对数及其运算讲义

学生：科目：数学教师：第阶段第次课2023年月日课题：对数及运算授课内容：〔一〕对数1．对数的概念：一般地，如果，那么数叫做以为底的对数，记作：〔—底数，—真数，—对数式〕说明：eq\o\ac(○,1)注意底数的限制，且；eq\o\ac(○,2)；eq\o\ac(○,3)注意对数的书写格式．两个重要对数：eq\o\ac(○,1)常用对数：以10为底的对数；eq\o\ac(○,2)自然对数：以无理数为底的对数的对数．指数式与对数式的互化＝N＝b〔二〕对数的运算性质如果，且，，，那么：eq\o\ac(○,1)·＋；eq\o\ac(○,2)－；eq\o\ac(○,3)．注意：换底公式 〔，且；，且；〕．利用换底公式推导下面的结论〔1〕；〔2〕．〔四〕例题例1、设a，b，c都是正数，且3a=4b=6c，那么〔〕 A、1c=1a+1b B、2c=2a+1bC、1c=2a解：由a，b，c都是正数，且3a=4b=6c=M，那么a=log3M，b=log4M，c=log6M例2、假设a＞1，b＞1，p=logb（log A、1 B、b C、logba D、alogba解：由对数的换底公式可以得出p=logb（logba）logba例3、设x=（log1 A、〔﹣2，﹣1〕 B、〔1，2〕C、〔﹣3，﹣2〕 D、〔2，3〕解：由题意，x=（log1213）﹣1∵函数y=log13x例4、假设32x+9=10•3x，那么x2+1的值为〔〕 A、1 B、2C、5 D、1或5分析：由题意可令3x=t，〔t＞0〕，原方程转化为二次方程，解出在代入x2+1中求值即可．选D例5、2lg〔x﹣2y〕=lgx+lgy，那么xy A、1 B、4C、14 D、1解：∵2lg〔x﹣2y〕=lg〔x﹣2y〕2=lg〔xy〕，∴x2+4y2﹣4xy=xy∴〔x﹣y〕〔x﹣4y〕=0∴x=y〔舍〕或x=4y∴xy=4QUOTE14例6、方程log2〔x+4〕=2x的根的情况是〔〕 A、仅有一根 B、有两个正根C、有一正根和一个负根 D、有两个负根专题：数形结合。例7、如果方程lg2x+〔lg7+lg5〕lgx+lg7•lg5=0的两根为α、β，那么α•β的值是〔〕 A、lg7•lg5 B、lg35C、35 D、1分析：由题意知，lgα，lgβ是一元二次方程x2+〔lg7+lg5〕x+lg7•lg5=0的两根，依据根与系数的关系得lgα+lgβ=﹣〔lg7+lg5〕，再根据对数的运算性质可求得α•β的值．α•β的值是135例8、log（2﹣1）〔3+22〕=﹣2；log89•log2732=解：3+22=（2+1）2log89•log2732=lg9lg8lg32〔lg5〕2+lg2•lg50=〔lg5〕2+lg105•lg5×10=〔lg5〕2故答案为：﹣2；109例9、方程〔4x+4﹣x〕﹣2〔2x+2﹣x〕+2=0的解集是{0}．解：令t=2x+2﹣x＞0，那么4x+4﹣x=t2﹣2原方程可以变为t2﹣2t=0，故t=2，或者t=0〔舍〕故有2x+2﹣x=2即〔2x〕2﹣2×2x+1=0∴〔2x﹣1〕2=0∴2x=1即x=0例10、假设α、β是方程lg2x﹣lgx2﹣2=0的两根，求logαβ+logβα的值．分析：利用对数的原式法那么化简方程；将方程看成关于lgx的二次方程，利用根与系数的关系得lgα+lgβ=2，lgα•lgβ=﹣2；利用换底公式将待求的式子用以10为底的对数表示，将得到的等式代入求出值．解：原方程等价于lg2x﹣2lgx﹣2=0∵α，β是方程的两个根所以lgα+lgβ=2，lgα•lgβ=﹣2所以logαβ+log即logαβ+logβα=﹣3例11、解关于x的方程．〔1〕log〔x+a〕2x=2．〔2〕log4〔3﹣x〕+log〔3+x〕=log4〔1﹣x〕+log〔2x+1〕；〔3〕（3+22）〔4〕lg〔ax﹣1〕﹣lg〔x﹣3〕=1．〔1〕要注意对数式与指数式的转化关系；〔2〕利用对数运算性质进行转化变形；〔3〕注意到两项的联系，利用整体思想先求出整体，进一步求出方程的根；〔4〕利用对数的运算性质进行转化与变形是解决此题的关键．注意对字母的讨论．解：〔1〕该方程可变形为2x=〔x+a〕2，即x=1﹣a±1﹣2a〔当a≤12时〕，当x=1﹣a﹣1﹣2a时，x+a=1﹣1﹣2a〔2〕该方程可变形为log43﹣x3+x=log41﹣x〔3〕该方程变形为（（2+1）2）x+（（2〔4〕原方程等价于&ax﹣1＞0&x﹣3＞0&ax﹣1例12、假设方程log2〔x+3〕﹣log4x2=a的根在〔3，4〕内，求a的取值范围．分析：应用对数的运算性质，log4x2=log2x，将方程变形，转化为求函数a=log2x+3x解：∵3＜x＜4，方程即：log2〔x+3〕﹣log2x=a，log2∵x﹣3x=1﹣3x，34＜3例13、a＞0，a≠1，试求使方程log解：由对数函数的性质可知，原方程的解x应满足&当〔1〕，〔2〕同时成立时，〔3〕显然成立，因此只需解&由〔1〕得2kx=a〔1+k2〕〔4〕当k=0时，由a＞0知〔4〕无解，因而原方程无解．当k≠0时，〔4〕的解是x=把〔5〕代入〔2〕，得1+解得：﹣∞＜k＜﹣1或0＜k＜1．综合得，当k在集合〔﹣∞，﹣1〕∪〔0，1〕内取值时，原方程有解．三、学生对于本次课的评价：○特别满意○满意○一般○差学生签字：四、教师评定：1、学生上次作业评价：○好○较好○一般○差2、学生本次上课情况评价：○好○较好○一般○差教师签字：教研组签字：教务处签字：教务处盖章练习1、log8 A、23 B、1C、32、设a，b，c都是正数，且3a=4b=6c，那么〔〕 A、1c=1a+1b B、2c=2a+1b C、1c=2a3、假设32x+9=10•3x，那么x2+1的值为〔〕 A、1 B、2 C、5 D、1或54、2lg〔x﹣2y〕=lgx+lgy，那么xy A、1 B、4C、14 D、15、方程log2〔x+4〕=2x的根的情况是〔〕 A、仅有一根 B、有两个正根C、有一正根和一个负根 D、有两个负根6、〔2n+1〕2•2﹣2n﹣1÷4n=_________；2∣log120.3∣﹣17、log（2﹣1）〔3+22〕=_________；log89•log2732=8、方程〔4x+4﹣x〕﹣2〔2x+2﹣x〕+2=0的解集是_________．9、方程xlgx=10的所有实数根之积是_________．10、解以下方程〔1〕logx+2〔4x+5〕﹣log4x+5〔x2+4x+4〕﹣1=0；〔2〕32x+5=5•3x+2+2；11、假设方程log2〔x+3〕﹣log4x2=a的根在〔3，4〕内，求a的取值范围．2、设a，b，c都是正数，且3a=4b=6c，那么〔〕 A、1c=1a+1b B、2c=2a+1b C、1c=2a解：由a，b，c都是正数，且3a=4b=6c=M，那么a=log3M，b=log4M，c=log6M3、假设a＞1，b＞1，p=logb（log A、1 B、bC、logba D、alogba解答：解：由对数的换底公式可以得出p=logb（logba因此，ap等于logba．应选C．4、设x=（log1 A、〔﹣2，﹣1〕 B、〔1，2〕C、〔﹣3，﹣2〕 D、〔2，3〕解答：解：由题意，x=（log1213）﹣1∵函数y=log13x∴2＜x＜3．应选D．5、假设32x+9=10•3x，那么x2+1的值为〔〕 A、1 B、2C、5 D、1或5分析：由题意可令3x=t，〔t＞0〕，原方程转化为二次方程，解出在代入x2+1中求值即可．选D6、2lg〔x﹣2y〕=lgx+lgy，那么xy A、1 B、4C、14 D、1解答：解：∵2lg〔x﹣2y〕=lg〔x﹣2y〕2=lg〔xy〕，∴x2+4y2﹣4xy=xy∴〔x﹣y〕〔x﹣4y〕=0∴x=y〔舍〕或x=4y∴xy=选C．7、方程log2〔x+4〕=2x的根的情况是〔〕 A、仅有一根 B、有两个正根 C、有一正根和一个负根 D、有两个负根专题：数形结合。选C．8、如果方程lg2x+〔lg7+lg5〕lgx+lg7•lg5=0的两根为α、β，那么α•β的值是〔〕 A、lg7•lg5 B、lg35 C、35 D、1分析：由题意知，lgα，lgβ是一元二次方程x2+〔lg7+lg5〕x+lg7•lg5=0的两根，依据根与系数的关系得lgα+lgβ=﹣〔lg7+lg5〕，再根据对数的运算性质可求得α•β的值．∴α•β的值是1359、〔2n+1〕2•2﹣2n﹣1÷4n=21﹣2n；2∣log120.3∣﹣1分析：利用有理指数幂的运算化简〔2n+1〕2•2﹣2n﹣1÷4n，用对数性质化简后两个代数式．解答：解：〔2n+1〕2•2﹣2n﹣1÷4n=22n+2﹣2n﹣1﹣2n=21﹣2n2∣lo故答案为：210、log（2﹣1）〔3+22〕=﹣2；log89•log2732=解答：解：3+22=（2+1）2log89•log2732=lg9lg8lg32〔lg5〕2+lg2•lg50=〔lg5〕2+lg105•lg5×10=〔lg5〕2故答案为：﹣2；10912、方程〔4x+4﹣x〕﹣2〔2x+2﹣x〕+2=0的解集是{0}．解答：解：令t=2x+2﹣x＞0，那么4x+4﹣x=t2﹣2原方程可以变为t2﹣2t=0，故t=2，或者t=0〔舍〕故有2x+2﹣x=2即〔2x〕2﹣2×2x+1=0∴〔2x﹣1〕2=0∴2x=1即x=0故方程的解集为{0}13、方程xlgx=10的所有实数根之积是1．解答：解：方程xlgx=10的两边取常用对数，可得lg2x=1，∴lgx=±1，所以x=10或x=1实数根之积为1．故答案为：114、不查表，求值：lg5﹣lg2+lg22﹣3log32﹣1=﹣3．分析：根据对数运算法那么且lg5=1﹣lg2，可直接得到答案．解答：解：∵lg5﹣lg2+lg22﹣3log32﹣1=1﹣lg2﹣12lg2+3故答案为：0．15、不查表求值：2log23+log（解答：解：2log23+log（2+3）（故答案为﹣193．16、〔1〕log310=a，log625=b，试用a，b表示log445．〔2〕log627=a，试用a表示log1816．分析：〔1〕先用换底公式用a表示lg3，再用换底公式化简log625=b，把lg3代入求出lg2，再化简log445，把lg3、lg2的表达式代入即可用a，b表示log445．〔2〕先用换底公式化简log1816，由条件求出lg3，再把它代入化简后的log1816的式子．17、化简：x﹣1x23解答：解：x﹣1x23+x13+1=x=﹣x18、假设α、β是方程lg2x﹣lgx2﹣2=0的两根，求logαβ+logβα的值．分析：利用对数的原式法那么化简方程；将方程看成关于lgx的二次方程，利用根与系数的关系得lgα+lgβ=2，lgα•lgβ=﹣2；利用换底公式将待求的式子用以10为底的对数表示，将得到的等式代入求出值．解答：解：原方程等价于lg2x﹣2lgx﹣2=0∵α，β是方程的两个根所以lgα+lgβ=2，lgα•lgβ=﹣2所以logαβ+即logαβ+logβα=﹣319、解以下方程〔1〕logx+2〔4x+5〕﹣log4x+5〔x2+4x+4〕﹣1=0；〔2〕32x+5=5•3x+2+2；考点：对数的运算性质；有理数指数幂的运算性质。分析：〔1〕应用对数换底公式，换元法，解一元二次方程，然后复原对数解答即可．〔2〕直接换元，解一元二次方程，然后再解指数方程即可．解答：解：〔1〕logx+2〔4x+5〕﹣log4x+5〔x2+4x+4〕﹣1=0化为logx+2〔4x+5〕﹣2[logx+2〔4x+5〕]﹣1﹣1=0令t=logx+2〔4x+5〕上式化为：t当logx+2〔4x+5〕=﹣1时解得x=﹣1或x=﹣9当logx+2〔4x+5〕=2时有x2=1，解得x=﹣1〔舍去〕，x=1〔2〕32x+5=5•3x+2+2令t=3x+2上式化为3t2﹣5t﹣2=0解得t=﹣13即3x+2=2x+2=log32所以x=log20、解关于x的方程．〔1〕log〔x+a〕2x=2．〔2〕log4〔3﹣x〕+log〔3+x〕=log4〔1﹣x〕+log〔2x+1〕；〔3〕（3+22）〔4〕