物线C：)2=4x可得〃=2,故焦点坐标为(1,0).

设4(xo,州)，则14rl=即+?=沏+1=4,故xo=3.

不妨设A在第一象限，则加=2小，

故以8=3_।故直线AB：y—y[3(x—1).

[Y=4x,

由«「可得3/—10x+3=0,

g小(1)

所以SAAOB=4X1X2于平卜4乙

三、解答题

8.如图所示，已知直线/：y=2x-4交抛物线产=4工于A,8两点，试在抛物线A08

这段曲线上求一点P,使的面积最大，并求出这个最大面积.

y=2x—4,

[解析1由"，,

（y-=4x,

由图可知44,4）,8（1,-2),则|AB|=3小.

设尸(沏，泗)为抛物线A08这段曲线上一点，d为点P到直线A3的距离，则：

,I2xo-yo-4|1直1..1、2a

「邓飞2一划一4-^o-D-9I.

V-2<y0<4,・・・。,0-1)2-9<0・

•"=^^[9—(yo—I)2].

919r-27

从而当2=1时，〃nax=W^,Smax=]X药gX3小=彳.

因此，当点P的坐标为(；，1)时，△%8的面积取得最大值，最大值为宇.

9.定长为3的线段4B的端点4、B在抛物线^=》上移动，求A8中点到)，轴距离的

最小值，并求出此时AB中点M的坐标.

[解析I如图，设F是抛物线)2=x的焦点，A、B两点到准线的垂线分别是AC、BD,

例点到准线的垂线为MN,N为垂足，则|MN|=/AC|+|B£)|),

根据抛物线定义得HC|=H/q,

.•.附2=昴4十|即)》怨=

设M点的横坐标为x,则|MN|

.•.x=|WV|一卜|一（=/，

等号成立的条件是弦AB过点F,

由于|AB|>2p=l,

・・・A3过焦点是可能的，此时M点到y轴的最短距离是今即A5的中点横坐标为今

当尸在48上时，设A、8的纵坐标分别为V、”，则w72=-p2=—从而（yi+y2）2

=y?+%+2yiy2=2X^-3=2,二%+丫2=力，

••.M点的坐标为《，当时，”到y轴距离的最小值为京

第三章3.33.3.2第2课时

课堂检测二固双基

1.在抛物线V=8x中，以（1，-1）为中点的弦所在直线的方程是（C）

A.x—4厂3=0B.x+4y+3=0

C.4x+y-3=0D.4x+y+3=0

［解析］设弦两端点为A（X1,y）、5（X2,y2）,则丁1+以=一2.

VA.B在抛物线上，，M=8XI,比=8为,

两式相减得，（y+y2）（yi—”）=8（即一M），

X1—X2

「・直线AB方程为y+1=—4（x—1）,

即4x+y~3=0.

2.直线y=x+l与抛物线丁=2px相交，所得弦长为2#,则此抛物线方程为（C）

A.y^=2xB.y2=6x

C.尸二一/或丁=6工D.以上都不对

22

I解析］把x=y-\代入y=2px得y—2py+2p=09

・・y+y2=2p,yiy2=2p,k=1,

由弦长yj1+。）2—4yi/2=2^6,

可解得p=-l或3.

二・抛物线方程为）2=-2x或y2=6x.故选C.

3.抛物线y=*的焦点关于直线x—y—1=0的对称点的坐标是（A）

A.(2,-1)B.(1,-1)

C.Q,"I)D.七一点)

［解析］y=*nf=4y,焦点为(0,1),其关于x—y—1=0的对称点为(2,—1).

4.直线y=kx-2交抛物线V=8x于A、B两点，若AB中点的横坐标为2,则k=（C)

A.2或一2B.-1

C.2D.3

炉=8》

［解析］由'得sf-4(Z+2)x+4=0,由/>0得£>一1,

)=丘一2

r,4（&+2）

则］,=4,即％=2.

5.己知抛物线C：*=2py（p>0）,斜率为k的直线/经过点P（0,—4）,/与C有公共

点A,B,当女=2时，A与8重合.

(1)求C的方程；

(2)若A为PB的中点，求|A8|.

［解析］(1)当％=2时，直线/：y=2x-4,

fjc2=2/7y

联立方程组得《,消去y得4px+8P=0,

y=2x—4

由题意/=16p2—32p=0,解得p=2或p=0(舍去)，故C的方程为/=4y.

(2)由(1)得，当k>2或k<-2时直线与抛物线有两个不同交点，

直线方程/：y=kx—4,设A(x”yi),8(x2,)2),

f=4y

联立方程',消去y得/-4履+16=0,

y=kx—4

则xi+x2=4k,x\X2=16,

又4为PB的中点，则§=2,

A1

••x\X2=^xy—16,工］+M=3XI=4Z.

；.R=8,^=|,刈=同=2P,

第三章3.33.3.2第2课时

素养作业;提技能

请同学们认真完成练案［29］

A组•素养自测

一、选择题

1.已知F为抛物线y2=4小x的焦点，过点F的直线交抛物线于A,B两点，若酢'=

3FB,则|A8|=(A)

AaR巡

A.33

C.D.y［3

［解析］:直线AB过焦点，且#=3成，.,.直线A8的倾斜角为60。或120。，；.|A8|=

2P4s16s

sin2，一(近)一3-

2.过抛物线焦点尸的直线与抛物线相交于4、8两点，若点4、8在抛物线准线上的射

影分别为Ai,Bi，则/4尸81为(C)

A.45°B.60°

C.90°D.120°

I解析】设抛物线方为产=2必0>0).

如图,V|AFl-|A4i|,|BF]=|BBi|,

ZAAtF=ZAFAi,

NBFB尸/FB\B.

又A4]〃Qx〃818,

ZAiFO=ZFAiA,

NBiFO=NFBiB,

：.NAIFBI=£/AFB=90°.

3.过抛物线V=4x的焦点，作一条直线与抛物线交于A、B两点，它们的横坐标之和

等于5,则这样的直线（B）

A.有且仅有一条B.有且仅有两条

C.有无穷多条D.不存在

[解析]由定义|A8|=5+2=7,

•：|AB|min=4,...这样的直线有两条.

4.设抛物线V=8x的准线与x轴交于点Q,若过点。的直线/与抛物线有公共点，则

直线/的斜率的取值范围是（C）

A.一a，5B.[—2,2]

C.[-1,1]D.[-4,4]

[解析]抛物线V=8x的准线（直线x=-2）与x轴的交点为。（一2,0）,于是，可设过点

）。8x，

。（-2,0）的直线/的方程为y=A（x+2）,联立,消去y,得Qf+（4F一8）x+4必

ly=A（x+2）,

=0,判别式/=（43—8）2—16犬=-643+6420,解得一故选C.

5.设F为抛物线y2=4x的焦点，4、B、C为该抛物线上三点，若成+西+元'=（）,则

西|+|成|+|向等于（B）

A.9B.6

C.4D.3

[解析J设A、B、C三点坐标分别为（X1,）"）、（X2,如、（X3,”）.由题意知F（l,o）,因

为花+无+或7=0,所以为+及+4=3.根据抛物线定义，有I旗1+1西1+1向=X1+1+X2+

1+冷+1=3+3=6.故选B.

二、填空题

6.斜率为小的直线过抛物线C：y2=4x的焦点，且与C交于A,B两点，则依阴=_号

I解析]由题意得直线方程为卜=小3—1）,联立方程，得<,得3W-10X

ly=4x,

+3=0,.・・%+工6=¥，故|AB|=1+XA+1+加=2+#=牛.

7.已知抛物线C：V=2px（P>0）的准线为I，过"（1,0）且斜率为小的直线与I相交于A,

与C的一个交点为B,若4耘=〃万，则p=2.

I解析]本题考查了抛物线与直线的位置关系.

如图，由斜率为小，NBMx=60。，可得

又病=凝，为中点.

：.BP=BM,为焦点，

即§=1,；.p=2.

8.如果点P，P2,P3，…，Po是抛物线产=2%上的点，它们的横坐标依次为xi，X2,

X3，…，X10,尸是抛物线的焦点,若X1+X2+X3+…+孙)=5,则旧用+|22月+…+IPoW=

10.

［解析］由抛物线的定义可知，抛物线y2=2px(p>0)上的点P(A-o,泗)到焦点F的距离

|PM=xo+当在V=2x中，p=l,所以IP臼+|P2/n+…+|Piof］=Xi+x2+…+xio+5p=lO.

三、解答题

9.已知抛物线C：V=2px过点A(l,2).

(1)求抛物线C的方程；

(2)求过点P(3,-2)的直线与抛物线C交于M,N两个不同的点(均与点A不重合).设

直线AM,AN的斜率分别为依，求证：内咫为定值.

I解析I⑴由题意得2P=4,所以抛物线方程为产=4x.

(2)设M(xi,»),N(X2,y2),直线MN的方程为》=心+2)+3,

代入抛物线方程得产一4)一8/-12=0.

所以/=16尸+32，+48>0,yi+)2=4f,Viy2=-8/—12.

yi—2y—2yi~2y2—2

所以修色=2

Xl—1X2—1VT

4

y1^2+2(71+y2)+4—St—12+8f+4

所以ki也为定值为一2・

10.已知抛物线V=-x与直线y=&(x+D相交于