家教资料高中数学必修一复习资料

必修1第一章集合与函数概念〖1.1〗集合【1.1.1】集合的含义与表示〔1〕集合的概念集合中的元素具有确定性、互异性和无序性.〔2〕常用数集及其记法表示自然数集，或表示正整数集，表示整数集，表示有理数集，表示实数集.〔3〕集合与元素间的关系对象与集合的关系是，或者，两者必居其一.〔4〕集合的表示法①自然语言法：用文字表达的形式来描述集合.②列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合.③描述法：{|具有的性质}，其中为集合的代表元素.④图示法：用数轴或韦恩图来表示集合.〔5〕集合的分类①含有有限个元素的集合叫做有限集.②含有无限个元素的集合叫做无限集.③不含有任何元素的集合叫做空集().【1.1.2】集合间的根本关系〔6〕子集、真子集、集合相等名称记号意义性质示意图子集〔或A中的任一元素都属于B(1)AA(2)(3)假设且，那么(4)假设且，那么或真子集AB〔或BA〕，且B中至少有一元素不属于A〔1〕〔A为非空子集〕(2)假设且，那么集合相等A中的任一元素都属于B，B中的任一元素都属于A(1)AB(2)BA〔7〕集合有个元素，那么它有个子集，它有个真子集，它有个非空子集，它有非空真子集.【1.1.3】集合的根本运算〔8〕交集、并集、补集名称记号意义性质示意图交集且〔1〕〔2〕〔3〕并集或〔1〕〔2〕〔3〕补集〔1〕〔2〕〔3〕〔4〕【补充知识】含绝对值的不等式与一元二次不等式的解法〔1〕含绝对值的不等式的解法不等式解集或把看成一个整体，化成，型不等式来求解〔2〕一元二次不等式的解法判别式二次函数的图象一元二次方程的根〔其中无实根的解集或的解集〖1.2〗函数及其表示【1.2.1】函数的概念〔1〕函数的概念①设、是两个非空的数集，如果按照某种对应法那么，对于集合中任何一个数，在集合中都有唯一确定的数和它对应，那么这样的对应〔包括集合，以及到的对应法那么〕叫做集合到的一个函数，记作．②函数的三要素:定义域、值域和对应法那么．③只有定义域相同，且对应法那么也相同的两个函数才是同一函数．〔2〕区间的概念及表示法①设是两个实数，且，满足的实数的集合叫做闭区间，记做；满足的实数的集合叫做开区间，记做；满足，或的实数的集合叫做半开半闭区间，分别记做，；满足的实数的集合分别记做．注意：对于集合与区间，前者可以大于或等于，而后者必须．〔3〕求函数的定义域时，一般遵循以下原那么：①是整式时，定义域是全体实数．②是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数．③是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合．④对数函数的真数大于零，当对数或指数函数的底数中含变量时，底数须大于零且不等于1．⑤中，．⑥零〔负〕指数幂的底数不能为零．⑦假设是由有限个根本初等函数的四那么运算而合成的函数时，那么其定义域一般是各根本初等函数的定义域的交集．⑧对于求复合函数定义域问题，一般步骤是：假设的定义域为，其复合函数的定义域应由不等式解出．⑨对于含字母参数的函数，求其定义域，根据问题具体情况需对字母参数进行分类讨论．⑩由实际问题确定的函数，其定义域除使函数有意义外，还要符合问题的实际意义．〔4〕求函数的值域或最值求函数最值的常用方法和求函数值域的方法根本上是相同的．事实上，如果在函数的值域中存在一个最小〔大〕数，这个数就是函数的最小〔大〕值．因此求函数的最值与值域，其实质是相同的，只是提问的角度不同．求函数值域与最值的常用方法：①观察法：对于比拟简单的函数，我们可以通过观察直接得到值域或最值．②配方法：将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和，然后根据变量的取值范围确定函数的值域或最值．③判别式法：假设函数可以化成一个系数含有的关于的二次方程，那么在时，由于为实数，故必须有，从而确定函数的值域或最值．④不等式法：利用根本不等式确定函数的值域或最值．⑤换元法：通过变量代换到达化繁为简、化难为易的目的，三角代换可将代数函数的最值问题转化为三角函数的最值问题．⑥反函数法：利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系确定函数的值域或最值．⑦数形结合法：利用函数图象或几何方法确定函数的值域或最值．⑧函数的单调性法．【1.2.2】函数的表示法〔5〕函数的表示方法表示函数的方法，常用的有解析法、列表法、图象法三种．解析法：就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系．列表法：就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系．图象法：就是用图象表示两个变量之间的对应关系．〔6〕映射的概念①设、是两个集合，如果按照某种对应法那么，对于集合中任何一个元素，在集合中都有唯一的元素和它对应，那么这样的对应〔包括集合，以及到的对应法那么〕叫做集合到的映射，记作．②给定一个集合到集合的映射，且．如果元素和元素对应，那么我们把元素叫做元素的象，元素叫做元素的原象．〖1.3〗函数的根本性质【1.3.1】单调性与最大〔小〕值〔1〕函数的单调性①定义及判定方法函数的性质定义图象判定方法函数的单调性如果对于属于定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值x1、x2,当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说f(x)在这个区间上是增函数．〔1〕利用定义〔2〕利用函数的单调性〔3〕利用函数图象〔在某个区间图象上升为增〕〔4〕利用复合函数如果对于属于定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值x1、x2，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就说f(x)在这个区间上是减函数．〔1〕利用定义〔2〕利用函数的单调性〔3〕利用函数图象〔在某个区间图象下降为减〕〔4〕利用复合函数②在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数．③对于复合函数，令，假设为增，为增，那么为增；假设为减，为减，那么为增；假设为增，为减，那么为减；假设为减，为增，那么为减．〔2〕打“√〞函数的图象与性质yyxo分别在、上为增函数，分别在、上为减函数．〔3〕最大〔小〕值定义①一般地，设函数的定义域为，如果存在实数满足：〔1〕对于任意的，都有；〔2〕存在，使得．那么，我们称是函数的最大值，记作．②一般地，设函数的定义域为，如果存在实数满足：〔1〕对于任意的，都有；〔2〕存在，使得．那么，我们称是函数的最小值，记作．【1.3.2】奇偶性〔4〕函数的奇偶性①定义及判定方法函数的性质定义图象判定方法函数的奇偶性如果对于函数f(x)定义域内任意一个x，都有f(－x)=－f(x),那么函数f(x)叫做奇函数．〔1〕利用定义〔要先判断定义域是否关于原点对称〕〔2〕利用图象〔图象关于原点对称〕如果对于函数f(x)定义域内任意一个x，都有f(－x)=f(x),那么函数f(x)叫做偶函数．〔1〕利用定义〔要先判断定义域是否关于原点对称〕〔2〕利用图象〔图象关于y轴对称〕②假设函数为奇函数，且在处有定义，那么．③奇函数在轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在轴两侧相对称的区间增减性相反．④在公共定义域内，两个偶函数〔或奇函数〕的和〔或差〕仍是偶函数〔或奇函数〕，两个偶函数〔或奇函数〕的积〔或商〕是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积〔或商〕是奇函数．〖补充知识〗函数的图象〔1〕作图利用描点法作图：①确定函数的定义域；②化解函数解析式；③讨论函数的性质〔奇偶性、单调性〕；④画出函数的图象．利用根本函数图象的变换作图：要准确记忆一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、三角函数等各种根本初等函数的图象．①平移变换②伸缩变换③对称变换〔2〕识图对于给定函数的图象，要能从图象的左右、上下分别范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性，注意图象与函数解析式中参数的关系．〔3〕用图函数图象形象地显示了函数的性质，为研究数量关系问题提供了“形〞的直观性，它是探求解题途径，获得问题结果的重要工具．要重视数形结合解题的思想方法．第一章集合与函数概念第一讲集合★热点考点题型探析考点一：集合的定义及其关系题型1：集合元素的根本特征[例1]〔2023年江西理〕定义集合运算：．设，那么集合的所有元素之和为〔〕A．0；B．2；C．3；D．6[解题思路]根据的定义，让在中逐一取值，让在中逐一取值，在值就是的元素[解析]：正确解答此题,必需清楚集合中的元素，显然，根据题中定义的集合运算知=，故应选择D【名师指引】这类将新定义的运算引入集合的问题因为背景公平，所以成为高考的一个热点，这时要充分理解所定义的运算即可，但要特别注意集合元素的互异性。题型2：集合间的根本关系[例2]．数集与之的关系是〔〕A．；B．；C．；D．[解题思路]可有两种思路：一是将和的元素列举出来，然后进行判断；也可依选择支之间的关系进行判断。[解析]从题意看，数集与之间必然有关系，如果A成立，那么D就成立，这不可能；同样，B也不能成立；而如果D成立，那么A、B中必有一个成立，这也不可能，所以只能是C【名师指引】新定义问题是高考的一个热点，解决这类问题的方法就是严格根据题中的定义，逐个进行检验，不方便进行检验的，就设法举反例。考点二：集合的根本运算[例3]设集合，假设，求实数的值；〔2〕假设，求实数的取值范围假设，[解题思路]对于含参数的集合的运算，首先解出不含参数的集合，然后根据条件求参数。[解析]因为，〔1〕由知，，从而得，即，解得或当时，，满足条件；当时，，满足条件所以或〔2〕对于集合，由因为，所以①当，即时，，满足条件；②当，即时，，满足条件；③当，即时，才能满足条件，由根与系数的关系得，矛盾故实数的取值范围是【名师指引】对于比拟抽象的集合，在探究它们的关系时，要先对它们进行化简。同时，要注意集合的子集要考虑空与不空,不要忘了集合本身和空集这两种特殊情况.第2讲函数与映射的概念求值域的几种常用方法〔1〕配方法：对于〔可化为〕“二次函数型〞的函数常用配方法，如求函数，可变为解决〔2〕根本函数法：一些由根本函数复合而成的函数可以利用根本函数的值域来求，如函数就是利用函数和的值域来求。〔3〕判别式法：通过对二次方程的实根的判别求值域。如求函数的值域由得，假设，那么得，所以是函数值域中的一个值；假设，那么由得，故所求值域是〔4〕别离常数法：常用来求“分式型〞函数的值域。如求函数的值域，因为，而，所以，故〔5〕利用根本不等式求值域：如求函数的值域当时，；当时，，假设，那么假设，那么，从而得所求值域是〔6〕利用函数的单调性求求值域：如求函数的值域因，故函数在上递减、在上递增、在上递减、在上递增，从而可得所求值域为〔7〕图象法：如果函数的图象比拟容易作出，那么可根据图象直观地得出函数的值域〔求某些分段函数的值域常用此法〕。★热点考点题型探析考点一：判断两函数是否为同一个函数[例1]试判断以下各组函数是否表示同一函数？〔1〕，；〔2〕，〔3〕，〔n∈N*〕；〔4〕，；〔5〕，[解题思路]要判断两个函数是否表示同一个函数，就要考查函数的三要素。[解析]〔1〕由于，，故它们的值域及对应法那么都不相同，所以它们不是同一函数.〔2〕由于函数的定义域为，而的定义域为R，所以它们不是同一函数.〔3〕由于当n∈N*时，2n±1为奇数，∴，，它们的定义域、值域及对应法那么都相同，所以它们是同一函数.〔4〕由于函数的定义域为，而的定义域为，它们的定义域不同，所以它们不是同一函数.〔5〕函数的定义域、值域和对应法那么都相同，所以它们是同一函数.[答案]〔1〕、〔2〕、〔4〕不是；〔3〕、〔5〕是同一函数【名师指引】构成函数的三个要素是定义域、对应关系和值域．由于值域是由定义域和对应关系确定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数为同一函数。都可视为同一函数.考点二：求函数的定义域、值域题型1：求有解析式的函数的定义域[例2].〔08年湖北〕函数的定义域为()A.;B.；C.;D.[解题思路]函数的定义域应是使得函数表达式的各个局部都有意义的自变量的取值范围。[解析]欲使函数有意义，必须并且只需，故应选择【名师指引】如没有标明定义域，那么认为定义域为使得函数解析式有意义的的取值范围，实际操作时要注意：①分母不能为0；②对数的真数必须为正；③偶次根式中被开方数应为非负数；④零指数幂中，底数不等于0；⑤负分数指数幂中，底数应大于0；⑥假设解析式由几个局部组成，那么定义域为各个局部相应集合的交集；⑦如果涉及实际问题，还应使得实际问题有意义，而且注意：研究函数的有关问题一定要注意定义域优先原那么，实际问题的定义域不要漏写。题型2：求抽象函数的定义域[例3]〔2006·湖北〕设，那么的定义域为〔〕A.；B.；C.；D.[解题思路]要求复合函数的定义域，应先求的定义域。[解析]由得，的定义域为，故解得。故的定义域为.选B.【名师指引】求复合函数定义域,即函数的定义为，那么函数的定义域是满足不等式的x的取值范围；一般地，假设函数的定义域是，指的是，要求的定义域就是时的值域。题型3；求函数的值域[例4]函数，假设恒成立，求的值域[解题思路]应先由条件确定取值范围，然后再将中的绝对值化去之后求值域[解析]依题意，恒成立，那么，解得，所以，从而，，所以的值域是【名师指引】求函数的值域也是高考热点，往往都要依据函数的单调性求函数的最值。考点三：映射的概念[例5]〔06陕西〕为确保信息平安，信息需加密传输，发送方由明文密文〔加密〕，接收方由密文明文〔解密〕，加密规那么为：明文对应密文例如，明文对应密文当接收方收到密文时，那么解密得到的明文为〔〕A．；B．；C．；D．[解题思路]密文与明文之间是有对应规那么的，只要按照对应规那么进行对应即可。[解析]当接收方收到密文14，9，23，28时，有，解得，解密得到的明文为C．【名师指引】理解映射的概念，应注意以下几点：〔1〕集合A、B及对应法那么f是确定的，是一个整体系统；〔2〕对应法那么有“方向性〞，即强调从集合A到集合B的对应，它与从集合B到集合A的对应关系一般是不同的；〔3〕集合A中每一个元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的，这是映射区别于一般对应的本质特征；〔4〕集合A中不同元素，在集合B中对应的象可以是同一个；〔5〕不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象.第3讲函数的表示方法★热点考点题型探析考点1：用图像法表示函数[例1]〔09年广东南海中学〕一水池有个进水口,个出水口,一个口的进、出水的速度如图甲点到点,该水池的蓄水量如图丙所示．给出以下个论断：进水量出水量蓄水量甲乙丙〔1〕点到点只进水不出水；〔2〕点到点不进水只出水；〔3〕点到点不进水不出水．那么一定不正确的论断是(把你认为是符合题意的论断序号都填上).[解题思路]根据题意和所给出的图象，对三个论断进行确认即可。[解析]由图甲知，每个进水口进水速度为每小时1个单位，两个进水口1个小时共进水2个单位，3个小时共进水6个单位，由图丙知①正确；而由图丙知，3点到4点应该是有一个进水口进水，出水口出水，故②错误；由图丙知，4点到6点可能是不进水不出水，也可能是两个进水口都进水，同时出水口也出水，故③不一定正确。从而一定不正确的论断是〔2〕【名师指引】象这类给出函数图象让考生从图象获取信息的问题是目前高考的一个热点，它要求考生熟悉根本的函数图象特征，善于从图象中发现其性质。高考中的热点题型是“知式选图〞和“知图选式〞。考点2：用列表法表示函数[例2]〔07年北京〕函数，分别由下表给出123131123321那么的值为；满足的的值是[解题思路]这是用列表的方法给出函数，就依照表中的对应关系解决问题。[解析]由表中对应值知=；当时，，不满足条件当时，，满足条件，当时，，不满足条件，∴满足的的值是【名师指引】用列表法表示函数具有明显的对应关系，解决问题的关键是从表格发现对应关系，用好对应关系即可。考点3：用解析法表示函数题型1：由复合函数的解析式求原来函数的解析式[例3]〔04湖北改编〕=，那么的解析式可取为[解题思路]这是复合函数的解析式求原来函数的解析式，应该首选换元法[解析]令，那么，∴.∴.故应填【名师指引】求函数解析式的常用方法有：①换元法〔注意新元的取值范围〕；②待定系数法〔函数类型如：一次、二次函数、反比例函数等〕；③整体代换〔配凑法〕；④构造方程组〔如自变量互为倒数、为奇函数且为偶函数等〕。题型2：求二次函数的解析式[例4]〔普宁市城东中学09届高三第二次月考〕二次函数满足，且。⑴求的解析式；⑵在区间上，的图象恒在的图象上方，试确定实数的范围。[解题思路]〔1〕由于是二次函数，故可应用待定系数法求解；〔2〕用数表示形，可得求对于恒成立，从而通过别离参数，求函数的最值即可。[解析]⑴设，那么与条件比拟得：解之得，又，⑵由题意得：即对恒成立，易得【名师指引】如果函数的类型，那么可利用待定系数法求解；通过别离参数求函数的最值来获得参数的取值范围是一种常用方法。考点4：分段函数题型1：根据分段函数的图象写解析式[例5](07年湖北)为了预防流感，某学校对教室用药物消毒法进行消毒。药物释放过程中，室内每立方米空气中含药量y〔毫克〕与时间t〔小时〕成正比；药物释放完毕后，y与t的函数关系式为〔a为常数〕，如下图，根据图中提供的信息，答复以下问题：〔Ⅰ〕从药物释放开妈，每立方米空气中的含药量y〔毫克〕与时间t〔小时〕之间的函数关系式为；〔Ⅱ〕据测定，当空气中每立方米的含药量降低到毫克以下时，学生方可进教室，那么从药物释放开始，至少需要经过小时后，学生才能回到教室。[思路点拨]根据题意，药物释放过程的含药量y〔毫克〕与时间t是一次函数，药物释放完毕后，y与t的函数关系是的，由特殊点的坐标确定其中的参数，然后再由所得的表达式解决〔Ⅱ〕[解析]〔Ⅰ〕观察图象，当时是直线，故；当时，图象过所以，即，所以〔Ⅰ〕，所以至少需要经过小时【名师指引】分段函数的每一段一般都是由根本初等函数组成的，解决方法是分段处理。题型2：由分段函数的解析式画出它的图象例6](2006·上海)设函数，在区间上画出函数的图像。[思路点拨]需将来绝对值符号翻开，即先解，然后依分界点将函数分段表示，再画出图象。[解析],如右上图.【名师指引】分段函数的解决方法是分段处理，要注意分段函数的表示方法，它是用联立符号将函数在定义域的各个局部的表达式依次表示出来，同时附上自变量的各取值范围。第4讲函数的单调性与最值★热点考点题型探析考点1函数的单调性题型1：讨论函数的单调性[例1](2023广东)设,函数.试讨论函数的单调性.[解题思路]分段函数要分段处理，由于每一段都是根本初等函数的复合函数，所以应该用导数来研究。[解析]:因为,所以.(1)当x<1时，1-x>0，①当时，在上恒成立，故F(x)在区间上单调递增；②当时，令，解得，且当时，；当时，故F(x)在区间上单调递减,在区间上单调递增；(2)当x>1时，x-1>0，①当时，在上恒成立，故F(x)在区间上单调递减；②当时，令，解得，且当时，；当时，故F(x)在区间上单调递减,在区间上单调递增；综上得，①当k=0时，F(x)在区间上单调递增，F(x)在区间上单调递减；②当k<0时，F(x)在区间上单调递增，在区间上单调递减,在区间上单调递增；③当时，F(x)在区间上单调递减,在区间上单调递增,在区间上单调递减.【名师指引】求函数的单调区间或研究函数的单调性是高考的一个热点，分段落函数用注意分段处理.题型2：研究抽象函数的单调性[例2]定义在R上的函数，，当x＞0时，，且对任意的a、b∈R，有f〔a+b〕=f〔a〕·f〔b〕.〔1〕求证：f〔0〕=1；〔2〕求证：对任意的x∈R，恒有f〔x〕＞0；〔3〕求证：f〔x〕是R上的增函数；〔4〕假设f〔x〕·f〔2x－x2〕＞1，求x的取值范围.[解题思路]抽象函数问题要充分利用“恒成立〞进行“赋值〞，从关键等式和不等式的特点入手。[解析]〔1〕证明：令a=b=0，那么f〔0〕=f2〔0〕.又f〔0〕≠0，∴f〔0〕=1.〔2〕证明：当x＜0时，－x＞0，∴f〔0〕=f〔x〕·f〔－x〕=1.∴f〔－x〕=x≥0时f〔x〕≥1＞0，∴x∈R时，恒有f〔x〕＞0.〔3〕证明：设x1＜x2，那么x2－x1＞0.∴f〔x2〕=f〔x2－x1+x1〕=f〔x2－x1〕·f〔x1〕.∵x2－x1＞0，∴f〔x2－x1〕＞1.又f〔x1〕＞0，∴f〔x2－x1〕·f〔x1〕＞f〔x1〕.∴f〔x2〕＞f〔x1〕.∴f〔x〕是R上的增函数.〔4〕解：由f〔x〕·f〔2x－x2〕＞1，f〔0〕=1得f〔3x－x2〕＞f〔0〕.又f〔x〕是R上的增函数，∴3x－x2＞0.∴0＜x＜3.【名师指引】解此题的关键是灵活应用题目条件，尤其是〔3〕中“f〔x2〕=f［〔x2－x1〕+x1］〞是证明单调性的关键，这里表达了向条件化归的策略.考点2函数的值域〔最值〕的求法题型1：求分式函数的最值[例3]〔2000年上海〕函数当时，求函数的最小值；[解题思路]当时，，这是典型的“对钩函数〞，欲求其最小值，可以考虑均值不等式或导数；[解析]当时，，。在区间上为增函数。在区间上的最小值为。【名师指引】对于函数假设，那么优先考虑用均值不等式求最小值，但要注意等号是否成立，否那么会得到而认为其最小值为，但实际上，要取得等号，必须使得，这时所以，用均值不等式来求最值时，必须注意：一正、二定、三相等，缺一不可。其次,不等式恒成立问题常转化为求函数的最值。此题考查求函数的最小值的三种通法：利用均值不等式，利用函数单调性，二次函数的配方法，考查不等式恒成立问题以及转化化归思想；题型2：利用函数的最值求参数的取值范围[例4]〔2000年上海〕函数假设对任意恒成立,试求实数的取值范围。[解题思路]欲求参数的取值范围，应从恒成立的具体情况开始。[解析]在区间上恒成立；在区间上恒成立；在区间上恒成立；函数在区间上的最小值为3，即【名师指引】这里利用了别离参数的方法，将问题转化为求函数的最值。题型3：求三次多项式函数的最值[例5]〔09年高州中学〕为实数，函数，假设，求函数在上的最大值和最小值。[解题思路]求三次多项式函数在闭区间上的最值，应该用导数作为工具来研究其单调性。[解析]∵，……3分……4分得：当……5分当……6分因此，在区间内单调递减，而在内单调递减，且又，，………………10分【名师指引】用导数来研究其单调性和最值是高考考查的重点和热点，同时也是难点，要求考生熟练掌握用导数来研究其单调性和最值的方法和步骤。第5讲函数的奇偶性和周期性★热点考点题型探析考点1判断函数的奇偶性及其应用题型1：判断有解析式的函数的奇偶性[例1]判断以下函数的奇偶性：〔1〕f〔x〕=|x+1|－|x－1|；〔2〕f〔x〕=〔x－1〕·；〔3〕；〔4〕[思路点拨]判断函数的奇偶性应依照定义解决，但都要先考查函数的定义域。[解析]〔1〕函数的定义域x∈〔－∞，+∞〕，对称于原点.∵f〔－x〕=|－x+1|－|－x－1|=|x－1|－|x+1|=－〔|x+1|－|x－1|〕=－f〔x〕，∴f〔x〕=|x+1|－|x－1|是奇函数.≥0，得－1≤x＜1，其定义域不对称于原点，所以f〔x〕既不是奇函数也不是偶函数.〔3〕去掉绝对值符号，根据定义判断.由得=，∴f〔－x〕==－=－f〔x〕故f〔x〕为奇函数.〔4〕∵函数f〔x〕的定义域是〔－∞，0〕∪〔0，+∞〕，并且当x＞0时，－x＜0，∴f〔－x〕=〔－x〕［1－〔－x〕］=－x〔1+x〕=－f〔x〕〔x＞0〕.当x＜0时，－x＞0，∴f〔－x〕=－x〔1－x〕=－f〔x〕〔x＜0〕.故函数f〔x〕为奇函数.【名师指引】eq\o\ac(○,1)函数的奇偶性是函数的一个整体性质,定义域具有对称性(即假设奇函数或偶函数的定义域为D,那么时)是一个函数为奇函数或偶函数的必要条件eq\o\ac(○,2)分段函数的奇偶性一般要分段证明.③判断函数的奇偶性应先求定义域再化简函数解析式.题型2：证明抽象函数的奇偶性[例2]〔09年山东梁山〕定义在区间上的函数f(x)满足：对任意的，都有.求证f(x)为奇函数；[思路点拨]欲证明为奇函数，就要证明，但这是抽象函数，应设法充分利用条件“对任意的，都有〞中的进行合理“赋值〞[解析]令x=y=0，那么f(0)+f(0)=∴f(0)=0令x∈(－1,1)∴－x∈(－1,1)∴f(x)+f(－x)=f()=f(0)=0∴f(－x)=－f(x)∴f(x)在(－1，1)上为奇函数【名师指引】对于抽象函数的奇偶性问题，解决的关键是巧妙进行“赋值〞，而抽象函数的不等式问题，要灵活利用条件，尤其是f(x1)－f(x2)=f(x1)+f(－x2)考点2函数奇偶性、单调性的综合应用[例3]〔普宁市城东中学09〕奇函数是定义在上的减函数，假设，求实数的取值范围。[思路点拨]欲求的取值范围，就要建立关于的不等式，可见，只有从出发，所以应该利用的奇偶性和单调性将外衣“〞脱去。[解析]是定义在上奇函数对任意有由条件得=是定义在上减函数，解得实数的取值范围是【名师指引】利用函数的奇偶性可以求对称区间上的函数的表达式[例4]设函数f(x)是定义在R上的偶函数，并在区间(－∞,0)内单调递增，f(2a2+a+1)<f(3a2－2a+1).求a的取值范围，并在该范围内求函数y=()的单调递减区间.[思路点拨]欲由f(2a2+a+1)<f(3a2－2a+1)求a的取值范围，就要设法利用函数f(x)的单调性。而函数y=()是一个复合函数，应该利用复合函数单调性的判定方法解决[解析]设0<x1<x2,那么－x2<－x1<0，∵f(x)在区间(－∞,0)内单调递增，∴f(－x2)<f(－x1),∵f(x)为偶函数，∴f(－x2)=f(x2),f(－x1)=f(x1),∴f(x2)<f(x1).∴f(x)在(0，+∞)内单调递减.由f(2a2+a+1)<f(3a2－2a+1)得：2a2+a+1>3a2－2a+1.解之，得0<a<3.又a2－3a+1=(a－)2－.∴函数y=()的单调减区间是结合0<a<3,得函数y=()的单调递减区间为［，3).【名师指引】偶函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相反，而奇函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相同。考点3函数奇偶性、周期性的综合应用[例5]〔09年惠州第三次调研考〕定义在上的偶函数满足对于恒成立，且，那么________[思路点拨]欲求，应该寻找的一个起点值，发现的周期性[解析]由得到，从而得，可见是以4为周期的函数，从而，又由等式得又由是上的偶函数得又在等式中令得，即所以【名师指引】近年将函数的奇偶性、周期性综合在一起考查逐步成为一个热点，解决问题的关键是发现函数的周期性〔奇偶性〕。必修1第二章根本初等函数(Ⅰ)〖2.1〗指数函数【2.1.1】指数与指数幂的运算〔1〕根式的概念①如果，且，那么叫做的次方根．当是奇数时，的次方根用符号表示；当是偶数时，正数的正的次方根用符号表示，负的次方根用符号表示；0的次方根是0；负数没有次方根．②式子叫做根式，这里叫做根指数，叫做被开方数．当为奇数时，为任意实数；当为偶数时，．③根式的性质：；当为奇数时，；当为偶数时，．〔2〕分数指数幂的概念①正数的正分数指数幂的意义是：且．0的正分数指数幂等于0．②正数的负分数指数幂的意义是：且．0的负分数指数幂没有意义．注意口诀：底数取倒数，指数取相反数．〔3〕分数指数幂的运算性质①②③【2.1.2】指数函数及其性质〔4〕指数函数函数名称指数函数定义0101函数且叫做指数函数0101图象定义域值域过定点图象过定点，即当时，．奇偶性非奇非偶单调性在上是增函数在上是减函数函数值的变化情况变化对 图象的影响在第一象限内，越大图象越高；在第二象限内，越大图象越低．〖2.2〗对数函数【2.2.1】对数与对数运算〔1〕对数的定义①假设，那么叫做以为底的对数，记作，其中叫做底数，叫做真数．②负数和零没有对数．③对数式与指数式的互化：．〔2〕几个重要的对数恒等式，，．〔3〕常用对数与自然对数常用对数：，即；自然对数：，即〔其中…〕．〔4〕对数的运算性质如果，那么①加法：②减法：③数乘：④⑤⑥换底公式：【2.2.2】对数函数及其性质〔5〕对数函数函数名称对数函数定义函数且叫做对数函数图象001001定义域值域过定点图象过定点，即当时，．奇偶性非奇非偶单调性在上是增函数在上是减函数函数值的变化情况变化对 图象的影响在第一象限内，越大图象越靠低；在第四象限内，越大图象越靠高．(6)反函数的概念设函数的定义域为，值域为，从式子中解出，得式子．如果对于在中的任何一个值，通过式子，在中都有唯一确定的值和它对应，那么式子表示是的函数，函数叫做函数的反函数，记作，习惯上改写成．〔7〕反函数的求法①确定反函数的定义域，即原函数的值域；②从原函数式中反解出；③将改写成，并注明反函数的定义域．〔8〕反函数的性质①原函数与反函数的图象关于直线对称．②函数的定义域、值域分别是其反函数的值域、定义域．③假设在原函数的图象上，那么在反函数的图象上．④一般地，函数要有反函数那么它必须为单调函数．〖2.3〗幂函数〔1〕幂函数的定义一般地，函数叫做幂函数，其中为自变量，是常数．〔2〕幂函数的图象〔3〕幂函数的性质①图象分布：幂函数图象分布在第一、二、三象限，第四象限无图象．幂函数是偶函数时，图象分布在第一、二象限(图象关于轴对称)；是奇函数时，图象分布在第一、三象限(图象关于原点对称)；是非奇非偶函数时，图象只分布在第一象限．②过定点：所有的幂函数在都有定义，并且图象都通过点．③单调性：如果，那么幂函数的图象过原点，并且在上为增函数．如果，那么幂函数的图象在上为减函数，在第一象限内，图象无限接近轴与轴．④奇偶性：当为奇数时，幂函数为奇函数，当为偶数时，幂函数为偶函数．当〔其中互质，和〕，假设为奇数为奇数时，那么是奇函数，假设为奇数为偶数时，那么是偶函数，假设为偶数为奇数时，那么是非奇非偶函数．⑤图象特征：幂函数，当时，假设，其图象在直线下方，假设，其图象在直线上方，当时，假设，其图象在直线上方，假设，其图象在直线下方．〖补充知识〗二次函数〔1〕二次函数解析式的三种形式①一般式：②顶点式：③两根式：〔2〕求二次函数解析式的方法①三个点坐标时，宜用一般式．②抛物线的顶点坐标或与对称轴有关或与最大〔小〕值有关时，常使用顶点式．③假设抛物线与轴有两个交点，且横线坐标时，选用两根式求更方便．〔3〕二次函数图象的性质①二次函数的图象是一条抛物线，对称轴方程为顶点坐标是．②当时，抛物线开口向上，函数在上递减，在上递增，当时，；当时，抛物线开口向下，函数在上递增，在上递减，当时，．③二次函数当时，图象与轴有两个交点．〔4〕一元二次方程根的分布一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容，这局部知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理〔韦达定理〕的运用，下面结合二次函数图象的性质，系统地来分析一元二次方程实根的分布．设一元二次方程的两实根为，且．令，从以下四个方面来分析此类问题：①开口方向：②对称轴位置：③判别式：④端点函数值符号．①k＜x1≤x2EQ\b\lc\{(\a\al(△＝b2－4ac≥0,af(k)＞0,－\f(b,2a)＞k))②x1≤x2＜kEQ\b\lc\{(\a\al(△＝b2－4ac≥0,af(k)＞0,－\f(b,2a)＜k))③x1＜k＜x2af(k)＜0④k1＜x1≤x2＜k2EQ\b\lc\{(\a\al(△＝b2－4ac≥0,a＞0,f(k1)＞0,f(k2)＞0,k1＜－\f(b,2a)＜k2))或\b\lc\{(\a\al(△＝b2－4ac≥0,a＜0,f(k1)＜0,f(k2)＜0,k1＜－\f(b,2a)＜k2))⑤有且仅有一个根x1〔或x2〕满足k1＜x1〔或x2〕＜k2f(k1)f(k2)0，并同时考虑f(k1)=0或f(k2)=0这两种情况是否也符合⑥k1＜x1＜k2≤p1＜x2＜p2EQ\b\lc\{(\a\al(a＞0,f(k1)＞0,f(k2)＜0,f(p1)＜0,f(p2)＞0))或\b\lc\{(\a\al(a＜0,f(k1)＜0,f(k2)＞0,f(p1)＞0,f(p2)＜0))此结论可直接由⑤推出．〔5〕二次函数在闭区间上的最值设在区间上的最大值为，最小值为，令．〔Ⅰ〕当时〔开口向上〕最小值假设，那么②假设，那么xyxy0aOabx2pqf(p)f(q)xy0aOabx2pqf(p)f(q)③假设，那么xxy0aOabx2pqf(p)f(q)最大值假设，那么②，那么xyxy0aOabx2pqf(p)f(q)xy0aOabx2pqf(p)f(q)(Ⅱ)当时(开口向下)最大值①假设，那么②假设，那么xyxy0aOabx2pqf(p)f(q)xy0aOabx2pqf(p)f(q)③假设，那么xxy0aOabx2pqf(p)f(q)最小值①假设，那么②，那么．xyxy0aOabx2pqf(p)f(q)xy0aOabx2pqf(p)f(q)~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~·~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~第1讲§2.1.1指数与指数幂的运算¤学习目标：理解有理指数幂的含义，通过具体实例了解实数指数幂的意义，掌握根式与分数指数幂的互化，掌握有理数指数幂的运算.¤知识要点：1.假设，那么x叫做a的n次方根，记为，其中n>1，且.n次方根具有如下性质：〔1〕在实数范围内，正数的奇次方根是一个正数，负数的奇次方根是一个负数；正数的偶次方根是两个绝对值相等、符号相反的数，负数的偶次方根没有意义；零的任何次方根都是零.〔2〕n次方根〔〕有如下恒等式：；；，〔a0〕.2.规定正数的分数指数幂：〔〕；.¤例题精讲：【例1】求以下各式的值：〔1〕〔〕；〔2〕.解：〔1〕当n为奇数时，；当n为偶数时，.〔2〕.当时，；当时，.【例2】，求的值.解：.【例3】化简：〔1〕；〔2〕〔a＞0，b＞0〕；〔3〕.解：〔1〕原式=.〔2〕原式====.〔3〕原式=.点评：根式化分数指数幂时，切记不能混淆，注意将根指数化为分母，幂指数化为分子，根号的嵌套，化为幂的幂.正确转化和运用幂的运算性质，是复杂根式化简的关键.【例4】化简与求值：〔1〕；〔2〕.解：〔1〕原式====4.〔2〕原式===.点评：形如的双重根式，当是一个平方数时，那么能通过配方法去掉双重根号，这也是双重根号能否开方的判别技巧.而分母有理化中，常常用到的是平方差公式，第2小题也表达了一种消去法的思想.第〔1〕小题还可用平方法，即先算得原式的平方，再开方而得.第2讲§2.1.2指数函数及其性质〔一〕¤学习目标：理解指数函数的概念和意义，能借助计算器或计算机画出具体指数函数的图像，探索并理解指数函数的单调性与特殊点，掌握指数函数的性质.¤知识要点：1.定义：一般地，函数叫做指数函数〔exponentialfunction〕，其中x是自变量，函数的定义域为R.2.以函数与的图象为例，观察这一对函数的图象，可总结出如下性质：定义域为R，值域为；当时，，即图象过定点；当时，在R上是减函数，当时，在R上是增函数.¤例题精讲：【例1】求以下函数的定义域：〔1〕；〔2〕；〔3〕.解：〔1〕要使有意义，其中自变量x需满足，即.∴其定义域为.〔2〕要使有意义，其中自变量x需满足，即.∴其定义域为.〔3〕要使有意义，其中自变量x需满足，即.∴其定义域为.【例2】求以下函数的值域：〔1〕；〔2〕解：〔1〕观察易知，那么有.∴原函数的值域为.〔2〕.令，易知.那么.结合二次函数的图象，由其对称轴观察得到在上为增函数，所以.∴原函数的值域为.【例3】〔05年福建卷.理5文6〕函数的图象如图，其中a、b为常数，那么以下结论正确的选项是〔〕.A． B．C． D．解：从曲线的变化趋势，可以得到函数为减函数，从而0<a<1；从曲线位置看，是由函数的图象向左平移|-b|个单位而得，所以-b>0，即b<0.所以选D.点评：观察图象变化趋势，得到函数的单调性，结合指数函数的单调性，得到参数a的范围.根据所给函数式的平移变换规律，得到参数b的范围.也可以取x=1时的特殊点，得到，从而b<0.【例4】函数.〔1〕求该函数的图象恒过的定点坐标；〔2〕指出该函数的单调性.解：〔1〕当，即时，.所以，该函数的图象恒过定点.〔2〕∵是减函数，∴当时，在R上是增函数；当时，在R上是减函数.点评：底数两种情况的辨析，实质就是分类讨论思想的运用.而含参指数型函数的研究，要求正确处理与参数相关的变与不变.第3讲§2.1.2指数函数及其性质〔二〕¤学习目标：在解决简单实际问题的过程中，体会指数函数是一类重要的函数模型.掌握指数函数的性质及应用.¤知识要点：以函数与的图象为例，得出这以下结论：〔1〕函数的图象与的图象关于y轴对称.〔2〕指数函数的图象在第一象限内，图象由下至上，底数由下到大.¤例题精讲：【例1】按从小到大的顺序排列以下各数：，，，.解：构造四个指数函数，分别为，，，，它们在第一象限内，图象由下至上，依次是，，，.如右图所示.由于，所以从小到大依次排列是：，，，.点评：利用指数函数图象的分步规律，巧妙地解决了同指数的幂的大小比拟问题.当然，我们在后面的学习中，可以直接利用幂函数的单调性来比拟此类大小.【例2】.〔1〕讨论的奇偶性；〔2〕讨论的单调性.解：〔1〕的定义域为R.∵.∴为奇函数.〔2〕设任意，且，那么.由于，从而，即.∴，即.∴为增函数.点评：在这里，奇偶性与单调性的判别，都是直接利用知识的定义来解决.需要我们理解两个定义，掌握其运用的根本模式，并能熟练的进行代数变形，得到理想中的结果.【例3】求以下函数的单调区间：〔1〕；〔2〕.解：〔1〕设.由知，在上为减函数，在上为增函数.根据的单调性，当时，y关于u为增函数；当时，y关于u为减函数.∴当时，原函数的增区间为，减区间为；当时，原函数的增区间为，减区间为.〔2〕函数的定义域为.设.易知为减函数.而根据的图象可以得到，在区间与上，y关于u均为减函数.∴在上，原函数为增函数；在上，原函数也为增函数.点评：研究形如的函数的单调性，可以有如下结论：当时，函数的单调性与的单调性相同；当时，函数的单调性与的单调性相反.而对于形如的函数单调性的研究，也需结合的单调性及的单调性进行研究.复合函数的单调性研究，遵循一般步骤和结论，即：分别求出与两个函数的单调性，再按口诀“同增异减〞得出复合后的单调性，即两个函数同为增函数或者同为减函数，那么复合后结果为增函数；假设两个函数一增一减，那么复合后结果为减函数.为何有“同增异减〞？我们可以抓住“x的变化→的变化→的变化〞这样一条思路进行分析.第4讲§2.2.1对数与对数运算〔一〕¤学习目标：理解对数的概念；能够说明对数与指数的关系；掌握对数式与指数式的相互转化，并能运用指对互化关系研究一些问题.¤知识要点：1.定般地，如果，那么数x叫做以a为底N的对数〔logarithm〕.记作，其中a叫做对数的底数，N叫做真数2.我们通常将以10为底的对数叫做常用对数〔commonlogarithm〕，并把常用对数简记为lgN在科学技术中常使用以无理数……为底的对数，以e为底的对数叫自然对数，并把自然对数简记作lnN3.根据对数的定义，得到对数与指数间的互化关系：当时，.4.负数与零没有对数；，¤例题精讲：【例1】将以下指数式化为对数式，对数式化为指数式：〔1〕；〔2〕；〔3〕；〔4〕；〔5〕；〔6〕ln100=4.606.解：〔1〕；〔2〕；〔3〕；〔4〕；〔5〕；〔6〕.【例2】计算以下各式的值：〔1〕；〔2〕；〔3〕.解：〔1〕设，那么，即，解得.所以，.〔2〕设，那么，即，解得.所以，.〔3〕设，那么，即，解得.所以，.【例3】求证：〔1〕；〔2〕.证明：〔1〕设，那么，解得.所以.〔2〕设，，那么，.因为，那么.所以，.点评：对数运算性质是对数运算的灵魂，其推导以对数定义得到的指对互化关系为桥梁，结合指数运算的性质而得到.我们需熟知各种运算性质的推导.【例4】试推导出换底公式：〔，且；，且；〕.证明：设，，，那么，，.从而，即.由于，那么.所以，.点评：换底公式是解决对数运算中底数不相同时的核心工具.其推导也密切联系指数运算性质，牢牢扣住指对互化关系.第5讲§2.2.1对数与对数运算〔二〕¤学习目标：通过阅读材料，了解对数的发现历史以及对简化运算的作用；理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；理解推导这些运算性质的依据和过程；能较熟练地运用运算性质解决问题.¤知识要点：1.对数的运算法那么：，，，其中，.三条法那么是有力的解题工具，能化简与求值复杂的对数式.2.对数的换底公式.如果令b=N，那么得到了对数的倒数公式.同样，也可以推导出一些对数恒等式，如，，等.¤例题精讲：【例1】化简与求值：〔1〕；〔2〕.解：〔1〕原式=====.〔2〕原式====.【例2】假设，那么=.〔教材P83B组2题〕解：由，得，.那么.【例3】〔1〕方程的解x=________；〔2〕设是方程的两个根，那么的值是.解：〔1〕由，得，即，整理为.解得x=－5或x=2.∵x＞0，∴x=2.〔2〕设，那么原方程化为，其两根为.由，得到.点评：同底法是解简单对数方程的法宝，化同底的过程中需要结合对数的运算性质.第2小题巧妙利用了换元思想和一元二次方程根与系数的关系.【例4】〔1〕化简：；〔2〕设，求实数m的值.解：〔1〕原式=.〔2〕原式左边=,∴，解得.点评：换底时，一般情况下可以换为任意的底数，但习惯于化为常用对数.换底之后，注意结合对数的运算性质完成后阶段的运算.第6讲§2.2.2对数函数及其性质〔一〕¤学习目标：通过具体实例，直观了解对数函数模型所刻画的数量关系，初步理解对数函数的概念，体会对数函数是一类重要的函数模型；能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图像，探索并了解对数函数的单调性与特殊点.¤知识要点：1.定义：一般地，当a＞0且a≠1时，函数叫做对数函数(logarithmicfunction).自变量是x；函数的定义域是〔0，+∞〕.2.由与的图象，可以归纳出对数函数的性质：定义域为，值域为R；当时，，即图象过定点；当时，在上递减，当时，在上递增.¤例题精讲：【例1】比拟大小：〔1〕，，；〔2〕，，.解：〔1〕∵在上是减函数，且，∴.又，所以.〔2〕由，得.又，，所以.【例2】求以下函数的定义域：〔1〕；〔2〕.解：〔1〕由，得，解得.所以原函数的定义域为.〔2〕由，即，所以，解得.所以，原函数的定义域为.【例3】函数的区间上总有，求实数a的取值范围.解：∵，∴当时，，即.∵，∴，解得.当时，，即.∵，∴，解得.综上可得，实数a的取值范围是.点评：先对底数a分两种情况讨论，再利用函数的单调性及条件，列出关于参数a的不等式组，解不等式〔组〕而得到参数的范围.解决此类问题的关键是合理转化与分类讨论，不等式法求参数范围.【例4】求不等式中x的取值范围.解：当时，原不等式化为，解得.当时