市场风险管理培训教材

2024/1/71第九章-2

市场风险管理风险价值的计算与建模主要内容风险价值的定义风险价值的计算方法方差-协方差法解析法蒙特卡洛法历史数据模拟法风险价值的分解计算2024/1/72风险价值的定义2024/1/73

例子：欧元汇率一个价值Vt(dollar)的头寸，天的VaR指在未来天，Vt以的概率损失的最大值.例如，你2024年11月4日购置10millionEuros.如果1EU=1.3761USD(USD/EU的汇率为：Mt=1.3761〕,美圆的头寸为：Vt=10MilxMt=$13.761million.

那么，这个头寸的1%，24hours的VaR为$192048.52，其含义为，投资在欧元上的13.761million美圆，在未来24小时，其最大损失为$192048.52，概率为1%。也就是说，

在未来24小时，其最大损失超过$192048.52的概率为1%。一、VaR的含义假设欧元汇率的收益率服从正态分布，即：

这样，投资在欧元上的价值变化为：

=$13.7610mil也服从正态分布。

根据的分布密度，我们可以画出的分布图(Figure1withadailyvolatility=0.6%)

1%VaR是(负数)这样一个数据，即只有1%的概率使得我们资产的变化低于这个数值。Area=1%,theVaR

is192048.52例子：考虑前面欧元的例子。组合价值的变化为：

=$13.7610mil

服从于均值为，标准差为的正态分布。根据的定义，可以计算分布密度为的分位数为：

这个值即为一个分界点，即损失超过发生的概率为(1-)。这样，，1dayValueatRisk为：VaR=负号表示VaR测量的是损失而不是收益。将代入，得：VaR=-(-2.326*13.7610mil*1.3761*.006)=$192048.52风险价值的方差-协方差计算法单一资产风险价值的方差-协方差计算资产组合风险价值的方差-协方差计算超额收益矩阵计算法协方差计算公式单因素映射计算多因素映射计算2024/1/79单一资产的方差-协方差法2024/1/710在价格变化幅度服从正态分布情况下，均值VaR和零值VaR可以表示为：2024/1/712方差－协方差法的估算流程历史数据期权数据波动性相关性期权模型估算协方差矩阵资产组合单个证券收益的标准差资产组合的标准差VaR资产组合风险价值的计算：符号定义为计算资产组合的VaR，我们定义：P0为初始投资额；R为计算期间的投资回报率，假设R的均值为μ，方差为σ2；Pt为期末资产组合的价值，Rt、Wt都是随机变量；c为置信水平。2024/1/713日绝对风险价值计算公式推导2024/1/714把正态分布的收益率标准化为标准正态随机变量2024/1/715同理可得相对风险价值计算式：2024/1/716资产组合的方差－协方差法假定资产组合包括N种证券，各证券在t时刻末的投资回报率为Ri，各证券在资产组合中所占的比重为wi，那么在t时刻资产组合的投资回报率为：资产组合的风险价值计算公式根本假设：资产组合中的所有证券的投资回报率满足正态分布，从而资产组合作为正态变量的线性组合也满足正态分布。2024/1/7172024/1/718资产组合的收益率与方差计算资产组合的收益期望值：资产组合的方差：2024/1/719资产组合方差的矩阵计算法如果设方差-协方差矩阵表达式为：2024/1/720资产组合方差的矩阵计算式投资组合比重矩阵为那么有：2024/1/721方差-协方差矩阵的计算方法2024/1/722主要有两类五种：①根据协方差的定义，利用超额收益矩阵计算；②根据相关系数的定义与计算公式，利用相关系数矩阵及标准差矩阵计算。资产组合的收益率与方差计算③期权隐含参数法④利用单因素模型的简化计算⑤利用多因素模型的简化计算三种常用的表示、计算方法：代数式、矩阵式、软件实现2024/1/7231、超额收益矩阵法2024/1/724设区间内有m个交易日，

分别表示第n只股票在第m期的收益率，由定义可知：超额收益矩阵法2024/1/725记超额收益矩阵为A，那么：方差-协方差矩阵的计算公式为：2、相关系数与标准差相乘法2024/1/726由于任意两个资产之间的协方差为两只资产的标准差与它们之间相关系数的乘积，所以我们先计算出任何一种资产的标准差以及任意两个资产之间的相关系数，就可以计算出任意两个资产之间的协方差。设标准差矩阵、相关系数矩阵为：相关系数与标准差相乘法2024/1/727计算公式为：2024/1/7283、期权隐含参数法估算协方差矩阵的另一类方法是期权隐含参数法。其根本原理是，基于期权包含大量的关于根底资产价格的风险，利用期权数据计算隐含标准差。4、单因素模型分析单因素模型根本方程模型假设模型定义单一资产的期望收益率、标准差与协方差投资组合的期望收益率、方差单因素模型的组合收益结构推论2024/1/7294.1单因素模型分析2024/1/730单因素模型认为，当股市上涨或下跌时，大多数资产价格都会上涨或下跌。这说明资产收益彼此相关、协同变动的原因就是对市场变动的共同反响。通过将资产收益与资产市场因素收益联系起来，就可以得到相关性指标。如果使用市场收益作为解释因素的单因素模型就称作市场模型〔MarketModel〕。市场模型是从资产收益和市场收益之间的线性关系开始的：4.2单因素模型2024/1/731根本方程：假设：〔1〕残差项的期望值等于0；〔2〕资产因素收益与超额收益不相关；〔3〕资产只通过对市场的共同反响而相互关联4.2单因素模型2024/1/732模型定义资产收益残差、市场收益率的残差分别为：2、推论1：单一资产的期望收益率、标准差与协方差分别是：2024/1/733推导：单一资产的期望收益率2024/1/734推导：单一资产的标准差2024/1/735推导：单一资产的协方差2024/1/7363、推论2：投资组合的期望收益率与方差2024/1/737推导：投资组合的期望收益率2024/1/738推导：投资组合的方差2024/1/7394.2单因素模型的推论3：2024/1/740推导：组合的方差2024/1/7415、多因素模型三个常用的多因素模型：根本多指数模型行业指数模型三因素模型单一资产的收益结构资产组合的收益结构2024/1/742一般多因素模型1、标准的多因素模型：1.1根本方程为：1.2模型定义：1.2.1资产的残差方差1.2.2因素的方差1.3模型构建：1.3.1零均值1.3.2解释变量不相关1.3.3非随机1.3.4残差不相关2024/1/743公式为：正交转换一般的多因素模型，必须将其中任何相关的因素转化为不相关因素，得到上述多指数模型的标准表达式。2024/1/744多因素模型1：多因素模型两类：统计要素模型；宏观要素模型影响较为广泛的多因素模型：根本多指数模型行业指数模型三因素模型2024/1/745根本多指数模型根本多指数模型是一种将证券收益与宏观经济变量相联系的五因素模型。伯梅斯特〔E.Burmeister〕和迈克假设尔〔M.McElroy〕(1987)提出了建立在罗斯等人理论上的多指数模型。他们发现五个变量足以解释证券收益。这五个变量的具体定义如下：2024/1/746五个变量：1、长期政府债券和长期公司债券收益的非预期差异它们的收益差异就是对违约风险的衡量公司债券和政府债券在一个较长时期内的平均月差异是0.5%I1=0.5%+长期〔20年〕政府债券收益－长期〔20年〕公司债务收益2024/1/747长期贴现率与短期贴现率的差异贴现率的期限结构，即远期现金流量或近期现金流量将使用不同的贴现率。I2=长期政府债券收益－国库券未来每月收益2024/1/748非预期通货紧缩由于一定程度上投资者关心真实的现金流量〔通货膨胀调整后的现金流量〕会根据实际的通货膨胀率调整贴现率，因而通货紧缩的非预期变化会影响到收益。I3=月初预计的通货膨胀率－月末的真实通货膨胀率2024/1/749公司销售量的增长率的非预期变化公司销售量的增长率的非预期变化是对其长期经济利润的非预期变化的衡量指标。I4=月初预期的销售量的长期增长率－月末预期的销售量的长期增长率2024/1/750标准普尔500指数的非预期收益以上四个变量并未包含所有影响股价的宏观〔及心理〕因素，还存在市场本身的影响。伯梅斯特等人使用标准普尔500指数的非预期收益率衡量市场因素的变化，该变量与前四个变量均不相关。为得到这个变量，他们用标准普尔指数对前四个变量作时间序列回归分析，得到如下结论：2024/1/751因此，第五个变量是任意一个月市场的超额收益与根据上面时间序列预测的超额收益的差：2024/1/752根本多指数模型的一般表达式2024/1/753该模型描述了一个合理的收益产生过程。让我们分析一下标准普尔500指数和前四个变量的关系。如前所示，前四个影响因素在标准普尔变化原因中约占25%。此外，每个变量的系数在5%的水平上具有统计显著性，并具有理论预期特征。2024/1/754理论预期特征先看第一个变量，假设I1很大，也就意味着市场要求的风险溢价小，股票收益也应较低，因此I1的系数应为负值。第二个变量I2，假设持有更长期限金融工具的溢价更高，市场要求的收益率和股票收益也就越高。因此I2的系数应为正值。类似地，I3衡量的是通货紧缩，它应与股票收益的增长相联系，因此它应为正值。第四个变量I4衡量的是对销售量增长率预期的下降，假设预期在一段时间内下降，股价会下降，期望收益率会提高，因此它应为负值。2024/1/755根本多因素模型的评价根本多因素模型是证券分析中一种最为有用的模型，因为它既具有单指数模型的简单性，又有全方位分析风险的能力。通过模型，不仅可以将风险和收益率分解为单个可分辨的成分，而且强调了市场是投资收益率及风险的决定性因素。2024/1/756多因素模型2：行业因素模型2024/1/757假定：〔1〕公司的收益仅受市场和几个行业的影响；〔2〕资产之间的相关性取决于市场效应和行业效应；〔3〕每个行业因素与市场无关，而且与其他行业因素也无关。那么有市场行业因素模型：行业因素模型表示的资产收益结构2024/1/758多因素模型3：三因素模型1993年，法玛和法兰奇〔French〕提出了一个关于资产定价的三因素模型，通常简记为FF3。该模型是对CAPM的拓展，是一种根本要素模型。2024/1/759他们的观点是：市场经验证明小公司股票较大公司股票有着更大的风险，从而要求更高的风险报酬，因此公司的规模影响着股票的定价；投资者普遍地存在投资偏好，这种偏好主要地可分为追逐价值型股票或是追逐增长型股票，这也是影响股票定价的一个重要因素。2024/1/760多因素模型3：三因素模型FF3选择的因素，除了CAPM中的市场资产组合风险报酬这一因素之外，还增加了这两个影响股票定价的因素：小公司股票的收益率减大公司股票收益率的值〔以SMB表示〕；价值型股票的收益率减增长型股票的收益率的值〔即高面值－市价比率的股票的收益率减低面值－市价比率的股票的收益率，以HML表示〕2024/1/761多因素模型3：三因素模型法玛和法兰奇的这个模型是根据六种证券投资组合构建的。他们把大、小公司两种规模〔以权益市场价值ME表示〕的证券和三类不同面值—市价比率〔BE/ME〕的证券进行搭配，构建证券投资组合。2024/1/762区分第t年大、小公司股票的界限是第t年6月末纽约股票交易所股票市价总额的中值。第t年6月末的BE/ME等于上一个财政年度〔t－1年〕年末的BE除以第t－1年12月的ME。然后，根据股票的权益市场价值〔ME〕和面值－市价比率〔BE/ME〕，将大、小公司分别分为三类。2024/1/763SMBSMB等于三类小公司股票的证券投资组合的平均收益率减去三类大公司股票的证券投资组合的平均收益率：SMB=1/3〔价值型小公司收益率+中间型小公司收益率+增长型小公司收益率〕－1/3〔价值型大公司收益率+中间型大公司收益率+增长型大公司收益率〕2024/1/764HMLHML等于两类价值型股票的证券投资组合的平均收益率减去两类增长型股票的证券投资组合的平均收益率：HML=1/2〔价值型小公司收益率+价值型大公司收益率〕－1/2〔增长型小公司收益率+增长型大公司收益率〕2024/1/765市场的超额收益率〔rm－rf〕市场的超额收益率〔rm－rf〕等于所有NYSE、AMEX和NASDAQ上市股票以股票价值为权数的平均收益率减去1个月短期国库券的利率。2024/1/766FF3模型评价FF3模型在解释有关资产定价的问题时显然要优于CAPM，而且它在实践中对那些大型的机构投资者来说，也比CAPM有更大的应用价值。但是，FF3模型长期以来在学术界存在着较大的争议。该模型中包含的不同规模公司收益率差异的风险和价值型股票与增长型股票的收益率存在差异的风险，必须是投资者共同承担的。2024/1/767多因素模型描述的单一资产收益结构2024/1/768多因素模型计算的投资组合预期收益率、方差2024/1/7692024/1/770方差－协方差法的评价优点：原理简单，计算快捷。缺点：一是不能预测突发事件的风险。二是方差－协方差法的正态假设条件受到质疑。三是方差－协方差法只反映了风险因子对整个组合的一阶线性影响，无法充分度量非线性金融工具〔如期权〕的风险。主要内容风险价值的计算方法方差-协方差法解析法蒙特卡洛法历史数据模拟法风险价值的分解计算2024/1/771分析计算法：解析法Delta正态近似计算法Delta-Gamma正态计算法2024/1/772Delta正态近似法Delta类方法是用资产组合价值的Taylor一阶展开式对市场风险因子变化的一阶线性近似。Delta类方法：〔1〕Delta-正态法；〔2〕Delta-加权正态法；〔3〕Delta-混合正态法；〔4〕Delta-GARCH法；2024/1/773Delta正态近似法Delta正态法是针对非线性类金融资产〔如期权〕来设计的。假设：投资组合的价值函数取一阶近似；市场因子服从多元正态分布；投资回报服从一元正态分布。2024/1/774Delta-正态法：二因素设投资组合的价值函数为二因素函数：2024/1/775根据价格变化服从正态假设，那么正态分位数为：利用Delta正态法计算的风险价值：2024/1/776固定收益证券组合的映射本金：风险因子与组合的平均到期期限对应；久期：风险因子与组合的久期对应；现金流：组合的现金流按照期限短进行分组2024/1/777固定收益投资组合风险价值的Delta正态近似法计算对于固定收益投资组合，delta就是修正久期MD，不考虑时间因素时：2024/1/778主要内容风险价值的计算方法方差-协方差法解析法蒙特卡洛法历史模拟法风险价值的分解计算2024/1/7792024/1/780风险价值的历史模拟计算法历史模拟法是运用当前资产组合中各证券的权重和各证券的历史数据重新构造资产组合的历史序列，从而得到重新构造资产组合收益率的时间序列，用公式表示为：2024/1/781历史模拟法在实际操作中，通常是通过构造的资产组合的历史数据换算成这样，就得到现在的资产组合在历史上的假定收益分布，根据收益分布可求得VaR值。2024/1/782历史模拟法估算VaR的流程见图资产组合的历史数据全值模拟收益率的假设分布资产组合权重VaR历史模拟法的计算步骤第一，识别风险因子变量，建立证券组合价值与风险因子变量之间的映射关系。2024/1/783历史模拟法的计算步骤第二，选取历史数据，模拟风险因子变量未来的可能取值。第三，计算证券组合未来的可能价值水平或损益分布。第四，基于损益分布计算置信度c下的VaR。2024/1/7842024/1/785历史模拟法的评价历史模拟法克服了方差－协方差法的一些缺陷，如考虑了“肥尾〞现象，能度量非线性金融工具的风险等，而且历史模拟法是通过历史数据构造收益率分布，不依赖特定的定价模型，这样，也不存在模型风险。但历史模拟法仍存在不少缺陷：首先，风险包含着时间的变化，单纯依靠历史数据进行风险度量，将低估突发性的收益率波动；其次，风险度量的结果受制于历史周期的长度；再次，历史模拟法以大量的历史数据为根底，对数据的依赖性强；最后，历史模拟法在度量较为庞大且结构复杂的资产组合风险时，工作量十分繁重。2024/1/786主要内容风险价值的计算方法方差-协方差法解析法蒙特卡洛法历史数据模拟法风险价值的分解计算2024/1/7872024/1/788风险价值的蒙特卡洛模拟计算蒙特卡洛法分两步进行：第一步，设定金融变量的随机过程及过程参数；第二步，针对未来利率所有可能的路径情景，模拟资产组合中各证券的价格走势，从而编制出资产组合的收益率分布来度量VaR。2024/1/789蒙特卡罗模拟法流程历史（隐含）数据模型参数未来利率路径随机模型全值估计资产组合权重证券估值模型资产组合收益率分布VaR2024/1/790蒙特卡洛模拟法的评价优点包括：它是一种全值估计方法，可以处理非线性、大幅波动及“肥尾〞问题；产生大量路径模拟情景，比历史模拟方法更精确和可靠；可以通过设置消减因子〔DecayFactor〕，使得模拟结果对近期市场的变化更快地作出反响。2024/1/791其缺点包括：对于根底风险因素仍然有一定的假设，存在一定的模型风险；计算量很大，且准确性的提高速度较慢，如果一个因素的准确性要提高10倍，就必须将模拟次数增加100倍以上；如果产生的数据序列是伪随机数，可能导致错误结果。2024/1/792市场