专题2.3 角平分线模型(压轴题专项讲练)(浙教版)(解析版)_第1页
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文档简介

专题2.3角平分线模型【典例1】在△ABC中,AE、BF是角平分线,交于O点.(1)如图1,AD是高,∠BAC=50°,∠C=70°,求∠DAC和∠BOA的度数.(2)如图2,若OE=OF,AC≠BC,求∠C的度数.(3)如图3,若∠C=90°,BC=8,AC=6,AB=10,求S△AOB.【思路点拨】(1)根据垂直的定义得到∠ADC=90°,根据角平分线的定义得到∠ABO=30°,根据三角形的内角和即可得到结论;(2)连接OC,根据角平分线的性质得到OM=ON,根据全等三角形的性质得到∠EOM=∠FOH,根据角平分线的定义即可得到结论;(3)连接OC,过O作OD⊥AB于D,OG⊥BC于G,OH⊥AC于H,根据角平分线的性质得到OD=OG=OH,根据三角形的面积公式即可得的结论.【解题过程】解:(1)∵AD⊥BC,∴∠ADC=90°,∵∠C=70°,∴∠DAC=180°﹣90°﹣70°=20°;∵∠BAC=50°,∠C=70°,∴∠BAO=25°,∠ABC=60°,∵BF是∠ABC的角平分线,∴∠ABO=30°,∴∠BOA=180°﹣∠BAO﹣∠ABO=180°﹣25°﹣30°=125°;(2)如图2,连接OC,∵AE、BF是角平分线,交于O点,∴OC是∠ACB的角平分线,∴∠OCF=∠OCE,过O作OM⊥BC,ON⊥AC,则OM=ON,在Rt△OEM与Rt△OFN中,OE=OFOM=ON∴Rt△OEM≌Rt△OFN,(HL),∴∠EOM=∠FON,∴∠MON=∠EOF=180°﹣∠ACB,∵AE、BF是角平分线,∴∠AOB=90°+12∠即90°+12∠ACB=180°﹣∠∴∠ACB=60°;(3)如图3,连接OC,过O作OD⊥AB于D,OG⊥BC于G,OH⊥AC于H,∵AE、BF是角平分线,交于O点,∴OD=OG=OH,∴S△ABC=12×8×6=12×10OD+∴OD=2,∴S△AOB=12×10×21.(2022春•振兴区校级期末)如图,△ABC的三边AB,BC,CA的长分别为15,20,25,点O是△ABC三条角平分线的交点,则S△ABO:S△BCO:S△CAO等于()A.1:1:1 B.1:2:3 C.2:3:4 D.3:4:5【思路点拨】过O点作OD⊥AB于D,OE⊥BC于E,OF⊥CA于F,如图,利用角平分线的性质得到OD=OE=OF,然后根据三角形面积公式得到S△ABO:S△BCO:S△CAO=AB:BC:AC.【解题过程】解:过O点作OD⊥AB于D,OE⊥BC于E,OF⊥CA于F,如图,∵点O是△ABC三条角平分线的交点,∴OD=OE=OF,∴S△ABO:S△BCO:S△CAO=(12AB•OD):(12OE•BC):(12OF•AC)=AB:BC:AC=15:20:25=3:4故选:D.2.(2021秋•藁城区校级月考)如图,已知点P是∠AOB角平分线上的一点,∠AOB=60°,PD⊥OA,M是OP的中点,DM=4cm,如果点C是OB上一个动点,则PC的最小值为()A.2 B.1 C.4 D.3【思路点拨】过P点作PH⊥OB于H,如图,根据角平分线的性质得到PH=PD,∠AOP=30°,再根据斜边上的中线性质得到OP=2DM,所以PD=DM=4cm,然后根据垂线段最短解决问题.【解题过程】解:过P点作PH⊥OB于H,如图,∵OP平分∠AOB,∴PH=PD,∠AOP=30°,∵M是OP的中点,∴OP=2DM,∴PD=12OP=DM=4∵点C是OB上一个动点,∴PC的最小值为线段PH的长,即PC的最小值为4cm.故选:C.3.(2022春•海州区校级期末)如图,将△ABC纸片沿DE折叠,使点A落在点A'处,且A'B平分∠ABC,A'C平分∠ACB,若∠BA'C=122°,则∠1+∠2的度数为()A.116° B.100° C.128° D.120°【思路点拨】连接AA',先求出∠BAC,再证明∠1+∠2=2∠BAC,即可解答.【解题过程】解:如图,连接AA',∵A'B平分∠ABC,A'C平分∠ACB,∴∠A'BC=12∠ABC,∠A'CB=1∵∠BA'C=122°,∴∠A'BC+∠A'CB=180°﹣122°=58°,∴∠ABC+∠ACB=116°,∴∠BAC=180°﹣116°=64°,∵△ABC纸片沿DE折叠,∴∠DAA'=∠DA'A,∠EAA'=∠EA'A,∵∠1=∠DAA'+∠DA'A=2∠DAA',∠2=∠EAA'+∠EA'A=2∠EAA',∴∠1+∠2=2∠DAA'+2∠EAA'=2∠BAC=2×58°=128°,故选:C.4.(2021秋•全椒县期末)如图,在△ABC中,PM⊥AB于点M,PN⊥AC于点N,且PM=PN,点Q在AC上,∠PAQ=∠APQ,则下面结论中不一定正确的是()A.AM=AN B.∠BAP=∠CAP C.PQ∥AB D.PQ=PC【思路点拨】可利用角平分线的性质判断选项B,利用HL判断选项A,利用平行线的判定定理判定选项C.【解题过程】解:∵PM⊥AB于点M,PN⊥AC于点N,PM=PN,∴点P在∠BAC的角平分线上.∴∠BAP=∠CAP,故选项B正确;∵∠PAQ=∠APQ,∴∠BAP=∠APQ.∴PQ∥AB,故选项C正确;在Rt△APM和Rt△APN中,PM=PNAP=AP∴Rt△APM≌Rt△APN(HL).∴AM=AN,故选项A正确;由于不能说明∠C与∠CQP相等,也不能直接证明PQ与PC相等,故选项D错误.故选:D.5.(2022春•南岗区校级期末)如图,在△ABC中,∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O,过点O作EF∥BC交AB于E,交AC于F,过点O作OD⊥AC于D.下列四个结论:①∠BOC=90°+12∠A,②∠EBO=12∠AEF,③∠DOC+∠OCB=90°,④设OD=m,AE+AF=n,则SA.1个 B.2个 C.3个 D.4个【思路点拨】利用角平分线的定义得到∠OBC=12∠ABC,∠OCB=12∠ACB,则∠OBC+∠OCB=12(∠ABC+∠ACB),再根据三角形内角和定理得到180°﹣∠BOC=12(180°﹣∠A),则可对①进行判断;根据平行线的性质得到∠AEF=∠EBC,然后利用OB平分∠EBC得到∠EBO=12∠EBC,则可对②进行判断;利用互余和∠OCB=∠OCD可对【解题过程】解:∵∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O,∴∠OBC=12∠ABC,∠OCB=1∴∠OBC+∠OCB=12(∠ABC+∠∵∠OBC+∠OCB=180°﹣∠BOC,∠ABC+∠ACB=180°﹣∠A,∴180°﹣∠BOC=12(180°﹣∠∴∠BOC=90°+12∠A,所以∵EF∥BC,∴∠AEF=∠EBC,而OB平分∠EBC,∴∠EBO=12∠∴∠EBO=12∠AEF,所以∵OD⊥AC于D,∴∠ODC=90°,∴∠DOC+∠OCD=90°,∵OC平分∠BCD,∴∠OCB=∠OCD,∴∠DOC+∠OCB=90°,所以③正确;∵∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O,∴O点到BA和BC的距离相等,O点到BC和AC的距离相等,∴O点到AB的距离等于OD的长,即O点到AE的距离等于m,∴S△AEF=12AE•m+12AF•m=12m(AE+AF故选:D.6.(2021秋•黄石期末)如图,△ABC中,∠ACF、∠EAC的角平分线CP、AP交于点P,延长BA、BC,PM⊥BE,PN⊥BF.则下列结论中正确的个数()①BP平分∠ABC;②∠ABC+2∠APC=180°;③∠CAB=2∠CPB;④S△PAC=S△MAP+S△NCP.A.1个 B.2个 C.3个 D.4个【思路点拨】过P作PQ⊥AC于Q,根据角平分线的性质得出PQ=PN,PQ=PM,求出PQ=PM=PN,求出∠PMA=∠PNC=∠PQA=∠PQC=90°,根据全等三角形的判定得出Rt△PMA≌Rt△PQA,Rt△PQC≌Rt△PNC,再逐个判断即可.【解题过程】解:过P作PQ⊥AC于Q,∵∠ACF、∠EAC的角平分线CP、AP交于点P,PM⊥BE,PN⊥BF,∴PM=PQ,PQ=PN,∴PM=PN,∴P在∠ABC的角平分线上,即BP平分∠ABC,故①正确;∵PM⊥AB,PN⊥BC,PQ⊥AC,∴∠PMA=∠PQA=90°,∠PQC=∠PNC=90°,在Rt△PMA和Rt△PQA中,PA=PAPM=PQ∴Rt△PMA≌Rt△PQA(HL),∴∠MPA=∠QPA,同理Rt△PQC≌Rt△PNC,∴∠QPC=∠NPC,∵∠PMA=∠PNC=90°,∴∠ABC+∠MPN=360°﹣90°﹣90°=180°,∴∠ABC+2∠APC=180°,故②正确;∵PC平分∠FCA,BP平分∠ABC,∴∠FCA=∠ABC+∠CAB=2∠PCN,又∵∠PCN=12∠ABC+∠∴∠ABC+∠CAB=2(12∠ABC+∠CPB∴∠CAB=2∠CPB,故③正确;∵Rt△PMA≌Rt△PQA,Rt△PQC≌Rt△PNC,∴S△PAC=S△MAP+S△NCP,故④正确;即正确的个数是4,故选:D.7.(2020秋•永城市期末)如图,∠AOP=∠BOP,PD⊥OA,C是OB上的动点,连接PC,若PD=4,则PC的最小值为4.【思路点拨】过点P作PE⊥OB于点E,先证明PD=PE=4,再根据垂线段最短得PC≥PE,即可求解.【解题过程】解:过点P作PE⊥OB于点E,∵∠AOP=∠BOP,PD⊥OA,PE⊥OB,∴PD=PE=4,∵C是OB上的动点,∴PC≥PE(垂线段最短),∴PC的最小值为4.故答案为:4.8.(2022春•双峰县期末)如图,已知EF⊥CD,EF⊥AB,MN⊥AC,M是EF的中点,只需添加ME=MN,就可使CM,AM分别为∠ACD和∠CAB的平分线.【思路点拨】根据HL判定Rt△MEC≌Rt△MNC,Rt△MFA≌Rt△MNA,即可得证.【解题过程】解:添加MN=ME,理由如下:∵EF⊥CD,MN⊥AC,∴∠MEC=∠MNC=90°,在Rt△MEC和Rt△MNC中,MN=MECM=CM∴Rt△MEC≌Rt△MNC(HL),∴∠MCE=∠MCN,∴CM平分∠ACD,∵EF⊥AB,MN⊥AC,∴∠MFA=∠MNA=90°,∵M是EF的中点,∴ME=MF,∴MN=MF,在Rt△MFA和Rt△MNA中,MF=MNAM=AM∴Rt△MFA≌Rt△MNA(HL),∴∠MAF=∠MAN,∴AM平分∠CAB,∴CM,AM分别为∠ACD和∠CAB的平分线,故答案为:ME=MN.9.(2021秋•樊城区月考)如图,AD是△ABC的角平分线,DF⊥AB,垂足为F,DE=DG,△ADG和△AED的面积分别为27和16,则△EDF的面积为5.5.【思路点拨】过D点作DH⊥AC于H,如图,先根据角平分线的性质得到DF=DH,再证明Rt△ADF≌Rt△ADH得到S△ADF=S△ADH,证明Rt△EDF≌Rt△GDH得到S△EDF=S△GDH,然后利用S△EDF+S△AED=S△ADG﹣S△GDH得到S△EDF+16=27﹣S△EDF,从而可求出S△EDF的值.【解题过程】解:过D点作DH⊥AC于H,如图,∵AD是△ABC的角平分线,DF⊥AB,DH⊥AC,∴DF=DH,在Rt△ADF和Rt△ADH中,AD=ADDF=DH∴Rt△ADF≌Rt△ADH(HL),∴S△ADF=S△ADH,在Rt△EDF和Rt△GDH中,DE=DGDF=DH∴Rt△EDF≌Rt△GDH(HL),∴S△EDF=S△GDH,∴S△EDF+S△AED=S△ADG﹣S△GDH,即S△EDF+16=27﹣S△EDF,∴S△EDF=5.5.故答案为:5.5.10.(2021秋•兴城市期末)如图,AD、CF分别是△ABC的高和角平分线,AD与CF相交于G,AE平分∠CAD交BC于E,交CF于M,连接BM交AD于H,且知BM⊥AE.有下列结论:①∠AMC=135°;②△AMH≌△BME;③∠AGC+∠BAC=180°;④BC=BH+2MH;⑤AH+CE=AC.其中,正确的结论有①②③⑤.(填序号)【思路点拨】由”双角平分线模型“可得∠AMC=135°;先证△CMA≌△CMB,从而易得出AM=BM,再利用互余得∠MAH=∠MBE,所以△AME≌△BME;表示∠AGC和∠BAC的度数,可得相加等于定角180°;由△AME≌△BME可得AH=BE,从而得AH+CE=AC;延长BM交AC于点N,先证△AMH≌△AMN得出2MH=HN,从而得到BH+2MH=BN≠BC.【解题过程】解:∵AD⊥BC,∴∠ADC=90°,∵AM、CM平分∠CAD、∠ACD,∴∠1=∠2,∠3=∠4,在△ACD中,90°+2∠2+2∠3=180°,∴∠2+∠3=45°,∴∠AMC=180°﹣(∠2+∠3)=135°.故①正确;∴∠AMF=45°,∵AD⊥DC,BM⊥AE,∴∠AMH=∠BME=∠ADB=90°,∴∠1+∠7=∠6+∠5=90°,又∵∠6=∠7,∴∠1=∠5=∠2.在△CMA和△CMB中,∠3=∠4CM=CM∴△CMA≌△CMB(ASA).∴AC=BC.∵CF平分∠ACB,∴CF⊥AB,即∠MFA=90°,∴∠MAF=180°﹣90°﹣45°=45°,∴∠MBF=180°﹣90°﹣45°=45°=∠MAF,∴MB=MA.在△AMH和△BME中,∠1=∠5AM=BM∴△AMH≌△BME(ASA).故②正确;∴AH=BE,∵BC=BE+CE,且BC=AC,∴AH+CE=AC.故⑤正确;∵∠AGC=180°﹣∠1﹣45°,∠BAC=∠MAF+∠2=45°+∠1,∴∠AGC+∠BAC=180°﹣∠1﹣45°+45°+∠1=180°,故③正确;延长BM交AC于点N,∵BM⊥AE,∴∠AMH=∠AMN=90°,在△AMH和△AMN中,∠1=∠2AM=AM∴△AMH≌△AMN(ASA).∴HM=MN,∴2MH=HN,∴BH+2MH=BM<BC,故④错误.所以正确的结论是①②③⑤.11.(2022春•海阳市期末)如图,AD∥BC,∠D=90°,∠CPB=30°,∠DAB的角平分线与∠CBA的角平分线相交于点P,且D,P,C在同一条直线上.(1)求∠PAD的度数;(2)求证:P是线段CD的中点.【思路点拨】(1)根据平行线的性质得到∠C=180°﹣∠D=90°,∠DAB+∠ABC=180°,再计算出∠PBC=60°,则利用角平分线的定义得到∠ABC=120°,所以∠DAB=60°,然后利用角平分线的定义得到∠PAD的度数;(2)过P点作PE⊥AB于E点,如图,根据角平分线的性质得到PE=PD,PE=PC,从而得到PD=PC.【解题过程】(1)解:∵AD∥BC,∴∠C=180°﹣∠D=180°﹣90°=90°,∵∠CPB=30°,∴∠PBC=90°﹣∠B=60°,∵PB平分∠ABC,∴∠ABC=2∠PBC=120°,∵AD∥BC,∴∠DAB+∠ABC=180°,∴∠DAB=180°﹣120°=60°,∵AP平分∠DAB,∴∠PAD=12∠DAB=(2)证明:过P点作PE⊥AB于E点,如图,∵AP平分∠DAB,PD⊥AD,PE⊥AB,∴PE=PD,∵BP平分∠ABC,PC⊥BC,PE⊥AB,∴PE=PC,∴PD=PC,∴P是线段CD的中点.12.(2021秋•龙江县期末)如图,△ABC中,AD平分∠BAC,DG⊥BC且平分BC,DE⊥AB于E,DF⊥AC于F.(1)说明BE=CF的理由;(2)如果AB=5,AC=3,求AE、BE的长.【思路点拨】(1)连接BD,CD,由AD平分∠BAC,DE⊥AB于E,DF⊥AC于F,根据角平分线的性质,即可得DE=DF,又由DG⊥BC且平分BC,根据线段垂直平分线的性质,可得BD=CD,继而可证得Rt△BED≌Rt△CFD,则可得BE=CF;(2)首先证得△AED≌△AFD,即可得AE=AF,然后设BE=x,由AB﹣BE=AC+CF,即可得方程5﹣x=3+x,解方程即可求得答案.【解题过程】(1)证明:连接BD,CD,∵AD平分∠BAC,DE⊥AB,DF⊥AC,∴DE=DF,∠BED=∠CFD=90°,∵DG⊥BC且平分BC,∴BD=CD,在Rt△BED与Rt△CFD中,BD=CDDE=DF∴Rt△BED≌Rt△CFD(HL),∴BE=CF;(2)解:在△AED和△AFD中,∠AED=∠AFD=90°∠EAD=∠FAD∴△AED≌△AFD(AAS),∴AE=AF,设BE=x,则CF=x,∵AB=5,AC=3,AE=AB﹣BE,AF=AC+CF,∴5﹣x=3+x,解得:x=1,∴BE=1,AE=AB﹣BE=5﹣1=4.13.(2021秋•雨花区期末)如图,△ABC中,∠ABC=60°,AD、CE分别平分∠BAC、∠ACB,AD、CE相交于点P.(1)求∠APC的度数;(2)若AE=3,CD=4,求线段AC的长.【思路点拨】(1)先由∠ABC=60°,得到∠BAC+∠BCA=120°,然后由AD、CE分别平分∠BAC、∠ACB得到∠PAC+∠PCA的值,进而得到∠APC的度数;(2)在AC上截取AF=AE,连接PF,然后证明△AEP≌△AFP,从而得到∠APE=∠APF,然后由∠APC=120°得到∠DPC=60°,从而得到∠APE=∠APF=60°,进而得到∠FPC=∠DPC=60°,再结合CE平分∠ACB、CP=CP得到△PCF≌△PCD,即可得到CD=CF,最后得到AC=AE+CD.【解题过程】解:(1)∵∠ABC=60°,∴∠BAC+∠BCA=120°,∵AD、CE分别平分∠BAC、∠ACB,∴∠PAC+∠PCA=12(∠BAC+∠BCA)=∴∠APC=120°.(2)如图,在AC上截取AF=AE,连接PF,∵AD平分∠BAC,∴∠BAD=∠CAD,在△APE和△APF中,AE=AF∠EAP=∠FAP∴△APE≌△APF(SAS),∴∠APE=∠APF,∵∠APC=120°,∴∠APE=60°,∴∠APF=∠CPD=60°=∠CPF,∵CE平分∠ACB,∴∠ACP=∠BCP,在△CPF和△CPD中,∠FPC=∠DPCCP=CP∴△CPF≌△CPD(ASA),∴CF=CD,∴AC=AF+CF=AE+CD=3+4=7.14.(2021秋•南沙区期末)如图①,在△ABC中,∠ABC和∠ACB的平分线交于点O,∠A=α.(1)如图①,若∠A=50°,求∠BOC的度数.(2)如图②,连接OA,求证:OA平分∠BAC.(3)如图③,若射线BO与∠ACB的外角平分线交于点P,求证OC⊥PC.【思路点拨】(1)利用三角形的内角和先求出∠ABC与∠ACB的和,再根据角平分的定义求出∠OBC与∠OCB的和即可解答;(2)根据角平分线的性质定理,想到过点O作OD⊥BC,OE⊥AB,OF⊥AC,垂足分别为D,E,F,证出OE=OF即可解答;(3)根据角平分的定义求出∠OCP=90°即可解答.【解题过程】(1)解:∵∠A=50°,∴∠ABC+∠ACB=180°﹣∠A=130°,∵∠ABC和∠ACB的平分线交于点O,∴∠OBC=12∠ABC,∠OCB=1∴∠OBC+∠OCB=12∠ABC+12∠∴∠BOC=180°﹣(∠OBC+∠OCB)=115°;(2)证明:过点O作OD⊥BC,OE⊥AB,OF⊥AC,垂足分别为D,E,F,∵∠ABC和∠ACB的平分线交于点O,OD⊥BC,OE⊥AB,OF⊥AC,∴OD=OE,OD=OF,∴OE=OF,∴OA平分∠BAC;(3)证明:∵OC平分∠ACB,CP平分∠ACD,∴∠ACO=12∠ACB,∠ACP=1∴∠OCP=∠ACO+∠ACP=12∠ACB+=12=1=90°,∴OC⊥CP.15.(2021秋•聊城期末)如图1,△ABC中,AB=AC,∠B、∠C的平分线交于O点,过O点作EF∥BC交AB、AC于E、F.(1)猜想:EF与BE、CF之间有怎样的关系.(2)如图2,若AB≠AC,其他条件不变,在第(1)问中EF与BE、CF间的关系还存在吗?并说明理由.(3)如图3,若△ABC中∠B的平分线BO与三角形外角平分线CO交于O,过O点作OE∥BC交AB于E,交AC于F.这时图中还有等腰三角形吗?EF与BE、CF关系又如何?说明你的理由.【思路点拨】(1)利用角平分线的定义和平行线的性质即可得出结论;(2)利用(1)的方法解答即可;(3)利用角平分线的定义和平行线的性质可以判定△BEO和△CFO为等腰三角形,利用线段和差的关系可得结论.【解题过程】解:(1)EF与BE、CF之间的关系为:EF=BE+CF.理由:∵BO是∠ABC的平分线,∴∠EBO=∠CBO.∵EF∥BC,∴∠EOB=∠OBC.∴∠EBO=∠EOB.∴BE=EO.同理:CF=FO.∴EF=OE+OF=BE+CF.(2)第(1)问中EF与BE、CF间的关系还存在,即EF=BE+CF.理由:∵BO是∠ABC的平分线,∴∠EBO=∠CBO.∵EF∥BC,∴∠EOB=∠OBC.∴∠EBO=∠EOB.∴BE=EO.同理:CF=FO.∴EF=OE+OF=BE+CF.∴第(1)问中EF与BE、CF间的关系还存在.(3)图中还存在等腰三角形△BEO和△CFO,此时EF=BE﹣CF,理由:∵BO是∠ABC的平分线,∴∠EBO=∠CBO.∵EF∥BC,∴∠EOB=∠OBC.∴∠EBO=∠EOB.∴BE=EO.∴△BEO是等腰三角形,同理可证△CFO是等腰三角形,∵BE=EO,OF=FC∴BE=EF+FO=EF+CF,∴EF=BE﹣CF.16.(2021秋•台江区校级期中)在四边形ABCD中,AC平分∠DAB,∠ABC=α,∠ADC=180°﹣α.(1)若α=90°时,直接写出CD与CB的数量关系为CD=CB;(2)如图1,当α≠90°时,(1)中结论是否还成立,说明理由;(3)如图2,O为AC中点,M为AB上一点,BM=AD,求CMDO【思路点拨】(1)利用角平分线上的点到角两边的距离相等即可;(2)过点C作CE⊥AB于E,CF⊥AD,交AD的延长线于F,利用角平分线的性质可得CE=CF,再证明△CDF≌△CBE(AAS),从而证明结论;(3)延长DO至点N,使ON=DO,连接AN,首先利用SAS证明△AON≌△COD,得∠N=∠CDO,AN=CD=CB,再证明△AND≌△BCM(SAS),得CM=DN=2DO,即可得出答案.【解题过程】解:(1)当α=90°时,利用角平分线上的点到角两边的距离相等,可得CD=CB,故答案为:CD=CB;(2)仍然有CD=CB,理由如下:过点C作CE⊥AB于E,CF⊥AD,交AD的延长线于F,则∠CEB=∠CFD=90°,∵∠ADC+∠CDF=180°,∠ADC=180°﹣a,∴∠CDF=α=∠ABC,∵AC平分∠BAD,CE⊥AB,CF⊥AD,∴CE=CF,∴△CDF≌△CBE(AAS),∴CD=CB;(3)延长DO至点N,使ON=DO,连接AN,∵AO=OC,∠AON=∠COD,∴△AON≌△COD(SAS),∴∠N=∠CDO,AN=CD=CB,∴CD∥AN,∴∠DAN+∠ADC=180°,∴∠DAN=180°﹣∠ADC=α=∠B,又∵AD=BM,∴△AND≌△BCM(SAS),∴CM=DN=2DO,∴CMDO=17.(2021秋•顺平县期末)如图(1),三角形ABC中,BD是∠ABC的角平分线.(1)若∠A=80°,∠ABC=58°,则∠ADB=71°.(2)若AB=6,设△ABD和△CBD的面积分别为S1和S2,已知S1S2=23,则BC(3)如图(2),∠ACE是△ABC的一个外角,CF平分∠ACE,BD的延长线与CF相交于点F,CG平分∠ACB,交BD于点H,连接AF,设∠BAC=α,求∠BHC与∠HFC的度数(用含α的式子表示).【思路点拨】(1)根据角平分线的定义和三角形的内角和定理即可得到结论;(2)如图(1),过D作DE⊥BC于E,DF⊥AB于F,根据角平分线的性质得到DF=DE,根据三角形的面积公式即可得到结论;(3)根据角平分线的定义得到∠HBC=12∠ABC,∠HCB=1【解题过程】解:(1)∵∠ABC=58°,BD是∠ABC的角平分线,∴∠ABD=12∠ABC∴∠ADB=180°﹣∠A﹣∠ABD=71°,故答案为:71;(2)如图(1),过D作DE⊥BC于E,DF⊥AB于F,∵BD是∠ABC的角平分线,∴DF=DE,∴S1∴BC=9,故答案为:9;(3)解:在△ABC中,由∠BAC=α,可得∠ABC+∠ACB=180°﹣α,∵BD平分∠ABC,CG平分∠ACB∴∠HBC=12∠ABC,∠HCB=1∴∠HBC+∠HCB=12∠ABC+12∠ACB=12=12(180°﹣=90°-12在△BHC中,∠BHC=180°﹣(∠HBC+∠HCB)=180°﹣(90°-12=90°+12∵∠ACE为△ABC的外角,设∠ABC=β,∴∠ACE=∠ABC+∠BAC=α+β,∵BD平分∠ABC,CF平分∠ACE,∴∠FBE=12∠ABC=12β∠FCE∴∠HFC=∠FCE﹣∠FBE=12(α+β)-1218.(2022春•海陵区校级期末)△ABC中,三个内角的平分线交于点O,过点O作∠ODC=∠AOC,交边BC于点D.(1)如图1,求∠BOD的度数;(2)如图2,作∠ABC外角∠ABE的平分线交CO的延长线于点F.①求证:BF∥OD;②若∠F=50°,求∠BAC的度数;③若∠F=∠ABC=50°,将△BOD绕点O顺时针旋转一定角度α(0°<α<360°)后得△B'O′D′,B′D′所在直线与FC平行,请直接写出所有符合条件的旋转角度α的值.【思路点拨】(1)根据角平分线的定义,结合三角形内角和即可得到答案.(2)①根据角平分线的定义,结合三角形内角和即可得到答案.②结合角平分线的性质,根据三角形外角的性质即可得到答案.③求出∠ODB的度数即可解决【解题过程】解:(1)∵三个内角的平分线交于点O,∴∠OAC+∠OCA=12(∠BAC+∠BCA)=12(180°∵∠OBC=12∠∴∠AOC=180°﹣(∠OAC+∠OCA)=90°+12∠ABC=90°+∠∵∠ODC=∠BOD+∠OBC=∠AOC,∴∠BOD=90°;(2)①∵三个内角的平分线交于点O,∴∠EBF=12∠ABE=12(180°﹣∠ABC)=90°∵∠ODB=90°﹣∠OBD,∴∠FBE=∠ODB,∴BF∥OD;②∵三个内角的平分线交于点O,∴∠EBF=12∠ABE=12(∠∴∠FCB=12∠∵∠F=∠FBE﹣∠BCF=12(∠BAC+∠ACB)-12∠ACB∵∠F=50°,∴∠BAC=2∠F=100°;③∵∠F=∠ABC=50°,∴由②可知,∠BAC=100°,∴∠ACB=30°,∵OC平分∠ACB,∴∠OCD=15°,∠COD=50°,∴∠BDO=∠COD+∠OCD=65°,∠DOF=130°,∵将△BOD绕点O顺时针旋转一定角度α(0°<α<360°)后得△B'O′D′,∴∠B'D'O=∠BDO=65°,∵B'D'∥FC,∴∠COD'=∠B'DO=65°,∴∠DOD'=∠COD'﹣∠COD=15°,即此时旋转角度为α=15°,∵BD'∥FC,∴∠FOD'=∠B'OD=65°,∴α=∠DOF+∠FOD'=130°+65°=195°,∴△BOD绕点O顺时针旋转15°或195°后得△B'O′D′,B′D′所在直线与FC平行.19.(2021秋•沂水县期中)【问题提出】在△ABC中,∠ACB=2∠B,AD为∠BAC的角平分线,探究线段AB,AC,CD的数量关系.【问题解决】如图1,当∠ACB=90°,过点D作DE⊥AB,垂足为E,易得AB=AC+CD;由此,如图2,当∠ACB≠90°时,猜想线段AB,AC,CD有怎样的数量关系?给出证明.【方法迁移】如图3,当∠ACB≠90°,AD为△ABC的外角平分线时,探究线段AB,AC,CD又有怎样的数量关系?直接写出结论,不证明.【思路点拨】【问题解决】结论:AB=AC+CD,构造全等三角形解决问题即可;【方法迁移】结论:AB=CD﹣AC,如图3.在AF上截取AH=AC,连接DH,证明△ADH≌△ACD(SAS),可得结论.【解题过程】解:【问题解决】:如图1中,当∠ACB=90°时,∵AD为∠BAC的角平分线,∠ACB=90°,DE⊥AB,∴DC=DE,∵∠ACB=2∠B,∠ACB=90°,∴∠B=45°,∵DE⊥AB,∴DE=BE,在△AED和△ACD中,∠DAE=∠DAC∠AED=∠ACD∴△AED≌△ACD(AAS),∴AE=AC,∴AB=AE+BE=AC+CD;当∠ACB≠90°时,结论:AB=CD+AC,理由:如图2,在AB上截取AG=AC,连接DG,∵AD为∠BAC的平分线,∴∠GAD=∠CAD,在△ADG和△ADC中,AG=AC∠DAG=∠DAC∴△ADG≌△ADC(SAS),∴CD=DG,∠AGD=∠ACB,∵∠ACB=2∠B,∴∠AGD=2∠B,∵∠AGD=∠B+∠GDB,∴∠B=∠GDB,∴BG=DG=DC∴AB=BG+AG=CD+AC;【方法迁移】结论:AB=CD﹣AC,理由:如图3.在AF上截取AH=AC,连接DH,∵AD为∠FAC的平分线,∴∠HAD=∠CAD,在△ADH和△ACD中,AH=AC∠DAH=∠DAC∴△ADH≌△ACD(SAS),∴CD=HD,∠AHD=∠ACD,即∠ACB=∠FHD,∵∠ACB=2∠B,∴∠FHD=2∠B,∵∠FHD=∠B+∠HDB,∴∠B=∠HDB,∴BH=DH=DC,∴AB=BH﹣AH=CD﹣AC.20.(2021秋•江汉区校级月考)如图:在∠EAF的平分

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