专题04 正比例函数与反比例函数 解答题之压轴题训练（沪教版）（解析版）-2021-2022学年第一学期八年级压轴题训练（沪教版）

专题04正比例函数与反比例函数解答题之压轴题训练1.（2019大同10月26）已知正比例函数y=3x图像上点P的横坐标为–2，点P关于x轴对称点为Q.（1）求经过点Q的正比例函数解析式；（2）若点M在（1）中的正比例函数图像上，且△MPQ的面积为15，求点M的坐标；（3）点O为坐标原点，若OQ=，在y轴上能否找到一点N，使△OQN是以OQ为腰的三角形，若能请直接写出点N；若不能请说明理由.【答案】（1）；（2）或；（3）N或N或N（0，12）；【解析】解：（1）由题意得，点Q为点P关于x轴的对称点，则.设经过点Q的正比例函数解析式为，代入得：k=-3，故经过点Q的正比例函数解析式为;(2)设点M的坐标为，=，解得或，所以或；（3）若OQ=ON，则N或N；若QO=QN，则N（0，12）；综上述，以OQ为腰的△OQN的点N的坐标为：N或N或N（0，12）.2.（长宁西延安2019期中27）已知在平面直角坐标中，点在第一象限内，且，反比例函数的图像经过点，（1）当点的坐标为时（如图），求这个反比例函数的解析式；（2）当点在反比例函数的图像上，且在点的右侧时（如图2），用含字母的代数式表示点的坐标；（3）在第（2）小题的条件下，求的值．【答案】（1）；（2）；（3）；【解析】解：（1）如图1，过A作AC⊥OB，交x轴于点C，∵OA=AB，∠OAB=90°，

∴△AOB为等腰直角三角形，∴AC=OC=BC=OB=3，∴A（3，3），将x=3，y=3代入反比例解析式得：3=，即k=9，则反比例解析式为y=；（2）如图2，过A作AE⊥x轴，过B作BD⊥AE，∵∠OAB=90°，∴∠OAE+∠BAD=90°，∵∠AOE+∠OAE=90°，∴∠BAD=∠AOE，在△AOE和△BAD中，∴△AOE≌△BAD（AAS），∴AE=BD=n，OE=AD=m，∴DE=AE-AD=n-m，OE+BD=m+n，

则B（m+n，n-m）；（3）由A与B都在反比例图象上，得到mn=（m+n）（n-m），

整理得：n2-m2=mn，即（）2+-1=0，这里a=1，b=1，c=-1，∵△=1+4=5，∴=，∵A（m，n）在第一象限，∴m＞0，n＞0，则=．3.（松江区2019期中29）如图，在平面直角坐标系中，点A（4，0）、点B（0，4），过原点的直线交直线AB于点P.∠BAO的度数为º，△AOB的面积为；当直线的解析式为时，求△AOP的面积；当时，求直线的解析式.【答案】（1）45°；8；（2）6；（3）；【解析】解：（1）∵OB=OA，∠BOA=90°，∴∠BAO=45°，==8；（2）过点P作PD⊥OA交x轴于点D（如图），设OD=a，则：PD=AD=3a，∴OA=OD+AD=4a=4，∴a=1，PD=3，∴；（3）过点P作PE⊥OA交x轴于点E（如图），设PE=k，则EA=PE=k，由题意：=2，∴=2，∴k=1,OE=OA-EA=3,∴P（3，1），所以直线的解析式为：.4.（嘉定区2019期中29）直线经过原点和点，点的坐标为.（1）求直线所对应的函数解析式;（2）当P在线段OA上时，设点横坐标为，三角形的面积为，写出关于的函数解析式，并指出自变量的取值范围；（3）当P在射线OA上时，在坐标轴上有一点,使（正整数），请直接写出点的坐标（本小题只要写出结果，不需要写出解题过程）【答案】（1）；（2）；（3）【解析】解：（1）设直线l的解析式为y=kx，把点A坐标代入得到6=3k，∴k=2，∴直线l的解析式为y=2x．（2）∵P（x，2x），B（6，0），∴S=×6×2x=6x，（0＜x≤3）；（3）∵点B的坐标为（6，0），点C在坐标轴上，①当点C在x轴上时，则△BOP和△COP是同高三角形，∵S△BOP：S△COP=2：m，∴，∴OC=3m，∴C（3m，0）或（-3m，0）；②当点C在y轴上时，∵P（x，2x），S△BOP：S△COP=2：m，∴，即，∴OC=6m，∴C（0，6m）或（0，-6m）．5.（西南模2019期中27）在平面直角坐标系中（如图），点为直线和双曲线的一个交点.（1）求、的值；（2）若点，在直线上有一点P，使得，请求出点P的坐标；（3）在双曲线是否存在点M，使得，若存在，请求出点M的坐标；若不存在请说明理由.【答案】(1)，；(2)P1（4，-1）,P2（-12，3）；(3);【解析】解：（1）∵点在直线和双曲线的图像上，∴，；（2）设直线与反比例函数的另一个交点为C（4，-1）.由对称性知OA=OC，当点P与点C重合时，，此时P1（4，-1）；当点P在OA的延长线上时，P2A=AC时，，此时P2（-12，3）；（3）如图，将OA绕点O顺时针旋转90°，则,取的中点D，作直线OD交第二象限的双曲线于M，此时∠AOM=45°，∵，∴OD直线表达式：，由，解得或，∵点M在第二象限，∴.6.（川中南2020期末24）如图，直线与双曲线交于A点，且点A的横坐标是4．双曲线上有一动点C（m，n）,.过点A作轴垂线，垂足为B，过点C作轴垂线，垂足为D，联结OC．（1）求的值；（2）设的重合部分的面积为S，求S与m的函数关系；（3）联结AC，当第（2）问中S的值为1时，求的面积．【答案】（1）k=8；（2）；（3）6；【解析】解:（1）设A点的坐标为（4，）；由题意得：，解得：k=8，即k的值为8．（2）如图，设C点的坐标为C（m，n）．则n=m，即DE=m；而OD=m，∴S=OD•DE=m×m=m2，即S关于m的函数解析式是S=m2．（3）当S=1时，m2=1，解得m=2或-2（舍去），∵点C在函数y=的图象上，∴CD==4；由（1）知：OB=4，AB=2；BD=4-2=2；∴S梯形ABDC＝(4+2)×2=6，S△AOB＝×4×2＝4，S△COD＝×2×4=4；∴S△AOC=S梯形ABDC+S△COD-S△AOB=6+4-4=6．7.（静安市西2020期末26）如图，已知直线与双曲线在第一象限交于点，且点的横坐标为4，点在双曲线上.（1）求双曲线的函数解析式；（2）若点的纵坐标为8，试判断形状，并说明理由.【答案】（1）；（2）直角三角形，理由见解析；【解析】解：（1）将x=4代入，得y=2，∴点A的坐标为（4，2），将A（4，2）代入，得k=8，∴（2）△OAB是直角三角形．理由：y=8代入中，得x=1，∴B点的坐标为（1，8），又A（4，2），O（0，0），由两点间距离公式得OA＝2，AB＝3，OB＝，∵OA2+AB2=20+45=65=OB2，∴△OAB是直角三角形．8.（静安附校2020期末26）参照反比例函数研究的内容与方法，研究下列函数：（1）研究函数：①画出它的图像；②它的图像是什么图形？可看作怎样的图形经过怎样的平移得到？③说明它所具有的性质.（2）研究函数的图像与性质；（3）由（1）（2）的图像经过平移，你还能得出怎样的函数图像与性质，请举例说明；（4）研究函数的图像与性质.【答案与解析】解：(1)①图像略；②它的图像是双曲线，可看作双曲线向上平移1个单位得到；③图像的两个分支在y轴两侧，在每一侧y随x的增大而减小；图像的两支都无限接近于直线y=1和x=0,但不会与它们相交；（2）函数的图像是双曲线，可看作是双曲线向左平移3个单位得到；图像的两个分支在直线x=-3的两侧，在每一侧y随x的增大而减小，图像的两支都无限接近于直线y=0和x=-3,但不会与它们相交；（3），（只要写一个）；（4）函数==，它的图像是双曲线，可看作双曲线向右平移2个单位，再向上平移4个单位得到；图像的两个分支在直线x=2的两侧，在每一侧y随x的增大而减小，图像的两支都无限接近于直线y=4和x=2，但不会与它们相交.9.（浦东部分校2020期末27）如图，在平面直角坐标系中，OA⊥OB，AB⊥x轴于点C，点在反比例函数的图像上.（1）求反比例函数的表达式；（2）求△AOB的面积；（3）在坐标轴上是否存在一点P，使得以O、B、P三点为顶点的三角形是等腰三角形，若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，简述你的理由.【答案】（1）；（2）；（3），，，，，；【解析】解：（1）把代入反比例函数，得，所以反比例函数表达式为：；（2）∵，OA⊥OB，AB⊥x轴于C，∴OC=，AC=1，∴OA=，∴∠AOC=30°，∵OA⊥OB，∴∠AOB=90°，∴∠B=∠AOC=30°，∴AB=2OA=4，∴=；（3）可知，OB=2.当BO=BP时，可得，；当OB=OP时，可得，，；当PO＝PB时，可得，综上所述：，，，，，．10.（崇明部分校2019期中26）为了预防流感，某学校在用药熏消毒法对教室进行消毒.已知药物释放过程中，室内每立方米空气含药量y(毫克)与时间t(小时)成正比；药物释放完毕后，y与t的函数关系为（k为常数，k≠0）.请根据图中提供的信息，解答下列问题：（1）分别求出从药物释放开始，y与t之间的两个函数关系式；（2）据测定，当空气中每立方米含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进入教室，那么从药物释放开始，至少需要经过多少小时后，学生才能进入教室？【答案】(1)和；（2）6小时；【解析】解：（1）把A（3，0.5）代入，得，所以,把y=1代入，得，∴，设OB表达式：，点代入得，所以OB表达式为：；答：y与t之间的两个函数关系式为和；（2）把y=0.25代入，得t=6；答：至少需要经过6小时后，学生才能进入教室.11.（金山区2019期中28）如图，正方形ABCD的各边都平行于坐标轴，且在第一象限内，点A、C分别在直线和上.（1）如果点A的横坐标为8，AD=10，求点D的坐标；（2）如果点A在直线上运动，求点B所在直线的正比例函数解析式；（3）当四边形OADC的面积为170时，求点C的坐标.【答案】(1);（2）；（3）；【解析】解：（1）x=8代入y=2x中得，y=16，得A（8，16），又AD=10，∴；（2）设A(a，2a),,则，由BC=AB，得，得，∴，∴直线OB的解析式为；（3）A(a，2a),，∴=170，解得a=8或a=-8（舍去），∴.12.（2019徐汇南模12月28）如图,在平面直角坐标系中,直线与双曲线交于点.(1)求和值；(2)过轴的点作平行于轴的直线,分别于直线与双曲线交于点P、Q,求△OPQ面积；(3)根据图像,写出正比例函数值大于反比例函数值的的取值范围.【答案】（1）m=4，k=4；（2）16；（3）或；【解析】解：（1）∵直线与双曲线交于点,∴即，∴代入，得k=4，故m=4，k=4；（2）x=3时，代入中得，代入得，∴，∴==16；（3）根据图像可知，正比例函数值大于反比例函数值的x的取值范围是：或.

13.（长宁区2021期末25）如图，在直角坐标平面内，点是坐标原点，点坐标为，将直线绕点顺时针旋转后得到直线．（1）求直线的表达式；（2）求的值；（3）在直线上有一点，其纵坐标为1．若轴上存在点，使是等腰三角形，请直接写出满足要求的点的坐标．【答案】（1）y=x；（2）k=；（3）当△ABC是等腰三角形时，点C的坐标为（，0）或（6,0）或（，0）；【解析】解：（1）设直线OA的解析式为y=mx，将点A坐标代入，得3m=4，解得m=，∴直线OA的解析式为y=x；（2）如图，作AE⊥OA交直线y=kx于E，AD⊥x轴于D，EH⊥AD于H，∵∠AOE=，∠OAE=，∴∠AEO=∠AOE=，∴OA=AE，∵AD⊥x，，EH⊥AD，∴∠ADO=∠AHE=∠OAE=，∴∠OAD+∠HAE=∠HAE+∠AEH=，∴∠OAD=∠AEH，∴△OAD≌△AEH，∴AH=OD=3，EH=AD=4，∴HD=1，∴点E的坐标为（7,1），将点E的坐标代入y=kx中，得7k=1，解得k=；（3）∵点B在直线y=x上，纵坐标为1，∴点B与点E重合，即B（7,1），∵A（3，4