模型02 几何图形初步-双角平分线-教师版

几何图形初步模型（二）——双角平分线◎【结论1】如图，已知OP为∠AOB内一条射线，OM平分∠BOP，ON平分∠AOP，则∠MON=∠AOB【证明】∵OM平分∠BOP，ON平分∠AOP，∴∠POM=∠BOP，∠PON=∠AOP，∴∠MON=∠POM+∠PON=∠BOP+∠AOP=（∠BOP+∠AOP）=∠AOB【奇思妙想消消消：等号左边∠POM，∠PON消掉共同字母P,得∠MON。等号右边∠BOP，∠AOP消掉共同字母P，得∠AOB】◎【结论2】如图，已知OP为∠AOB外一条射线，OM平分∠BOP，ON平分∠AOP，则∠MON=∠AOB【证明】∵OM平分∠BOP，ON平分∠AOP，∴∠POM=∠BOP，∠PON=∠AOP，∴∠MON=∠POM-∠PON=∠BOP-∠AOP=（∠BOP-∠AOP）=∠AOB【奇思妙想消消消：等号左边∠POM，∠PON消掉共同字母P,得∠MON。等号右边∠BOP，∠AOP消掉共同字母P，得∠AOB】【典例】1．（2023·全国·七年级专题练习）如图，OB平分∠AOD，OC平分∠BOD，∠AOC＝45°，则∠BOC＝（

）A．5° B．10° C．15° D．20°【答案】C【分析】利用角平分线得到∠AOB=∠BOD=2∠BOC，利用角的和差求得∠AOC=∠AOB+∠BOC=2∠BOC+∠BOC=3∠BOC，即可求出∠BOC．【详解】解：∵OC平分∠BOD，∴∠BOD=2∠BOC，∵OB平分∠AOD，∴∠AOB=∠BOD=2∠BOC，∵∠AOC=45°，∴∠AOC=∠AOB+∠BOC=2∠BOC+∠BOC=3∠BOC=45°，∴∠BOC=∠AOC=15°，故选：C．【点睛】此题是角平分线的定义，解本题的关键是找到角与角之间的关系，也可以方程的思想解决本题．2．（2023·全国·七年级课时练习）如图，∠AOB=120°，OC是∠AOB内部任意一条射线，OD，OE分别是∠AOC，∠BOC的角平分线，下列叙述正确的是（

）A．∠DOE的度数不能确定 B．∠AOD=∠EOCC．∠AOD+∠BOE=60° D．∠BOE=2∠COD【答案】C【分析】依据OD、OE分别是∠AOC、∠BOC的平分线，即可得出∠AOD+∠BOE=∠EOC+∠COD=∠DOE=60°，结合选项得出正确结论．【详解】∵OD、OE分别是∠AOC、∠BOC的平分线，∴∠AOD=∠COD，∠EOC=∠BOE．又∵∠AOD+∠BOE+∠EOC+∠COD=∠AOB=120°，∴∠AOD+∠BOE=∠EOC+∠COD=∠DOE=60°．故选C．【点睛】本题考查了角的平分线的性质，理解角平分线将角分成相等的两部分是解题的关键．1．（2023·山东·万杰朝阳学校七年级阶段练习）如图，已知OC是∠AOB的平分线，OD是∠AOC的平分线，且∠AOD=30°，则∠AOB的度数为_______．【答案】120°【分析】根据角平分线的定义求出∠AOC，同理可得∠AOB．【详解】解：∵OD平分∠AOC，∠AOD=30°，∴∠AOC=2∠AOD=60°，∵OC平分∠AOB，∴∠AOB=2∠AOC=120°，故答案为：120°．【点睛】此题主要考查了角平分线的定义，正确把握定义是解题关键．2．（2023·黑龙江·哈尔滨市第四十九中学校期中）如图，平分，OE平分，则的度数为_______．【答案】30°##30度【分析】根据角平分线的定义可知：，可求得，由此即可求得．【详解】解：∵，平分，∴，∴，∵OE平分，∴，故答案为：30°．【点睛】本题主要考查的是角平分线的定义，利用定义进行求角度是解题的关键．3．（2023·重庆彭水·七年级期末）如图，已知，，OB平分，OD平分，则的度数为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据，OB平分，可知，根据，OD平分，可知，由此可以求出．【详解】解：∵，OB平分，∴；∵，OD平分，∴，∴．故选：C．【点睛】本题主要考查的是角的计算、角平分线的定义，解决本题的关键在于掌握角平分线的定义．4．（2023·全国·七年级课时练习）把一副三角尺按如图所示拼在一起，如图，其中B，C，D三点在同一条直线上，∠ACB=45°，∠DCE=60°．（1）若CM和CN分别平分∠ACB和∠DCE，如图1，则∠MCN的度数为___________；（2）若CM平分∠BCE，CN平分∠DCA，如图2，则∠MCN的度数为___________．【答案】

52.5°【分析】(1)利用角平分线的定义求出∠ACM、∠ECN，可得结论；(2)利用角平分线的定义求出∠BCM、∠CAN，可得结论．【详解】（1）CM和CN分别平分∠ACB和∠DCE，∠ACB=45°，∠DCE=60°∴，∴.（2），∴，CM平分∠BCE∴∴同理则∴.【点睛】本题考查三角形内角和定理，角平分线的定义等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．1．（2019·山西·一模）已知中，射线在内部，是的平分线，是的平分线．（1）若如图1，求的度数；（2）若在（1）的基础上增加了，如图2，求的度数；（3）若射线在的外部，如图3(与在直线的同侧)，求的度数．【答案】（1）45°；（2）；（3）【分析】（1）根据角平分线的定义进行角度的计算即可得解；（2）根据角平分线的定义进行角度的计算即可得解；（3）根据角平分线的定义进行角度的计算即可得解.【详解】（1）是的平分线，是的平分线，∴，；（2）同（1）得，；（3）是的平分线，是的平分线，.【点睛】本题主要考查了角平分线的定义，熟练掌握角平分线的角度计算方法是解决本题的关键.2．（2019·四川南充·一模）已知是内部任意的一条射线，，分别是、的平分线.（1）若，，求的度数；（2）若，求的度数.【答案】（1）50°；（2）.【分析】（1）根据角平分线的性质可得和的度数，然后可求出的度数；（1）根据，结合角平分线的性质可得的度数．【详解】解：（1）∵、分别是、的平分线∴，∵，∴∴

（2）∵、分别是、的平分线∴、．【点睛】本题考查了角平分线的性质和等量代换，熟练掌握并准确计算是解题的关键．3．（2023·浙江杭州·模拟预测）如图所示，点，，在同一条直线上，，，是的平分线.（1）求的度数；（2）是的平分线吗？为什么？（3）请直接写出图中所有与互余的角.【答案】（1）40°；（2）是的平分线，理由见解析；（3）图中与互余的角有，.【分析】（1）根据是的平分线得,再利用即可解题